2018年考研数学一试题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

（1）下列函数中,在0x =处不可导是（ ）

()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x x

C f x x

D f x x

==

==

【答案】D

(2)过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22

z x y =+相切的平面方程为

（A ）01z x y z =+-=与（B ）022z x y z =+-=与2（C ）1y x x y z =+-=与 （D ）

22y x x y z =+-=与2

【答案】B （3）

23

(1)

(21)!

n

n n n ∞

=+-=+∑

（A ）sin1cos1+（B ）2sin1cos1+（C ）2sin12cos1+ （D ）3sin12cos1+ 【答案】B

（4）设2

222(1)1x M dx x π

π-+=+⎰,221x x

N dx e ππ-+=⎰,22

(1cos )K x dx ππ-

=+⎰,则,,M N K 的大小关系为 （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >>

【答案】C 【解析】

（5）下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

相似的为 111()011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()011001B -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111()010001C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()010001D -⎛⎫

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

【答案】A

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(6) 设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则

（A ）()()r A AB r A = （B ）()()r A BA r A = （C ）()max{(),()}r A B r A r B = （D ）

()()T T r A B r A B =

【答案】A

（7）设随机变量X 的概率密度函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=- ，且2

()0.6,f x dx =⎰

则{0}P X <=

（ ）

（A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.4 （D ）0.5

【答案】 A 【解析】

（8）设总体X 服从正态分布2

(,)N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，据样本检测：假

设：0010:,:H H μμμμ=≠则（ ）

(A)如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (B) 如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H (C) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (D) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H 【答案】A

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1sin 0

1tan lim 1tan kx

x x e x →-⎛⎫

=

⎪

+⎝⎭

则k=___-2____

(10) 设函数()f x 具有2阶连续导数，若曲线()f x 过点（0,0）且与曲线2x

y =在点（1，2）处相切，则

1

()xf x dx ''=⎰

_____

【答案】2ln22-

(11) 设(,,)F x y z xyi yzj zxk =-+则(1,1,0)rotF =_____

【答案】(1,0,1)-

(12)曲线S 由2

2

2

1x y z ++=与0x y z ++=相交而成,求S

xyds ⎰

【答案】0

（13）设2阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，且满足

21212()A αααα+=+则A =

【答案】-1

.

（14）设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立，BC =∅，若

11

()(),()24

P A P B P AC AB C ==⋃=，则()P C = ．

【答案】1/4

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）求不定积分21x x

e e dx -⎰

（16）（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。 （17）（本题满分10分）2

2

133x y z =--,求

3

3()xdydz y

z dxdz z dxdy ∑

+++⎰⎰

（18）（本题满分10分）微分方程()y y f x '+=(1)当()f x x =时,求微分方程的通解(2)当()f x 为周期函数时,证微分方程有通解与其对应,且该通解也为周期函数.

（19）（本题满分10分）数列{}n x ，1

10,1n n x x n x x e e +>=-证{}n x 收敛，并求lim n n x →∞

（20）（本题满分11分）设实二次型2

2

1231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a 为参数(1)求123(,,)0f x x x =的解(2)求123(,,)f x x x 的规范形

（21）（本题满分11分）已知a 是常数,且矩阵1213027a A a ⎛⎫

⎪= ⎪

⎪

-⎝⎭

可经初等变换化为矩阵12011111a B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭