第6章 系统的稳定性

j ω
左 右（不稳定区）
0 σ第6章 系统的稳定性
控制系统的重要性能指标
6—1 稳定性
1 稳定性的概念稳定：系统在受到外界扰动作用时，其被控制量Y C (t)将偏离平衡位置
，当这个扰动作用去除后，若系统在足够长的时间内能恢复到其原来的平衡状态或者趋于一个给定的新的平衡状态，则系统是稳定的。

例：图6—1a)不稳定：若系统对干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大[图6—1b ）]或发生持续振荡[图6—1c ）]
，则系统是不稳定的。

2 判别系统稳定性的基本准则一个系统稳定的必要和充分条件是：其特征根均在S 平面的左半平面，亦即特征根都必须是负实数或具有负实部的复数。

解释：对
特征方程：
特征根：的根
稳定区：左半平面及原点
不稳定区：右半平面及不包含原点的虚轴
6—2 劳斯稳定判据对具有特征方程的系统，
步骤：
1）将系统特征方程的系数按下式整理成两行； s n∣ a n a n-2 a n-4 a n-6…
s n-1∣ a n-1 a n-3 a n-5 a n-7…
2)列劳斯阵列
s n∣ a n a n-2 a n-4 a n-6…
s n-1∣ a n-1 a n-3 a n-5 a n-7…
s n-2 ∣ c1 c2 c3…
s n-3 ∣ d1 d2 d3…
┇∣ ┇
s1∣ g1
s0∣ h1
c1 c2 c3 …的计算：
直到C值全为0
d1 d2…的计算：
直到d值全为0
注：为简化计算，用一个正整数去除或乘某一整行不改变结论。

3）根据劳斯阵列中的第一列（最左一列）各元a n,a n-1, c1,d1…g1,h1的符号来判断系统的稳定性。

标准：
稳定——劳斯阵列中第一列诸元的符号均为正
（符号改变的次数为0，且均为正值）
不稳定——劳斯阵列中第一列有符号改变，改变的次数就是不稳定
根的数目。

例1 设控制系统的特征方程为
试判别系统的稳定性。

特殊情况处理：
1）劳斯阵列的任一行中第1列元为0，而其余元至少有一个不为0；
方法1：用一个很小的正数ε代替第1列等于0的元参与后续计算，并令求极限判断符号。

例2 设系统的特征方程为
试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。

方法2：用代入原方程得到一个新的含P的多项式，再对此多项式应用劳斯稳定判据，可得相同结论。

2）劳斯阵列的任一行中的所有元都为0，即出现0行。

方法：用该0行的上一行构成一个辅助多项式，取该辅助多项式的一阶导数的系数来代替0行，然后应用劳斯稳定判据。

例3 （例6—4）
设系统的特征方程为
试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。

R （S ） C （S ）
—
6—3 Nyquist 稳定判据
根据开环传递函数的性质判断闭环系统的稳定性
1 基本原理
（1） 闭环特征方程极点与开环传递函数的关系，闭环特征方程零
点、极点间的关系
G （S ）H （S ）
对右图所示闭环系统：
闭环系统稳定：的根在S 平面的左半平面。

令，
则开环传递函数为：
闭环传递函数为：
所以：
可见：1）闭环特征方程的极点与开环传递函数的极点完全相同；
2）闭环特征方程的零点数等于极点数
2 幅角原理
当ω从变化到时，的Nyquist 曲线包围点的圈数为：
式中 P——开环右极点数；
Z——闭环右极点数（特征方程的右零点数）；逆时针包围时；顺时针包围时；不包围或顺逆时针包围圈数相等时。

3 Nyquist 稳定判据
充要条件：全部闭环极点均分布在左半[S]平面，即闭环右极
点数（特征方程的右零点数）Z=0，也即
注意：1）应用时应首先找出开环右极点数，然后仔细确定的Nyquist 曲线包围点的圈数N ，即可应用上述判据。

2）ω的变化范围是[，]，但画Nyquist 曲线时只需画ω从
0→∞即可，其原因是[，0]的Nyquist图与[0，]的Nyquist图关于横轴对称。

例1 设闭环系统的开环传递函数为
，（T1，T2，T3 >0）
试判别系统的稳定性。

解：由开环传递函数易见：P=0，且的Nyquist曲线包围
点的情况取决于K值，如下图所示。

设K=K L时，的Nyquist曲线正好
通过点(见图b)，闭环系统临界稳定（不稳定）；则K>K L时，的Nyquist曲线顺时针包围点两圈(见图a)，N=-2，Z=P-N=0-（-2）=2，闭环系统不稳定；
K<K L时，的Nyquist曲线不包围点(见图c)，N=0,Z=P-N=0-0=0，闭环系统稳定。

例2 [例6—7，P162]判别图6—11所示I型系统的稳定性。

解：
例3 已知某系统的开环传递函数为
试确定闭环系统稳定时k h的临界值。

6—4 系统的相对稳定性
1 相位裕量和幅值裕量k g
幅值穿越频率：Nyquist图与单位园交点处的频率。

相位裕量：连接原点与点得一直线，该直线与负实轴的夹角即为相位裕量。

>0，系统稳定，一般要求≈300~600 ；
<0，系统不稳定。

相位穿越频率：Nyquist图与负实轴交点处的频率。

幅值裕量k g ：
在Bode图上，k g 取分贝值，即
Db
k g >0，系统稳定，一般要求k g =8~20 dB
k g ≤0，系统不稳定；
和k g 在Bode图上的对应关系：图6—21，P168。

注意：1）评价一个系统的相对稳定性，应以和k g 同时衡量； 2）对最小相位系统而言，幅值穿越频率处的斜率以
—20Db/dec较为适宜，易满足≈300~600 的要求。