备战中考数学二轮 一元二次方程 专项培优及答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．

（1）求k 的取值范围；

（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．

【答案】（1）12

k ≤

；（2）3k = 【解析】

试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤

12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，

∴k 1＝1，k 2＝－3.

∵k ≤12

，∴k ＝－3.

2．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2

﹣（2k +1）x +4（k ﹣

12

）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10．

【解析】

【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．

【详解】

当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛

⎫-++-= ⎪⎝⎭

解得：52k =

当52

k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，

∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；

当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12

）＝（2k ﹣3）2＝0，

解得：k ＝32

， ∴b +c ＝2k +1＝4．

∵b +c ＝4＝a ，

∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．

∴△ABC 的周长为10．

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．

3．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．

【解析】

【分析】

（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.

【详解】

（1）设平均每次下调x%，则

7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）；

答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

4．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()22

3220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？

【答案】存在，n=0.

【解析】

【分析】

在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.

【详解】

若存在n 满足题意.

设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-

，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-

12

，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14

(舍)， 综上所述，n=0.

5．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析

【解析】

【分析】

根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.

【详解】

解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，

∴8AB =．

∴BQ x =，82PB x =-；

假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ，

则()1168821622

x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，

∵1632160=-=-<，

∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.

6．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。