《函数的基本性质》培优训练题(教师版)

《函数的基本性质》培优训练题

1．（2016•义乌市模拟）已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）

A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8]

【解答】解：令函数g（x）=x2﹣ax﹣2，由于g（x）的判别式△=a2+8＞0，故函数g（x）一定有两个零点，

设为x1和x2，且x1＜x2．

∵函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|=，故当x∈（﹣∞，x1）、（x2，+∞）时，

函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，

当x∈（x1，x2）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x2﹣ax﹣2下凹的一部分，且各段连在一起．

由于f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，∴a＞0且函数g（x）较小的零点x1=≥﹣1，即a+2≥，平方得a2+4a+4≥a2+8，得a≥1，同时由y=2x2﹣ax﹣2的对称轴为x=，若且﹣1≤≤2，可得﹣4≤a≤8．综上可得，1≤a≤8，故实a的取值范围为[1，8]，故选：A．

2．（2016•江西校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，则关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（）

A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣，2）C．（﹣∞，）∪（2，+∞）D．（，2）

【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，

∴y=f（x+2）关于x=0对称，即函数f（x+2）在（0，+∞）上为减函数，由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1），即f（2x﹣3+2）＞f（x﹣1+2），即|2x﹣3|＜|x﹣1|，平方整理得3x2﹣10x+8＜0，

即＜x＜2，即不等式的解集为（，2），故选：D

3．（2016•四川模拟）设f（x）满足：①任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0；②当x≥1时，f（x）=|x﹣a|﹣1，（a ＞0），若x∈R，恒有f（x）＞f（x﹣m），则m的取值范围是（）

A．（0，+∞）B．（4，+∞）C．（3，+∞）D．（5，+∞）

【解答】解：∵任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0，∴f（2﹣x）=﹣f（x），则函数关于（1，0）点对称，

当x=1时，f（1）+f（2﹣1）=0，即2f（1）=0，则f（1）=0，∵当x≥1时，f（x）=|x﹣a|﹣1，∴f（1）=|1﹣a|﹣1=0，则|a﹣1|=1，则a﹣1=1或a﹣1=﹣1，则a=2或a=0，∵a＞0，∴a=2，即当x≥1时，f（x）=|x﹣2|﹣1

当x≤1时，﹣x≥﹣1，2﹣x≥1，即f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣（|2﹣x﹣2|﹣1）=1﹣|x|，x≤1，

4．（2016•广安模拟）已知f（x）=32x﹣（k+1）3x+2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2﹣1）C．（﹣1，2﹣1）D．（﹣2﹣1，2﹣1）

【解答】解：令3x=t （t＞0），则g（t）=t2﹣（k+1）t+2，若x∈R时，f（x）恒为正值，

则g（t）=t2﹣（k+1）t+2＞0对t＞0恒成立．∴①或②

解①得：﹣1＜k＜﹣1+；解②得：k≤﹣1．

综上，实数k的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．故选：B．

5．（2016•通州区一模）若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：∀x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，

f（x）=3x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．[﹣，]C．[﹣3，]D．[，+∞）

【解答】解：作出g（x）和f（x）的图象，若h（x）≥g（x）恒成立，则h（x）在直线f（x）的上方，

即g（x）在直线f（x）的下方，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=3x+b的距离d≥1，

即d==≥1，即|b|≥，则b≥或b≤﹣（舍），即实数b的取值范围是[，+∞），

故选：D

6．（2016春•普宁市校级月考）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x﹣2），当x∈（1，3）时，f（x）=1+（x﹣2）2，则（）A．f（sin）＞f（sin）B．f（sin）＜f（cos）

则函数关于x=2对称，∴当x∈（1，2）时，函数单调递减，则x∈（2，3）时，函数单调递增，

即当x∈（0，1）时，函数单调递增，由f（x）=f（x+2）=f（2﹣x）=f（﹣x），即函数f（x）同时也是偶函数，

A．f（sin）＞f（sin）等价为f（）＞f（），∵当x∈（0，1）时，函数单调递增，∴不等式f（）＞f （），成立，故A正确，B．f（sin）＜f（cos）等价为f（）＜f（﹣）=f（），

∵当x∈（0，1）时，函数单调递增，∴不等式f（）＜f（），不成立，故B错误，

C．f（cos）＞f（cos）等价为f（）＞f（），∵当x∈（0，1）时，函数单调递增，∴不等式f（）＞f（），不成立，故C错误，D．f（tan）＜f（tan）等价为f（）＜f（﹣）=f（），则不等式不成立，故D

错误，故选：A．

7．（2015•南昌校级二模）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1B．e+lC．3D．e+3

【解答】解：设t=f（x）﹣e x，

则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，

∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，

故选：C．

8．（2016春•温州期中）已知函数f（x）在R上满足f（﹣x）+f（x）=0，且x＞0时，f（x）=（|x+sinα|+|x+2sinα|）+sinα（﹣≤α≤）对任意的x∈R，都有f（x﹣3）≤f（x）恒成立，则实数α的取值范围为（）A．[0，π]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]

【解答】解：设t=sinα，则t∈[﹣1，1]；当x＞0时，f（x）=（|x+t|+|x+2t|）+t，

若t≥0，则当x＞0时，f（x）=x+3t，当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x+3t）=x﹣3t，

由f（x﹣3）≤f（x）恒成立，可得y=f（x）的图象恒在y=f（x﹣3）的图象上方，

则sinα≥0；当t＜0时，当x≥0时，f（x）=，

由f（x）=x+3t，x≥﹣2t，得f（x）≥t；当﹣t＜x＜﹣2t时，f（x）=t；由f（x）=﹣x，0≤x≤﹣t，得f（x）≥t．

∴当x＞0时，f（x）min=t．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，f（x）max=﹣t．∵对x∈R，都有f（x﹣3）≤f

（x），∴﹣3t﹣3t≤3，解得t≥﹣，综上可得sinα≥﹣，

解得﹣+2kπ≤α≤2kπ+，k∈Z．

又α∈[﹣，]，∴α∈[﹣，]．故选：D．

9．（2015•衡水校级模拟）已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数

x0∈M，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x）=g（x0，则称f（x）与g（x）在区间M上是“相似函数”，若f

（x）=2x2+ax+b与g（x）=x+在[1，]上是“相似函数”，则函数f（x）在区间[1，]上的最大值为（）