中考数学填空题压轴题解析

2011年全国各地中考数学填空题压轴题解析(一)

1.（江苏常州、镇江2分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为 ▲ 。 【答案】24，

【考点】分类归纳，图形的拼接。

【分析】（思路1）棱长为4的体积为64，棱长为3的体积为27，棱长为2的体积为8，棱长为1的体积为1。

29个正方体从小到大的体积分别为1，1，1，.....1，(1＋7)...... 一共29个 ，总体积为64，去掉29个1，那么多出来的体积64－29＝35，要分别给棱长为2或者3的组合 。 （1）若只有棱长2的，多出来的体积35＝7＋7＋7＋7＋7，即只能是5个棱长为2的和24个棱长为1的 。

（2）若有棱长为3的，至少有一个，多出来的体积35－26＝9，结果不能被26或7整除，无解。

所以只有一种可能，24个棱长为1的， 5个棱长为2的。

（思路2）情况1：设棱长为3的正方体的个数为x ，棱长为2的正方体的个数为y ，则棱长为1的正方体的个数为29x y --。依题意有()6427829x y x y =++--

2657

x

y ⇒=-

。所以不存在x 使y 为正整数。 情况2：设棱长为3的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为x ，则棱长为2的正方体的个数为29x -。依题意有 ()64829=24x x x =+-⇒。

情况3：设棱长为2的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为x ，则棱长为3的正方体的个数为29x -。依题意有 ()719

642729=26

x x x =+-⇒无整数解。 2.（江苏淮安3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果AD ＝22，则△ABC 的周长等于 ▲ . 【答案】623+。

【考点】旋转的性质，全等三角形的性质，30°和45°角的直角三角形的性质，勾股定理。 【分析】根据已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°可以得出∠BAC ＝60°。根据旋转的性质知，△ABC ≌△AB 1C 1，所以∠B 1AC 1＝∠BAC ＝60°。而△AB 1C 1是由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°所得，可知∠B 1AD ＝45°，可以求出AB 1＝2（用勾股定理或45°角的余弦函数均可求）。另一方面Rt △ABC 中，由于AB ＝AB 1＝2，∠ACB ＝30°，易求AC ＝4，BC ＝23（用30°角的直角三角形中30°角所对的边是斜边一半的性质和勾股定理，或30°角的正、余弦函数均可求）。从而△ABC 的周长等于AB ＋BC ＋AC ＝623+。

3.（江苏连云港3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角长为_ ▲ ． 【答案】22。

【考点】等腰梯形，翻转，勾股定理。

【分析】等腰梯形两组对边中点所连线段，实际上两底的中点所连线段是等腰梯形的高，即图中BE ；两腰中点所连线段是等腰梯形上底与下底和的一半，即

()1

AB DC 2

+，把BCE DAF ∆∆翻转到，这样()()11

AB DC FB DE DE 22

++＝＝。 等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8可表示为22DE BE 8+＝，而在Rt BDE ∆中，

222DE BE BD +＝。从而BD ＝22。

4.（江苏南京2分）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学

报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为 ▲ ． 【答案】4。 【考点】分类归纳。 【分析】列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50

表中可见，只有9，21，33，45满足条件。 5.（江苏南通3分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线3

3

y x =

相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ▲ ． 【答案】9。

【考点】一次函数的图象，直线与圆相切的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】设直线3

3

y x =

与三个半圆分别切于A ，B ，C ，作AE ⊥x 轴于E ，则在Rt∆AEO 1中，易得∠AOE=∠EAO 1=300，由r 1＝1得EO=12，AE=132

，OE=

3

2

，OO 1=2。则

111222222OO 12

R AOO R BOO 3OO 3r r r r r ∆∆⇒

=⇒=⇒=+∽t t 同理， 111333333

OO 12R AOO R COO 9OO 9r r r r r ∆∆⇒

=⇒=⇒=+∽t t 。 6.（江苏苏州3分）如图，已知点A 的坐标为（3，3），AB ⊥x 轴，垂足为B ，连接OA ，反比例函数k

y x

=

（k>0）的图象与线段OA 、AB 分别交于点C 、D ．若AB ＝3BD ，以点C 为圆心，CA 的

5

4

倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是 ▲ （填“相离”、“相切”或“相交”）． 【答案】相交。

【考点】一次函数, 反比例函数，实数的大小比较，圆与直线的位置关系。

【分析】要看该圆与x 轴的位置关系如何，只要求出圆半径和点C 到x 轴的距离即可。这

O O 1 O 2 O 3

x

y

· · ·