换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
不定积分与定积分换元法
dx x + x4 + 1
1 1 令 x = ， dx = − dt . 于是 则 t t2
I=∫ dx x + x4 + 1 = −∫ 1 ( + 4 + 1 )t 2 t t dt 1
= −∫
dt t + t2 +1
= −I
因为 I = − I ，
所以 I = 0 .
这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？ 这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？
对于积分 ∫ f ( x )dx 进行换元 x = ϕ ( t ) ，
求出 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c 之后， 必须用反函数 t = ϕ −1 ( x ) 回代 ,
1 . ∫ f ( x )dx = G (ϕ − ( x )) + c 才能得出最后结果
这个例题说明： 这个例题说明：
利用换元法 x = ϕ (t ) 计算定积分时 ，
必须注意新变量 t 的变化范围 , 明确 t 和 x 的取值对应关系 .
这一不仅关系到积分上下限的确定， 这一不仅关系到积分上下限的确定， 还可能涉及到被积函数的形式的确定． 还可能涉及到被积函数的形式的确定．
关于两个换元积分法的小结
积分换元法
不定积分换元法 定积分换元法 联系与区别 实例分析
定理１ （不定积分换元法） 定理１:（不定积分换元法）
假设 f ( x ) 连续 ， 单调，连续， 函数 x−1 ( x ) . 如果 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c , 则有
2 2 a
( a > 0)
详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同. 详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同 计算两种积分都需要作换元 x = a sin t dx = a cos tdt (1)两者的第一个区别是： (1)两者的第一个区别是： 两者的第一个区别是
定积分典型习题
第六章 定积分第一节 定积分的概念思考题：1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A A AA A A x x .( 2)( 1 )( 3 )(4)（4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 若当b x a ≤≤，有)()(x g x f ≤，下面两个式子是否均成立，为什么？（1）x x g x x f ba b a d )(d )(⎰≤⎰, （2）x x g x x f d )(d )(⎰≤⎰.答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，x x f d )(⎰与x x g d )(⎰不能比较大小，故（2）式不成立.3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但n 个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是∑=ni i a n 11,后者计算公式是⎰-b a x x f a b d )(1.习作题：1. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为∆i=i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.2. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x . 3. 求函数21)(x x f -=在闭[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ.4. 利用定积分的定义证明⎰-=b aa b x d .证明：令1)(=x f ,则⎰⎰=b ab a x x f x d )(d ，任取分点10x x a <=…b x n =<,把[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-，并记小区间长度为),2,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅⋅=-=∆-，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ，作乘积⋅)(i f ξi x ∆的和式a b x x f n i ni i i i -=∆=∆⋅∑∑==11)(ξ,记}{max 1i ni x ∆=≤≤λ, 则 a b a b x f x x ni i i ba -=-=∆⋅=→=→∑⎰)(lim )(lim d 01ξλ.第二节 微积分基本公式思考题：1. ='⎰)d sin (d d 1xt t t ?答：因为⎰x t t 1d sin 是以x 为自变量的函数，故⎰xt t t1d sin d d =0. 2. ?)d )((21='⎰x x f答：因为⎰21d )(x x f 是常数，故0)d )((21='⎰x x f .3.=⎰ba x x f xd )(d d ？ 答：因为⎰b ax x f d )(的结果中不含x ，故=⎰ba x x f xd )(d d 0. 4. =⎰xax t x d cos d d 2？ 答：由变上限定积分求导公式，知=⎰x ax t x d cos d d 22cos x .5.=⎰1d e d d 2xt t x ？ 答：=⎰1d e d d 2x t t x 22e )d e (d d 1x x t t x-=-⎰. 6. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？答：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.7. 当)(x f 为积分区间],[b a 上的分段函数时，问如何计算定积分⎰b ax x f d )(？试举例说明.答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将⎰b ax x f d )(分解为部分区间上的定积分来计算.例如：若⎩⎨⎧<≤-≤≤=,01,,10,)(2x x x x x f 则x x f d )(11⎰-=x x d 01⎰-+x x f d )(11⎰-=1301232x x +-=61-.8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.习作题：1. 计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-1d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.（2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x=1402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰π0d sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (xx +-=2+2=4.2. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x3. 计算下列各题： （1）⎰10100d x x ， （2）⎰41d x x ， （3）⎰1d e x x , （4）x xd 10010⎰,（5）x x d sin 2π0⎰, （6）x x x d e 210⎰, （7）x x d )π2sin(2π0+⎰,（8）x x d )4π4cos(π+⎰, （9）x x x d 2ln e 1⎰, （10）⎰+102100d x x , （11）⎰4π02d cos tan x xx, （12）⎰10d sh x x , （13）⎰10d ch x x .解：（1）⎰10100d x x =101110110101=x .（2）⎰41d x x =314324123=x. （3）1e ed e 1010-==⎰xx x .（4）x xd 10010⎰=100ln 99100ln 10010=x .（5）1cos d sin 2π02π0=-=⎰x x x .（6）21e 2e )(d e 21d e 121010222-==⎰=⎰x x x x x x . （7）x x d )π2sin(2π0+⎰=)π2(d )π2sin(212π++⎰x x =2π0)π2cos(21+-x =1-. （8）x x d )4π4cos(π+⎰=)4π4d()4π4cos(4π0++⎰x x =π0)4π4sin(4+x =224-.(9)x x x d 2ln e 1⎰=)d(ln ln 21e 1x x ⎰=41ln 41e12=x .(10) ⎰+102100d x x=⎰+102)10(1d 1001x x =1010arctan 101x =101arctan 101.（11）⎰4π02d cos tan x x x =⎰4π0)tan d(tan x x =4π022)(tan x =21. （12）⎰⎰--=1010d 2e e d sh x x x x x =12e e xx -+=11ch 12e e 1-=-+-. （13）⎰10d ch x x =⎰-+10d 2e e x x x =12e e xx --=1sh 2e e 1=--.第三节 定积分的积分方法思考题：1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）x x x d cos cos 2π2π3⎰--=x x x d sin )(cos 2π2π21⎰-=)cos d()(cos 2π2π21x x ⎰--=0cos 322π2π23=--x .（2）⎰⎰---=-111122)sin d()(sin 1d 1t t x x=⎰-⋅11d cos cos t t t=⎰-112d )(cos t t =2⎰12d )(cos t t=22sin 211)2sin 21(d 22cos 11010+=+=+⎰t t t t . 答：（1）不正确，应该为：x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π3⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .（2）不正确，应该为：⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.2. 定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代. 联系在于：二者均要求置换的变元)(t x ϕ=单调可导，且选择变元)(t x ϕ=的规律相同.3. 利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律. 答：如图, 设)(x f 在[]a ,0上满足)(x f ≥0，则⎰a x x f 0d )(表示由曲线)(x f y =，直线0=x ，a x =及x 轴所围图形的面积，不妨记为A ，则当)(x f 为偶函数时，⎰⎰==-aaa x x f A x x f 0d )(22d )((如下图(1)所示)，当)(x f 为奇函数时，0)(d )(=+-=⎰-A A x x f aa(如下图(2)所示).（1）习作题:1. 计算下列定积分:(1)x x d 16402⎰-, (2)⎰+12d 41x x .解：（1）令x =t sin 4, 则t t x t x d cos 4d ,cos 4162==-,当x = 0 时，t = 0 ; 当x = 4 时，2π=t ， 于是 x x d 16402⎰-=π4)2sin 48(d )2cos 1(8d cos 4cos 42π02π020=+=+=⋅⎰⎰t t t t t t t π.（2）⎰+102d 41x x =⎰+12)2d()2(1121x x =21arctan 212arctan 2110=x . 2. 计算下列定积分： （1）x x xd e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x xd πcos e10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(1033⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5ed )15(540xx ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x x x=5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x xd πcose 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-= =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰ xx x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-= =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. （4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ ⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x .第四节 广义积分思考题:1. 下列解法是否正确？为什么？2ln 1ln 2ln ||ln d 12121=-==--⎰x x x .答：不正确.因为x1在[1-，2]上存在无穷间断点0=x ，⎰-21d 1x x 不能直接应用Leibniz Newton -公式计算，事实上，⎰-21d 1x x =⎰-01d 1x x +⎰20d 1x x =⎰--→+1110d 1lim εεx x +⎰+→2022d 1lim εεx x=[]1110)ln(lim εε--→-+x +[]222ln lim εεx +→=10ln lim 1εε+→+-2ln 202lim εε+→不存在,故⎰-21d 1x x 发散.2. 指出下面广义积分的计算错误:101)e 1(lim elim d e lim d e 0=-=-=-==-∞→-∞→-∞→∞⎰⎰b b bx b bxb xx x .答：本题计算错误在于0e lim =-∞→bb ，因为0e lim =-+∞→b b ，而-∞=--∞→b b e lim ，故bb -∞→elim 不存在，从而⎰∞0d e x x 发散.习作题：1. 研究广义积分⎰∞+02d 1x x 的敛散性. 解：⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x 发散. 2. 计算广义积分x x d )4(6032⎰--.解：x x d )4(6032⎰-- =x x d )4(6432⎰--+x x d )4(4032⎰--=)42(3430023)4(3)4(3333340316431+=--+-⋅=-+-x x .3. 计算广义积分x x d e 1100⎰∞+-.解：x xd e1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .4. 计算广义积分⎰∞++02100d xx. 解： ⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x .。
巧妙理解定积分疑难问题
疑难问题解析问题1 下列两个命题是否正确（1） 如果在)(x f [a ，b]上有原函数，那么在)(x f [a ，b]上可积； （2） 如果在)(x f [a ，b]上有可积，那么在)(x f [a ，b]上有原函数。
答： 这两个命题都不正确（1） 在[a ，b]上有原函数存在的函数)(x f 未必是可积的。
例如 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(22x x xx x F 在[-1,1]上处处有导数，⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=='.0,0,0,1cos 21sin 2)()(22x x xx x x x f x F 因此)(x f 在[-1,1]上有原函数)(x F ，但)(x f 在[-1,1]上无界，故)(x f 在[-1,1]上不可积。
（2） 在[a ，b]上可积的函数不一定存在的原函数例如符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x在区间[-1,1]上可积，因为它只有一个第一类间断点0=x ，但在某区间上具有第一类间断点的函数不存在原函数，从而sgnx 在[-1,1]上不可积。
问题2 在什么条件下，牛顿-莱布尼兹公式()()()baf x dx F b F a =-⎰成立？答：如果函数[]()f x 在a,b 上连续，则牛顿-莱布尼兹公式()()()baf x dx F b F a =-⎰成立，此公式也成为微积分基本定理，它把函数[]()f x 在a,b 上的定积分的计算转化为求()f x 的原函数在区间[]a,b 上的增量，使定积分的计算十分方便。
当连续条件不满足时，慎用该公式，比如函数1()[11]f x x=-在区间，上不连续，就不能用该公式。
当然，牛顿-莱布尼兹公式成立的条件还可以适当放宽，常见的有以下两个结论： 定理 设[]()f x 在a,b 上可积，且原函数()F x 存在，则()()()baf x dx F b F a =-⎰。
理学定积分的换元法
例
计算
1
0
1 x2 d x .
令 x sin t
解 先用不定积分求被积函数的一个原函数：
1
x2
dx
cos2
tdt
1 2
(1 cos 2 t)d t
t sin 2 t C 1 arcsin x 1 x 1 x2 C
24
2
2
由牛顿 ——莱布尼兹公式，得
1
0
1 x2 d x 1 arcsin x 1 x
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
F (b) F (a) F[( )] F[( )]
(t) (t)
5
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为 [ , ]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
a f ( x)d x
(令 x (t))
dx
x t
0( d t ) .
0
19
例 A.
cos105
定积分的换元法与分部积分法
定积分的换元法与分部积分法摘要：定积分是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某个区间上的累积效应。
在计算定积分时，换元法和分部积分法是常用的两种方法。
本文将对定积分的换元法和分部积分法进行介绍，并通过案例演示其具体应用。
1. 定积分简介定积分是微积分中的基本概念之一，它用于计算函数在某个区间上的累积效应。
定积分的符号表示为∫，其中∫f(x)dx表示函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
它的几何意义是函数f(x)与x轴所夹的面积。
2. 换元法换元法是一种常用的计算定积分的方法，它通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式。
换元法的基本思想是对函数进行代换，将原函数转化为一个新的函数，并对新函数进行积分。
换元法的公式可以表示为：∫f(g(x))g’(x)dx = ∫f(u)du其中，g(x)是一个可导函数，u=g(x)是其反函数，g’(x)是g(x)的导数。
换元法的具体步骤如下：1.选择适当的换元变量，使得被积函数的形式变得简单；2.计算变量的微分，求出关于新变量的微分表达式；3.将被积函数中原变量用新变量表示，得到新的被积函数；4.计算新的被积函数的积分。
3. 分部积分法分部积分法是另一种常用的计算定积分的方法，它将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题。
分部积分法的基本思想是使用差乘法则，将定积分的求解转化为导数和乘积的关系。
分部积分法的公式可以表示为：∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u’(x)dx其中，u(x)和v(x)是可导的函数。
分部积分法的具体步骤如下：1.选择一对函数作为u(x)和v’(x)；2.计算u’(x)和v(x)的导数；3.将u(x)v’(x)代入分部积分公式中，并进行计算。
4. 换元法与分部积分法的比较换元法和分部积分法都是计算定积分的有效方法，它们在不同的情况下有不同的应用。
换元法适用于被积函数可以通过代换变量为简单形式的情况。
通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式，从而简化计算过程。
定积分的换元法
例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 （1）设 （2）设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2
故
解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量
不定积分与定积分
不定积分与定积分一、不定积分概念原函数：如果()()I ,f F ∈='x x x ，那么()x F 就称为()x f 在区间I 上的一个原函数。
注意：①如果()()I f F 在是x x 上的一个原函数，那么()()I f F 在也是x c x +上的原函数；②如果()()()I f G ,F 在都是x x x 上的一个原函数，那么()()I ,G F ∈=-x c x x 。
不定积分：把区间I 上的原函数全部称为()I f 在区间x 上的不定积分，记为()dx x ⎰f 。
()()()()c x x d dx x dx x d +==⎰⎰F F ,f f ，()()dx x k dx x k ⎰⎰=f f ，()()[]()()⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x g f g f 。
二、不定积分法⑴第一换元法（凑微分法）定理1设()x f 具有原函数，()x u ϕ=可导，则()()()()()⎰⎰=='du u dx x x x u f f ϕϕϕ。
常见凑微分形式： ①()()()b ax d b ax a dx xb ax ++=+-αααααf 1f 1，特别有 ()()()()()()B ax d b ax axdx b ax b ax d b ax a dx b ax ++=+++=+222f 21f ,f 1f ， ()()x d x xdx f 2x f=。
②()()xxxx d dx e e f e e f = ③()()()();1ln 111ln 1;ln ln 1;ln ln f ln f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x d x d x x x d dx x x d x x dx xxx d dx x x ln ln 12=-。
④;cot csc ;tan sec ;sin cos ;cos sin 22x d xdx x d xdx x d xdx x d xdx -===-=().1ln 1;arctan 1;srcsin 12222±+=±=+=-x x d x dx x d x dx x d xdx 可见，任何微分公式及积分公式都可用来凑微分。
不定积分和定积分的区别与联系
不定积分和定积分的区别与联系在我们的数学课本中，总是说：“不定积分和定积分有什么区别与联系呢？”不过，在现实生活中，这些问题并不好回答。
通过学习，我了解到，两者之间有以下几个方面的区别与联系。
1。
定义的区别定积分的概念是：把函数的某个函数值分成n份，这n等份的乘积相等，其和为定积分，且称这样的积分为该函数的定积分，记作dx^n；而不定积分的概念是：函数的某个函数值分成若干份，取其中的任意一份所得到的函数值都不等于原来函数的值，故把这样的函数值叫做这个函数的不定积分，记作dy。
2。
运算的区别定积分是可以化简的，即：积分上限=积分下限时，原函数的值与新的函数值相等。
而不定积分则无法进行化简。
也就是说：定积分是个代数式，它只要代入原函数的变量中，通过计算求出它的值就可以了；而不定积分则不然，它无法把那些烦琐的运算过程进行化简，使之最终变为一个代数式，最终才能被我们所求得。
3。
结果的形式区别4。
适用范围的区别定积分可以进行计算，但在一定条件下还需要注意应用定积分，而不定积分则不能进行计算。
例如，在证明有界性和微积分基本定理的时候就会用到不定积分，而在计算原函数无界和原函数可导以及原函数的连续性等方面却很少用到定积分。
此外，不定积分只能应用在闭区间上，而定积分既可以在闭区间内又可以在开区间内。
在具体问题的研究中，经常会遇到涉及的是区间端点的情况，因此就必须把不定积分转换为定积分。
如果涉及区间的长度问题时，则往往采用分段函数的方法来处理，这时也要先转换为定积分，再求不定积分的近似值。
5。
分子的不同定积分的分子不管怎么变，都是x，而不定积分的分子则不同。
定积分的分子是自变量，而不定积分的分子则是常数。
6。
结果的形式区别定积分结果的形式是代数式，可以直接读写，而不定积分的结果的形式则是一种计算的结果，只有借助计算器才能够表达出来，比较麻烦。
7。
计算的顺序不同4。
定积分的含义是：把函数的某个函数值分成n份，这n等份的乘积相等，其和为定积分，且称这样的积分为该函数的定积分，记作dx^n；而不定积分的含义是：函数的某个函数值分成若干份，取其中的任意一份所得到的函数值都不等于原来函数的值，故把这样的函数值叫做这个函数的不定积分，记作dy。
高等数学：第三节 定积分的换元法、分部积分法
2
0
sin 3 x cos x d x
sin 3 x cos x d x
2
2
0
sin 3 x d (sin x)
sin 3 x d (sin x)
2
[2 5
sin
5 2
x]
2 0
[2 5
sin
5 2
x]
( 20) (0 2 )
5
5
4 5
2
例4：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
2
2
对称性 02
2
sin 2 x cos 2 x d x 1
2 sin 2 2 x d x
0
20
1 2
2
0
1 cos 4 x d x 2
1 4
[
x
sin4 4
x
]
2 0
8
3
e4
例7 计算
1
dx
e x ln x(1 ln x)
3
解：原式 e4
1
d ln x
e ln x(1 ln x)
x
0
t
2
,
x t 0, 2
2
0
f (sin x)dx
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t)dt 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）设 x t 可以证明
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
不定积分与定积分的区别与联系
不定积分与定积分的区别与联系
定积分和不定积分的区别：
1、定积分和不定积分计算的内容不同：不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子），定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字）。
2、定积分和不定积分计算的运算内容不同：不定积分是微分的逆运算，而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减积分。
积分，时一个积累起来的分数，现在网上，有很多的积分活动。
象各种电子邮箱，qq等。
在微积分中，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。
3、定积分和不定积分计算的应用不同：在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。
定积分和不定积分的联系：定积分与不定积分的运算法则相同，并且积分公式，计算方法也相同。
从牛顿-莱布尼茨公式看出，定积分与不定积分联系紧密，相互转换共用。
换元法在数学解题中的应用[文献综述]
![换元法在数学解题中的应用[文献综述]](https://img.taocdn.com/s3/m/fa00a3e2f5335a8102d220b6.png)
毕业论文文献综述信息与计算科学换元法在数学解题中的应用一、前言部分有些数学问题，由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。
但当我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简。
掌握了换元思想，不但可以比较顺利地解决一些较难的题目，还可以用多种方法解答同一个个问题，提高我们的思维。
数学中这样的例子有很多，无论是对一些具体问题的解决，还是在经典的数学方法中，都无不渗透着这一思想。
解题中常用到的换元法，其实也就是这一思想的具体体现。
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
尤其是在积分中应用很是广泛。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
为了使复杂繁琐的数学问题得到解决，利用换元法应进行有效替换。
在具体问题中，针对替换的有效性，人们做了很多的探讨。
有很多文章探讨了数学问题中的换元技巧，例如积分中的换元技巧、三角换元、无理递推式换元技巧等等。
每一类问题又由于其具体形式的不同，换元的形式也多种多样。
分析各种换元形式的共同规律，可以捡起归纳为以下几类：定积分换元法、不定积分换元法、三角换元、二重积分换元法、含无理递推式的换元法和换元法在其他方面的应用。
当遇到题中含有几个变量或次数较高问题时，我们可以考虑用换元法，能否消去某些变量或降低变量次数，起到减元降次的作用。
定积分的换元法与分部积分法
定积分的换元法与分部积分法定积分是微积分中的重要概念之一，它用于计算曲线与坐标轴之间的面积、弧长等问题。
在定积分的计算过程中，换元法与分部积分法是常用的两种方法。
本文将详细介绍这两种方法的定义、原理和具体应用，并通过实例来加深理解。
一、换元法换元法，也称为反向链式法则，是利用复合函数的导数来进行积分运算。
在定积分的换元法中，我们通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式，使得积分的计算更加容易。
具体步骤如下：1. 假设被积函数为f(x)，且能够表示为g(u)·u'(x)，其中u是一个关于x的函数。
2. 将u关于x求导得到u'(x)，并解出x关于u的表达式，即x=g^(-1)(u)。
3. 将f(x)中的x替换为g^(-1)(u)，得到f(g^(-1)(u))·u'(x)。
4. 将上述表达式中的dx替换为u'(x)·du。
5. 得到新的被积函数F(u)=f(g^(-1)(u))·u'(x)·du。
6. 对新的被积函数F(u)进行积分。
换元法的主要思想是将原本复杂的积分问题转化为一个简单的积分问题，从而更容易地求解。
下面通过一个例子来说明：例子：计算定积分∫(1+2x)^3·2dx。
解：步骤如下：1. 令1+2x=u，求导得到dx=du/2，将其带入被积函数中得到(1+2x)^3·2·(du/2)。
2. 将x=(u-1)/2，得到被积函数(u^3)·du。
3. 计算新的被积函数的积分即可，∫u^3·du=u^4/4+C，其中C为常数。
4. 将u替换为1+2x，得到最终的结果为(1+2x)^4/4+C。
通过换元法，我们成功地将原本复杂的被积函数简化为了一个简单的表达式，从而更容易地求出其积分。
二、分部积分法分部积分法是用于求解含有积分符号的乘积函数的积分。
在分部积分法中，我们通过对被积函数进行适当的分解和重新组合，使得积分的计算更加容易。
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
的反函数存在且连续，并且
。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通
过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量 的积分上下限后可以直接求职，不像不定积 分的计算最终需要对变量进行还原。
例 3 用第二换元法求解
解令
，则
这便证明了（2）式。 定积分中第二换元法的定理形式
定理 4 设 在 连续，作代换
，且
，则
，其中 在 构成的区间上有连续导数
证明 设 是 的一个原函数，则
是
的一个原函数。于是
，
定理得证。 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
1. 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 不定积分中第一换元法的定理形式
定理 1 若 则
，且
的原函数容易求出，记 ，
.
证明 若
，令
，于是有
因而
得证。 定积分中第一换元法的定理形式
定理 2 若 连续， 在 上一阶连续可导，且
成的区间上连续，其中
，则
证明 令
，由于 在
. 构成的区间上连续，记
，在 构 ，则
得证。 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：第一换元法在定积分中对未知量 给出了定义范围，要求换元函数 在该定义
域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。 联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用
不定积分的第一换元法求出简单函数 的任意一个原函数 ，再用原函数在 求
.
解 因为
即 有一个原函数
，所以
例 2 计算积分
.
定积分与不定积分的关系
不定积分是定积分的导数，即不定积分的结果可以求得原函数，而 定积分的结果可以求得原函数的值。
几何意义
定积分和不定积分都与几何图形有关，定积分表示曲线下面积，不 定积分表示曲线下的面积的微元。
定积分与不定积分的区别
计算方式
定积分需要知道上下限，而 计算不定积分不需要上下限
。
符号表示
定积分的符号为∫baf(x)dx，而 表示不定积分的符号为∫f(x)dx。
区间可加性
如果函数f(x)在[a, b]和[b, c]上分 别可积，那么在[a, c]上也可积， 并且$int_{a}^{c} f(x) dx = int_{a}^{b} f(x) dx + int_{b}^{c} f(x) dx$。
积分常数
对于任意常数C，有$int C dx = Cx + C_0$，其中C_0是积分常数。
益等。
不定积分的应用
求解微分方程
不定积分是求解微分方 程的重要工具，通过不 定积分可以找到微分方
程的解。
计算速度和加速度
不定积分可以用来计算 物体的速度和加速度， 从而了解物体的运动状
态。
优化问题
不定积分在优化问题中 有广泛的应用，例如求 解最值、最小成本等问
题。
THANKS
05
定积分与不定积分的计算方 法
定积分的计算方法
01
定义法
通过定积分的定义，将积分区间分成若干个小区间，计算每个小区间的
面积，然后求和得到定积分的值。
02
牛顿-莱布尼茨公式法
利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分，该公式将定积分转化为一个极限
值。
03
微元法
通过微元法计算定积分，将积分区间分成若干个微小区间，每个微小区
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
的任意一个原函数
，再用原函数在定义域的上
例1 求
.
解 因为
即 有一个原函数
，所以
例 2 计算积分
.
解 由于
于是
2. 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
不定积分中第二换元法的定理形式
定理 3 设 连续，
及
在且连续，并且
பைடு நூலகம்
都连续，
（1） 则
证明 将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得
的反函数
存 ，
（2）
， 这便证明了（2）式。
定积分中第二换元法的定理形式
定理 4 设 在 连续，作代换
，其中 在
续导数
，且
，则
构成的区间上有连
证明 设 是 的一个原函数，则
是 ，
的一个原函数。于是
定理得证。 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
1. 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 不定积分中第一换元法的定理形式
定理 1 若 则
，且
的原函数容易求出，记 ，
.
证明 若
，令
，于是有
因而
得证。 定积分中第一换元法的定理形式
定理 2 若 连续， 在 上一阶连续可导，且
构成的区间上连续，其中
，则
证明 令
，由于 在
. 构成的区间上连续，记
，在 ，则
得证。 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
区别：第一换元法在定积分中对未知量 给出了定义范围，要求换元函数 域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。
定积分的换元法和分部积分法
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
定积分换元法
0
令x 2sin t , 则dx 2 cos tdt , 4 x 2 2 cos t ;
t=0 ,
x=2 t=/2. 于是
2
2
x 2 4 x 2 dx 2
2
2
0
16sin 2 t cos 2 tdt 8
2 0
2
sin 2 2tdt
0
4
0
1 (1 cos 4t )dt 4(t sin 4t ) 4
2 2
2
0
sin 2tdt 4
2
2
0
1 cos 4t dt 2
1 2 2 (1 cos 4t )dt 2(t sin 4t ) 0 4
2 0
定积分换元积分法
7(5)
1
0
(1 x 2 ) dx 令x tant，则 dx sec tdt
2
3 2
且x 0 t 0； x 1 t
dx a cos tdt , x 0 t 0,
dt
d (sin t cos t ) sin t cos t
0
2
a sin t a 2 (1 sin 2 t )
0
cos t 1 dt 2 sin t cos t
2
0
cos t sin t 1 sin t cos t dt
4
4 4 （ 1 tan2 t） sec 2 tdt （ sec 2 t） sec 2 tdt 0 0
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别1.1不定积分中第一换元法的定理形式定理1若，且的原函数容易求出，记，则.证明若，令，于是有因而得证。
1.2定积分中第一换元法的定理形式定理2若连续，在上一阶连续可导，且，在构成的区间上连续，其中，则.证明令，由于在构成的区间上连续，记，则得证。
1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了定义范围，要求换元函数在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。
联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。
例1求.解因为即有一个原函数，所以例2 计算积分.解由于于是2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别2.1不定积分中第二换元法的定理形式定理3设连续，及都连续，的反函数存在且连续，并且，（1）则（2）证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得，这便证明了（2）式。
2.2定积分中第二换元法的定理形式定理 4 设在连续，作代换，其中在构成的区间上有连续导数，且，则证明设是的一个原函数，则是的一个原函数。
于是，定理得证。
2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换的反函数存在且连续，并且。
而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。
例3用第二换元法求解解令，则。
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换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
1.1不定积分中第一换元法的定理形式
定理1若，且的原函数容易求出，记
，
则
.
证明若，令，于是有
因而
得证。
1.2定积分中第一换元法的定理形式
定理2若连续，在上一阶连续可导，且，在构成的区间上连续，其中，则
.
证明令，由于在构成的区间上连续，记，则
得证。
1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了定义范围，要求换元函数在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。
联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。
例1求.
解因为
即有一个原函数，所以
例2 计算积分.
解由于
于是
2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
2.1不定积分中第二换元法的定理形式
定理3设连续，及都连续，的反函数存在且连续，并且
，（1）则
（2）
证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得
，
这便证明了（2）式。
2.2定积分中第二换元法的定理形式
定理 4 设在连续，作代换，其中在构成的区间上有连续导数，且，则
证明设是的一个原函数，则是的一个原函数。
于是
，
定理得证。
2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换的反函数存在且连续，并且。
而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。
例3用第二换元法求解
解令，则。