第5讲一次方程与方程组 -教案
北师大版七年级数学上册《第五章一元一次方程5.2求解一元一次方程(第3课时)》说课稿
北师大版七年级数学上册《第五章一元一次方程5.2求解一元一次方程（第3课时）》说课稿一. 教材分析《北师大版七年级数学上册》第五章《一元一次方程》是学生学习初中数学的重要内容，而5.2节《求解一元一次方程（第3课时）》则是这一章节的重点和难点。
本节课主要让学生掌握一元一次方程的解法，并通过实际问题培养学生的解决问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数、分数和小数的运算，具备了一定的逻辑思维能力，但对于一元一次方程的解法还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将以学生为主体，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，掌握一元一次方程的解法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元一次方程的解法，能够熟练地求解一元一次方程。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元一次方程的解法。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握一元一次方程的解法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、启发式教学的方法，引导学生主动探索、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，辅助学生理解一元一次方程的解法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习相关知识，引导学生进入新课的学习。
2.自主学习：让学生自主探究一元一次方程的解法，教师给予必要的引导和帮助。
3.合作交流：学生分组讨论，分享解题方法，互相学习，教师巡回指导。
4.讲解演示：教师讲解一元一次方程的解法，并通过实例演示解题过程。
5.练习巩固：学生独立完成练习题，检验所学知识，教师及时给予反馈。
6.总结提高：教师引导学生总结一元一次方程的解法，加深对知识的理解。
7.布置作业：布置适量作业，巩固所学知识，提高解题能力。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出一元一次方程的解法。
主要包括以下内容：1.一元一次方程的一般形式：ax + b = 02.解法步骤：b.合并同类项八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
专题学习--一次方程与一次方程组的综合应用
专题学习：一次方程与一次方程组的综合应用【写在前面】一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的， “消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法． 对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数以及解与解和方程（组）与方程（组）的关系.基本思路是首先要进行分析，挖掘题目所隐含的条件，巧妙地列出相应的方程或方程组，再通过消元等方法转化，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦．另外，一次方程组是解决许多实际问题的有力工具，它被广泛地应用于社会生活的多个领域，主要体现在：首先，用于解代数式的化简与求值问题，一些表面与方程组无关的问题，但经过分析，借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建立一次方程组来解决．其次，用于解应用题， 这不是本专题的内容，不做赘述.【知识铺垫】1.二元一次方程（组）的概念及解法；2.含参数一次方程（组）.【思想方法】方程模型的构建，分类讨论，转化思想（消元），参数常数化【例题精讲】一、 不同情境下方程（组）的构建【典型例题】1. 已知-+-m n m n x y x y 1312与2是同类项，则()-n m 2013=_______。
（同类项）2. 若0)3(33252=++-+b a b a ，则a +b 的值为=_______。
（非负性）3. 已知：++-+==x y x y x y 3221456，求x 、y 的值.（连续等式的含义） 4. 已知一次式y =kx +b ，当x =20，30时，y 的值分别为68，86，求k ，b 的值.（方程到方程组） 5. 若++--+=m n m n x y 25942742是关于x 、y 的二元一次方程，求+(+)m n 20131的值.（方程的概念） 6. 若关于x 的方程m (x -1)＝2001-n (x -2)有无数个解，求m 2003+n 2003的值．（无数解的理解）7. 若对任意有理数a 、b ，关于x 、y 的二元一次方程(a -b )x -(a +b )y =a +b 都有一组公共解，求此公共解.（公共解的理解）-【思路点拨】本组题目利用同类项、绝对值以及二元一次方程的概念等相关数学概念建立二元一次方程组解决问题．【注意事项】建立方程的组的关键要恰当理解题目中参变量之间的关系，即：借助于相关数学概念，找到建立方程组的联系点.二、 关于方程（组）的解（特殊解）的讨论【典型例题】1. 写出二元一次方程4x +y =10的所有非负整数解.2. 已知m 是整数，方程组{436626x y x my -=+=有整数解，求m 的值． 3. k 、b 为何值时，方程组{(31)2y kx b y k x =+=-+ ,(1)有惟一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解?【思路点拨】获得特殊解的根本还是求解一般解，而对于二元一次方程而言，获得一般解就是“用含有某一个未知数的代数式表示另一个未知数”，对于二元一次方程组而言，获得一般解的方法就是利用代入法或加减法进行消元，转化成一元一次方程解决，求得一般解后再进行有关特殊性的讨论.【注意事项】求解是关键，讨论时要抓住特殊性，利用相关知识解决.另外，应该注意在求解过程中，面对字母系数（参数）时，应将其看作已知常数对待.三、 含字母系数的方程（组）的有关问题（一）根据方程组的解求字母系数【典型例题】已知{21x y ==是二元一次方程组{101ax by bx ay +=-=的解，求-a b 3的值.【变式训练】小刚在解方程组{1078ax by cx y +=-=时，本应解出{32x y ==-由于看错了系数c ，而得到的解为{22x y =-=，求++a b c 的值.【思路点拨】由方程组的解的概念入手，借助于解方程组，求得字母系数的值.【注意事项】解决此类问题的关键是理解方程组的解的含义以及会准确求解方程组.（二）根据方程组解的关系求字母系数.【典型例题】已知方程组{23342013x y k x y k +=-=-的解x ，y 满足方程5x -y =3，求k 的值. 【变式训练】已知方程组{23342013x y k x y k +=-=-的解x ，y 互为相反数，求k 的值.【思路点拨】正确求解含参数的方程组是关键，构造关于参数的一元一次方程是目标.【注意事项】求解含参数的方程组始终要有一个观点：即：面对参数时，应将其看作已知常数对待.（三）根据方程组的解相同求字母系数.【典型例题】若关于的方程组{237453x y x y +=-=与方程组{64ax by ax by +=-=有相同的解，求a 、b 的值. 【变式训练】1、若关于,x y 的方程组{2374x y ax by +=-=与方程组{6453ax by x y +=-=有相同的解，求a 、b 的值.2、若关于,x y 的方程组{2433x my nx my n +=+=和{21334x my mx ny m +=-=有相同的解，求m 、n 的值.【思路点拨】 首先理解两方程组同解的含义，这里有两层含义：一是相应两个方程组的公共解；二是构成这两个方程组的所有四个方程的公共解.有了上述理解，可以基于四个方程轻松组建易于求解的方程组，打开问题解决的突破口.【注意事项】易于求解的方程的组建基本原则是：参数越少越好，最好不好参数.【总结】1.上述问题实际上都是以二元一次方程组的解的含义为核心。
2014中考复习第5讲一次方程(组)及其应用课件
第5讲┃ 一次方程(组)及其应用
探究四 二元一次方程组的应用
例4
2013 年 4 月 20 日，四川省芦山县发生 7.0 级强
烈地震，造成大量的房屋损毁，急需大量帐篷．某企业接到 任务，须在规定时间内生产一批帐篷．如果按原来的生产速 度，每天生产 120 顶帐篷，那么在规定时间内只能完成任务 的 90%.为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第 一线，这样，每天能生产 160 顶帐篷，刚好提前 1 天完成任 务．规定时间是多少天？生产任务是多少顶帐篷？
12x＋16y＝30， C. x＋y＝400 16x＋12y＝30， D. x＋y＝400
第5讲┃ 一次方程(组)及其应用
【归纳总结】 工程问题 工作量＝工作效率×______________ 工作时间 行程问题 路程＝________ 速度 ×时间 利润 利 润 率 问 利润＝售价－ ________ 进价 ，利润率＝进价×100%，利润 题 ＝进价×________. 利润率 1 高 ， 长方形面积＝长×宽，三角形面积＝ ×底×________ 2 面积问题 圆 的 面 积 ＝ π r2 ， 梯 形 的 面 积 ＝ 1 (________ ＋ 2 上底
考点2 二元一次方程组及其解法
3x＋4y＝2，（1） 1．代入法解方程组 比较合理的变形是 2x－y＝5，（2）
( D ) 2－4y A．由(1)得 x＝ 3 5＋y C．由(2)得 x＝ 2 2－3x B．由(1)得 y＝ 4 D．由(2)得 y＝2x－5
第5讲┃ 一次方程(组)及其应用
第5讲┃ 一次方程(组)及其应用
1 7．若 2x－3 与－ 互为倒数，则 x＝________ ． 0 3
ax＋by＝4， x＝2， 8．若方程组 的解是 则 bx＋ay＝5 y＝1，
第五讲 二元一次方程与方程组组(基础)2专题
《二元一次方程组》辅导第二讲【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有 ，并且未知数的次数都是 ，像这样的 方程叫做二元一次方程.它的一般形式是2.二元一次方程的解定义： ，叫做二元一次方程的解.要点诠释：1.二元一次方程的每一个解，都是 ，而不是一个数值，通常表示为⎩⎨⎧ba ＝＝y x 的形式2.一般地，二元一次方程的解有 个 ，有条件限制的解有 个。
3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：（1）它的一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 不同时为零）． （2）特别地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎩⎨⎧=+=+6252y x y x 无解，而方程组⎩⎨⎧-=+-=+2221y x y x 的解有无数个. 典型例题例1.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）. A.⎩⎨⎧+==-13032x y y x B.⎩⎨⎧=-=+211z y x C.⎩⎨⎧=+-=+63222y x y x x x D.⎩⎨⎧-=+=6352x x y 例2.星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中他用30元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐3元一杯，奶茶4元一杯，如果30元钱刚好用完．如每人至少一杯饮料且奶茶至少4杯时，则可乐和奶茶各买 杯；例3.与方程3x - y=2组成方程组有无数个解的方程是- ；无解的方程是A.6x+y = 4B.x+y=3C.6x - 2y = 4D.3x - 2y=5举一反三：1.方程●x －2y=x+5是二元一次方程，●是被污染的x 的系数，请你推断●的值，属于下列情况中的（ ）A.不可能是－1B.不可能是－2C.不可能是1D.不可能是22.若32225a b a b x y --+-=是二元一次方程，则a = ，b = ．3.一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团23人准备同时租用这三种客房共8间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种 4.小明给小刚出了一道数学题：如果我将二元一次方程组中的方程 ①里y 的系数用◆遮住，②中x 的系数用◆覆盖，并且告诉你2,1.x y =⎧⎨=⎩是这个方程组的解，你能求出原来的方程组吗？要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想是2.解二元一次方程组的基本方法：巩固练习： 1.由方程组213x m y m +=⎧⎨-=⎩①② 可得出x 与y 的关系是（ ）2.用加减消元法解方程组②①⎩⎨⎧=+=-2329373y x y x 的最佳策略是（ ） A ．②﹣①×3，消去x B ． ①×9﹣②×3，消去x C ． ①×2+②×7，消去yD ． ①×2﹣②×7，消去y 3.关于x 、y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y=6的解， 则k 的值是（ ）A.34k =-B.34k =C.43k =D.43k =- 4.方程kx+3y=5有一组解2,1.x y =⎧⎨=⎩则k 的值是（ ）A.1B.－1C.0D.25.如果x:y=3:2,且x+3y=27,则x,y 中较小的值为( )① ② 33.2,y x y x =+=+⎧⎨⎩A. 3B. 6C.9D.12 6.满足方程52(2x －6)2+2(y+3)2+72-z ＝0的x+y+z 的值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.27.用适当的方法解方程组15(2)3(25)4(34)5x y x y +=+⎧⎨--+=⎩ ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=++=-8001005.8%60%10)503(5)150(2y x y x要点三、三元一次方程组1．定义：含有 ，并且含有未知数的项的次数都是1的 方程叫做三元一次方程；含有 ，每个方程中含未知数的项的次数都是 ，并且都是 方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是 ，一般的，应利用 法或 法消去一个未知数，从而化 为 ，然后解这个 ，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．典型例题1．当x ＝1，3，－2时，代数式ax 2＋bx ＋c 的值分别为2，0，20，求：（1）a 、b 、c 的值；（2）当x ＝－2时，ax 2＋bx ＋c 的值．2．如果方程组231x y y z z x -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，的解也是方程3x +my +2z =0的解，求m 的值．3.已知⎩⎨⎧=+-=-+0254034z y x z y x ，xy z ≠0，求222223y x z xy x +++的值4.甲、乙两人解方程组⎩⎨⎧=+-=-514by ax by x ，甲因看错a ，解得⎩⎨⎧==32y x ，乙将其中一个方程的b 写成了它的相反数，解得⎩⎨⎧-=-=21y x ，求a 、b 的值．类型三、实际问题与一次方程组列一次方程组解应用题的一般步骤： 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清 ，应注意单位 ．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．典型例题例1. 2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了2003、2007年相关数据. 已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中的信息，求2003年和2007年的药品降例2某农场有300名职工，耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植这三种农作物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用？.巩固提高一、填空题（每题3分，共15分）1、已知方程()()026281||2=++--+m n y n x m 是二元一次方程，则m+n 的值（ ）A.1B. 2C.-3D.32、如果4(1)6x y x m y +=⎧⎨--=⎩中的解x 、y 相同，则m 的值是（ ）A.1B.－1C.2D.－23、足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ）A.3场B.4场C.5场D.6场4、要配制15%的硝酸溶液240千克,需用8%和50%的硝酸溶液的克数分别为( )A. 40,200B.80,160C.160,80D.200,405、有一个商店把某件商品按进价加20%作为定价，可是总卖不出去；后来老板按定价减20%以96元出售，很快就卖掉了。
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析第二章 方程(组)与不等式(组)第5讲 一次方程(组)及其应用
1盒甲品牌月饼和3盒乙品牌月饼共需185元.求甲、乙两种品牌月饼每盒的
进价分别为多少元;
(2)该超市购进甲、乙两种品牌月饼若干盒进行销售,若乙品牌月饼每盒的
售价比甲品牌月饼每盒的售价的2倍少40元,且4盒甲品牌月饼和3盒乙品牌
性质2
同一个数(或式)(除数
或除式不能为0),所得
结果仍是等式
拓展
公式表达
如果a=b,那么ac=
______
bc
如果a=b,那么 =
(d≠0)
___________
对称性:如果a=b,那么b=a.
传递性:如果a=b,b=c,那么a=c
在解方程中的应用
去分母(此时c≠0)
系数化为1
根据等式的性质2变形时,需考虑等式两边同乘的数为0时,该等式是否仍成
共取一头,恰好取完,问:城中有多少户人家?在这个问题中,城中人家的户数
为( B )
A.25
B.75
C.81
D.90
答案
1.[学科融合]在物理学中,导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻
R之间有以下关系:I= ,去分母得IR=U,那么其变形的依据是(
B )
A.等式的性质1
B.等式的性质2
C.分式的基本性质
解:(1)设参加此次研学活动的师生人数是x,原计划租用y辆45座客车.
= 600,
45＋15 = ,
根据题意,得ቊ
解得ቊ
= 13.
60(－3) = ,
答:参加此次研学活动的师生人数是600,原计划租用13辆45座客车.
第5讲 二元一次方程组
X-Y=2 和
X+1=2(Y-1)
暴风雨即将来临, 一群蚂蚁正忙着搬家.其 中有大蚂蚁和小蚂蚁,已知大小蚂蚁总共有 100只,小蚂蚁一次只能搬一粒食物,大蚂蚁 一次能搬两粒,一场忙碌过后,洞里的160粒 食物刚好一次被安全转移,求大小蚂蚁各有 几只?
今有鸡兔同笼，
上有三十五头，
鸡兔同笼
下有九十四足，
① ②
解:由①+②得: 5x=10
x＝2
把x＝2代入①，得 y＝3
x 2 所以原方程组的解是 y 3
参考小丽的思路， 怎样解下面的二元一次方程组呢？
2x-5y=7 分析:
①
2x+3y=-1 ②
观察方程组中的两个方程，未知数 x的系数相等，都是2。把两个方程 两边分别相减，就可以消去未知数 x，同样得到一个一元一次方程。
y= – 1
把y= – 1代入③，得 x = 3+(-1)=2
求
3、把这个未知数的值代入上 面的式子，求得另一个未知数 的值；
4、写出方程组的解。
x =2 写 ∴方程组的解是 y = -1
练一练
用代入法解二元一次方程组
⑴
3x+2y=8
y=2x-3
⑵
2x- y=5
3x +4y=2
⑴
3x-2y=8
y=2x-3
(1)x+y=11 (5) x=4y+2 (2)m+1=2 (3)x2+y=5 (4)3X－π=11 (7) x y =1 不是 二元 一次 方程 x y （6） 1 3 5
二元 一次 方程
探索新知，类比概念
x y 22， 2 x y 40.
黄冈中学启黄学校中考复习第5讲 一次方程组
第二单元 方程(组)与不等式(组)第5讲 一次方程(组)考纲要求命题趋势1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．3．会列方程(组)解决实际问题.一元一次方程在各省市的中考试题中体现的不突出，个别省市仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组在中考中一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.知识梳理一、等式及方程的有关概念 1．等式及其性质(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程． 二、一元一次方程1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x ＝______.2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1.三、二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax ＋by ＝c (a ≠0，b ≠0)．(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．2．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．四、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法．1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；(4)把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值． 2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．五、列方程(组)解应用题的一般步骤审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x ，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．列：根据题意寻找等量关系列方程(组)． 解：解方程(组)．验：检验方程(组)的解是否符合题意． 答：写出答案(包括单位)．六、常见的几种方程类型及等量关系 1．行程问题中的基本量之间的关系 路程＝速度×时间；相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程； 流水问题：v 顺＝v 静＋v 水，v 逆＝v 静－v 水． 2．工程问题中的基本量之间的关系工作效率＝工作总量工作时间.(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率． (2)通常把工作总量看作“1”． 自主测试1．二元一次方程x －2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1 2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝5的解是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1 3．若x ＝2是关于x 的方程2x ＋3m －1＝0的解，则m 的值为__________．4．受干旱气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？考点一、一元一次方程的解法【例1】解方程：2x ＋13－10x ＋16＝1.解：去分母，得2(2x ＋1)－(10x ＋1)＝6，去括号，得4x ＋2－10x －1＝6，移项，得4x－10x ＝6－2＋1，合并同类项，得－6x ＝5，系数化为1，得x ＝－56.方法总结 解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．考点二、二元一次方程组的有关概念【例2】已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )A ．4B ．2C ． 2D ．±2解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.∴2m －n ＝2×3－2＝4＝2. 答案：B方法总结 方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．触类旁通1 已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，求(a ＋1)(a－1)＋7的值．考点三、二元一次方程组的解法【例3】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝5，5x ＋2y ＝23.①②解：方法一：用加减消元法解方程组． ①×2得6x －2y ＝10，③②＋③得11x ＝33，解得x ＝3.把x ＝3代入①得9－y ＝5，解得y ＝4.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.方法二：用代入消元法解方程组． 由①得y ＝3x －5，③把③代入②得5x ＋2(3x －5)＝23，即11x ＝33，解得x ＝3.把x ＝3代入③得y ＝4.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.方法总结 解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或－1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．触类旁通2 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝11，①2x ＋y ＝13.②考点四、列方程(组)解决实际问题【例4】食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A ，B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A ，B 两种饮料共100瓶，问A ，B 两种饮料各生产了多少瓶？分析：可考虑列一元一次方程或二元一次方程组来解决．解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了(100－x )瓶，依题意，得2x ＋3(100－x )＝270.解得x ＝30,100－x ＝70.解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，2x ＋3y ＝270，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝70. 答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶．方法总结 对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．1．(2012重庆)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．(2012山东临沂)关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则|m －n |的值是( )A ．5B ．3C ．2D ．13．(2012浙江杭州)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4－a ，x －y ＝3a ，其中－3≤a ≤1.给出下列结论：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1是方程组的解；②当a ＝－2时，x ，y 的值互为相反数；③当a ＝1时，方程组的解也是方程x ＋y ＝4－a 的解；④若x ≤1，则1≤y ≤4.其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④4．(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为( )A ．x (x －10)＝200B ．2x ＋2(x －10)＝200C ．2x ＋2(x ＋10)＝200D ．x (x ＋10)＝2005．(2012广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.6．(2012湖南长沙)以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个．(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个；(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元．1．已知3是关于x 的方程2x －a ＝1的解，则a 的值是( ) A ．－5 B ．5 C ．7 D ．22．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，2x ＋y ＝4的解是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0 3．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，12x ＋16y ＝400B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，16x ＋12y ＝400 C ．⎩⎪⎨⎪⎧ 16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝400 D ．⎩⎪⎨⎪⎧16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝400 4．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34 B.34 C ．43 D ．－435．湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为__________．6．方程|4x －8|＋x －y －m ＝0，当y ＞0时，m 的取值范围是__________．7．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为__________．8．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3k －1，x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是__________．9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．参考答案导学必备知识 自主测试1．B 把A 项代入方程左边＝0－2×⎝⎛⎭⎫－12＝右边，把B 项代入方程左边＝1－2×1＝－1≠右边，把C 项代入方程左边＝1－2×0＝右边，把D 项代入方程左边＝－1－2×(－1)＝右边．2．D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，①2x －y ＝5，②①＋②得3x ＝6，故x ＝2，把x ＝2代入①得y ＝－1，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 3．－1 因为把x ＝2代入方程，得4＋3m －1＝0，解得m ＝－1.4．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x ，y 亩，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，1 200x ＋1 500y ＝13 800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩． 探究考点方法触类旁通1．解：把x ＝2，y ＝3代入方程得23＝3＋a ，解得a ＝ 3. ∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝a 2＋6＝(3)2＋6＝9. 触类旁通2．解：②×2得4x ＋2y ＝26，③ ③－①得5y ＝15，解得y ＝3，把y ＝3代入②得2x ＋3＝13，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.品鉴经典考题1．D ∵方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2， ∴2×2＋a －9＝0，解得a ＝5.故选D.2．D 把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3－1＝m ，1＋m ＝n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，则|m －n |＝1. 3．C 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝4－a ，x －y ＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2a ，y ＝1－a .∵－3≤a ≤1，∴－5≤x ≤3,0≤y ≤4，①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1不符合－5≤x ≤3,0≤y ≤4，结论错误； ②当a ＝－2时，x ＝1＋2a ＝－3，y ＝1－a ＝3，x ，y 的值互为相反数，结论正确； ③当a ＝1时，x ＋y ＝2＋a ＝3,4－a ＝3，方程x ＋y ＝4－a 两边相等，结论正确；④当x ≤1时，1＋2a ≤1，解得a ≤0，y ＝1－a ≥1，已知0≤y ≤4，故当x ≤1时，1≤y ≤4，结论正确．故选C.4．D 设宽为x 米，则长为(x ＋10)米，根据长×宽＝矩形面积，列方程为x (x ＋10)＝200.5．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3(答案不唯一) 6．(1)解法一：设湖南省签订的境外投资合作项目有x 个，则湖南省签订的省外境内投资合作项目有(348－x )个，由题意得2x －(348－x )＝51，解得x ＝133，∴348－x ＝348－133＝215.答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．解法二：设湖南省签订的境外投资合作项目有x 个，省外境内投资合作项目有y 个，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝348，2x －y ＝51，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝133，y ＝215. 答：境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个． (2)解：133×6＋215×7.5＝798＋1 612.5＝2 410.5(亿元)．答：在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金2 410.5亿元． 研习预测试题1．B 把x ＝3代入方程，得6－a ＝1，所以a ＝5.2．D 两方程相加，得3x ＝6，x ＝2，把x ＝2代入x －y ＝2，得y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.3．B 购买甲种奖品x 件，每件16元，共花了16x 元，购买乙种奖品y 件，每件12元，共花了12y 元．相等关系为：甲奖品件数＋乙奖品件数＝30件，甲花的钱＋乙花的钱＝400元．4．B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7k ，y ＝－2k ，代入2x ＋3y ＝6，得到14k －6k ＝6，所以k ＝34.5．8x ＋38＝50 相等关系为8个莲蓬的价格＋找回的38元＝50元．6．m ＜2 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －8＝0，x －y －m ＝0，解得y ＝2－m ，∵y ＞0，∴2－m ＞0，∴m ＜2.7．－1 因为把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以a －b ＝－1.8．k ＞29．解：(1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝18，2x ＋5y ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.答：每支钢笔3元，每本笔记本5元． (2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋5(48－a )≤200，48－a ≥a .解得20≤a ≤24.所以，一共有5种方案，即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.。
第5讲 一元一次方程和二元一次方程(组) ppt课件
1.D 2.A 3. 1 x 2 2 x 3
4.D
5. (1)
k
1 2
b 3
x 3
(2)
y
2
6.C
1. x 3
k 3 2. b 2
x 3
3.
y
1
与二元一次方程组有关中考题
2018年中考：
23．已知抛物线，顶点为A，且经过点，点．
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛 物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝ ∠MAF，求△POE的面积；
2017年中考：
21．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）交于 A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）直接写出一次函数y＝kx+b的表达式
23．如图，抛物线y＝2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4， 0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
2016年中考：
21．荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂 味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2 千克糯米糍，共花费55元．（每次两种荔枝的售价都不变）
与一元一次方程有关中考题
2018年中考题：
21．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮 料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二 批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
2018年中考题： 23．已知抛物线，顶点为A，且经过点，点． （1）求抛物线的解析式；
专题2.1 一次方程及方程组(知识讲解)
专题2.1 一次方程及方程组（知识讲解）【基本考点要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程 1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式。
2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程。
（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根)。
（3）求方程的解的过程，叫做解方程。
3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程。
（2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠。
（3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来)。
特别说明：解一元一次方程的一般步骤（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法； （3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组 特别说明：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组 2.二元一次方程组的一般形式111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 特别说明：a 1、a 2不同时为0，b 1、b 2不同时为0，a 1、b 1不同时为0，a 2、b 2不同时为0 3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法 (2) 加减消元法 特别说明：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解。
第5节：一次方程(组)及应用
【分析】设某种书包原价每个x元，根据题意列出 方程解答即可．
【解答】解：设某种书包原价每个x元，可得： 0.8x﹣10=90，故选A
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课前预习
3．（2016•临沂）为了绿化校园，30名学生共种 78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵， 该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程 组正确的是（ D ） A． B．
【解答】解： ， 由①﹣②，得y=3， 把y=3代入②，得x+3=2， 解得：x=﹣1． 则原方程组的解是 ．
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课前预习
5.（2016•苏州）某停车场的收费标准如下：中型 汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8 元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些 车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？
甲 乙 总
⑤利润问题：利润=卖价-进价；利润率= ×100%. ⑥数字问题：两位数 =10 ×十位数字 + 个位数字 . 三位数 =100×百位数字+10×十位数字+个位数字. ⑦增长率问题：增长后的量=基础量×(1+增长率).
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考点梳理
4.二元一次方程组 (1)二元一次方程组的定义：形如 都是二元
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考点梳理
②加减法解二元一次方程组的一般步骤： a.方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为 相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使它们 中同一个未知数的系数相等或互为相反数； b.把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数， 得到一个一元一次方程； c.解这个一元一次方程； d.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程，求 出另一个未知数，从而得到方程组的解.
金华地区中考第一轮《第5讲：一次方程与方程组》复习课件
①×3＋②×2 得 5a＝－5，即 a＝－1，
把 a＝－1 代入①得 b＝－3，
则原式＝a2－b2＝1－9＝－8
解析：第 1 题利用二元一次方程的定义得出关于 m，n 的一次方程；第 2 题把 x 与 y 的值代入方程组求出 a 与 b 的值，代入原式计算即可得到结果．
1．方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知 数的值叫做方程的解．
1．(2016·大连)方程 2x＋3＝7 的解是( D ) A．x＝5 B．x＝4 C．x＝3.5 D．x＝2
x＝3
x＋2y＝5 2．(2016·温州)方程组3x－2y＝7 的解是
y＝1
．
x＋2y＝5， 3．(2016·金华)解方程组x＋y＝2. 【解析】直接用加减法解答即可.
解：xx＋＋2yy＝＝25
解方程的一般步骤及每步的理论根据和注意点：
去分母―根―据→等式性质 2注―― 意→点勿 分漏 子乘 是不 两含 项分 以母 上的 的项 代， 数式须加上括号.
去括号―根―据→去 法括 则号注―― 意→点括勿号漏前乘是括“号－内”某号一，项括. 号
分配律
内各项都要变号.
移项―根―据→（移等项式法性则质1）注――意→点移勿项漏要项变. 号，
合并同类项―根―据→ 合项并法同则类注――意→点数系母不数及变相它.加的指，字
6．下列方程变形中，正确的是( D ) A．方程 3x－2＝2x＋1，移项，得 3x－2x＝－1＋2 B．方程 3－x＝2－5(x－1)，去括号，得 3－x＝2－5x－1 C．方程23t＝32，未知数系数化为 1，得 t＝1 D．方程x0－.21－0x.5＝1 化成 5(x－1)－2x＝1
14．若方程 3x＋2a＝12 和方程 2x－4＝2 的解相同，求 a 的值．
05-一次方程(组)及应用
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考法1
考法2
考法3
方法总结解方程注意事项 (1)去括号要注意符号,不能漏乘;含有多重括号的,按去括号法则 逐层去括号. (2)去分母不要漏乘没有分母的项(特别是常数项),若分子是多项 式,则要把它看成一个整体加上括号. (3)解方程后要代回去检验解是否正确. (4)当遇到方程中反复出现相同的部分时,可以将这个相同部分看 作一个整体来进行运算,从而使运算简便.
考纲要求
命题趋势
考情回顾 考点提炼 题 分 年份 题型 考查内容 号 值 一次方程(组)及其应用安徽近 5 年来考 查了 3 次,主要考查点是一元一次方程 (组)的实际应用.预计结合其他知识,如结 合待定系数法求函数解析式来考查本讲 内容也是命题聚焦点.
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对应训练 7.(2016· 湖北荆州)互联网“微商”经营已成为大众创业新途径,某微 信平台上一件商品标价为200元,按标价的五折销售,仍可获利20元, 则这件商品的进价为( C ) A.120元 B.100元 C.80元 D.60元 解析 设这件商品的进价为x元,依题意,得(x+20)÷ x=80,即这件商品的进价为80元.
第二单元 方程(组)与不等式
第5讲 一次方程(组)及其应用
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安徽省2012~2016年中考命题分析与趋势预测
考纲要求 1.等式的基本性质(C); 2.一元一次方程的解 法(B); 3.估算方程的解(B); 4.用代入消元法和加 减消元法解二元一次 方程组(C); 5.列方程(组)解应用题, 并检验方程(组)的解是 否合理(C)
七年级数学上册 第三章 一次方程与方程组 (知识归纳+考点攻略+方法技巧)复习课件 沪科版
第3章 |复习（二）
[解析] 方程组中 y 项的系数相等，可以采用减法消去 y. 方法技巧 用加减消元法解方程组的一般步骤： (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为 相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未 知数的系数互为相反数或相等； (2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得 到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； (4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方 程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符 号“{”联立起来．
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第3章 |复习（一） 针对第9题训练 1．如图 3－1，下列四个天平中，相同形状的物体的 质量是相等的，其中第①个天平是平衡的，根据第①个天 平，后三个天平仍然平衡的有( C ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
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第3章 |复习（一）
2．设“●，■，▲”分别表示三种不同的物体，如图 3－2 所示，前两个天平保持平衡，如果要使第三个天平也
平衡，那么“？”处应放“■”的个数为( A )
A．5 B．4 C．3 D．2
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第3章 |复习（一）
针对第16题训练
关于 x 的方程13x＋2＝－16(4x＋m)的解是－161，则(m －1)2013＝____0____.
[解析] 解这个方程13x＋2＝－16(4x＋m)，得出 m＝ －6x－12.把 x＝－161代入，得 m＝－1，从而求出式子的 值．
(1)根据题意列出方程(组)； (2)所列方程(组)是二元一次方程组吗？
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第3章 |复习（二）
解：(1)5xx＝＝26y－y，40. (2)是二元一次方程组．
北师版八年级数学上册第五章 二元一次方程组2 求解二元一次方程组
2x－3y＝1，
(2)ቐy＋1 4
＝
x＋2 3
.
解题秘方：紧扣用代入消元法解二元一次方程组
的步骤解方程组.
知1－练
(1)൝2xx＋＋53y＝y＝1－；1②9，① 解：由②，得x＝1－5y. ③ 把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19. 解这个方程，得y＝3. 把y＝3 代入③，得x＝－14.
所以这个方程组的解是ቊxy＝＝3－. 14，
个方程
消去一个未知数， 将二元一次方程 组转化为一元一
次方程
变形后的方程只
能代入另一个方 程(或另一个方 程变形后的方程)
续表
知1－讲
步骤
具体做法
目的
注意事项
(3) 求解
解消元后的一元一 次方程
求出一个未知数 的值
去括号时不能漏乘， 移项时所移的项要
变号
(4) 回代
把求得的未知数的 值代入步骤(1)中变
转化 一元一次方程
数的值
求出另一个 未知数的值
表示为 ቊxy＝＝……， 的形式
知2－讲
注意事项
回代时选择系 数较简单的方
程
用“｛”将未 知数的值联立
起来
特别提醒
知2－讲
1. 两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，
解方程组应考虑用加减消元法.
2. 如果两个未知数中，同一未知数的系数的绝对值既不相等
又不成倍数关系，我们应设法将其中一个未知数的系数的
知1－练
知识点 2 加减消元法解二元一次方程组
知2－讲
1. 加减消元法的定义 通过将两个方程相加(减)消去其 中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 来解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 简称加减法.
第5章 一元一次方程 单元解读-七年级数学上册同步高效课堂(人教版2024)
第5章一元一次方程单元解读一、单元整体概述（一）地位与作用一元一次方程是初中数学的核心内容之一，它在整个数学知识体系中起着承上启下的关键作用.在小学阶段，学生已经接触过简单的方程思想，如用字母表示数和简易方程，为本章的学习奠定了一定的基础.而在初中后续的数学学习中，一元一次方程是学习二元一次方程组、一元二次方程以及函数等知识的重要基石.它不仅是解决实际问题的有力工具，也是培养学生代数思维和逻辑推理能力的重要载体.（二）内容结构本单元主要围绕一元一次方程展开，内容结构清晰合理.首先从实际问题入手，引出方程的概念，让学生体会到方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.接着讲解一元一次方程的定义、解法，包括移项、合并同类项、去括号、去分母等步骤.在学生掌握了解法之后，重点强调方程在实际问题中的应用，如行程问题、工程问题、销售问题等，通过这些实际问题的解决，进一步加深学生对一元一次方程的理解和运用能力.二、学生核心素养培养目标分析（一）知识与技能层面1.理解方程是描述现实世界数量关系的有效模型.在一元一次方程这一单元中，学生要掌握用方程表示简单情境中的等量关系.例如，根据路程=速度×时间的关系，当已知路程和速度，能列出方程求出时间.这一技能不仅是数学解题的需要，更是让学生体会方程在解决实际生活问题中的作用，如计算行程问题、工程问题等.2.学生需要掌握一元一次方程的概念，包括它的一般形式ax＋b＝0（a≠0）.能识别方程中的未知数、系数和常数项.这是进一步学习方程解法和应用的基础，只有准确理解概念，才能正确判断一个方程是否为一元一次方程.3.熟练掌握一元一次方程的解法.包括移项、合并同类项、系数化为1 等基本步骤.通过大量的练习，让学生能够准确、快速地求解一元一次方程.例如，对于方程3x＋5＝2x－1，能正确地通过移项得到3x－2x ＝－1－5，进而求解.（二）过程与方法层面1.经历建立一元一次方程模型解决实际问题的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力.在教学过程中，要引导学生从实际问题中抽象出数学模型.比如，在解决调配问题时，让学生分析调配前后的数量关系，列出方程.这个过程培养了学生将实际情境数学化的能力.2.通过探究一元一次方程的解法，培养学生的运算能力和逻辑推理能力.在讲解解方程的步骤时，让学生明白每一步的依据.例如，移项是根据等式的基本性质，这有助于学生理解数学运算的逻辑性，同时在不断练习中提高运算的准确性和速度.（三）情感态度与价值观层面1.让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学工具，激发学生对数学学习的兴趣.当学生用方程成功解决了诸如购物折扣、年龄问题等生活中的常见问题时，他们会体会到数学与生活的紧密联系，从而增强对数学学习的积极性.2.在解决问题的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神.鼓励学生尝试不同的方法来建立方程和求解方程，对于独特的解法给予肯定和鼓励，让学生在数学学习中体验创新的乐趣.三、教材内容结构分析（一）内容编排顺序本单元首先从实际问题入手，通过丰富的实例引入方程的概念.例如，用天平平衡的例子来直观地展示等式的性质，为后续学习方程的解法做铺垫.接着引入一元一次方程的概念，让学生从众多方程中识别出一元一次方程.然后重点讲解一元一次方程的解法，包括详细的步骤和例题.在学生掌握解法后，进一步学习用一元一次方程解决实际问题，如行程问题、工程问题、销售问题等.这种编排顺序符合学生的认知规律，从具体到抽象，再到应用，让学生逐步建立起对一元一次方程的完整理解.（二）重点内容剖析1.一元一次方程的解法（1）移项是解方程的关键步骤之一.其本质是等式的基本性质 1 的应用，即等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.在教学中，要让学生理解移项的目的是将含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边，以便于合并同类项.例如，在方程2x＋3＝5x－2中，通过移项得到2x－5x＝－2－3.（2）合并同类项是将同类项的系数相加，字母和指数不变.这一步骤可以简化方程，使方程更易于求解.在讲解时，可以结合具体的例子，如3x－2x＝x，让学生明白合并同类项的操作方法.（3）系数化为1是通过等式的基本性质2，在等式两边同时除以未知数的系数，得到方程的解.例如，对于方程3x＝6，两边同时除以3得到x＝2.2.用一元一次方程解决实际问题（1）行程问题：其基本公式是路程=速度×时间.在解决这类问题时，关键是要分析清楚运动的方向、速度和时间等要素.例如，相遇问题中，两者路程之和等于总路程；追及问题中，两者路程之差等于初始距离.通过画出线段图等方式，可以帮助学生直观地理解问题中的数量关系，从而列出方程.（2）工程问题：一般将工作总量看作单位“1”，工作效率=工作总量÷工作时间.在合作工程问题中，要引导学生找出各部分工作量与工作总量之间的关系.比如，甲、乙合作完成一项工程，甲的工作效率是1a ，乙的工作效率是1b ，合作时间为t ，则可列出方程111t a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （3）销售问题：涉及到进价、售价、利润、利润率等概念.利润=售价－进价，利润率=100%⨯利润进价.通过实际的购物情境，让学生理解这些概念之间的关系，从而列出方程解决问题，如已知进价和利润率，求售价等问题.（三）难点内容解析1. 建立方程模型解决实际问题这是本单元的难点之一.学生往往在从实际问题中抽象出数学关系并列出方程时遇到困难.主要原因是学生对实际问题中的数量关系分析不够准确，不能正确地找出等量关系.例如，在复杂的调配问题中，涉及多个数量的变化，学生可能会混淆调配前后的数量.教师在教学中要引导学生多读题、画图分析，逐步找出关键的等量关系.2. 对一元一次方程解法中算理的理解虽然移项、合并同类项等步骤有明确的规则，但学生可能只是机械地记忆，而不理解其背后的算理.这会导致在解方程过程中出现错误，或者在遇到稍微复杂的方程时无法正确求解.教师要通过详细的讲解和对比练习，让学生明白每一步的依据，如等式的基本性质在解方程中的应用，从而加深理解.四、教学建议（一）情境教学法的应用在引入方程概念和解决实际问题时，要充分利用情境教学.创设丰富多样的生活情境，如购物打折、行程安排、工程施工等.让学生在熟悉的情境中感受方程的应用，提高他们的学习兴趣.例如，在讲解销售问题时，可以模拟商店购物的场景，让学生扮演顾客和售货员，通过实际的交易过程来理解进价、售价、利润等概念，进而列出方程.（二）注重知识的形成过程在讲解一元一次方程的解法和建立方程模型时，要注重知识的形成过程.不要直接告诉学生方法和答案，而是引导他们通过探究、讨论等方式自己发现规律.比如，在讲解移项时，可以让学生观察等式两边的变化，通过多个例子的对比，总结出移项的方法.在解决实际问题时，让学生自己尝试分析问题、找出等量关系，逐步建立方程模型.（三）加强练习与反馈一元一次方程的解法需要通过大量的练习来巩固.教师要精心设计练习题，包括基础题、提高题和拓展题.基础题主要巩固解方程的基本步骤和方法，提高题可以增加一些运算的复杂性，拓展题则可以结合实际问题的多种变化.在学生练习过程中，要及时给予反馈，指出学生的错误和不足，让学生及时改正.同时，可以让学生互相批改作业，促进他们之间的交流和学习.（四）利用信息技术辅助教学可以利用多媒体课件、数学软件等信息技术手段辅助教学.例如，通过动画演示天平平衡的过程来讲解等式的性质，让学生更直观地理解.在讲解用方程解决实际问题时，可以利用几何画板等软件画出线段图、模拟问题情境，帮助学生分析数量关系.还可以利用在线学习平台，布置作业、进行测试和答疑，提高教学效率.（五）培养学生的数学思维在教学过程中，要注重培养学生的数学思维.引导学生从多角度思考问题，鼓励他们用不同的方法建立方程和求解方程.例如，在解决行程问题时，除了用常规的路程公式建立方程外，还可以引导学生从时间或速度的角度思考问题.同时，培养学生的逻辑推理能力，让学生明白解方程过程中的每一步都是有依据的，从而提高学生的数学素养.五、评价建议（一）过程性评价1.关注学生在课堂上的表现，包括参与讨论、回答问题、提出问题等情况.对于积极参与的学生给予及时的表扬和鼓励，对于有独特见解的学生要特别关注和肯定.例如，在讨论用方程解决实际问题时，如果学生提出了新颖的解题思路，要在课堂上进行分享和评价.2.观察学生在小组合作学习中的表现，如是否积极与小组成员合作、是否能够发挥自己的优势等.通过小组合作完成一些实际问题的解决任务，评价学生的团队协作能力和在小组中的贡献.3.检查学生的作业完成情况，包括作业的正确率、书写规范程度、解题思路等.对于作业中存在的问题及时反馈给学生，让学生进行改进.同时，关注学生作业完成的态度，对于认真完成作业的学生给予奖励.（二）终结性评价1.单元测试是终结性评价的重要方式之一.在设计单元测试题时，要涵盖一元一次方程的概念、解法和应用等各个方面.测试题的难度要适中，包括一定比例的基础题、中等难度题和少量的难题.通过单元测试，了解学生对本单元知识的掌握程度，发现学生存在的问题.2.可以结合一些实际问题的解决项目作为终结性评价的一部分.例如，让学生设计一个用一元一次方程解决生活中某类问题的方案，并进行展示和讲解.评价学生对知识的综合应用能力和表达能力，这种评价方式更能体现学生的数学素养和实践能力.总之，人教版2024 年版初中数学七年级上册第五章一元一次方程这一单元在初中数学教学中具有重要地位.教师要深入理解课程标准要求，把握教材内容结构，采用合适的教学方法和评价方式，帮助学生更好地掌握一元一次方程的知识和技能，提高学生的数学素养和解决实际问题的能力.。
第五章二元一次方程组全章教学设计
第五章二元一次方程组1．认识二元一次方程组一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在七年级上册已学过一元一次方程，学生已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础，为本节的学习已做好知识储备，估计学生应有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题.学生活动经验基础：本节所涉及的实际问题包括：老牛、小马驮包裹问题、公园的门票问题等，这些问题均为全体学生所熟悉的情境，容易被学生接受和理解，从而也容易建立相应的数学模型来解题.二、教学任务分析《谁的包裹多》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第一节，本节内容安排1个课时完成.具体内容是：让学生通过对实际问题的分析，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；同时了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.二元一次方程是继一元一次方程后，又一个体现符号表示思想的内容，它是刻画现实世界的一个有效数学模型，在数学上有着广泛的应用，同时也是学习物理、化学等其他学科知识的一个重要基础.它既是一元一次方程知识的延伸和拓广，又是今后学习一般线性方程组及平面解析几何等知识的基础，具有承上启下的作用.列方程（组）解应用题是联系实际的重要方面，突显了方程作为一种数学模型的重要特征，这既是培养学生逻辑思维能力的良好载体，也是培养学生应用意识和实践能力的良好题材.基于学生对一元一次方程理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念.在学习过程中，要突出强调建模思想，展现方程是刻画现实世界的有效数学模型，是贯穿方程与方程组的一条主线. 为此，本节课的教学目标是：（1）理解二元一次方程（组）及其解的概念, 能判别一组数是否是二元一次方程（组）的解；（2）会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组；（3）通过加深对概念的理解，提高对―元‖和―次‖的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力,了解变与不变的辩证统一的思想.本节课的教学重点是：（1）掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义；（2）判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.本节课的教学难点是：从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想.三、教学过程设计本节课设计了四个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：新课讲解，练习提高；第三环节：课堂小结；第四环节：布置作业.第一环节：情境引入内容：（一）情境1实物投影，并呈现问题：在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：―累死我了‖，小马说：―你还累，这么大的个，才比我多驮2个.‖老牛气不过地说：―哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！‖，小马天真而不信地说：―真的？！‖同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）.教师注意引导学生设两个未知数，从而得出二元一次方程.这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程2x y-=，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：()+=-.x y121（二）情境2实物投影，并呈现问题：昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？仍请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言），老师注意引导学生分析其中有几个未知量，如果分别设未知数，将得到什么样的关系式？这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有x个成年人，有y个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程8x y+=和5334+=.x y在这个问题中，可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答，我们要肯定学生的做法，并将学生的答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习中去，让学生更有学习的好奇心与积极性.同时告诉学生在某些有两个等量关系的实际问题中，列二元一次方程组比列一元一次方程更快捷、清楚.目的：通过现实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.设计效果：学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注两个未知数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材，同时，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.第二环节：新课讲解，练习提高内容：（一）二元一次方程概念的概括提请学生思考：上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？从而归纳出二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程.教师对概念进行解析，要求学生注意：这个定义有两个要求：①含有两个未知数；②所含未知数的项的最高次数是一次.再呈现一些关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固练习：1.下列方程有哪些是二元一次方程：（1）093=-+y x ，（2）012232=+-y x ，（3）743=-b a ，（4）113=-y x ，（5）()523=-y x x ，（6）152=-n m . 2.如果方程13221=-+-n m m y x 是二元一次方程，那么m ＝ ，n ＝ .（二）二元一次方程组概念的概括师提请学生思考：上面的方程2121()x y x y -=+=-， 中的x 含义相同吗？y 呢？（两个方程中x 的表示老牛驮的包裹数，y 表示小马的包裹数，x 、y 的含义分别相同.）由于x 、y 的含义分别相同，因而必同时满足2x y -=和()121x y +=-，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成()⎩⎨⎧-=+=-.121,2y x y x ，从而得出二元一次方程组的概念：像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.如：⎩⎨⎧=-=+;03,332y x y x ⎩⎨⎧=+=+.8,835y x y x 注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象.再呈现一些辨析题，让学生进行巩固练习：判断下列方程组是否是二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧=+=-;1253,12y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+;53,12y x y x （3）⎩⎨⎧=+=-;153,37z y y x （4）⎩⎨⎧==;2,1y x （5）⎪⎩⎪⎨⎧=+=-;1283,52y x y x （6）⎩⎨⎧=+=-.325,132b ab b a （三）因承上面的情境，得出有关方程的解的概念1.6,2x y ==适合方程8x y +=吗？5,3x y ==呢？4,4x y ==呢？你还能找到其他x ,y 值适合8x y +=方程吗？2. 5,3x y ==适合方程5334x y +=吗？2,8x y ==呢？3.你能找到一组值x ,y 同时适合方程8x y +=和5334x y +=吗？各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论.由学生回答上面3个问题，老师作出结论：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.如x =6, y =2是方程x + y =8的一个解，记作⎩⎨⎧==2,6y x ；同样，⎩⎨⎧==3,5y x 也是方程8x y +=的一个解，同时⎩⎨⎧==3,5y x 又是方程5334x y +=的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.例如，⎩⎨⎧==3,5y x 就是二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+3435,8y x y x 的解. 然后，同样呈现一些辨析性练习：（投影）1.下列四组数值中，哪些是二元一次方程13=-y x 的解？（A ）⎩⎨⎧==;3,2y x （B ）⎩⎨⎧==;1,4y x （C ）⎩⎨⎧==;3,10y x （D ）⎩⎨⎧-=-=.2,5y x 2.二元一次方程2832=+y x 的解有：⎩⎨⎧==._____,5y x ⎩⎨⎧-==.2_____,y x ⎩⎨⎧=-=._______,5.2y x ⎪⎩⎪⎨⎧==.37_____,y x …… 3.二元一次方程组⎩⎨⎧==+x y y x 2,102的解是（ ） （A ）⎩⎨⎧==;3,4y x （B ）⎩⎨⎧==;6,3y x （C ）⎩⎨⎧==;4,2y x （D ）⎩⎨⎧==.2,4y x 4.以⎩⎨⎧==2,1y x 为解的二元一次方程组是（ ） （A ）⎩⎨⎧=-=-;13,3y x y x （B ）⎩⎨⎧-=+-=-;53,1y x y x （C ）⎩⎨⎧-=+-=-;553,32y x y x （D ）⎩⎨⎧=+-=-.53,1y x y x 5.二元一次方程6=+y x 的正整数解为 .6.如果⎩⎨⎧==2,1y x 是⎩⎨⎧=-=+n y x m y x 3,2的解，那么m ＝ ，n ＝ .7.写出一个以⎩⎨⎧-==3,2y x 为解的二元一次方程组为 . （答案不唯一）目的：通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.设计效果：通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.第三环节：课堂小结内容：1.含有两未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解.3.含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值.目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.设计效果：本环节虽然用时不多，却是必不可少的教学环节，对学生回顾与整理本节课的知识效果明显.第四环节：布置作业习题5.1四.教学设计反思 1.本节课充分体现了从问题情景中抽象数学问题、使用各种数学语言表达问题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有意义的这一变化学习过程.在教学中力求体现―问题情景——建立数学模型——解释、应用与拓展‖的模式，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，获得对数学较全面的体验和理解.2.通过情境引入，让同学们体会到了生活中的数学无处不在，激发了学生强烈的求知欲望，学生的反应非常积极踊跃，丰富了学生们的情感与态度.充分利用小组合作交流，让同学们自己找出方程中的等量关系，启发同学们自己说出各个定义的理解.在同学们合作做题的时候，老师进一步强调小组合作交流、合理分配时间会取得更好的效果.教学过程各环节紧紧相扣，整个教学过程逻辑思维清晰，问题与问题之间衔接紧密，每一步都为下一步做了很好的铺垫.3.这个案例主要针对中等生而设计，教师可根据学生学习能力再进行设计上的侧重.比如，学生学习能力较强，可在实际问题中抽象二元一次方程组的模型环节、课后的拓展环节增加适当的深层次的内容，以满足学生的学习需要.第五章二元一次方程组2. 求解二元一次方程组（第1课时）一.学生起点分析学生的知识技能基础：在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力，会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组.学生活动经验基础：有同学间相互交流合作、自主探索的经验，有在活动过程中总结经验、归纳知识点的经验.二.教学任务分析《二元一次方程组的解法》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第二节，要求学生能利用消元思想熟练的解二元一次方程组，本节体现的消元方法有代入消元法、加减消元法，教材安排了2个课时分别完成.本节课为第1课时.基于学生对二元一次方程及二元一次方程组的基本概念理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程组的解法——代入消元法.代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求从两个方程中选择一个系数比较简单的方程，将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出这个未知数的值，最后将这个未知数的值代入已变形的那个方程，求出另一个未知数的值.在求出方程组的解之后，可以对求出的解进行检验，这样可以防止和纠正方程变形和计算过程中可能出现的错误.二元一次方程组的解法，其本质思想是消元，体会“化未知为已知”的化归思想.为此，本节课的教学目标是：（1）会用代入消元法解二元一次方程组；（2）了解―消元‖思想，初步体会数学研究中―化未知为已知‖的化归思想. 本节课的教学重点是：用代入消元法解二元一次方程组.本节课的教学难点是：在解题过程中体会―消元‖思想和―化未知为已知‖的化归思想.三.教学过程设计：本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探索新知；第三环节：巩固新知；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.第一环节：情境引入内容：教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.设他们中有x 个成人，y 个儿童，我们得到了方程组⎩⎨⎧=+=+.3435,8y x y x 成人和儿童到底去了多少人呢？在上一节课的“做一做”中，我们通过检验⎩⎨⎧==3,5y x 是不是方程8x y +=和方程5334x y +=的解，从而得知这个解既是8x y +=的解，也是5334x y +=的解，根据二元一次方程组的解的定义，得出⎩⎨⎧==3,5y x 是方程组⎩⎨⎧=+=+3435,8y x y x 的解.所以成人和儿童分别去了5人和3人.提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方法中我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，这可没那么容易，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？目的：“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.设计效果：通过对已有知识的回顾和思考，学生知识获得既感到自然又倍添新奇，有跃跃欲试的心情.第二环节：探索新知内容：回顾七年级第一学期学习的一元一次方程，是不是也曾碰到过类似的问题，能否利用一元一次方程求解该问题？ （由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达）解：设去了x 个成人，则去了(8)x -个儿童，根据题意，得：()53834x x +-=解得：5x =将5x =代入8x -,解得：8－5=3.答：去了5个成人， 3个儿童.在学生解决的基础上，引导学生进行比较：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.）1.列二元一次方程组设有两个未知数：x 个成人，y 个儿童.列一元一次方程只设了一个未知数：x 个成人，儿童去的个数通过去的总人数与去的成人数相比较，得出(8)x -个.因此y 应该等于(8)x -.而由二元一次方程组的一个方程8x y +=，根据等式的性质可以推出8y x =-.2.发现一元一次方程中53(8)34x x +-=与方程组中的第二个方程5334x y +=相类似，只需把5334x y +=中的“y ”用“()8x -”代替就转化成了一元一次方程.教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.（由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量.所以将⎩⎨⎧=+=+②y x ①y x 3435,8中的①变形，得8y x =-③，我们把8y x =-代入方程②，即将②中的y 用()8x -代替，这样就有()53834x x +-=.“二元”化成“一元”.教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）解：8,5334.x y x y +=⎧⎨+=⎩由①得：8y x =-. ③将③代入②得：()53834x x +-=.解得：5x =.把5x =代入③得：3y =.所以原方程组的解为：⎩⎨⎧==.3,5y x （提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有误）下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.（放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想.）目的：通过学生自己对比、思考、发现，让学生惊喜的发现“温故而知新”，将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取知识的愿望和能力.设计效果：通过学生自己的观察、比较、总结出二元一次方程组的解法，从中体会到解方程组中“消元”的本质.第三环节：巩固新知内容：1.例：解下列方程组：(1) ⎩⎨⎧+==+;3,1423y x y x (2)⎩⎨⎧=+=+.134,1632y x y x （根据学生的情况可以选择学生自己完成或教师指导完成）(1)解：将②代入①，得：()14233=++y y .解得：1=y .把1y =代入②，得：4=x .所以原方程组的解为：⎩⎨⎧==.1,4y x (2)由②，得：y x 413-=. ③将③代入①，得：()1634132=+-y y .解得：2=y .将y=2代入③，得：5=x .所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.2,5y x （⑵题需先进行恒等变形，教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解，在求解过程中学生消元的具体方法可能不同，所以教学中不必强求解答过程的统一，但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算较为简单.让学生在解题中进行思考）（教师在解完后要引导学生再次就解出的结果进行思考，判断它们是否是原方程组的解.促使学生进一步理解方程组解的含义以及学会检验方程组解的方法.）2.思考总结：（教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题）⑴给这种解方程组的方法取个什么名字好？⑵上面解方程组的基本思路是什么？⑶主要步骤有哪些？⑷我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价)1.在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.3.解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.目的：进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程，并能对二元一次方程组的解进行检验.设计效果：通过本环节的学习，学生能够独立地运用代入消元法解二元一次方程组.第四环节：练习提高内容：1.教材随堂练习（在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，可以不必强调解答过程统一.可能会出现整体代换的思想，若有条件可以提出，为下一课做点铺垫也可以）2.补充练习：用代入消元法解下列方程组：(1)⎩⎨⎧=-=+;32,42y x y x (2)⎩⎨⎧=+=-;32,1943y x y x ⑶⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.023,723y x y x （注：[2]题可以用整体代入法来解，把第二个方程变为23y x =-，再将它代入第一个方程，得()32319x x --=；[3]题分数线有括号功能；[4]题如果有时间，学生学有余力可作为补充题目.）目的：对本节知识进行巩固练习.设计效果：通过练习，巩固和熟练了运用代入消元法解二元一次方程组的方法.第五环节：课堂小结内容：师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”；解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程组的解.目的：鼓励学生通过本节课的学习，谈谈自己的收获与感受，加深对“温故而知新”的体会，知道“学而时习之”.设计效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识.第六环节：布置作业1.课本习题5.22.解答习题5.1第3题3.预习下一课内容四.教学设计反思1.引入自然.二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容.教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消元解法.2.探究有序.回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅.3.充分体现了转化与化归思想.引导学生充分思考和体验转化与化归思想，以利于总体目标中所提出的“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的落实.4.值得注意的方面.在学生总结解题步骤的环节，一定要留给学生足够的观察、思考、总结、组织语言的时间，训练学生的观察归纳能力，提高学生学习能力.第五章二元一次方程组。
第5讲：数学中的一次(方程、函数、不等式)
第5讲 数学中的一次（方程、函数、不等式）作业单：1.《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少？2.为了绿化校园，某班30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，问：该班参加种树的男生女生各多少人？设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，所列方程组正确的是（ ）.78()3230x y A x y +=⎧⎨+=⎩ 78()2330x y B x y +=⎧⎨+=⎩30()2378x y C x y +=⎧⎨+=⎩ 30()3278x y D x y +=⎧⎨+=⎩3.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，3）、（n ，3），若直线2y x =与线段AB 有公共点，则n的值可以为 ．（写出一个即可）4.如图所示，一次函数y ax b =+（a , b 为常数，且a ＞0）的图象经过点A （4，1），则不第3题图等式ax b +＜1的解集为 ．5．甲、乙两车从A 地出发，匀速驶向B 地．甲车以80km/h 的速度行驶1h 后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B 地并停留1h 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y （km ）与乙车行驶时间x （h ）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h ；②160m =；③点H 的坐标是（7，80）；④7.5n =．其中说法正确的是（ ）．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④6．若a b ＜，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．11a b --＜B ．22a b ＜C ．33a b -＞- D ．22a b ＜ 7.已知点P （3,2a a --）关于原点对称的点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8.某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，己知每个篮球的价格为70元，毎个足球的价格为80元．（1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个？（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球？第4题图 第5题图答案：1.解：设买羊为x 人，则羊价为（5x +45）元钱，5x +45=7x +3，x =21（人）， 5×21+45=150（元），答：买羊人数为21人，羊价为150元．2. 答案：D3. 解：∵直线2y x =与线段AB 有公共点，∴ 2n ≥3，∴n ≥32． 故答案为：2．4. 解：函数y ax b =+（a , b 为常数，且a ＞0）图象经过点A （4，1），且函数值y 随x 的增大而增大，故不等式ax b +＜1的解集是x ＜4．故答案为：x ＜4．5. 答案：A解析：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km ，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km ，则乙的速度为120km/h ．①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B ，用时4小时，每小时比甲快40km ，则此时甲乙距离4×40=160km ，则m =160，②正确； 当乙在B 休息1h 时，甲前进80km ，则H 点坐标为（7，80），③正确；乙返回时，甲乙相距80km ，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n =6+1+0.4=7.4，④错误．故选：A ．6.答案：D解析： A 、在不等式a b ＜的两边同时减去1，不等式仍成立，即11a b --＜，故本选项错误；B 、在不等式a b ＜的两边同时乘以2，不等式仍成立，即22a b ＜，故本选项错误；C 、在不等式a b ＜的两边同时乘以13-，不等号的方向改变，即33a b -＞-，故本选项错误；D 、当5a =-，1b =时，不等式22a b ＜不成立，故本选项正确； 故选：D ．7. 答案：C解析：∵点P （3,2a a --）关于原点对称的点在第四象限， ∵点P （3,2a a --）在第二象限，∵32a a -⎧⎨-⎩＜0＞0， 解得：a ＜2．则a 的取值范围在数轴上表示正确的是：．故选：C ．8. 解：（1）设购买篮球x 个，则足球（60﹣x ）个. 由题意得70x +80（60﹣x ）=4600，解得x =20则60﹣x =60﹣20=40.答：篮球买了20个，足球买了40个.（2）设购买了篮球y 个.由题意得 70y ≤80（60﹣x ），解得y ≤32答：最多可购买篮球32个.。
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初三年级数学新授课教案
备课人 时间：______年_____月_____日 课时序
第5讲 一次方程（组）及其应用
中招命题趋势:
预计今年考查以一元一次方程（组）实际应用为主，且与不等式、函数等知识的结合可能性较大。
中考考点
考点1：一次方程（组）及应用
1、一元一次方程：只含有 一个未知数，并且未知数的次数是一次,这样的 方程叫做一元一次方程。
2、二元一次方程：方程中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是一次 ，像这样的方程叫做二元一次方程。
3、二元一次方程组：含有相同未知数的两个 二元一次方程 （或者一个二元一次方程和一个一元一次方程）联立起来的一组方程叫做二元一次方程组。
4、解应用题的一般步骤为：
(1)：审（找 等量关系 ） (2)： 设未知数
(3)：列 方程 (4)： 解方程
(5)：检（即 检验是否为方程的根， ） (6)： 答
例1、已知关于x 的方程092=-+a x 的解是2=x ，则a 的值为__5__。
例2、已知方程组 的解能使等式734=-y x 成立， 则m 的值是_8_。
例3、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨。
现计划用15天完成加工任务，该公司安排几天精加工？几天粗加工？
解：设安排x 天精加工，则可列方程为 ()14015166=-+x x 。
若安排x 天精加工，y 天粗加工，则可列方程组为 。
例4、某班共有学生49人，一天该班某男生因事请假，当天该班的男生人 数恰好为女生的一半， 求该班男生人数为多少人，女生人数为多少人？ 解：若设该班男生人数为x 人，女生人数为y 人。
则可列方程组为 。
⎩⎨⎧=+-=-4
37125y x m y x ⎩⎨⎧=+=+14016
615y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+y x y x 21149
考点2: 分式方程及应用
分式方程：分母中含有_未知数_的方程叫做分式方程。
例5、分式方程 的解是_无解__。
例6炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，
设乙队每天安装x 台，则可列方程为 。
二、过关检测
1、小平要在一幅长90cm ，宽40cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整幅挂图面积的54﹪，设金色纸边的宽度为xcm ，则可列方程为（ B ）
A.（90+x ）(40+x) ×54﹪= 90×40
B.（90+2x ）(40+2x) ×54﹪=90×40
C.（90+x ）(40+2x) × 54﹪=90×40
D.（90+2x ）(40+x) × 54﹪=90×40
2、一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10﹪，则这件衣服的进价是（ D ）
A.106
B.105
C.118
D.108
3、某商店在一次买卖中同时卖出两件上衣，每件都是以135元卖出，若按成本计算，其中一件盈利25﹪，另一件亏损25﹪，则这家商店在这次买卖中 （ B ）
A.盈7.2元
B.亏18元
C.盈9元
D.亏9.2元
4、解方程：（1） （2）
5、某乡镇决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成。
（1） 求乙工程队单独完成这项工程所需的天数
（2）求两队合作完成这项工程所需的天数。
{834
35=+=-y x y x 132=-+x x x 3911332-=-+x x x x x 60266=+
6、汶川大地震后，灾区急需大量帐篷，某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，为支援灾区，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷，若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶。
（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷多少顶？
（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？
7、(2014海南）海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买者两种水果共30千克，共花了708元，请问李叔叔够买这两种水果各多少千克？
8、（河南2017）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元；购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同.
（1）求两种魔方的单价；
（2）结合社员们的要求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）.某商店有两种优惠活动，如右图所示，请根据以上信息，说明选择哪种活动购买魔方更实惠.
四、课后反思
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