第四章 通信网的可靠性

(2)从某个子集X考虑： 可靠集 ={任二未失效端u, v之间均有径, u,vXV}; 不可靠集 ={至少某二未失效端u, v之间无径, u,vXV };
(3)随机图观点： 对于一些大的网络, 考虑在大规模灾害的情况下, 残余通信能力 可靠集 ={尚连接的端数大于某个规定值};
在以后的分析中, 将主要讨论(1)和(2)两种观点.
系统的可靠性；此外，系统“故障”的含义本身也是不明确的，需要由 应用环境决定，复杂系统的状态变化需要采用状态转移图来描述。
鉴于实际系统的可靠性概率分布的复杂性，对简单系统引入如下两 个假设：
1． 系统的状态为0和1，分别对应正常和不正常状态； 2． 部件的寿命分布为负指数分布； 这两个假设有助于降低分析的复杂性，在实际应用中可能需要采用更为 复杂的模型，以下将只就简化的模型来讨论可靠性。
..1
不可修复系统
研究可靠性的对象大致可以分为两类：不可修复系统，可修复系统
不可修复系统是该系统一旦启用，直到损坏或失效为止。
这种系统只有两种状态：运行，失效；而且系统状态只有从运行状
态向是状态转移一种可能，一旦失效就不可能恢复到运行状态,如一般 的元器件和修复成本过高的系统就属于这种系统。 系统模型：描述参数——失效率 系统状态：R态---运行
§4.2
通信网的可靠性
4.2.1
通信网的可靠性
在本节中将一般可靠性理论应用于通信网络的可靠性分析，首先需 要明确对通信网，可靠集和不可靠集的内容. 在考虑网络的承载业务之 前, 有三种观点来定义网络的可靠集.
(1) 从整个网络考虑 可靠集 ={任二未失效端u, v之间均有径, u,vV }; 不可靠集 ={至少某二未失效端u, v之间无径, u,vV };
如果的单位为 1/小时, 根据不同的值, 可以将部件分为不同的等 级, 如α的等级： 当不为常数时，可以用Weibull 函数近似；下面的图表达了一般的变化 规律。
..2
可修复系统
下面的图表示可修复系统有两个循环的状态,同时增加了一个特征参数:
修复率 修复率β: 在时刻t系统处于故障的条件下, 在(t, t+t)内修复的概率为: 设α，β为常量，与时间无关 t+Δt处于R态:
(2) 只有边故障时: 网络的可靠度为:
其中为具有I条边的割边集的数目. 在的情况下有下面的近似公式
(3) 各种故障都有时: 网络的可靠度为:
其中 求和对所有大小为s+t的混合割集(这个割集中有s条边, t个端) 进行. 在和的情况下,有下面的近似公式
其中.求和对所有大小为的混合割集进行. 例4.6 在和的情况下, 分析图 的近似可靠度. 能够求得: . 同时
如果能够对任意,求出, 问题就解决了, 下面应用最大流算法求 首先对网络做如下变换: 网络有所扩大, 端点数目由n变到2n, 边数目最多可由m变到n+2m, 新的 图为G*. 为了求, 对图G*的边赋容量如下:
则: =从s2到t1的最大流值. 考虑到存在整数最大流, 并且边容量为1, 则根据最小割=最大流, 而最小割的割量值其实就是割中含边的个数, 同时这种边一定不对应原 图的边而对应原图的端. 类似, 为了求, 对图G*的边赋容量如下:
冲击。生存性方面的研究就是希望给网络增加备用容量和路由，在严重
故障时能保证网络通信的正常进行。
§4.1 可靠性理论概要 首先，对一个系统部件定义其可靠性，研究其可靠性的规律，在了
解系统部件的基础上，研究由许多部件构成的系统表现出的可靠性。 要研究系统的可靠性，首先要明确提出“可靠”和“不可靠”的定
义。 由于实际系统的故障具有随机的性质，必须采用概率的方法来描述
先讨论不可修复系统, 设这n条线路的故障率均为/年, 则t年内它的可靠 度为. 令x是t年内损坏的线路数, y是通信中已被占用的线路数, 则可靠集 显然为:
可靠集 {x , y ：x+y<n} 不可靠集 {x , y : x+y=n} 当然x,y均为随机变量, 需要了解它们的联合概率分布. 下面对一些具体数据进行计算; 目标为希望10年内呼损小于0.01, 如何选 择n和. 如果a=0.02erl, 当为0.1时, n需要3条; 而为0.2时, n需要4条. 如果为可修复系统, 只要将用单个系统的可靠度R做替换就可以了. 下面使用复杂的模型对整个网络做进一步的表述. 如果网络用图G=(V, E)表示，且|V|=n, |E|=m; ai,j表示端i和端j之 间的话务量，pi,j表示端i和端j之间的呼损，那么全网平均呼损如下计 算：
定义T1-- 平均故障间隔时间（MTBF）
T2-- 平均修复时间（MTTR）
R称运行率，
可修复系统：
α—故障率 T1=1/α----MTBF
平均无故障时间
β—修复率 T2=1/β----MTTR
平均修复时间
实测样值：
估计平均无故障时间T1和平均修复时间T2
同时：
4.1.3
复杂系统分解
(1)串接系统
若干子系统，只要一个坏，全系统不能工作.
..2
通信网的连接性
如果网络用图G=(V, E)来表示，网络连通程度的强弱可以用联结度 α, 结合度β和混合联结度γ做一定描述. 下面首先考察它们的定义
联结度α： 设X为割端集， α= min|X| 同时用来表示取得最小割端集的数目; 结合度β： 设Y为割边集， β= min|Y| 同时用来表示取得最小割边集的数目; 混合联结度γ： 设Z为混合割集，γ= min|Z| 同时用来表示取得最小混合割集的数目; 上面的几个指标可以表示网络连通程度的强弱. 例4.5 考虑下面三个简单网络, 计算等 对于第一个图, 有:
第4章
通信网的可靠性
前面讨论了通信网络的拓扑结构、流量分析、业务模型等问题，此
外通信网络的可靠性问题也是非常重要的。通信网络的可靠程度直接和
用户需要的QoS有关，过高的可靠性意味着额外开销，而较低的可靠性
意味着用户的QoS得不到保证，因而深入研究网络的可靠性问题，从而
以合适的成本建设、维护和运行网络而又达到用户的QoS是十分必要
对于第二个图, 有: 对于第三个图, 有: 一般有下面的引理4.1来描述之间的相对关系. 引理4.1 如果|V|=n, |E|=m, 并且最小度为δ, 则: 证明：略.
对于一般的图, 希望有算法能够求得.可以应用一个网络变换同时 用最大流算法解决上述问题. 定理4.1 求 为了求,首先定义三个辅助指标. 对图中任意两个端点, 定义 设X为能使端s和t分开的割端集, ; 设Y为能使端s和t分开的割边集, ; 设Z为能使端s和t分开的混合割集, ; 显然有如下等式:
t运行，t t+Δt 内无故障， 概率为R（t）·（1--αt）
t失效，t t+Δt内修复， 概率为[1-R(t)]·βΔt
状态方程： R(t+Δt)= R（t）·（1-αt）+ [1-R(t)]·βΔt 取极限： 如果用边界条件R（0）=1解得：
t→∞时，此时R（t）有极限值, 这个值表示了稳态可靠度。
如果网络用图G=(V, E)来表示, 且|V|=n, |E|=m, 各端和边的故障 独立; 如果每个端的故障概率为q, 每个边的故障概率为p. 对通信网可 靠集的含义采用第一种观点, 下面分三种情况讨论:
(1) 只有端故障时: 网络的可靠度为:
其中为具有i个端的割端集的数目. 在的情况下有下面的近似公式
的。
网络的可靠性问题包括如下方面的内容：可靠性，生存性。
可靠性研究开展的较早，主要将系统及其组成部件的状态用正常和
不正常代表，引入概率论的方法来描述系统的状态，着重点在于长期可
用度；而生存性着眼于另一方面，由于光纤技术大量引用，业务量被大
量集中；另一方面现实世界越来越依赖于通信网络，一些大规模的故
障，比如光纤切断、火灾等会严重影响通信网络，对信息社会造成巨大
例4.2修复力量有限, 规定当2个子系统都出故障时, 先修第一个子系统. 状态转移图如4.10, 状态方程为: 同时有归一性, 解得: 等 可靠度为: 如果修复力量无限制, 为简单并接系统,可靠度为 (3) 混接系统 下面通过分析例4.3来讨论混接系统的可靠度分析. 对于混接系统的 可靠度分析， 一般假设各个子系统独立，然后采取一些分解的方法加 以处理. 例4.3 考虑如下有5个子系统构成的系统, 各个子系统独立,分析整个系 统的可靠度. 根据R5子系统的好坏, 整个系统将做如下等价处理 从而系统可靠度为: 分解的途径不同, 表达方式亦有所不同, 不过展开后结果一样. 上述过 程说明分析复杂系统时, 如何将大系统分解成小系统对于可靠度分析非 常重要.
率密度函数为：. wk.baidu.com靠集 不可靠集
可靠度 不可靠度 上面这种定义比较复杂, 如可能就不易求得; 有时可能采用加权平均的方 法对综合可靠度做出估计, 当然这样的方法和经验有一定的关系. 综合可靠度的加权定义: 当有不少因素影响可靠性时, 可分别计算每 个因素的可靠度Ri, 设为, 然后用适当的加权系数求加权和得到综合可靠 度为:
作,图4.7。 各子系统独立时,,其中不可靠度
同样, 先考虑独立的情形, 再考虑非独立的情形; 并且分为不可修复 和可修复系统两类情形.
以后能够知道,
所以 , 说明并接系统虽然寿命在时趋向于, 但效率很低.
可修复子系统 当整个系统失效时, 平均修复时间为 ,又 所以 下面通过两个例子来讨论非独立的情形 为了提高系统效率, 可以采用冷备份、半热备份和热备份等等手段. 例4.1两个子系统并接运行, 子系统1运行的失效率为; 子系统2半热 备份, 半热备份时的失效率为, 它工作时的失效率为 状态转移图为:
4.1.4 综合可靠度 以上讨论的可靠度为狭义可靠度：系统只有两种状态， 正常，或故
障。实际复杂系统可靠的含义完全根据应用环境来决定，根据实际应用 的要求决定可靠集合的范畴，从而给出可靠度，这种可靠度其实就是系 统在可靠集合的概率。
综合可靠度 设有n个参量影响系统的可靠性，这些参量一般为随机变量， 其概
当各个子系统独立时, 总可靠度:
不可修复系统：
,
平均寿命:
可修复系统： 稳态下仍有：
如果系统不独立, 某一个系统损坏后, 其余系统停止工作以减少损 耗. 第r个子系统失效的概率与成正比,平均修复时间为 全系统的平均修复时间为: 所以,
(2)并接系统 若干系统组网，只要一个好，即为正常工作;都坏，才不能正常工
F态---故障
定义失效率： 分析： 根据条件概率的公式，有：
或：
根据： 所以 这就是可靠度的微分方程，而且显然有，在此初始条件下， 解得 如果是与t无关的常数，那么
如果T为寿命, 那么 所以寿命T的概率密度 （这是一个以为参数的负指数分布）
平均寿命 一般可以有下面公式：
要决定系统的, 可以通过实测了解. 设有N个系统同时开动, 随着 时间t的推移, 有些系统必将失效, 到时若余N(t)个系统在运行, 则可 作为R(t)的估计值,同时也就得到(t)的估计值. 如果为了准确估计的 值，一般需要测试的样品数量较大或时间较长，很多情况下有困难，需 要采取一些办法来解决估计的问题。
如果各个端和边的故障概率不一样，分析方法类似，但公式的形式 要复杂很多。另一种情形，如果只考虑两个端点之间的连接概率，这种 情形实际上是一个复杂混接系统的可靠度分析而已。
4.2.4
通信网络的综合可靠度
前面讨论的网络可靠度不涉及网络承载的业务, 如果考虑网络承载
的业务, 分析要复杂很多, 同时也有很大的意义. 下面通过例4.7来说明综 合可靠度的含义. 例4.7 设有n条独立的线路连接两个端, 两端之间的呼叫量为a, 求端间通 信的综合可靠度.
则: =从s2到t1的最大流值. 类似, 为了求, 对图G*的边赋容量如下:
则: =从s2到t1的最大流值. 同时上述对任意s,t求的过程, 每个最小割对应一个可能的实现最小割 集的机会, 并且在去掉相同的最小割集后, 能够得到. 在下面将要应用 这里的结果对通信网络的可靠度做近似分析.
..3 通信网在各种故障下的可靠性
4.1.5
可靠性设计
从前面对系统可靠性的讨论中可以知道下面一些可靠性设计原则: 1.避免串接的子系统过多; 2.必要时采用备份以形成并接系统; 3.尽量减小各子系统或部件的失效率; 4.尽量增加修复率.
下面简单讨论可靠性设计的模型, 并通过例4.4来加以说明. 一般而论, 若有n个子系统组成一个系统, 各子系统的可靠度分别为, 所需的费用为, 这些费用与可靠度有关, 即, 则全系统的可靠度将为这些 Ri的函数, 即 总费用为: 最佳设计就是保证R达到要求的情况下, 以总费用X最小的准则来分配个 子系统的Ri. 例4.4 设子系统的可靠性Ri与费用之间的关系为: 其中bi可称为最低代价; ai是增加可靠度所付的代价增长率; ci是最大可靠 度. 今有三个独立的子系统组成一个串接子系统, 它们的参量为: ,,. 要求总可靠度为0.9, 求最小代价和相应的各个可靠度Ri. 解: 解出