幂的运算的重难点解析

幂的运算的重难点解析

幂的运算有加减、乘除、乘方的运算类型，运算时幂的运算总是转化成指数的运算。如果把运算中加减看作第一级运算；乘除看作第二级运算；乘方看作第三级运算；那么幂的运算

降一级 指数的运算，比如同底数幂的乘法除法降一级 指数的加减法 ，幂的乘方降一级 指数的乘法 ，掌握了这一规律，各条运算性质就容易记忆，且不会相互混淆.

幂的运算中的方法与技巧

类型一：熟练使用公式，正确进行各种计算

注意：运算时首先确定所含运算类型，理清运算顺序，用准运算法则 （1）（-5）5×（-5）3 （2）x m-1

· x m+1

（3）-x 2 ·x 3

(4) 7×73×72 （5）4)(p p -⋅- （6）4

3)10( （7） －（2a 2）3

（8） （-43

2

)a （9） 4332⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛

（10）[（x 2）3]7 ；

（11）412÷43 （12）(－21)4÷(－2

1)2（次数较低的幂要算出最后结果）

（13）(－3a )5÷(－3a ) （14）(－xy )7÷(－xy )2 （利用积的乘方化到最后）

（15）32m +1

÷3m -1 （16）643)2()2()2(b a b a b a -÷-⋅-

类型二：逆用公式进行计算

逆向公式①n m n m a a a •=+ ②n m n m a a a ÷=-

③()()

m

n n

m mn

a a

a

==

例1.已知2m =4，2n =16.求①2m+n 的值．②2m-n 的值．③m

32的值．④n

m +32

的值

解析：①已知2m =4，2n =16.而求2m+n 的值, 运用公式a m+n ＝a m ·a n 可以把.2m+n 转化为2m ·2n ②已知2m

=4而求m

32

的值, 运用公式()n

m mn

a

a

=可以把m

32

转化为

()3

2m

规律: 同底数幂的乘法法则为a m ·a n ＝a m+n ,将其颠倒过来,就是a m+n ＝a m ·a n .可以将指数为和的形式的幂转化为同底数幂的乘法.这样就可以运用条件了.其余类似。 仔细揣摩解析，完成例题的解答过程。 解： 例2

逆用()n

n n ab b a =简化运算，此公式一般适用于1=ab 或1-=ab 时

计算①2012

2012

818

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯ ②()

2011

2012

125.08

-⨯ ③2012

6036

812

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯

解析： 像 ③2012

6036

812

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯常规计算非常复杂，利用()n

n n ab b a =时指数不相同，底数

积不是1，需要转化，发现()

20122012

32012

36036

82

2

2

===⨯，这样就可以逆用公式

()n

n n ab b a =进行简便运算了。

仔细揣摩解析，完成例题的解答过程。 解：

类型三：通过转化底数实现继续运算或求值的目的 例1 计算(x －y)2(y －x)3

解析：解法一：(x －y)2·(y－x)3=(y －x)2·(y－x)3=(y －x)5 解法二：(x －y)2·(y－x)3=(x －y)2【－ (x －y)3】=－(x －y)5

点拨：底不相同的两个幂运算．必须化为同底才能运算，一般我们转化的是互为相反数的两个底（a-b 与b-a 互为相反数）。采用上面两种化同底的方法得到的结果是相同的． 注意：在同底数幂的乘法常用的几种恒等变形.

(a －b)=－(b －a) (a －b)3=－(b －a)3 (a －b)2n －1=－(b －a)2n －1(2n-1是奇数) (a －b)2=(b －a)2 (a －b)4=(b －a)4 (a －b)2n =(b －a)2n (2n 是偶数) 另外，变形时切记负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负，运用时可以这样理解： 例2 如果8m ·4m-1=213

,求m 的值。

解析：题目中出现了三个底数，按照幂的运算特点，把不同底转化为同底的，比较8,4,2发现2

24,28==，所以右边()()

252231

231

22222

4

8----=•=•=•m m m m m

m m ，

右边=213

,比较左右两边底数相同，因而5m-2=13，解得m=3 跟踪练习：1. a 4•(-a 3)•(-a )3 2. (x-y)3(y-x)(y-x)6

3.已知27

93⨯⨯m

m

163=,求m 的值

4. 若2x+3y-4＝0，求9x ·27y 的值．

类型四 比较幂的大小（比如比较n m b a 与，两种方法①化成同底数，比较指数的大小； ②化成同指数，比较底数的大小

例1 已知a ＝355，b ＝444，c ＝533，则有（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b

解析：化成同指数的，33, 44，55的最大公约数为11，所以把指数化成11，则 a ＝(35)11＝24311，b ＝(44)11＝25611，c ＝(53)11＝12511． 因为125＜243＜256．所以c ＜a ＜b ． 故应选C ．

跟踪练习：1.若a=8131，b=2741，c=961，比较a 、b 、c 的大小. 2. 比较108

3

与144

2

的大小关系