2020-2021学年湖南长郡中学高一下期中数学试卷

【最新】湖南长郡中学高一下期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线30l y ++=的倾斜角为 （ ）A ．30；B ．60；C ．120；D ．1502．直线2y mx m -=+经过一定点，则该点的坐标为（ ） A ．)2,1(-B ．)1,2(-C ．(1,2)D ．)1,2(3．在空间直角坐标系中，点B 是(1,2,3)A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则||OB 等于（ ）A B C ．D4．若三条直线2380x y ++=，10x y --=与直线0x ky +=交于一点，则k =（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．125．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为1111,,,AA AB BB B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ）A ．045B ．060C ．090D ．01207．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥8．过点(2,1)P 且被圆22240x y x y +-+=截得弦长最长的直线l 的方程为（ ）． A ．350x y --=B ．370x y +-=C ．350x y -+=D ．350x y +-=9．已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是 （ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定10．与圆221:4470O x y x y ++-+=和222:410130O x y y y +--+=都相切的直线条数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．若直线()120x m y m +++-=与直线280mx y ++=平行，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1-或2-12．已知a 、b 、c 是ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边，且1,5,a b c ===，则ABC ∆的面积S =（ ）A ．32B ．2C ．3D ． 413．在四边形ABCD 中，//,,45AD BC ADAB BCD，90BAD ∠=︒，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC14．在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A AC =∠=∠的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．(]0,2 D ．15．在等腰直角三角形ABC 中， =4AB AC =，点 P 是边 AB 上异于 ,A B 的一点，光线从点 P 出发，经 ,BC CA 发射后又回到原点 P （如图）.若光线 QR 经过 ABC的重心，则AP 等于（ ）A ．2B ．1C ．83 D ．43二、填空题16．如图所示，'''Rt A B C ∆为水平方置的ABC ∆的直观图，其中'''',''''1A C B C B O O C ⊥==，则ABC ∆的面积为________．17．在ABC ∆中，AB =，75A ∠=︒，45B ∠=︒，则AC =________．18．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角为________．19．已知直线l 经过点P(－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是________．20．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线:0l ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是 ．三、解答题21．直角三角形边长分别是3,4,5cm cm cm ，绕斜边旋转一周形成一个几何体，求这个几何体的表面积和体积.22．已知直线经过两条直线1:3450l x y +-=和2:2380l x y -+=的交点M . （1）若直线l 与直线220x y ++=垂直，求直线l 的方程； （2）若直线'l 与直线1l 关于点()1,1-对称，求直线'l 的方程.23．在如图所示几何体中，四边形ABCD 为正方形，ABE ∆为等腰直角三角形，90BAE ∠=︒，且AD AE ⊥.（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ； （2）求直线EC 与平面BED 所成角的正弦值.24．在平面直角坐标系xoy 中,已知圆心在x 轴上,半径为2的圆C 位于y 轴右侧,且与直线320x +=相切. (1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上,是否存在点(,)M m n ,使得直线:1l mx ny +=与圆22:1o x y +=相交于不同的两点,A B ,且OAB ∆的面积最大？若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在,请说明理由.参考答案1．C 【解析】由直线方程可知直线的斜率tan 120k θθ=∴=∴=，选C. 2．A 【解析】试题分析：直线2y mx m -=+，即2(1)y m x -=+，所以直线恒过点()1,2-．故选A ． 考点：直线方程的点斜式． 3．B 【详解】试题分析：因为点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，所以(0,2,3)B ，OB ∴==B ．考点：空间中两点间的距离公式． 4．C 【分析】由前两个方程求出交点，将交点坐标代入第三条直线的方程中，即可求出参数值. 【详解】两方程联立可得交点坐标为：()1,2--，代入第三条直线方程：120k --=， 解得：12k =-. 故选C. 【点睛】本题考查直线的交点，只需要联立方程即可求出交点，本题可将任意两条直线联立求交点坐标或其表达式，再代入另一条直线的方程即可，注意计算的准确性. 5．B 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 6．B 【解析】试题分析：取11A B 的中点E ，则由三角形的中位线的性质可得GE 平行且等于1A B 的一半，故EGH ∠或其补角即为异面直线1A B 与GH 所成的角．设正方体的棱长为1，则12EG =，1A B GH EH ===，故EGH ∆为等边三角形，故∠EGH=60°． 考点：空间几何体中异面直线的所成角．【思路点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，体现了等价转化的数学思想．取11A B 的中点E ，由三角形的中位线的性质可得EGH ∠或其补角即为异面直线1A B 与GH 所成的角．判断EGH ∆为等边三角形，从而求得异面直线1A B 与GH 所成的角的大小． 7．D 【解析】试题分析: ①的三视图均为正方形；②的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为圆；③的三视图中正视图是等腰梯形中间含有一条高线的图形．侧视图为梯形，俯视图为内外都是三角形；④的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为正方形．几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是：②④．故选D ． 考点：1、几何体三视图；2、几何体直观图．8．A 【分析】题意可知过点P 和圆心的直线被圆截得的弦长最长，求出圆心坐标，即可得到线l 的方程. 【详解】依题意可知过点P 和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆的方程得22(1)(2)5x y -++=，圆心坐标为(1,2)-，此时直线的斜率为21312--=-， ∴过点P 和圆心的直线方程为13(2)y x -=-，即350x y --=． 故选A ． 【点睛】本题考查圆的标准方程，直线方程的求法，属基础题. 9．B 【解析】 试题分析:点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，221∴+>a b ，∴圆心O 到直线1ax by +=距离1=<d ，∴直线1ax by +=与圆O 相交.故选B ．考点：1、点与圆的位置关系；2、直线与圆的位置关系． 10．B 【解析】试题分析: 圆11(2,2),1-=O r ，22(2,5),4=O r ，∴12125==+OO r r ，∴圆1O 和圆2O 外相切，所以与圆1O 和圆2O 相切的直线有3条.故选B ． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两圆的位置关系． 11．A 【解析】试题分析:因为直线()120x m y m +++-=与直线280mx y ++=平行，所以11228m m m +-=≠，即1m =.故选A ． 考点：两直线平行的判定． 12．B【解析】试题分析：1,5,a b c ===222222153cos 22155+-+-∴===⨯⨯a b c C ab ，4sin 5∴==C ，114sin 152225∆∴==⨯⨯⨯=ABC S ab C ．故选B ．考点：1、余弦定理；2、平方关系；3、三角形的面积公式． 13．D 【分析】折叠过程中，仍有CD BD ⊥，根据平面ABD ⊥平面BCD 可证得CD ⊥平面ABD ，从而得到正确的选项. 【详解】在直角梯形ABCD 中，因为ABD ∆为等腰直角三角形，故45ABD ADB ∠=∠=︒， 所以45DBC ∠=︒，故CD BD ⊥，折起后仍然满足CD BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 平面ABD ⋂平面BCD BD =， 所以CD ⊥平面ABD ，因AB 平面ABD ，所以CD AB ⊥.又因为AB AD ⊥，AD CD D =，所以AB ⊥平面ADC ，因AB平面ABC ，所以平面ADC ⊥平面ABC .【点睛】面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线. 14．D 【解析】试题分析: 在锐角ABC ∆中，1,2BC B A =∠=∠，∴32A ππ<<，且022A π<<，64A ππ∴<<cos A <<1sin sin 2b A A =，∴2cos b A =，b <<．故选D ．考点：1、正弦定理；2、三角函数的性质；3、二倍角公式． 【思路点睛】由条件可得32A ππ<<，且022A π<<，故64A ππ<<cos A <<由正弦定理可得 2cos b A =，从而得到 b 的取值范围．求得64A ππ<<是解本题的关键．本题考查锐角三角形的定义，正弦定理的应用，三角函数的性质，二倍角公式的应用，考查学生的转化与化归思想和计算能力，属于中档题． 15．D 【分析】 试题分析:建立如图所示的坐标系，可得(4,0),(0,4)B C ， 故直线BC 的方程为 4x y +=，ABC ∆的重心为 004040,33G ++++⎛⎫⎪⎝⎭， 设(,0)P a ，其中 04a <<，则点P 关于直线 BC 的对称点1(,)P x y ，满足0422{0(1)1a x y y x a+++=-⋅-=--，解得4{4x y a==-，即 1(4,4)P a -，易得P 关于 y 轴的对称点2(,0)P a -， 由光的反射原理可知 12,,,P Q R P 四点共线， 直线QR 的斜率为4044()4a ak a a---==--+，故直线QR 的方程为 4()4ay x a a-=++， 由于直线QR 过ABC ∆的重心44(,)33），代入化简可得2340a a -=， 解得43a =，或 0a =（舍去）， 故4(,0)3P ，故43AP =． 故选D ．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 【思路点睛】建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点1P 的坐标，和P 关于y 轴的对称点2P 的坐标，由12,,,P Q R P 四点共线可得直线的方程，由于过 ABC ∆的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值．本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．16．【解析】试题分析：'''',''''1A C B C B O O C ⊥==O A ∴''=2,OA BC OA BC ∴==⊥，ABC ∴∆的面积为11222ABC S BC OA ∆=⋅=⨯⨯=所以答案应填： 考点：斜二测画法．17．2【解析】试题分析：在ABC ∆中，由正弦定理得sin 2sin AB B AC C ===.所以答案应填：2． 考点：1、正弦定理；2、三角形内角和定理．18．【详解】根据题意画如图所示的正四棱锥，因为底面对角线的长为度为h ，由体积公式得21123h ⨯⨯=，解得3h =，作出二面角的平面角如图所示，tanθ==3π．19．x ＋4＝0和4x ＋3y ＋25＝0【解析】由已知条件知圆心(－1，－2)，半径r ＝5，弦长m ＝8.设弦心距是d ，则由勾股定理得r 2＝d 2＋2，解得d ＝3.若l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，则d ＝＝3，即9k 2－6k ＋1＝9k 2＋9，解得k ＝－，则直线l 的方程为4x ＋3y ＋25＝0.所以直线l 的方程是x ＋4＝0和4x ＋3y ＋25＝0.20．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：圆2244100x y x y +---=化简为标准方程，可得22(2)(2)18-+-=x y ，∴圆心坐标为()2,2C ，半径=r ，∵在圆上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为∴圆心到直线的距离应小于或等于-=r 由点到直线的距离公式，≤222(22)2()+≤+a b a b ，整理得2()4()10---+≤b b x a a，解得22≤-≤+b a ∵直线:0l ax by +=的斜率2⎡=-∈+⎣b k a，设直线l 的倾斜角为α，则tan 2α⎡∈⎣，即5tan 1212ππα≤≤，由此可得直线l 的倾斜角的取值范围是5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以答案应填：5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的斜率与倾斜角；3、点到直线的距离公式．【思路点睛】求出圆心为()2,2C，半径=r ，根据圆的性质可得：当圆上至少有三个不同的点到直线l的距离为，由此利用点到直线的距离公式和直线的斜率公式加以计算，即可得到直线l 的倾斜角的取值范围．本题考查了直线和圆的位置关系、直线与圆相交的性质、点到直线的距离公式以及直线倾斜角与斜率的关系等知识，属于中档题．21．8448=V=55ππS 表，． 【解析】试题分析：直角三角形绕斜边旋转一周形成几何体是两个同底的圆锥，底面半径是斜边上的高， 对应母线长分别是两直角边的长的组合体，利用圆锥的表面积和体积公式求解即可． 试题解析：绕斜边旋转一周形成的几何体是两个同底的圆锥，底面半径为125，高分别是95和165对应母线长分别是3和4，所以()2128411248=34V=555355S ππππ⎛⎫+⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭表，. 考点：旋转体．22．（1）250x y -+=；（2）3470x y ++=．【解析】试题分析：（1）先联立方程组求出交点M ，再求直线l 的方程；（2）设出直线'l 的方程，待定系数法可得直线'l 的方程.试题解析：（1）解方程组34502380x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得 1,2x y =-=与220x y ++=垂直的直线为()()1220x y +--=即250x y -+=.（2）设直线'l 的方程为340x y c ++=，由题意知1234534,5,755c c c ----=∴=-=得3470x y ++=. 考点：1、直线方程；2、两直线平行、垂直的判断；3、两直线的交点的求法．23．（1）证明见解析；（2）13． 【解析】试题分析：（1）由AE AB ⊥，AE AD ⊥，可证AE ⊥平面ABCD ，从而AE DB ⊥，又DB AC ⊥，所以DB ⊥平面AEC ，再利用面面垂直的判定定理证得平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AC 与BD 交点为O ，先证明OEC ∠为EC 与平面BED 所成角，再利用余弦定理求出OEC ∠即可．试题解析：（1）由已知可知AE AB ⊥，又AE AD ⊥，所以AE ⊥平面ABCD ， 所以AE DB ⊥，又ABCD 为正方形，所以DB AC ⊥，所以DB ⊥平面AEC ，而BD ⊂平面BED ，故有平面AEC ⊥平面BED .（2）设AC 与BD 交点为O ，所以OE 为平面AEC 和BED 的交线，过C 作平面BED 的垂线，其垂足必在直线EO 上，即OEC ∠为EC 与平面BED 所成角. 再设正方形边长2a ，则2OA AE a ==,所以,OE EC ==,所以在三角形OEC 中，利用余弦定理可得cos OEC ∠=1sin 3OEC ∠=. 考点：1、线面垂直的判定；2、面面垂直的判定；3、线面所成的角．【方法点睛】本题主要考查的是线面、面面垂直的判定和线面所成的角，属于中档题．证明面面垂直的关键是证明线线垂直，再证明线面垂直，常用方法有定义法，面面垂直的判定定理，向量法；证明线线垂直常用的方法是等腰三角形底边上的高线，菱形对角线互相垂直，勾股定理，线面垂直的定义．求线面角的一般步骤是：一作出线面角，二证明，三求线面角的大小.24．(1)22(2)4x y -+=(2)存在,点M 的坐标是1(2与1(,2,对应面积的最大值为12【分析】(1) 设圆心是00(,0)(0)x x >,根据直线与圆相切的性质结合点到直线距离公式可以求出0x 的值,也就可以写出圆C 的方程；(2) 根据点(,)M m n 在圆C 上,可以求出m 的取值范围,根据点到直线距离公式可以求出原点到直线l 的距离,利用垂径定理可以求出AB ,最后求出OAB ∆的面积的表达式,最后利用配方法求出OAB ∆的面积最大.【详解】解(1)设圆心是00(,0)(0)x x >. 021x d +==+解得02x =∴圆C 的方程为22(2)4x y -+=； (2)点(,)M m n 在圆C ,2222(2)4,4(2)0m n n m ∴-+==--≥04m ∴≤≤.又原点到直线l 的距离1h ==<解得144m <≤AB =12OAB S AB h ∆∴=⋅===111164m≤<. ∴当1142m =,即12m =时取得最大值12.此时点M 的坐标是1(,22与1(,22-,面积的最大值为12. 【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质应用,考查了三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力.。