点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系 @1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法. 2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行 3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） !1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭\（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意,a α⊂都有l a ⊥，且l α⊄，则l α⊥.②判定：,a b a b O l l l al b ααα⊂⎫⎪=⎪⎪⊄⇒⊥⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭③性质：（1）,l a l a αα⊥⊂⇒⊥；（2）,//a b a b αα⊥⊥⇒；面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥⇒∠-是二面角－的平面角范围：[0,180]AOB ∠∈︒︒②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 面面垂直（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90︒，则αβ⊥；~（2）判定定理：a a ααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭（3）性质：①若αβ⊥，二面角的一个平面角为MON ∠，则90MON ∠=︒；②a AB a a a ABαβββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭● 热点例析【例1】热点一 有关线面位置关系的组合判断若a ，b 是两条异面直线，α，β是两个不同平面，a ⊂α，b ⊂β，α∩β＝l ，则( )． A ．l 与a ，b 分别相交 B ．l 与a ，b 都不相交C ．l 至多与a ，b 中一条相交—D ．l 至少与a ，b 中的一条相交解析：假设l 与a ，b 均不相交，则l ∥a ，l ∥b ，从而a ∥b 与a ，b 是异面直线矛盾，故l 至少与a ，b 中的一条相交．选D.热点二 线线、线面平行与垂直的证明【例2】如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD ．(1)方法一：因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得 BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，所以AD 2＋BD 2＝AB 2.所以AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ， 所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD .方法二：因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD (如图)， 所以BD ⊥D 1D .取AB 的中点G ，连接DG (如图)．—在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD . 又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，因此GD ＝GB ， 故∠DBG ＝∠GDB .又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， 所以BD ⊥AD .!又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD . (2)如图，连接AC ，A 1C 1.设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC .由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ， 所以四边形A 1ECC 1为平行四边形．、因此CC 1∥EA 1.又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1 平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD .热点三 面面平行与垂直的证明【例3】在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝4，P 为平面ABCD 外一点，且PA ＝PB ，PD ＝PC ，N 为CD 的中点．(1)求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；(2)在线段PC 上是否存在一点E 使得NE ∥平面ABP 若存在，说明理由并确定E 点的位置；若不存在，请说明理由． 《(1)证明：取AB 中点M ，连接PM ，PN ，MN ， 则PM ⊥AB ，PN ⊥CD .C又ABCD 为直角梯形，AB ⊥BC ，∴MN ⊥AB . ∵PM ∩MN ＝M ，∴AB ⊥平面PMN . 又PN ⊂平面PMN ，∴AB ⊥PN .∵AB 与CD 相交，∴PN ⊥平面ABCD .又PN ⊂平面 PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD .>(2)解：假设存在．在PC ，PB 上分别取点E ，F ，使BF ＝14BP ，CE ＝14CP ，连接EF ，MF ，NE ，则EF ∥BC 且可求得EF ＝34BC ＝3.∵MN ＝3且MN ∥BC ，∴EF ∥MN 且EF ＝MN . ∴四边形MNEF 为平行四边形，∴EN ∥FM . 又∵FM ⊂平面PAB ，∴在线段PC 上存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，此时CE ＝14PC .热点四 折叠问题)例4如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP ⊥221=AP PCD ∆⊥PD D EF G --EF 211⊂∴⊂EO ⊄∴EF CD 1GE 1PB CD EF ∴AB 1⋂EG //,,))(),,2,00.A (=.00⎩⎨⎧==⇒=y z x z n ⊥PD AD ⊥∴D CD PD =⋂⊥∴AD ∴DA DA()0,0,2()1,0,1=n .22222===∴D EF G --.450ABCD P -PA ABCD26PAD ABCD PAD ⊥BD AC ,O PA ABCD 2623PFO ∠PAD ABCD PFO ∆3tan ==∠FO PO PFO 3π=∠PFO PAD ABCD3πEO =//PD 21EOD ∠PDO ∆2522=+=PO OD PD 45=EO BD AO ⊥PO AO ⊥⊥AO PBD EO AO ⊥A CA CAOE ∆5102tan ==∠EO AO AEO 5102FO BC G PG H PG GH EH ,ABCD P -F AD G BC PG BC ⊥FG BC ⊥PFG BC 面⊥PBC PFG 面PG PF =3π=∠PFO PFG ∆PGFH ⊥PBC FH 面⊥FK HE //FK HE =HEKF FH KE //PBC KE 面⊥,m n γβα,,m ⊥αn //αnm ⊥αβ//βγ//m ⊥αm ⊥γm //αn //αm n //αγ⊥βγ⊥//αβ,,a b c222a b c ++22212a b c ++22222a b c ++22232a b c ++A BCD-AC ⊥,,,,30BCD BD DC BD DC AC a ABC ⊥==∠=C ABD55a 155a 35a 153a 1111ABCD A B C D -E 11A C CE AC BD 1A D 11A D P ABC -PH H ABC ABCD AC 21A CD B--12133323S ABC -a ,E F SC AB EF SA 090060045030,A B α4cm 6cm AB Mα0601226P ABC -4,8AB PA ==A ,PB PC D E ∆ADE1C (1)求证：BE ＝B 1E ；(2)若AA 1＝A 1B 1，求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角的大小．ACDOPEFGHK》3如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．(1)求证：AD ⊥PC ；(2)求三棱锥A －PDE 的体积；(3)在AC 上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM 若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由． {答案一、选择题1． A ③若m //α，n //α，则m n //，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交 2．C 设同一顶点的三条棱分别为,,x y z ，则222222222,,x y a y z b x z c +=+=+=得2222221()2x y z a b c ++=++=3．B 作等积变换A BCD C ABD V V --=4．B BD 垂直于CE 在平面ABCD 上的射影5．C BC PA BC AH ⊥⇒⊥ .6．C 取AC 的中点E ，取CD 的中点F ，1,,222EF BE BF ===cos 3EF BF θ==7．C 取SB 的中点G ，则2aGE GF ==，在△SFC 中，2EF a =，045EFG ∠= 二、填空题1.5cm 或1cm 分,A B 在平面的同侧和异侧两种情况2.48 每个表面有4个，共64⨯个；每个对角面有4个，共64⨯个3.090 垂直时最大4. 60 度5. 11 沿着PA 将正三棱锥P ABC -侧面展开，则',,,A D E A 共线，且'//AA BC·三、解答题：略1．证明：(1)连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点． 又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO . 因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， 所以PB ∥平面ACM .(2)因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，%所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD . 而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .2[解析] (1)取A 1C 1中点F ，作EG ⊥面AC 1于G ，⎭⎪⎬⎪⎫B 1F ∥EG B 1E ∥面AC 1⇒BE ∥FG ⇒B 1EGF 为平行四边形⇒FG ⊥A 1C 1⇒G 为A 1C 之中点．从而E 为BB 1之中点．∴BE ＝B 1E .(2)由(1)知G 为矩形ACC 1A 1的中心，过G 作直线平行于A 1C 1，交AA 1于点P ，交CC 1于Q 点，连结EP ，EQ ，则平面A 1B 1C 1∥平面PEQ ，即求平面AEC 与平面PEQ 所成的角，∵交线为EG ，∴其平面角为∠A 1GP ，因AA 1＝A 1B 1，则ACC 1A 1为正方形，则∠A 1GP ＝45°.3．(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ． 又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD ． 因为PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ． 又因为PC ⊂平面PCD ，所以AD ⊥PC ． (2)解：由(1)知AD ⊥平面PCD ， 所以AD 是三棱锥A －PDE 的高．因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4＝4. 又AD ＝2，所以V A －PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝83.(3)解：取AC 的中点M ，连接EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点， 所以EM ∥PA ．又因为EM ⊂平面DEM ，PA ⊄平面EDM ，所以PA ∥平面DEM .此时AM ＝12AC ＝12AD 2＋DC 2＝1222＋42＝5，即在AC 上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，且AM 的长为 5.。