岩土工程可靠度分析的拉格朗日乘数法

ｚ ｇ（ ， ， ， ＝ ｘ１Ｘ２ … ｚ ） （） １
法［ 以及一些优化算法等 。近年来 还发展 了各种效率 ４ ］ 更高 的抽样方法如 Ｍｏ ｔ Ｃ ｒ 法［ 、 ｎｅ ａｌ ５ 自适应抽样法 、 ． ｏ ］ 重要抽样法等， 但该方法仍存在计算工作量较大， 效率 偏低 的缺点 。结构可靠度分析方法是安全 系数法的有 益补充 ， 两种方法结合能更好地 为工程决策提供依据 。 结构 的功能函数一般是高度非线性的 ， 采用验算点法进 行可靠指标的迭代求解时常会遇到迭代不 收敛或发散 的现象［ 。改进一次二 阶矩法 （ 算点法） 即 Ｆ Ｒ ６ ］ 验 ， Ｏ Ｍ 法 ， Ｈａｏｅ－ｉｄ 其 ｓＩ Ｌｎ 可靠 指标是 极限状 态函数 的不变 ｒ 量解答 ， 具有明确 的几何意义 ， 最常见的解法是迭代法 ， 相关 变 量则 需要 进 行 独 立 变换 ， Ｒｏｅｂａｔ 如 ｓｎ ｌｔ 变换 、 正 交变换等， 实际应用多有不便 。应该说优化方法计算结 构的可靠指 标是一 种较有效 的途径 ， 文献 Ｅ ３ 改 进 ７用 Ｐ ｗ ｌ法研制的可靠度优化分 析方法较好 地计算 了可 ｏｅ ｌ 靠指标 ， 但现有的大部 分优化方法求解较为复杂 ， 有时 还需要用到功能函数的二阶偏导数或逆矩阵， 有时还会 陷人 局部 极小 值 ［ 。本 文 介 绍 了拉 格 朗 日乘 数 法 基本 ８ ］ 原理 ， 将之用 于 岩 土工 程 结 构 可 靠 度 分 析 中 ， 过算 并 通 例 说 明该 方法 的可靠性 和 有效性 。 １ 可 靠 度分 析 的拉格 朗 日乘数 法 １１ 可 靠指标 的 几何 含义 ．
２１ 年 第 １ ０２ 期
西部探 矿工 程
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岩 土 工 程 可 靠 度 分 析 的拉格 朗 日乘 数 法
贾立术 ， 卢争艳
（ 河南理工大学高等职业学院， 河南 焦作 ４４０ ） ５０ ０
摘 要： 于可靠指标标准正态空间计算的数学模型， 基 运用拉格朗 日乘数法， 出了计算岩土工程设 提 计验算点和可靠指标的方法。该方法适用于任何概 率分布 的相关变量 ， 不必计 算当量正态均值和方 差、 相关变量独立变换 ， 也适用于功能函数为高度线性时采 用 Ｊ Ｃ法计算可靠指标迭代 不能收敛的情 况 。通过 建 立构造 函数 ， 然后 求其 对各 个 变量的 一阶偏 导并 与 结构 的 功 能 函数联 立 求解 出验 算 点 坐 标， 之后求出可靠性指标。由于标准正态分布 函数的反函数表达式不能给 出， 在求解其导数时可使用 有理 多项式法求解。通过二个算例分析表明该方法简单、 可靠和有效 ， 值得在工程实践 中推广。 关键 词 ： 靠指标 ； 格 朗 日乘 数 法 ； 理 多项式 法 ； 土工程 可 拉 有 岩 中图分类 号 ： ７． １ 文献 标识 码 ： 文章 编 号 ：Ｏ ４ ７６ ２ １） １ Ｏ ５ ４ ０１４ ２ Ａ １Ｏ —５ １（０ ２Ｏ 一ＯＯ —０ 随着可靠度理论的迅速发展和 日 趋完善， 它在岩土 工程 中 日益 得 到重 视 并 已经 得 到 广 泛 的应 用 ［ 。在 结 １ ］
西 部探矿 工 程
２１ ０２年第 １ 期
或 Ｇ（１ ２… ， ： ∑ ４２ （ ｌｚ ， ， ４ ｘ ， ， ｚ） ｆ ｇ ｘ ，２… ｚ ）（ ） －
法， 由于 ５ 点公式精度最好［ ， ９ 因此本文算例采用 ５点 ］ 公） ４ 计算 ， 为某一常数 ， Ａ 求式 （ ） ４ 对 ｚ ，ｚ … ， 的一阶偏导数 ， Ｘ ， 并使之为零 ， 然后与方 程 ｇ（ １Ｘ ， ，Ｄ 一０ 立起 来 ： ｘ ，２… ｘ 联
净 【 ＝ ｇ（ ｆＸ２ … ， 一Ｏ ｚ ｘ， ， ｚ） （） ３
如 果各个 随机 变量 服从 一般 分 布时 ， 可进行 高斯 变 换。
１２ 可靠度 分 析的拉 格 朗 日乘 数 法 ．
令 （ ｚ …， 一 一 ∑“ 一∑ （ 中 Ｖ一 ｚ ， ， ｚ） 其 ｉ “） 于是式（ ） ， ３ 实质就变为在条件 ｚ （ Ｘ ， ｘ ） ＝ｇ ｘ ，ｚ…， ｎ ＝０下 函数 （ ，。… ， ） ｚ ， 的极值 求解 问题 ， 因此根 据 拉格 朗日乘数法可以构造函数 ：
Ｇ（ ｌ Ｘ２ … ， ） ｘ ， ， ： （ ， ， ， ＋ ｇ（ １ ２ １ ２ … ｚ ） ｚ， ，
’
第一作者简介 ： 贾立术 （９ ３ ， （ １７ 一 男 汉族） 河南商城人 ， ） ， 高级讲师， 现从 事岩 土工程 可靠度等方面的教学和研究工作 。
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… ， ｚ）
构 可靠 度分 析 中 ， 目前 常用 的方法 归 纳起来 主要 有一 次 二 阶矩 法 （ ０Ｒ ［ 、 Ｆ Ｍ）２ 响应 面法 （ Ｓ ［ 、 ］ Ｒ Ｍ）３ 随机 有 限元 ］
从可靠度分析 的一次二阶矩理论可知 ， 对于独立正 态分 布 的变量 ， 在极 限状 态 方 程 为线 性 时 ， 可靠 度 指 标 在标准正态坐标 系中等 于原点 到极限状态平面 （ 或直 线） 的最 短距 离 。ｓｉｏｕ ａ已经证 明 ： ｈｎｚｋ 如果失 效 面在 某 点至坐标原点 的距离是失效 面上所有各点至坐标原点 的最短者 ， 则该点就是最可能的失效点 。可以证明该距 离就是可靠度分析 中的一个重要指标——可靠指标 。 因此 ， 具有 咒个 正态 变量 的极 限状态 方 程为 ： 设
＊ 收稿 日期 ：０ １０ —１ 修 画 日期 ：０ １０ －０ ２ １－３３ ２ １－４１
将 各正态 变量 标准 化 ：
一
（ 一 ） ／
（） ２
式中： 、 ——变量 的均值和标准差。
则可靠指标标准正态空间计算的数学模型为：
ｆ－ｍｉ（ ｌ－ ｆ－ ｎ ∑ ）／