二次规划基本介绍

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最小化约束的名词解释

最小化约束的名词解释在数学和工程领域中，最小化约束是一种优化问题的形式化描述，旨在寻找满足特定条件的最小值或最佳解的方法。

最小化约束常常出现在许多实际问题中，例如经济规划、机器学习、网络优化等领域。

一、最小化约束的基本概念最小化约束的核心思想是通过对变量的限制条件进行约束，找到满足约束条件下的最优解。

在数学上，常常使用约束条件来限制可行解空间，从而减少问题的搜索范围，提高求解效率。

最小化约束问题一般由两部分组成：目标函数和约束条件。

目标函数是需要优化的目标，可以是一个标量或者向量。

约束条件则是对变量的限制条件，可以是等式或者不等式形式。

最小化约束问题的数学描述可以表示为如下形式：minimize f(x)subject to g(x) ≤ 0, h(x) = 0其中，f(x)表示目标函数，x为变量向量；g(x) ≤ 0表示不等式约束条件，h(x) = 0表示等式约束条件。

求解最小化约束问题的目标是找到一个使得目标函数最小化的变量值，并满足约束条件的最优解。

二、最小化约束的求解方法为了解决最小化约束问题，可以采用多种求解方法。

下面介绍其中几种常用的方法。

1.拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）拉格朗日乘子法是一种常用的最小化约束问题的求解方法。

该方法将约束问题转化为无约束问题，通过引入拉格朗日乘子，构建拉格朗日函数，并求解该函数的驻点来得到最优解。

2.线性规划法（Linear Programming）线性规划法是一种针对线性目标函数和线性约束条件的最小化约束问题的求解方法。

它通过对目标函数和约束条件进行线性化，将问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法来求解最优解。

3.非线性规划法（Nonlinear Programming）非线性规划法适用于目标函数和约束条件为非线性形式的最小化约束问题。

这种方法基于目标函数和约束条件的非线性性质，通过引入适当的优化算法来求解最优解。

二次规划

从一个准互补基本可行解到另一个准互补基本可行解的转换，直至得到互补基本可行解。初始解：人工变量为进基变量，选离基变量使之成为准互补基本可行解。
z0 max{ qi | i 1,...., m n} qs z 0, w q ez0 q eqs 0

主元选择规则：

若wi(zi)离基，则zi(wi)进基。离基变量按最小比值原则选取。
用Lemke方法求解：
2 min f ( x) x12 x1 x2 2 x2 x1 10 x2
3 x1 2 x2 x 0 s.t. 1 x2 0
w1 9 w2 0 w 3 16 z1 0 z 2 0 z3 0 z 10 0
x L ( x, ) 0 L ( x, ) 0
Q R H A : R S A 0
T T 1
H AT x c 0 b A
x Qc R T b
可行下降方向
若x点的某一方向， d 则称d为x的可行下降方向。
既是该点的可行方向，又是该点的下降方向
§5.5.1 Zoutendijk（约坦狄克）可行方向法
I. 线性约束情形 II. 不等式约束情形 III.一般约束情形
待解决的问题

搜索方向的确定
搜索步长的确定初始点的确定

线性约束情形
6
0 0 26 / 5 0 9/5 0 14 / 5
0 0 0 13 / 14 33 / 14 0 3/ 2

凸优化问题的二次规划算法研究

凸优化问题的二次规划算法研究第一章引言1.1 研究背景凸优化问题是数学规划中的一个重要分支，广泛应用于工程、经济、金融等领域。

在实际问题中，许多优化问题可以转化为凸优化问题，而二次规划是一类重要的凸优化问题。

二次规划在实际应用中具有广泛的需求和重要性，因此研究二次规划算法具有重要的理论和应用意义。

1.2 研究目的本文旨在对凸优化问题中的二次规划算法进行深入研究和分析，探讨其数学原理和求解方法。

通过对不同算法进行比较和评估，为实际应用提供可行性和可靠性。

第二章二次规划基本概念2.1 二次规划定义对于一个凸函数f(x)和一组线性等式约束g(x)，满足约束条件下求解以下形式目标函数最小值：minimize f(x)subject to g(x) ≤ 02.2 函数形式在实际应用中，目标函数f(x)通常是一个多项式，并且约束条件g(x)可以是一组线性等式或不等式。

第三章二次规划求解方法3.1 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解二次规划问题的方法。

通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为求解一个无约束优化问题。

3.2 内点法内点法是一种高效的求解二次规划问题的方法。

通过将约束转化为罚函数，将原问题转化为一个无约束优化问题。

第四章二次规划算法比较4.1 拉格朗日乘子法 vs 内点法比较拉格朗日乘子法和内点法两种常用的二次规划算法。

从理论和实际应用角度比较两种算法的优劣，分析其适用场景和效率。

4.2 其他相关算法介绍其他一些与二次规划相关的算法，如梯度下降、牛顿迭代等。

分析这些算法与传统方法之间的差异和优劣，并探讨其在实际应用中的适用性。

第五章二次规划在实际应用中的案例分析5.1 工程优化设计以工程设计中常见的最小成本、最大效益等目标函数为例，分析二次规划在工程优化设计中的应用。

5.2 金融投资组合优化以金融投资组合优化为例，分析二次规划在金融领域中的应用。

通过构建合适的目标函数和约束条件，实现最优的投资组合。

烟台市城市轨道交通项目建设规划二次公示简本

烟台市轨道交通建设规划（2016-2022年）及线网规划环境影响报告书（简本）评价单位：中海环境科技（上海）股份有限公司建设单位：烟台市轨道交通有限公司2016年1月1、规划方案概述根据《烟台市轨道交通线网规划》，烟台市城市轨道交通线网远景线网方案由4条线组成，总规模约为200公里。

分为两个功能层次，1、3号线为中心区骨干线，服务于芝罘、开发区、莱山和福山4大组团，属于大运量系统。

2、4号线为快线，分别服务于八角、牟平东西两翼与中心区之间的快速联系，属中运量系统。

《烟台市轨道交通建设规划（2016-2022年）》主要包括2条线路，分别为1号线、3号线。

项目总规模约为87km，共设车站69座。

2、环境影响评价主要结论2.1声环境影响分析与评价从声环境保护的角度，部分高架线周围分布着噪声敏感建筑物，须采取道床减振、设置声屏障等综合环境保护措施降低轨道交通对沿线声环境敏感区的影响。

只要在设计阶段合理选择设备的位置、型号，并辅以风道消声器及隔声措施，风亭、冷却塔噪声可控制到可接受水平。

车辆段与停车场内检修、洗车等作业噪声，只要合理布局，厂界噪声一般可满足2类区厂界标准。

2.2振动环境影响分析与评价（1）虽然地下线路的振动影响较突出，且沿线的既有或规划敏感建筑相对集中，但由于地铁振动的污染振动治理措施较为成熟，在规划实施中可根据沿线建设情况对待开发区域轨道交通线路两侧进行空间用地控制，必要时根据具体振动影响的程度选择相应的治理措施，轨道交通振动影响一般不会成为建设规划实施的制约因素。

（2）二次结构噪声源于轨道交通车辆与轨道的振动，降低轨道交通振动就可以相应减轻二次结构噪声影响，采取浮置板道床、弹性短轨枕等减振等措施也可以从根本上减轻二次结构噪声影响。

2.3地表水环境影响分析与评价（1）本规划实施期间，施工期污水主要来自轨道工程实施过程中产生的生产污水、生活污水及由地表径流导致的污染物入渗；轨道交通运营期污水主要来自于沿线车站、控制中心、停车场和车辆段排放生产废水和生活污水。

二次规划ppt课件

• 满足约束条件的点称可行点，可行点集合构成可行域
2
线性规划与非线性规划
• 非线性规划(Nonlinear Programming)
• 非线性规划的数学模型可以表示为
min f x
xRn
s.t. gi x 0 i hj x 0 j
• 在目标函数或者约束函数中至少有一个函数是非线性的 • 当非线性规划问题的可行域为整个实数域时，称为无约束优化问题，
0
优化问题无界或者不可行
• output.a lgorithm
output.iterations
优化算法类型算法的迭代次数
• lambda.ineqlin
不等式约束的乘子
lambda.eqlin
等式约束的乘子
14
lambda.lower / upper 变量下界和上界
案例分析
• 假设有四种投资1,2,3,4，第i种投资的收益率 ri 的预期收益均值为 i E ri ，
• 在满足收益率条件下最小化风险模型：
min f x 1 xTQx 2
2 s.t. uT x M
4
xi 1, x 0
1
16
案例分析
Q 社保债券技术交易中心管理咨询中心游乐中心预期收益
社保债券 2 0.4 0.1 0 7
技术交易中心管理咨询中心
0.4
0.1
4
3
3
6
-1
1
8
10
游乐中心 0 -1 1 10 14
方差
2 iBiblioteka Erii2
表示投资的风险大小，即收益率关于均值的偏离程度
• 令 xi 为第i个项目的投资额占总投资的比例，向量 x x1, x2, x3, x4 T表示一个

规划数学最优性条件及二次规划

判别条件
D 若
是 X (0) 的任一可行方向，则有 g j (X ) (0) T D 0, j J (X (0) ) (1)
3 下降方向定义:
X (0) R, 0, [0,0] 时有 f (X (0) D) f (X (0) ) 称 D 为X (0)处的下降方向
判别条件
若 D 是 X (0) 的任一下降方向，则有 f ( X (0) )T D 0 (2) 若 D 既满足（1）式又满足（2）式则称 D 为 X (0)的下降可行方向
*) 2*g2 ( X 1*g1( X *) 0 2*g2 ( X *) 0
*
)
3*g3
(
X
*
)
0
3*g3 ( X *) 0
1*, 2*, 3* 0
1
0
1*
3(1 x1* 1
)2
2*
1 0
3*
0 1
0 0
1*[(1 x1*)3 x2*] 0 2* x1* 0
(2)
x2
3, 1
1 6
X (0, 3)T 是K-T点
(iii)
1
0, 2
0
( 3),( 4 )
x12
x1
x22 x2
9 1
T
X
1
2
17
1 17 2
, 或X
1 17 2
(1) (2) 21(x1 x2 ) 1 2x1 (6)
T
1 17 2
将求出的 1 17 1 17 T
p
处起作用（紧）约束的下标集
记 R=X g j (X ) 0 j 1,..., p 或 R=X g j (X ) 0 j 1,..., p;hi (X ) 0,i 1,..., m

解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法

解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题中。

在SVM的训练过程中，二次规划问题是关键步骤之一，它的解决方法对于SVM的性能和效率具有重要影响。

本文将解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法。

一、SVM的基本原理SVM的目标是找到一个超平面，将不同类别的样本分开。

超平面的选择是基于最大间隔原则，即使得样本点到超平面的距离最大化。

为了实现这一目标，SVM将问题转化为一个二次规划问题。

二、二次规划问题的定义给定一组线性约束条件和一个二次目标函数，二次规划问题的目标是找到一组变量的取值，使得目标函数最小化或最大化，同时满足线性约束条件。

在SVM中，二次规划问题的目标是最小化一个二次函数，同时满足一组线性不等式约束。

三、二次规划问题的形式在SVM中，二次规划问题的形式如下：minimize 1/2 * x^T * Q * x + p^T * xsubject to G * x <= hA * x = b其中，x是待求解的变量，Q是一个正定矩阵，p是一个向量，G是一个矩阵，h是一个向量，A是一个矩阵，b是一个向量。

四、求解二次规划问题的方法针对SVM中的二次规划问题，有多种求解方法。

常用的方法包括序列最小最优化（Sequential Minimal Optimization，简称SMO）、内点法等。

1. 序列最小最优化（SMO）SMO是一种迭代的优化算法，通过每次选择两个变量进行优化，并固定其他变量，来求解二次规划问题。

SMO算法的核心思想是将原问题分解为一系列子问题，并通过求解子问题的最优解来逐步逼近原问题的最优解。

SMO算法具有较好的收敛性和高效性，因此在SVM中得到了广泛应用。

2. 内点法内点法是一种基于迭代的优化算法，通过在可行域内搜索最优解来求解二次规划问题。

内点法的核心思想是通过引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，从而将原问题转化为一个无约束的优化问题。

二次规划基本介绍

二次规划基本介绍二次规划（Quadratic Programming，简称QP）是数学规划的一种特殊形式，它的目标函数是二次函数，约束条件是线性函数。

在实际应用中，二次规划被广泛应用于经济学、运筹学、工程学等领域，具有重要的理论和实际意义。

二次规划的一般形式可以表示为：$$\begin{aligned}\min_{x} \quad & \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\\text{s.t.} \quad & Ax \ge b \\&Cx=d\end{aligned}$$其中，$x$是优化变量，$Q$是一个对称正定的矩阵，$c$、$b$、$d$都是列向量，$A$、$C$是约束矩阵。

在约束条件中，$Ax \ge b$表示一组不等式约束，$Cx = d$表示一组等式约束。

二次规划的优化目标是寻找满足约束条件的$x$，使得目标函数最小。

目标函数由两部分组成，一部分是二次项，一部分是线性项，其中$Q$是二次项的系数矩阵，$c$是线性项的系数向量。

由于$Q$是一个对称正定矩阵，所以二次项是凸的，使得问题具有良好的性质。

二次规划的解法有多种方法，以下介绍其中两种常用的方法：内点法和激活集方法。

内点法是一种迭代求解二次规划问题的方法。

它通过将二次规划问题转化为一系列等价的线性规划问题来求解。

在每一次迭代中，内点法通过将问题的方向限制在可行域的内部，逐渐逼近最优解。

使用内点法求解二次规划问题的一个优点是，可以在多项式时间内找到最优解，尤其适用于大规模的问题。

激活集方法是一种基于约束的求解方法。

它通过不断修改约束条件，从而求解二次规划问题。

在每一次迭代中，激活集方法选取一个子集，称为“激活集”，包含满足等式约束、不等式约束等的约束条件。

然后通过解析方法或数值方法求解这个子问题，得到对应的最优解。

该方法的优点是，可以很好地处理不等式约束和等式约束，并且收敛性良好。

除了内点法和激活集方法，还有其他的求解方法，如：序列二次规划、信赖域算法、光滑方法等。

quadprog函数的介绍和应用

二次规划问题1.二次规划及其基本思想二次规划问题是最简单的非线性规划问题，它是指约束为线性，目标函数为二次函数的优化问题，这类优化问题在非线性规划中研究得最早，也研究得最成熟。

二次规划迭代法的基本思想是把一般的非线性规划问题转化为一系列二次规划问题进行求解，并使得迭代点能逐渐向最优点逼近，最后得到最优解。

如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这样规划为二次规划。

其数学模型为：2.二次规划问题的数学模型⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤+ubx lb beq x Aeq bAx t s x f Hx x TT x ·..21min ，式中，H ，A 和Aeq 为矩阵；f,b, beq, lb, ub, 和x 为向量。

3.QuadProg 函数quadprog 函数可以求解二次规划问题。

quadprog 函数的几种调用格式：•x=quadprog(H,f,A,b)这个函数的功能是：用来解最简单，最常用的模型：x f Hx x T T +21Subject tobAx ≤•x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x=beq。

•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,)定义设计变量的下届Ib和上界ub,使得lb<=x<=ub。

•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)功能同上，并设置初值x0。

•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小化。

以上通用格式为x=quadprog(problem)√problem 结构字段说明字段说明字段说明H二次规划中的二次项矩阵lb自变量下界约束f二次规划中的一次项向量ub自变量上界约束Aineq线性不等约束的系数矩阵x0初始点bineq线性不等约束的右端向量solver求解器，为“quadprog”Aeq线性等式约束的系数矩阵options options结构beq线性等式约束的右端向量•[x,fvaI]=quadprog(H,f,A,b)这个函数的功能是，返回解x 处的目标函数值，即二次规划的极值fval=•[x,fvaI,exitfIag]=quadprog(H,f,A,b)返回exitfIag 参数，描述计算的退出条件。

二次规划资料

向。
内点法的改进
• 修正内点法：引入正则化项，提高内点法的稳定性和收敛性。
• 梯度投影法：利用梯度的投影性质，简化内点法的计算。
• 并行内点法：利用多核处理器并行计算，提高计算速度。
修正牛顿法
修正牛顿法原理
• 基本思想：引入正则化项，使得海森矩阵具有更好的条件数。
• 更新公式：^(k+1) = ^k - ^(-1)^k - ^(-1)，其中为步长因子。
• 敏感性分析图：绘制模型结构与最优解的关系图，直观
的可行域，从而影响最优解的值和位置。
展示模型结构变化对最优解的影响。
06
二次规划问题的拓展与推广
多目标二次规划问题
多目标二次规划问题
• 定义：多目标二次规划问题是一类求解多个目标函数的二次规划问题，目标函数
之间可能存在冲突或权衡。
• 决策变量：多目标二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
非线性二次规划问题
• 定义：非线性二次规划问题是一类目标函数或约束条件为非线性函数的二次规划
问题。
• 决策变量：非线性二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
• 目标函数：非线性二次规划问题的目标函数是一个非线性二次多项式函数，通常
表示为最小化形式。
非线性二次规划问题的求解方法
• 转化为线性问题：通过变量替换或线性化方法，将非线性二次规划问题转化为线性
参数变化对最优解的影响
敏感性分析的方法
• 目标函数系数变化：目标函数系数的变化会影响最优解
• 参数扫描：遍历参数取值范围，观察最优解的变化情况。
的值和位置。
• 敏感性分析图：绘制参数与最优解的关系图，直观展示
• 约束条件变化：约束条件的变化会影响最优解的可行域，

cvxopt库中的solvers.qp数学原理

cvxopt库中的solvers.qp数学原理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：cvxopt是一个用于凸优化的Python库，其solvers模块中的qp 函数是用于求解二次规划问题的。

在实际的数学优化问题中，二次规划问题是一类常见且重要的问题，其形式可以表示为：minimize 0.5 * x^T P x + q^T xsubject to Gx <= hAx = b其中，P是一个对称半正定矩阵，q是一个列向量，G和A是矩阵，h和b分别是满足不等式约束和等式约束的列向量。

在cvxopt的qp函数中，采用的是一种称为内点方法的求解算法。

内点方法是一种高效的求解凸优化问题的方法，其基本思想是通过引入松弛变量来将原始问题转化为等价的可行性问题，然后利用迭代的方式逼近最优解。

在每一步迭代中，将原始问题转化为一系列的线性规划子问题，并利用牛顿方法求解这些线性规划子问题。

通过不断迭代，最终达到原始问题的最优解。

具体来说，cvxopt的qp函数首先将原始二次规划问题表示为标准形式：minimize 0.5 * x^T P x + q^T xsubject to Gx <= hAx = b然后，使用内点方法逐步逼近最优解。

在每一步迭代中，首先构造一个Karush-Kuhn-Tucker（KKT）系统，包括原始问题和拉格朗日乘子的一阶和二阶导数关系。

然后，利用牛顿方法来解这个KKT系统，得到更新的解向量和拉格朗日乘子。

通过不断迭代以上步骤，最终收敛到原始问题的最优解。

需要注意的是，在求解过程中，cvxopt的qp函数会处理约束条件的线性等式和不等式，以及对不等式约束使用Slack变量进行松弛处理。

同时，还要注意到内点方法的迭代次数和收敛性与问题的复杂度有关，对于大规模的问题可能需要更多的迭代次数来求解。

总的来说，cvxopt库中的solvers模块提供了一个强大而高效的二次规划求解工具，采用了内点方法来求解问题。

二次规划的算法研究

Ｋａｒｍａｒｋａｒ的著名算法…Ｌ一梯度投影算法发表以来，其理论上的多项式收敛性及
实际计算的有效性，使得内点算法成为近十多年来优化界研究的热点。受Ｋａｒｍａｒｋａｒ算法的影响，二次规划的内点算法紧接着也被提了出来。内点算法的基本思想就是在可行域的内部产生一个点列，使得这个点列收敛到原问题的最优解。
关键词：二次规划Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶严格可行内点算法不可行内点算法中心路径算法线性互补
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｑｕａｄｒａｔｉｃｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｂｒａｎｃｈｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，
ｗｈｉｃｈｈａｓｗｉｄｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｍａｎｙｆｉｅｌｄｓｓｕｃｈａｓｏｐｅｒａｔｉｏｎｒｅｓｅａｒｃｈ，ｅｃｏｎｏｍｉｃａｌ
Ｌｉｎｅａｒｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ
创新性声明
本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。
ｓｔｕｄｙｉｎｇｓｉｔｕａｔｉｏｎＯｆｑｕａｄｒａｔｉｃｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇａｌｅｂｄｅｆｉｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｃｈａｐｔｅｒｏｎｅ．Ｉｎ
ｏｒｄｅｒｔｏｏｂｔａｉｎｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｃｏｎｖｅｘｑｕａｄｒａｔｉｃｐｒｏｇｒａｎｕｎｉｎｇ，ｂａｓｉｃ
且／（ｘｔ），ｆ（ｘ：），…的极限存在时，有，（Ｄｓ垫ｆ（ｘｔ）；

二次规划问题

错误!未定义书签。

序列二次规划法求解一般线性优化问题:12min (x)h (x)0,i E {1,...,m }s.t.(x)0,i {1,...,m }i i f g I =∈=⎧⎨≥∈=⎩ (错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

)基本思想：在每次迭代中通过求解一个二次规划子问题来确定一个下降方向，通过减少价值函数来获取当前迭代点的移动步长，重复这些步骤直到得到原问题的解。

1。

1等式约束优化问题的Lagrange-Newton 法考虑等式约束优化问题min (x)s.t.h (x)0,E {1,...,m}j f j =∈=\＊ MERGEFORMAT 错误!未定义书签。

(错误!未定义书签。

.错误!未定义书签。

) 其中:,n f R R →:()n i h R R i E →∈都为二阶连续可微的实函数. 记1()((),...,())T m h x h x h x =。

则错误!未定义书签。

（错误!未定义书签。

.错误!未定义书签。

)的Lagrange 函数为： 1(,)()*()()*()mT i i i L x u f x u h x f x u h x ==-=-∑（1。

3)其中12(,,...,)T m u u u u =为拉格朗日乘子向量。

约束函数()h x 的Jacobi 矩阵为：1()()((),...,())T T m A x h x h x h x =∇=∇∇。

对（1.3）求导数，可以得到下列方程组：(,)()A()*(,)0(,)()T x u L x u f x x u L x u L x u h x ∇⎡⎤⎡⎤∇-∇===⎢⎥⎢⎥∇-⎣⎦⎣⎦（1.4）现在考虑用牛顿法求解非线性方程(1。

4）.(,)L x u ∇的Jacobi 矩阵为:(,)()(,)()0T W x u A x N x u A x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭(1。

5）其中221(,)L(,)()*()mxx iii W x u x u f x u h x ==∇=∇-∇∑是拉格朗日函数L(,)x u 关于x 的Hessen 矩阵。

二次规划

9.6 二次规划
二次规划是特殊的非线性规划，它形式简单，既可以使用求解非线性规划的一般方法求解，又有特定的解法；此外，二次规划在实际中有着广泛的应用，例如著名的支持向量机，在本质上就是一个二次规划问题．本节着重介绍凸二次规划问题的一些性质和求解方法．
9.6.1 二次规划的基本概念与基本性质
* T i i *
m l
很明显 A ( x x ) =0 ，而
i 1 * i T i *
m
i m 1
A
* i
m l
T i
( x x* ) 可以写成两部分之和，分别是
根据 x* 处起作用约束和不起作用不等式约束下标分别求和，由（ 9-56 ）和 x H 可以推出
T 1 T ( AB ) AN F , I
(9-71)
并且秩 ( F)= n -m ，因此
T 1 T G G ( A BB BN T 1 B ) AN (9-72) G N F GF ( AN AB , I ) G I NB G NN 由于 F 是列满秩的，并且 G 正定，因此 G N 也是正定的，对称性显然．定理 9-5 表明对于等式约束的严格凸二次规划问题，可以用直接消
9.6.2 等式约束二次规划问题
本小节讨论等式约束二次规划问题
min
f ( x)
1 T x Gx r T x, 2
(9-58)
s.t. AT x b,
其中，G 为 n n 阶对称矩阵， r 为 n 维列向量， A 为 n m 阶矩阵， n m 且秩 ( A )= m ，即矩阵 A 是列满秩的．

序列二次规划算法

为了方便描述，我们假设原问题的目标函数为f(x)，约束条件为g(x)≤0和h(x)=0，其中x为变量向量。首先，SQP算法会选择一个初始解x0，并计算出其对应的拉格朗日乘子λ0和μ0。然后，算法将构造一个二次近似模型：
Q(x, Δx) = f(x) + ∇f(x)^TΔx + 0.5Δx^T∇^2f(x)Δx + λ_0^Tg(x) + ∑μ_0ihi(x) + 0.5∑μ_0igi(x)^2
序列二次规划算法
序列二次规划（Sequential Quadratic Programming，SQP）算法是一种求解具有二次约束条件的优化问题的方法。该算法结合了牛顿法和线性规划的思想，通过迭代的方式逐步优化目标函数，直至满足约束条件。
SQP算法的基本思想是将原问题转化为一系列的二次规划子问题，然后通过求解这些子问题来逐步逼近原问题的最优解。具体来说，SQP算法的每一步都通过构造一个二次近似模型来近似原问题，然后求解该模型的最优解，并将该最优解作为下一步迭代的初始解。这样，通过不ຫໍສະໝຸດ 迭代优化，可以逐步靠近原问题的最优解。
接下来，SQP算法将根据引入的步长因子α，计算出新的迭代点x_k+1：
x_k+1=x_k+αΔx*
然后，算法将检查x_k+1是否满足约束条件g(x)≤0和h(x)=0，如果满足，则表示已找到最优解；如果不满足，则将继续迭代。为了提高算法的收敛速度，可以采用牛顿法来求解子问题，即通过计算Q(x,Δx)的一阶导数和二阶导数来优化计算过程。
除了求解子问题，SQP算法还需要更新拉格朗日乘子和松弛变量。在每一步迭代中，算法将通过以下公式更新其值：
λk+1=λk+αμk*g(x_k+1)

二次城市规划

摘要：随着城市社会经济的快速发展以及外部市场环境日新月异，引起城市用地性质的持续调整。

灰色用地的概念引入对城市用地开发、用地潜力的挖掘具有积极的作用。

针对灰色用地提出的二次城市规划作为一种动态的城市规划方法，不仅提高了规划的弹性，而且灰色用地的开发和利用也满足了城市发展的需求。

关键词：灰色用地、工业用地改造、可持续发展用地、二次城市规划
1、概述
1.1灰色用地概念及意义
某些地区由于外部环境不够成熟、未来发展的不确定性等因素，使其具备灰色的特性，不能按照正常的总体规划将土地利用规划一步落实到位，可以先赋予其将来易置换的用地功能，待时机成熟，再将其转换成其它用地性质，此类地块统称为“灰色用地”。

灰色用地不是不去确定地块的性质，而是让它在市场经济的调控下来转变自身的用地性质，使其更好地适应市场经济，使土地在各个阶段都能发挥最大的经济效益。

灰色用地是社会发展与经济增长导致的必然产物，是适应市场经济条件下理性规划的产出，它的出现适应了土地可持续发展的要求，在考虑当地人文和市场的条件下，以较短的时间（10-20年）作为灰色用地的限期，以适应当地当时的规划背景，保持土地价值的最优。

1.2灰色用地与二次城市规划
灰色用地的出现推进了城市规划创新，要求城市规划必须适应市场经济发展，要求城市用地在不同发展阶段效益最大化且功能多样化，以动态的思想来规划，适应城市社会经济可持续发展的要求。

二次规划是为了保持土地的使用价值与社会经济水平相平衡，在一次规划时超前考虑与二次规划的衔接，避免重复开发的浪费，同时盘活土地存量，以此适应市场经济条件下的城市规划。

用二次规划的方法来实践灰色用地的理论，以此达到土地利益最大化和经济的可持续发展的目标。

第17讲凸二次规划的有效集方法课堂使用

1
到
5，假设初始可行点为
x0
2 0
，易知
有效约束为 3 和 5，从而w0 3,5.求解（10）式，求得解为 p1 0
（此时k 1）. Lagrange 乘子的求解： A Gx g ,
AT
1
0
2 1
,G
2 0
02 ,
g
2 5
,
从而，可以推出
1
0
2T 1
3
5
2 0
0 2
2 0
2 5
,即是
p2 0，解 Lagrange 乘子，得到5 5，从而从工作集中去掉约束 5，得到w3 .
基础教学
18
第三次迭代是解无约束最优化问题， p3 0, 2.5T ，由
公式（9）得到3 0.6. 此时新的迭代点为 x4 1,1.5T ,有一
个回代约束，为约束 1，从而w4 1.
说明：
由k 的定义,
解为 x x5 1.4,1.7T 迭代终止.
基础教学
20
二．二次规划问题的对偶性质
对于一般二次规划问题(1), 当 G 正半定时，等价于求解
x, Rnm，使得
g Gx A
aiT x bi , i E aiT x bi , i I
aiT x bi 0, i I
（11）
i 0, i I x
(4)
则 x也是原问题(1)的 K-T 点.
基础教学
4
2．理论基础有效集方法的难点在于事先一般不知道有效集 w(x) .
基础教学
5
2．理论基础
解决办法：构造一个集合序列去逼近有效集 w(x) ，即从初始点出发，计算有效集 w(x0 ) ，解对应的等式约束子问题，重复这一做法，得到有效集序