矩阵分析蒋家尚答案

矩阵考试题及答案详解

矩阵考试题及答案详解一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A与矩阵B相乘，结果为零矩阵，下列哪项说法是正确的？A. A和B中至少有一个是零矩阵。

B. A和B都是零矩阵。

C. A和B的行列式都为0。

D. A和B的秩之和小于它们各自维度的乘积。

答案：D2. 矩阵的转置操作，下列哪项说法是错误的？A. 矩阵的转置是将矩阵的行变为列。

B. 矩阵的转置不会改变矩阵的行列式。

C. 矩阵的转置不会改变矩阵的秩。

D. 矩阵的转置会改变矩阵的特征值。

答案：D3. 对于一个3x3矩阵，下列哪项说法是正确的？A. 它有9个元素。

B. 它有3个行向量。

C. 它有3个列向量。

D. 以上说法都正确。

答案：D4. 矩阵的逆矩阵，下列哪项说法是错误的？A. 只有方阵才有逆矩阵。

B. 矩阵的逆矩阵的逆矩阵是原矩阵。

C. 矩阵的逆矩阵与原矩阵相乘结果为单位矩阵。

D. 矩阵的逆矩阵一定存在。

答案：D5. 矩阵的秩，下列哪项说法是正确的？A. 矩阵的秩等于矩阵中非零行（或列）的最大数量。

B. 矩阵的秩不会超过矩阵的行数。

C. 矩阵的秩不会超过矩阵的列数。

D. 以上说法都正确。

答案：D6. 矩阵的特征值，下列哪项说法是错误的？A. 特征值是矩阵的特征多项式的根。

B. 矩阵的特征值可以是复数。

C. 矩阵的特征值一定是实数。

D. 矩阵的特征值与矩阵的迹有关。

答案：C7. 矩阵的行列式，下列哪项说法是正确的？A. 行列式为0的矩阵是可逆的。

B. 行列式为0的矩阵是奇异矩阵。

C. 行列式为1的矩阵是单位矩阵。

D. 行列式为-1的矩阵是正交矩阵。

答案：B8. 矩阵的相似性，下列哪项说法是错误的？A. 相似矩阵有相同的特征值。

B. 相似矩阵有相同的行列式。

C. 相似矩阵有相同的秩。

D. 相似矩阵有相同的迹。

答案：D9. 矩阵的正交性，下列哪项说法是正确的？A. 正交矩阵的行列式为1或-1。

B. 正交矩阵的转置是其逆矩阵。

C. 正交矩阵的元素都是实数。

矩阵分析第3章习题答案

矩阵分析第3章习题答案第三章1、已知()ijA a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==L L 定义内积为(,)HA αβαβ=（1）证明在上述定义下，nC 是酉空间；（2）写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。

2、已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求()N A 的标准正交基。

提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。

3、已知308126(1)316,(2)103205114A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HUAU是上三角矩阵。

提示：参见教材上的例子4、试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。

5、验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HUAU为对角矩阵，已知133261(1)6322312623A ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01(2)10000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦11(4)11A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6、试求正交矩阵Q ，使TQAQ为对角矩阵，已知 220(1)212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，11011110(2)01111011A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦7、试求矩阵P ，使HPAP E=（或TPAP E=），已知11(1)01112i i A i i +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，222(2)254245A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦8、设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。

反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。

重庆大学矩阵论课后习题答案第七章答案精选全文

可编辑修改精选全文完整版第七章答案第三题证明：验证P-M 的第一个方程成立1111BQ A P B PAQQ A P PAQ PAA AQ PAQ B -------====第四题证明：验证P-M 的前两个个方程成立第六题略第七题让求A -（{}1A ）,更确切的说应该是让求一个A -，因为如果A 不是通常可逆的情况下A -不唯一，当然，在通常应用情况下，我们只要求出一个就可以满足我们的要求了，书上也是侧重求出其中的一个。

解：（1）略如果用满值分解法做出的结果是1011101500152022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2）2342111111111112111111111111211111A E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令10110100121120,00100110001P Q -⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭则22010012000000000E A Q P -⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭如果用满值分解法做出的结果是100315533355033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第十二题对于低阶矩阵来说，最大秩分解是最有效的而且是最方便的，但如果今后遇到一些复杂的矩阵时，我们可以考虑其它分解方法第十三题解：102120425A +⎛⎫= ⎪⎝⎭最小范数解为：0102111120422550x A β+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭通解为：1122121421()225x x x x A E A A x x x β+++-⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭第十四题类似第十三题。

矩阵论第三章答案

d1 (λ ) = L = d n −1 (λ ) = 1 ， d n (λ ) = (λ − a )
n
因此初等因子只有一个，即有 (λ − a )n .
11. 证：
A（ λ ）与 B（ λ ）相抵当且仅当它们有相同的不变因
子，当且仅当它们的各阶行列式因子相同.
1 1 ⎤ ⎡λ − 2 ⎢ 12. 解：（ 1 ）因为 λI − A = ⎢ − 2 λ + 1 2 ⎥ ⎥ 的初等因子为 ⎢ − 1 λ − 2⎥ ⎣ 1 ⎦
0 0 ⎤ r2 − (− 1)r3 ⎡1 0 0 ⎤ c 2 − (2λ − 1)c1 ⎡1 ⎢0 ⎥ ⎢ 2 λ − λ ⎥ ⎯⎯ ⎯ λ2 ⎥ ⎯⎯ ⎯ ⎯→ ⎢ ⎯→ ⎢0 λ ⎥ 2 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ c3 + (− λ )c1 ⎢ ( ) r + 1 − λ r 0 λ − λ − λ − λ 0 0 − λ − λ 3 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2. 解：（ 1）因为 A 的特征矩阵为
⎡λ + 1 ⎤ ⎢ ⎥ λ+2 ⎢ ⎥ A(λ ) = λI − A = ⎢ ⎥ λ −1 ⎢ ⎥ λ − 2⎦ ⎣
所以 A（ λ ）的行列式因子为
⎡1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣1⎦
不变因子为
d 1 (λ ) = D1 (λ ) = 1, d 4 (λ ) = D4 (λ ) D3 (λ ) d 2 (λ ) = d 3 (λ ) = 1,
10. 解：
因为 A(λ ) = (λ − a )n ，所以 Dn (λ ) = (λ − a )n ，又因
c1 λ − a c2 O
O
= c1c 2 L c n −1 ≠ 0 ，
λ − a c n −1

矩阵分析课后习题解答(整理版)

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。

1.10.证明同1.9。

1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。

若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行）根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

《矩阵分析报告》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题问题详解

第1章线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一设11223344x x x x =+++A E E E E即 123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.方法二应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一（用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP 计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ. 方法一设1212{,}{,}span span ∈ξααββ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T-. 方法二不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组 13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T-，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span ααα的基底就是12,,,nααα的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n ααα.1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββ就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==,则11,,,,,k l ααββ的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξA AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξA AA②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===，于是21,(),(),,()k -ξξξξA AA线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξAAA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]0000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξA A A AA A A A AAA AA 所以A 在21,(),(),,()n -ξξξξA AA 下矩阵表示为n 阶矩阵000100001000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξA AA是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==设11,,,,,,r r s ξξξξξ是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s ααααα是的极大无关组.1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.理工大学.)1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:对k 用数学归纳法证。

矩阵论简明教程课后习题与答案解析

习题一13. 设A ∈ C n n ⨯是Hermite 矩阵。

证明A 是Hermite 正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite 正定矩阵B ，使得A=B 2。

解：若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得U H AU =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21, i λ﹥0, I =1, 2, ,Λn . 于是A =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO 21U H= U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλO 21U H U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21U H 令B =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21U H 则 A =B 2.反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的.14. 设A ∈ C n n ⨯是Hermite 矩阵，则下列条件等价:（1）A 是Mermit 半正定矩阵。

（2）A 的特征值全为非负实数。

（3）存在矩阵P ∈ C n n ⨯,使得A=P HP解：(1)⇒(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得U H AU =diag(n λλλ,,,21Λ)令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, ,Λn ).(2)⇒(3). A =U diag(n λλλ,,,21Λ)U H =U diag(n λλλ,,,21Λ)diag(n λλλ,,,21Λ)U H 令 P =diag(n λλλ,,,21Λ)U H , 则 A =P H P . (3)⇒(1). 任取x ≠0, 有x H Ax =x H P H Px =22Px ≧0.习题二1.求向量x=（1+i ，-2,4i ，1,0）的1、2、∞范数。

解：1x =01i 42i 1+++-++=7+2, 2x =1i)4i(4)2(i)1i)(1(2+-+-+-+=23, ∞x =max {}1i 42i 1,,,-+=4.2. 设1ω，2ω…..n ω是一组给定的正数，对任意x=（1ξ,2ξ…..n ξ）T ∈ C n , 规定x =∑=nk kk 12ξω 。

结构动力模型修正中的一类矩阵反问题

结构动力模型修正中的一类矩阵反问题
蒋家尚袁永新
（江苏科技大学数理系，江２２０）镇１０３
摘要
在实际工程中，由有限元模型得到的计算值与通过试验获得的测量值之间往
往存在偏差，了能够精确预测结构的动力响应，为依据测量信息修正存在的动力模型是非常必要的．本文考虑用不完备复模态测量数据修正粘性阻尼矩阵的问题．假定在分析质量矩阵与分析刚度矩阵是精确的情况下，通过求解一个约束最优化问题，得到了满足特征方程的加权Ｆｏｅｉｓｒｂｎｕ范数意义下的最优对称非负定修正矩阵．关键词反问题，限元模型，有粘性阻尼，模型修正，模态数据
中图法分类号０３７０４２，２
１引言
运用有限元技术对一阻尼结构系统进行离散化，可得到下面的二阶常系数微分方程
Ｍａ（＋Ｃ香￡＋Ｋ。（＝ｙｔ，百￡）ａ（）ｑｔ）（）（）１
方程（）称为系统的有限元模型（Ｅ，中ｑ￡是ｎ维状态向量，（是ｎ维外激励向量，１ＦＭ）其（）ｙｔ）
工程师们的广泛关注［２修正的结构动力模型能够更加精确地预测结构的动力响应，１］，．还可以结合实测结果对结构进行损伤检测和剩余寿命评估［—】３６．
由于实际结构中阻尼的机理非常复杂，有限元建模时不可能精确地描述阻尼矩阵；在而在
激励频率接近于系统的固有频率且激励时间不很短暂的情况下，阻尼的影响是不能忽略的，因

矩阵分析所有习题及标准答案

习题3-16
#3-16:设若A,BHnn,且A为正定Hermite矩阵, 试证:AB与BA的特征值都是实数.
证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是 A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数. 又 A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即BA相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.
习题3-25
#3-25:A*=-A(ASHnn) U=(A+E)(A-E)-1Unn. (ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆)
解: U*=U-1 ((A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A2-E=A2-E
n
j
nn使U*AU=R为 3 1 6 #3-3(1):已知A= ,试求UU 2 0 5 上三角矩阵. 解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值. 显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵 V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U* ∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在前面,则(*)式即给出所需答案.

研究生矩阵理论课后答案第5章

按范数收敛
定义:赋范空间V的序列{x(n)|n=1,2,…}按范数 ‖‖α收敛于aV,如果 limn‖x(n)-a‖α=0 命题:对赋范空间V的任意两个等价向量范数 ‖‖α, ‖‖β, 都有 limn‖x(n)-a‖α=0 limn‖x(n)-a‖β=0 (即按任意两个向量范数的收敛实质上等价) 因 0 limn‖x(n)-a‖α d limn‖x(n)-a‖β 0 limn‖x(n)-a‖β(1/c)limn‖x(n)-a‖α
1=|yk|(i=1n|yi|p)1/p =‖y‖p n1/p (*) (i|yi|=|xi|/|xk|1) 1=limp1limp‖y‖p limpn1/p=n0=1 1=limp‖y‖p=limp‖x‖p/‖x‖ ‖x‖=limp‖x‖p
同一向量的三种范数之间的大小关系
Frobenius 矩阵范数
例5.2.2:矩阵的Frobenius范数定义为 ‖A‖F=(i=1mj=1n|aij|2)1/2. (ACmn的向量2-范数蕴含前3条公理)不难证明4 条范数公理全部满足.因非负性和齐次性是显然的;③的证明见课本.我们只讲④的证明. ‖AB‖F2=i=1mj=1n|k=1paikbkj|2 i=1mj=1n((k=1p|aik|2)(k=1p|bkj|2))(C-S不等
则

n
1 ak 1 bk a k bk a b p q q b p a
1 a k bk a b k 1 pa
p

n k 1
ak
p
1 qb
q

b k 1 k
n q
1 1 ab ab q xn|}=|k‖x‖; ‖x+y‖= max{|x1+y1|,…,|xn+yn|} max{|x1|+|y1|,…,|xn|+|yn|} max{|x1|,…,|xn|}+max{|y1|,…,|yn|} =‖x‖+‖y‖

矩阵分析第3章习题答案

矩阵分析第3章习题答案第三章1、已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ=（1）证明在上述定义下，nC 是⾣空间；（2）写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。

2、已知2111311101A --??=?-??，求()N A 的标准正交基。

提⽰：即求⽅程0AX =的基础解系再正交化单位化。

3、已知308126(1)316,(2)103205114A A --??=-=-??----??试求⾣矩阵U ，使得HU AU 是上三⾓矩阵。

提⽰：参见教材上的例⼦4、试证：在nC 上的任何⼀个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。

5、验证下列矩阵是正规矩阵，并求⾣矩阵U ，使H U AU 为对⾓矩阵，已知11332611(1)6322312623i i A i i ??--=--???01(2)10000i A i -=??，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--=----?+--??11(4)11A -??=??6、试求正交矩阵Q ，使TQ AQ 为对⾓矩阵，已知220(1)212020A -=---??，11011110(2)01111011A -??-?=-??-??7、试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知11(1)01112i i A i i +=-??-，222(2)254245A -??=---8、设n 阶⾣矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。

反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是⾣矩阵。

证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，⽭盾，所以矩阵E U +满秩。

(完整版)矩阵分解法习题练习

(完整版)矩阵分解法习题练习矩阵分解法题练一、选择题1. 矩阵分解法的基本思想是将一个矩阵分解为多个矩阵相乘的形式，其中每个矩阵代表了什么含义？A. 基因表达矩阵B. 基因表达谱矩阵C. 基因表达系数矩阵D. 基因表达关系矩阵答案：C. 基因表达系数矩阵2. 矩阵分解法在生物信息学领域的应用是什么？A. 基因表达聚类B. 基因表达谱预测C. 基因表达差异分析D. 基因表达变异检测答案：A. 基因表达聚类3. 矩阵的奇异值分解(SVD)是一种常用的矩阵分解方法，其基本思想是什么？A. 将矩阵分解为一个正交矩阵和一个对角矩阵的乘积B. 将矩阵分解为两个正交矩阵和一个对角矩阵的乘积C. 将矩阵分解为一个正交矩阵、一个对角矩阵和一个逆矩阵的乘积D. 将矩阵分解为两个正交矩阵、一个对角矩阵和一个逆矩阵的乘积答案：B. 将矩阵分解为两个正交矩阵和一个对角矩阵的乘积二、填空题1. 在矩阵分解法中，将原始矩阵分解为两个较低秩矩阵的乘积的方法称为（1）分解。

答案：SVD（奇异值分解）2. 当使用矩阵分解法进行基因表达聚类时，一般会使用哪种距离度量方法来计算样本之间的相似性？答案：欧氏距离三、简答题1. 简要说明矩阵分解法在基因表达聚类中的应用原理。

答案：矩阵分解法在基因表达聚类中的应用原理是将基因表达矩阵分解为基因表达系数矩阵和基因表达谱矩阵的乘积，通过对基因表达系数矩阵的聚类分析，可以将基因分成不同的类别，从而揭示基因之间的相似性和差异性，进而为其他生物信息学分析提供支持。

2. 请简要描述矩阵的奇异值分解（SVD）方法的基本步骤。

答案：矩阵的奇异值分解(SVD)方法的基本步骤包括：- 将原始矩阵进行中心化处理，使每个元素减去该列的均值。

- 对中心化后的矩阵进行奇异值分解，得到一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和另一个正交矩阵V的乘积。

- 选取保留的前k个奇异值，其中k为自定义的参数。

- 根据选取的前k个奇异值，截取矩阵U和矩阵V的部分列，得到降维后的矩阵U'和矩阵V'。

线性代数(含全部课后题详细答案)3第三章矩阵习题解答.docx

习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、・仇・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。

研究生课程-《矩阵分析》试题及答案

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，；显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

湘大版矩阵论第三章修改作业答案

第3章1.判断下面四个矩阵，哪些是相似的。

A=332763112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ，B=011442211-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ，C=011312756--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭ ，D=012011002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.解答如下：因为A=332763112--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，得E A λ-= 3λ-5 2λ+8 λ-4=()1λ-()22λ-所以矩阵A 的特征值是1λ=1，2λ=2，3λ=2 ，对应于1λ=1时的一个特征向量是1X =[]121T对应于2λ、3λ的一切特征向量为2X =()111T--，K 不等于0，所以不存在三个线性无关的特征向量，则A 不能与对角矩阵100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似。

但是可得到A 的约当标准型为100020022J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭从此错误,即存在P 矩阵，满足1P AP J-=,则A 与J 相似。

因为B=011442211-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，得E B λ-==()1λ-()22λ-，所以矩阵B 的特征值是1λ=1，2λ=2，3λ=2，对应于1λ=1时的一个特征向量是1X =[]121T，对应于2λ、3λ的两个线性无关的特征向量为2X =()102T-， 3X =()120T，则B 可化为相似对角矩阵为100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.因为C=011312756--⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭，得E C λ-=()1λ-()22λ-,所以矩阵C 的特征值是1λ=1，2λ=2，3λ=2，对应于1λ=1时的一个特征向量是1X =()011T-，对应于2λ、3λ的一切特征向量为2X = k ()113T-，k 不等于0。

所以C 不能化为相似对角矩阵100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，但是可得到C 的约当标准型为100020022J ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,此处错误即存在P 矩阵，满足1P BP J -=,则B 与J 相似。

矩阵分析蒋家尚答案

容分三部分：
一、袁老师布置的课后习题作业
二、习题课笔记（关于作业）
三、少量课堂笔记
教材：《矩阵分析》蒋家尚、袁永新著大学出版社
==表示第二部分（习题课笔记部分）有更正或补充；
△表有难度，自己学习有欠缺，未解决；
△表有曾有不理解，但已解决。

袁老师的《矩阵分析》课还是蛮难的，考试也有难度。

希望后来人能够好好学习，分享习题也是出于这个目的，虽然不清楚，且多有错讹。

袁老师是我在科大的大学至研究生阶段以来遇到的最好的数学老师，没有之一。

我与袁老师学期下来只对话一次，因为作业的事情。

与袁老师对话起来觉得汗颜，袁是攀登珠峰的学术人，而我则是在山脚下徘徊。

学生看不到更远处的风景，对袁也只能仰视。

Yuan lives at another level.
毕竟是书生2012/12/20考试后
一、课后习题（作业）
因文档过大，此处略去2（参考教材P48及P51证明）、3（二部分习题课有补充）、4、5（开头部分略过）题。

矩阵分析第三章课后答案

第三章内积空间正规矩阵 Hermite 矩阵3－1(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。

証毕。

（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组[][][]()1234512312321-113=011-101=0,1,1,0,0=-1,1,01,0=4-5,0,0,1=span{,,}T T Tx x x x x N A αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解空间，解得它的基础解系为，，，，从而[] () ()() ()() ()1121221211131323312312112212311122schmidt==0,1,1,0,0,111=-=-=-1,,-,1,0,222,,-513=--=-+,,257663=,-,,,15555==00,0=TTTTβααββαβαβββαβαββαββαββββββββββγββγβ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先应用正交化方法得到：然后将，，单位化后得到：2333123=--0510105==().TTN Aβγβγγγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以，，即为的标准正交基3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得λ= －1是A的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝021于是ε1＝（0，1，0）T是A的特征向量。

一种修正刚度矩阵的直接方法

一种修正刚度矩阵的直接方法袁永新;蒋家尚【摘要】在假定有限元模型的质量矩阵与刚度矩阵均为对称阵,并且质量矩阵是精确的情况下,提出了一种修正刚度矩阵的新方法.该方法借助于矩阵的Kronecker积,把需修正的变量分离出来直接对其进行修正,不仅保证了刚度矩阵带状稀疏的特点,而且修正过程简单易行.数值例子验证了该方法的有效性.【期刊名称】《江苏科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(024)002【总页数】4页(P193-196)【关键词】有限元模型;模型修正;模态数据【作者】袁永新;蒋家尚【作者单位】江苏科技大学,数理学院,江苏,镇江,212003;江苏科技大学,数理学院,江苏,镇江,212003【正文语种】中文【中图分类】O24;O327在航天、航空、机械、土木、交通等研究领域,为进行结构系统响应预测、状态监控、故障诊断和动态优化设计,建立系统准确的数学描述是必要的．目前结构动力建模的手段主要有理论建模与实验建模两种．理论建模主要是有限元建模因对结构的物理特性、几何特性、连接状态和约束条件等的简化以及这些简化过程中诸多不确定因素的存在，而使得分析结果与实际测试结果出现偏差,在不少情况下这种偏差甚至会超出工程许可的范围．实验建模的数据来自实际结构及样机,一般认为其获得的模型较理论模型具有更高可靠性,但由于实验条件及实验成本的限制,具体实践中测点不可能布置太多,使得通过实验手段建立的模型自由度数在某些情况下无法满足实际要求．工程中对这一问题的解决方案一般是结合两种建模方法,利用实验建模的结果修正、调整理论模型,使其在试验频段内模态参数与试验值基本一致.以修正后的理论模型作为结构的数学描述——这就是结构计算模型修正技术,有时也称作间接系统识别[1]．运用有限元技术对一无阻尼结构系统进行离散化,可得到以下二阶常系数微分方程:(1)方程(1)称为系统的有限元模型， q(t)是n维状态向量;f(t)是n维外激励向量;Ma, Ka∈Rn×n分别称为分析质量矩阵与分析刚度矩阵．通常Ma≥0, Ka≥0,此时式(1)称为对称非负定系统．与系统(1)对应的特征值问题为(λMa-Ka)x=0(2)使关系式(2)成立的实数λ和非零向量x分别称为这个系统的特征值与特征向量．若系统(1)的所有特征值为λ1, …, λn,相应的特征向量为x1, …, xn.记Λ=diag(λ1,…,λn)∈Rm×mX=[x1,…,xn]∈Rn×m则式(2)可用矩阵形式表示为MaXΛ-KaX=0诸多以模态试验数据作为参考基的模型修正方法[2-5],虽可保证修正模型的参数矩阵仍为实对称矩阵且测量模态数据融于修正模型,但其修正结果却把原带状稀疏的矩阵变为满阵,这势必对其后的运算造成极大的困难．为保证修正矩阵具有带状稀疏的特点,文献[6]借助于Lagrange乘子法实现了对刚度矩阵的修正,但计算量较大,仅适合于小规模问题的计算．文献[7]对文献[6]中的算法作了些改进,但仍有计算量大的问题．文献[8]提出的方法是通过令修正后的矩阵带状以外的元素为零,反复迭代得到修正目的,但此方法尚未找到理论依据．本文借助于矩阵的Kronecker积与拉直算子,给出了一种修正刚度矩阵的代数方法,该方法有一个简洁的表达式,由这个表达式可得到Frobenius范数意义下的最优修正矩阵,修正过程简单而且容易实现,并且所给方法保持了原有限元模型的带状与稀疏性．注意到实测模态数据不一定正好满足运动方程,因此对刚度矩阵的修正即为如下的数学问题:问题P 设分析质量矩阵Ma∈Rn×n与分析刚度矩阵Ka∈Rn×n均为实对称(2r+1)-对角矩阵．测量的特征值组成的矩阵为Γ=diag(γ1, …, γm)∈Rm×m,且γi≥0(i=1, 2,…, m),相应的实测模态矩阵为Y=[y1, …, ym]∈Rn×m,求实对称(2r+1)-对角矩阵使得(3)其中SE={K|‖MaYΓ-KY‖=min}.本文用Rn×m表示所有n×m阶实矩阵的集合,SRn×n表示n×n实对称矩阵的全体,AT表示矩阵A的转置,Im表示m阶单位矩阵,‖·‖表示矩阵的Frobenius范数．若设A=(aij)∈Rm×n, B=(bij)∈Rp×q, 则矩阵A与B的Kronecker积定义为A⊗B=(aijB)∈Rmp×nq;矩阵A∈Rm×n的拉直运算定义为其中ai为矩阵A的第i列．1 问题P的解为了求解问题P,需要下面的引理．引理1[9] 设A∈Rm×n, B∈Rn×p, C∈Rp×q,则Vec(ABC)=(CT⊗A)Vec(B).引理2[10] 设L∈Rm×q,b∈Rm,则最小二乘问题‖Ly-b‖=min 关于变量y∈Rq 的通解为y=L+b+(Iq-L+L)z,其中z∈Rq为任意向量．设S0为所有n阶实对称(2r+1)-对角矩阵的集合,则S0是矩阵空间SRn×n的线性子空间,并且S0的维数为定义Zij为(4)式中ti=min{i+r, n}；ei(i=1,…,n)为单位矩阵In的第i个列向量．容易验证{Zij}是子空间S0的一组标准正交基,即(5)式中(Zij,Zkl)表示矩阵Zij,Zkl的内积,即由于所求矩阵K为n阶实对称(2r+1)-对角矩阵,则K可以表示为(6)式中αij(i=1,2,…,n，j=i,…,ti), ti=min{i+r, n}是待定实数．记α=[α11,…,α1,r+1,…,αn-r,n-r,…,αn-r,n,…,αn-1,n-1, αn-1,n, αn,n]TG=[Vec(Z11),…,Vec(Z1,r+1),…,Vec(Zn-r,n-r),…,Vec(Zn-r,n),…,Vec(Zn-1,n-1),Vec(Zn-1,n),Vec(Zn,n)]∈Rn2×N(7)A=(YT⊗In)G, d=Vec(MaYΓ)(8)由于‖MaYΓ-KY‖=‖Vec(MaYΓ-KY)‖=(9)据引理1及式(7,8，9)知:‖MaYΓ-KY‖=min 等价于‖Aα-d‖=min(10)由引理2知式(10)关于未知向量α的一般解为α=A+d+FAu(11)式中FA=IN-A+A,u∈RN为任意向量．因此,由式(6)易知SE={K|K=H(α⊗In)}(12)式中H=[Z11,…,Z1,r+1,…,Zn-r,n-r,…,Zn-r,n,…,Zn-1,n-1, Zn-1,n,Zn,n]∈Rn×nN(13)对实对称(2r+1)-对角矩阵Ka∈Rn×n,易知Ka可以表示为标准正交基{Zij}的线性组合,即(14)式中实数δij(i=1, 2,…, n，j=i, …, ti), ti=min{i+r, n}由矩阵Ka的元素唯一确定．记δ=[δ11,…,δ1,r+1,…,δn-r,n-r,…,δn-r,n,…,δn-1,n-1, δn-1,n, δn,n]T(15)则对任意的K∈SE,由式(6，11，14)可得‖FAu-(δ-A+d)‖2据引理2,从上式可得‖K-Ka‖=min 当且仅当u=FAδ+A+Av(16)式中v∈RN为任意向量．将式(16)代入式(11)得(17)综上,已证明了如下结论．定理1 设分析质量矩阵Ma∈Rn×n与分析刚度矩阵Ka∈Rn×n均为实对称(2r+1)-对角矩阵．测量的特征值组成的矩阵为Γ=diag(γ1, …,γm)∈Rm×m,γi≥0(i=1, 2,…, m),相应的实测模态矩阵为Y=[y1, …,ym]∈Rn×m,{Zij}, G, A, d由式(4，7，8)给出．记FA=IN-A+A．则问题P存在唯一解,且问题P的唯一解为⊗In)(18)式中分别由式(13，17)给出．由定理1可得如下算法:算法1 (求问题P的关于Frobenius范数意义下的最小修正解)1) 输入数据Ma≥0,Ka≥0,Y,Γ≥0;2) 据式(4)形成标准正交基 {Zij};3) 据式(7，8)计算矩阵G, A, d;4) 计算FA=IN-A+A;5) 据式(14，15)形成向量δ;6) 据式(17)计算向量7) 据式(18)计算矩阵2 数值例子例1 描述一个10自由度悬臂梁的有限元质量矩阵与刚度矩阵分别为即Ma, Ka均为实对称7-对角矩阵．前4阶试验模态数据为据算法1可得问题P的唯一解为并且易算得结果，如表1所示.表1 测量模态数据融于修正模型情况Table 1 Results of the measured modal data embedded in the updated modeli‖(γiMa-^K)yi‖17.211 1E-01228.667 4E-01239.174 2E-01241.105 3E-011由此可知，以为系数矩阵的系统具有特征对(γi, yi)(i=1, 2, 3, 4),并且仍为对称7-对角矩阵,保持了分析模型的连接信息．3 结论为了提高结构动力分析的精度,近年来利用模态试验数据修正有限元分析模型的方法普遍受到人们的重视．鉴于典型的误差矩阵范数极小化方法虽可使得测试模态数据较好地融于修正模型,但破坏了原模型系数矩阵的稀疏带状特性．本文提出了一种修正刚度矩阵的新方法,该方法有一个简洁的表达式,修正过程简单而且容易实现．该方法可使得测试模态与测试频率融于修正模型，而且保持了原有限元模型的带状与稀疏性．数值结果验证了本文方法的有效性．参考文献[1] Mottershead J E, Friswell M I. 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