二次规划基本介绍

k a1 ark x 0 k amk
xB ( x1 x2 ,, xr ,, xm ) B (p1p2 ,, pr ,, pm )
xB ( x1 x2 ,, xk ,, xm ) B (p1p2 ,, pk ,, pm )
4.非线性结构优化
这就是K-K-T条件，
P

f (x)

2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划：最优性条件
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
（13）退化基本可行解：基本可行解中至少一个基本变量为0时这解称为 退化基本可行解。 基本可行解 可行域
可行解
退化基本解
非退化基本解
退化基本可行解
（三）线性规划问题的性质 性质1：
性质2：
性质3：
0
性质2
性质4
不等式
+
松弛变量
可行域
可行域边界
Ax b
等式
r ( 0)
BxB NxN b

f (x)

2
x
*
g1 (x)
P

2
g1 (x)
Fra Baidu bibliotekg1 (x) 0
g1 (x) 0
P
f (x)
最优点 x* ， f (x ) 一定在 g1 (x* )与 g 2 (x* ) 之间， * 所以 f (x ) 可以起作用的 g j (x* ) 非负线性组合表示。
（10）基本可行解： 满足非负条件的基本解称为基本可行解。
x (xB ,0)
（xB 0 ）
（11）退化基本解：基本解中至少一个分量为0时这解称为退化基本解。
i xB 0 （i 0 ）
（12）非退化基本解：基本解中没有基本变量为0时，这解称为退化基本解。
i xB 0 （i 1 ， 2， , m）
Ax b BxB NxN b （5）基本矩阵：若 Amn 的秩R(A) m , 则非奇异矩阵 Bmm 称为线性规划的
基本矩阵。 （6）非基本矩阵： N m( nm ) 称为线性规划的非基本矩阵。 （7）基本变量： x B 称为线性规划的基本变量。 （8）非基本变量： x N 称为线性规划的非基本变量。 （9）基本解：x (xB ,0) 称为线性规划的基本解。
BxB b
基本可行解
Ax r b
Ax b
最优解
x* xB
xB (x1 , x2 ,, xm ,0,0,,0)
顶点
=
(1) 确定替换基本变量的非基本变量
a11 a12 a21 a22 am1 am 2
a1m a2 m amm
4.3二次规划
Find x min f ( x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j 1, 2,, n ) j
非线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—非线性）
非线性优化问题
（目标函数—非线性）
线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—线 性）
有约束优化问题
a1m1 a1m1
a1m 2 a1m 2

am,m1 am,m 2
B (p1p2 ,, pr ,, pm )
f f 0 (ck zk ) xk
1 0 0 1 0 0 0 x1 x 0 2 1 xm
ai x( k1) bi ai ( x( k ) k d ) bi ai x( k ) bi
ai x ( k 1) bi
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：其它算法简介
单纯形法的小结
（一）线性规划的标准形式： （二）基本概念
m i nz c T x Ax b s.t. x 0 j
T
（1）可行解：满足全部约束条件的决策向量称为可行解。 x ( x1 , x2 ,, xn , ) （2）可行域：全部可行解所构成的空间称为可行域。 （3）最优解：使目标函数达到最小的可行解称为最优解。 （4）无界解：若目标函数无下界称为无界解。
j
x2
x*
处起作用的约束 g1 (x) 0, g 2 (x) 0
f (x) ci
g1 (x) 0
*
x
f (x(0) ) x ( k ) g 2 (x) 0 x (0)
f (x( k ) )
x1
搜索方向满足； f (x)
P 0 ，即； f (x)T P 0 f (x)T 与 P 夹角；
*
(1) f (x) j g j (x)
m
( j 1,2,, m)
(4) j 0
j 1
起作用的约束经过最优点 ， g j (x) 0 , j 0
(3) j g j (x) 0
最优点满足所有的约束条件，
g 2 (x) 0
g 2 (x)
(2) g j (x) 0
(2-5)
BXB CXC b
XB B-1C bB-1
(2) 确定被替换基本变量 x r
bi br 0) min( aik 1i m aik ark
x1 b1 x b r r xm bm
T
2
g 2 (x)

f (x) ci
f (x)
2 g 2 (x) 0
夹角；

2
f (x)
P
g 2 (x)
P
g1 (x) 0
x*
f (x)
g1 (x)
夹角；
f (x)
g 2 (x) 0
g 2 (x)
g 2 (x) 0
g 2 (x)
P
二次规划：等式约束问题
二次规划：不等式约束问题的有效集法
1 k min( f (x ( k 1) ) f (x ( k ) )) min T f (x ( k ) )d k d T T f (x ( k ) )d k 2
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：不等式约束问题的有效集法
f (x) j g j (x) 0 （梯度条件）
j 1
m
g j ( x) 0
（约束条件） （松弛互补条件） （非负条件） （正则条件或约束规格）
j g j ( x) 0 j 0
g j (x) 线性无关
( j 1,2,, m)
x ( 0 ) 处没有起作用的约束（可行域内部 g (x) 0 没有约束限制） x ( k ) 处起作用的约束 g2 (x) 0
线性优化问题
（目标函数—线性） （约 束—线性）
K-K-T条件的几何意义
（1）K-K-T条件
定义：
min f (x) s.t g j (x) 0 ( j 1,2,, m)
K-K-T条件
L(x, λ) f (x) j g j (x)
j 1
m
(1) (2) (3) (4) (5)
k
B
C
XB x1 a1n b1 a1n xm b2 xm1 amn bm x XC n
(c z ) min
k k im1,n
i
m 1 a1 m 1 a2
k a1 k a2

,m 1 am ,k am
0 n 0 b1 a1 n b2 a2 xk amn b m 0