第六章 关系模式分解理论

4. 第四范式的判别方法 (1) 对函数依赖，应是BCNF。 (2) 对多值依赖，应不存在非平凡的多值依赖。 例：U={合同号，商品名，金额，币种,签约单 位} 说明：每一种商品必须用人民币和美元表示。 每一项合同可签约多种商品,且有多个签约单 位。 请判断上述模式的范式级别。
解答
分析： 合同模式多值依赖和函数依赖： 合同号 签约单位 {合同号，商品名，币种} 金额
例：判断下列模式的范式级别。 1. U=ABCD,F={AB CD,C A, D B} KEY={AB,CD, bc} 2. U=ABCD,F={AB CD, C AB} KEY=?
六 第四范式(4NF)
1. 为什么要研究第四范式？ 设 U={课程名，任课教师，参考书}
课程名 数据库 任课教师 张三 参考书 数据库导论
方法：1 Si=X,i=0; 2 令Z={A| V，W(V W) V Si A W A Si } 3 Si+1<=Si Z 4 若 Si+1=Si,则算法结束； 否则 I<=i+1转2.
F
例：设U=ABCD，F={AB C，C D， CD A， BD A} 求: （BD)+,(AC)+ S0=BD,Z=A,S1=BDA,Z=C,S2=BDAC. (AC)+=?




八 公理完备性的证明 定理 凡是由F所蕴涵的函数依赖都可由 公理推出。 其逆否命题是 不能由公理推出的函数依 赖一定不被F所蕴涵。 证：设X A不能由公理推出 构造如下关系
• •
X F+
U- XF+
11……1 11……1 11……1 00……0 现证明r是R(U,F)上的关系，且X A对r不 成立。F中的函数依赖可分成以下三类 1 左 XF+，则右 XF+，函数依赖成 立

G；
• 例：设 F={AD EGB，A B，B E} 请去掉多余的函数依赖。 解：去AD E，计算(AD)G+=ABDE E (AD)G+,应去掉。 问：AD G，AD B 能去吗？

举例
例：设F={AB D，A B, D BC，C 求Fmin 解：右部最简： F= {AB D，A B, D B，C B D C} 去掉左部多余属性 对AB D，去A，B+=B B
例：设U={演员名，电影名，电影长度， 角色，生产日期，演员地址，制片厂}。 判断该模式的范式级别。
五 BCNF 范式
1. BCNF定义：若X Y成立，则X必含有 码，则称R(U,F)为BCNF范式。 2. 性质：BCNF 是第三范式。 证明：(1).消除了非主属性对码的部分依 赖。 (2). 消除了非主属性之间的函数依 赖。
(1) 在变换中，出现了全为aj的行，算法 终止，分解是无损的。 (2) F中所有函数依赖都不再使矩阵改变， 且无全aj行，算法终止，分解是有损的。 例 设U=ABCDE，F={AB C，C D，C E，BE C} U1=ABC,U2=CDE, U3=BEC 用矩阵判定之。
一个无损连接 的分解
A 1 2
2 2
1
3 4
2
例：r: A
1 1 2
B 2 2 1
C 3 4 4 B
一个有损连接 的分解
A 1 1 2
C 3 4 4
C
2 2
1
来自百度文库
3 4
4
五 无损连接分解的判别算法： 设 是R(U,F)的分解，U={A1,…,An} 输入 U,F, 输出 判别矩阵 方法； 1 构造矩阵m n 每一属性对应一列，每一模式对应一行
七 算法证明
定理：由算法得到的最小函数依赖集是F的 最小覆盖 证：只须证明算法的每一部都是等价变化即可。 1 由合并规则知右部最简正确。 2 左部最简证明 设 Y A G，因 A YF+ ，有Y A F+ 所以：G F+ G+ F +。



又X A F，Y A G，因Y X， 所以X A G+， F G+ F+G+。 故： F+= G+ 3 去掉多余函数依赖。 因G F G+ F+ 又设X A F，且A XG+ 所以 F G+， F+ G+
答案：1 KEY=AC，1NF 2 KEY={AC，AB}， 2NF 3 KEY=AB， 1NF
四 第三范式（3NF）
1. 定义： 若R(U,F)中，不存在非主属性对 码的部分依赖，也不存在非主属性对码 的传递函数依赖，则称R(U,F)是第三范 式。 2. 例： 判定下列范式那些是3NF？ U1=ABCD , F1={A B, B D, B C} U2=ABCD , F2={DA B,B D,DA C}
四 无损连接分解 1 定义 设 为R(U,F)的分解，若r R(U,F),令 r1 R1(r ),...,rn Rn(r ) 有r1 r2 … rn=r 成立， 则称 是无损连接的。 2 意义 ：信息不失真

例：r:
A 1 1 2 B 2 1
B 2 2 1 B
C 3 4 2 C


2 赋初值
cij=

aj bij
Aj Aj
U U
i
i
3 变换 对F中每一函数依赖X 进行变换
Aj按如下方法
(1) 若X所对应的列下至少有两行值相等， 则进行如下变换(只对X值相等的行进行) 若Aj所对应的列中有aj出现，则将其他行 变为 aj,否则bij代替其他行的bkj(I<all k) (2)若X所对应的列下无相等的行，则不进 行变换。 4 终止条件
三 第二范式(2NF)
1. 主属性与非主属性 2. 定义：若在F中不存在非主属性对码的部分函 数依赖，则称R(U,F)是第二范式。 3. 举例：判断下列模式是否为第二范式。 U1=ABCD,F1={A B, AC D} U2=ABCD, F2={AB C,AC D, C B} U3=ABCD,F3={AB C,AC D,B C} 思考题：设U={学号，课号，课名，成绩}， 判断该模式为第几范式？
第二节 传递闭包与最小覆盖
一 传递闭包 1. 定义： F+={X Y|X Y由公理推出} 说明：F的传递闭包由三类函数组成： (1) 平凡函数依赖 (2) 在F中的函数依赖 (3) 由公理推出的 例1 U=ABC，F={A B，B C} 求F+。
2. 等价： 若 F+=G+，则称F与G等价，也 称F是G的覆盖，或G是F的覆盖。 3. 性质： (1) 若 G F，则 G+ F+ 证明：设X Y G+，X Y由G中函 数依赖推出。而G中函数依赖就是F中 的函数依赖。 (2) (F+)+=F+

二 属性闭包： 1. 定义：设X U，XF+={A|X A由公理 推出} 说明： XF+是由X推出的所有函数依赖右 部的集合。 2. 性质： (1) X Y 成立，当且仅当 Y XF+ 证明：

分三种情况证明 (2) 若Y X，则 Y+ X+ 证明：略 三 计算X+的算法 输入：X，F 输出：X+
例：F={A B，C B，B D}，U1=CD 求F(U1) 二 模式分解 定义：设U1，U2，…，Un U，若模式 集{R1(U1,F1),…,Rn(Un,Fn)}满足如下 条件 n 1 Ui =U i 1 2 Fi是F(Ui).
3 不存在Ui Uj 则称R1,…,Rn是R的分解，记为 例 设U=ABCDE，F={AB D，BC E， D C，DB A}， 请说出下列划分那些是分解，那些不是。 1：U1=ABC，F1={AB C} U2=CDE， F2={D C}
第六章 关系模式分解理论
第一节 关系范式
一为什么要研究关系范式？ 例1 分析如下关系模式下的各种操作。 选课(学号，姓名，所在院系，课程号，成 绩，课程名) 分析：插入------会出现异常 删除-------会出现异常 存储--------冗余异常
二 第一范式
1. 定义： 若在关系模式R（U，F）中， 所有属性都是简单属性。 2. 简单属性应满足的条件 不存在组合属性 不存在值为复合类型的属性 3. 关系规范化方法
2 左 U- XF+ ，则右部无论属于那边， 函数依赖均成立。 3 左被分割 ，结论同2。 另 显然X A 对r不成立。证毕

第三节 模式分解的基本概念
一 函数依赖集的投影 定义：设U1 U，令F1={X Y|X Y F+ X，Y U1}，则称F1为F在U1上的投 影，记为F(U1). 说明：F(U1)中的属性都在U1中。 X Y或在F 中或由F推出
去B，求A+=ABDC，D A+ 所以 B可以去掉 F={A D，A B, D B，C B D C} 去掉多余的函数依赖 Fmin={A D，C B， D C}
• 练习题： F={ABD EG，B D，A D， AB D， AB DE， EG B， BD C}。 求 Fmin
1. F={AB G,AB E,B D,A D, AB D, EG B,B C} 2 F={AB G,AB E,B D,A D, B EG B}
六求最小覆盖的算法
输入：U，F 输出：F的最小覆盖Fmin 方法： 1 右部化为单属性 2 剔除左部多余的属性 设 X={B1，…，Bn},X (1) I=1
A
(2) Y=X-Bi (3) 若 I>=n,则X A化简结束，从F中抽取 下一条须化简的函数依赖，转(1). (4) G=F-{X A} {Y A} (5) 计算 YF+ (6) 若 A YF+，则X Y，F G，n n-1,转(2);否则 I I+1,转(2).
四 算法正确性证明 1 终结性证明：因为Si有上确界，且Si是向上单 调的。 2 正确性证明： 五 最小函数依赖集与最小覆盖 1最小函数依赖集：应满足如下条件 (1). 右部最简 (2) 左部没有多余的 (3) 没有多余的函数依赖
2 最小覆盖： 若G是最小函数依赖集，且 G+=F+，则称G是F的最小覆盖。 例：设U=ABCD，F={AB CD，B C， C D ，D C， B D} 讨论：最小函数依赖集 F1={B C，C D，D C}
举例
例：设 F={ABD EG，A B，B D} 请去掉左部多余的属性。 解： 去A，求(BD)F+=BD A (BD)F+，所以A不能去。 去B，求(AD)F+=ADBEG EG (AD)F+，所以B能去。 去D ？

3 去掉多余的函数依赖 对F中所有函数依赖X A，做 (1) 令G=F-{X A} (2) 计算XG+， (3) 若A XG+，则去掉X A ，F 否则不去掉。 (4) 转(1).
C
• 答案：{AB G，B D，A D，AB E，B C,EG B} • 求最小覆盖算法的不唯一 例：设F={A B，B C，A C，B A} F1={A B，B C， B A} F2={A B， A C，B A}
练习 设F={AB CD, A BE, D E, B D} 求：Fmin 答案：Fmin={A C, A B, D E, B D}


2
U1=AB，F1= U2=CD，F2={D C} U3=CDE，F3={D C} 三 保持函数依赖的分解 定义： 设 ={R1，…,Rn}是分解，若 n ( Fi )+ =F+，则称 是保持函数依赖 i 1 的分解。
例 设U=ABCD，F={AB C，B D，CD A}，请问下列分解那些是保持函数依赖的。 1 U1=ABC，U2=BD，U3=CDA 2 U1=ABC，U2=CDA。
数据库
数据库 数据库
张三
李四 李四
事务处理
数据库导论 事务处理
2. 4NF定义：若X Y是非平凡的多值依 赖，则 X是码。 例：判断下列模式的范式的级别 (1) U=ABCDE, D={AB CDE, A B} (2) U=ABCDE, D={BD AE,BD C,AB CDE}
性质： (1). 4NF 是BCNF。 证明：D中只存在两种多值依赖：平凡 多值依赖和非平凡多值依赖，由定义知： 非平凡多值依赖一定是包含码的，因此， 它一定是函数依赖。可见，D中的一切函 数依赖都是依赖码的。 (2).4NF消除了数据冗余。
• 答案：1 KEY=A，不是。 • 2 KEY={DA，AB}，是。
3. 性质： ( 1). 第三范式一定是第二范式。 (2). 第三范式不存在非主属性之间的函数依赖， 但仍然存在主属性之间的函数依赖。 4.判别方法： (1).找码 (2). 考察非主属性对码的函数依赖是否为部分 函数依赖。 (3). 考察非主属性之间是否存在函数依赖。