幂的运算的重难点解析
初中幂的运算重点题型
初中幂的运算重点题型一、乘法法则1. 乘方的定义初中数学中的乘方运算是指将一个数连续乘以自身若干次。
例如，aⁿ表示将a 连乘n次的结果。
其中，a称为底数，n称为指数。
2. 乘方的基本法则乘方的基本法则包括：•乘法法则：aⁿ × aᵐ= aⁿ⁺ᵐ•幂的乘方：(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ•积的乘方：(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ这些基本法则在初中幂的运算中经常用到，同学们需要熟练掌握和灵活应用。
3. 特殊乘方的运算在初中幂的运算中，还涉及到一些特殊的乘方运算：•负指数的乘方：a⁻ⁿ = 1/aⁿ，其中a ≠ 0•零的幂次：a⁰ = 1，其中a ≠ 0这些特殊乘方的运算规则需要注意。
二、乘方的运算1. 乘方的运算顺序在进行多个乘方的运算时，需要根据运算顺序进行计算。
一般来说，先计算括号内的乘方运算，再进行乘法和除法，最后进行加法和减法。
例如，计算表达式：2² + 3³ × 4⁴。
首先，计算括号内的乘方运算：3³ × 4⁴ = 81 × 256 = 20736。
然后，再进行加法运算：2² + 20736 = 4 + 20736 = 20740。
最终的计算结果为20740。
2. 含有变量的乘方运算在初中幂的运算中，还会遇到含有变量的乘方运算。
这时，我们需要根据运算法则，将相同底数的乘方进行合并。
例如，计算表达式：2³ × 2²。
根据乘法法则，我们知道2³ × 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32。
因此，计算结果为32。
三、应用题解析1. 计算正方形的面积假设一个正方形的边长为a，我们需要计算其面积。
根据正方形面积的定义，面积等于边长的乘方。
因此，正方形的面积可以表示为a²。
例如，假设一个正方形的边长为5cm，则其面积为5² = 25cm²。
完整版)幂的运算经典难题
完整版)幂的运算经典难题1.当n为正整数时，1的n次方都等于1，(-1)的n次方在n为偶数时等于1，在n为奇数时等于-1.这是一个经典难题，需要注意n的奇偶性。
2.给定一个等式(n-3)n=(n-3)2n-2，求满足等式的正整数n。
这是一个求解方程的问题，可以通过化简等式来解决。
3.给定一个等式(n-3)n+3=(n-3)2n，求满足等式的正整数n。
同样是一个求解方程的问题，需要化简等式来解决。
4.给定一个表达式1/n*(1-(-1)^(n-1))/8，求其值。
可以通过化简表达式来解决，需要注意n的奇偶性。
5.计算25的m次方除以5的m次方的结果。
这是一个简单的指数运算问题。
6.给定一个方程33x+1*53x+1=152x+4，求解关于x的解。
这是一个解方程的问题，需要化简方程来解决。
7.已知2a*27b*37c=1998，求(a-b-c)*2004的值。
这是一个数学推理问题，需要运用数学知识来解决。
8.已知2a*27b*37c*47d=1998，求(a-b-c+d)*2004的值。
同样是一个数学推理问题，需要运用数学知识来解决。
9.给定一个表达式20/3*8/15*9/16，求其值。
这是一个简单的分式运算问题。
10.已知abc/315=4，求a、b、c的值。
这是一个解方程的问题，需要化简等式来解决。
11.已知x的3次方等于m，x的5次方等于n，求x的14次方。
这是一个指数运算问题，需要运用指数运算法则来解决。
12.已知x等于2m+1，y等于3+4m，用x的代数式表示y。
这是一个代数式的转化问题，需要将y用x的代数式表示出来。
13.比较3108和2144的大小关系。
这是一个比较大小的问题，需要将两个数进行比较。
14.将a=2-5/55、b=3-4/44、c=6-2/22按从小到大的顺序连接起来。
这是一个排序问题，需要将三个数按从小到大的顺序排列。
15.已知a=8131，b=2741，c=961，比较它们的大小关系。
精编七年级数学下册《幂的运算》知识点总结
精编七年级数学下册《幂的运算》知识点总结为大家整理了幂的运算知识点总结，供大家参考和学习，希望对大家的数学学习和数学成绩的提高有所帮助。
教育目标：使学生了解和体会特殊----一般----特殊的认知规律，体验和学习研究问题的方法。
培养学生的思维严谨性，做到步步有据，正确熟练，养成良好的学习习惯。
教学重点：了解同底数幂的乘法的性质的形成过程 会利用同底数幂的乘法的性质进行计算 教学难点：了解同底数幂的乘法的性质的形成过程 同底数幂乘法的运算性质与整式加法容易混淆 解决关键：在教学中强调每一个性质得来的根据不同，要引导学生在理解的基础上练习，培养学生的思维严谨性 教学方法：观察法，讨论法，启发式教育法 教学用具：多媒体辅助教学 教学过程： 教学过程 备注 一、复习与质疑： 上节课我们学习了整式的加减，下面提出以下几个问题请大家思考： (1) ①a+a=? ②a+a=? (2) ①进行运算的依据是什幺? ②不能继续进行运算的原因是什幺? (3) a表示什幺意思?可写成什幺形式? 如果将上面的+符号变成乘以 ①a乘以a=? ①a乘以a=? 又该怎样进行计算呢? 在生活和其它领域中，我们有时也会遇到这样的问题： 有一种电子计算机，每秒钟可以做10次运算，那幺10秒可以做多少次运算呢? 根据题意得：10乘以10=? 要丈量一块长方形地块的长是5米，宽是5米，求长方形地块的面积? 根据题意得：5乘以5=? 今天我们就来通过学习解决这类问题。
二、导入与创设情景 做一做： 计算：10乘以10=____ 10乘以10=____ 2乘以2=___ 观察试说出每个运算步骤的根据，并观察条件与结论中的指数与底数各具有怎样的特点和关系。
(同学们展开讨论) 例如：10乘以10=10乘以10乘以10=10 2个10 1个10 通过同学们亲自操作我们会发现，算式的底数相同，其结果的底数仍然是这个底数，而结果的指数则是两个因数(幂)的指数之和。
14.1.1同底数幂的乘法(教案)八年级上册初二数学(人教版)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“14.1.1同底数幂的乘法”。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过相同底数的幂相乘的情况？”（如：计算连续翻倍问题）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索同底数幂乘法的奥秘。
-举例说明，如2的3次方表示2连乘3次，2的5次方表示2连乘5次，两者的乘积即为2连乘3+5=8次。
-设计具有实际背景的问题，如计算连续翻倍问题，让学生感受同底数幂乘法在实际问题中的应用。
-提供多样化的练习题，包括不同底数的乘法、含变量的幂的乘法等，帮助学生巩固指数相加的概念。
-难点举例：
-对于指数相加的难点，可以通过具体的例子，如2^10•2^15，引导学生先分别计算2^10和2^15，然后理解它们的乘积是2^(10+15)=2^25。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“同底数幂乘法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下核心素养：
1.理解同底数幂的乘法法则，提升学生的数学运算能力，使其能够熟练运用法则解决相关问题。
8.幂的运算-----幂的乘方与积的乘方课件数学沪科版七年级下册(1)
=(x4)·(x4) =x4+4 =x4×2 =x8
=1015
(3)(-a2)3.
=(-a²)·(-a²)·(-a²) =-a2+2+2 =-a2×3 =-a6
例1 计算：(1)(102)3 ; (4)-(x2)m ;
(2)(b5)5; (5)(y2)3·y;
(3)(an)3; (6)2(a2)6-(a3)4.
①同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an. ②幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m.
= am+m+…+m (根据_同__底__数__幂__的__乘__法__法__则___) = amn
幂的运算性质2：(am)n=amn(m,n都是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约 是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
正方体的体积比=棱长比的立方
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约 是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
太阳
地球
木星
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约 是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
木星的半径是地球的10倍，它的体积是地球的10³倍! 太阳的半径是地球的10²倍，它的体积是地球的(10²)³倍! 那么，你知道(10²)³等于多少吗?
例2 已知5x＝m，5y＝n，则52x＋3y等于( D )
A．2m＋3n
B．m2＋n3
C．6mn
D．m2n3
解析：因为5x＝m，5y＝n，
幂的运算知识要点归纳及答案解析
幂的运算知识要点归纳及答案解析【要点概论】要点一、同底数幂的乘法特点+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 ()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭重点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，算法时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题解析】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅； （3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【标准答案与解析】 解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222aa a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，算法时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三： 【变式】算法：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【标准答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()ppp p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【标准答案与解析】 解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nm n aa a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、算法：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-． 【标准答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=． （3）32()m a-2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25mx=，求6155m x -的值．【标准答案与解析】 解：∵ 25mx=，∴ 62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mnm n n m a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力． 举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【标准答案】 解：32323232()()238972a ba b a b xx x x x +===⨯=⨯=g g ．【变式2】已知84=m，85=n，求328+m n的值．【标准答案】 解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题算法是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-． 【标准答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =． （2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ． 【标准答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．（2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()nnnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则 2、算法：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-g ； （3）22412()()m m xx -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【标准答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=． （3）22412()()m m xx -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x xx =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【思路点拨】由于已知8,8mn的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n变成323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯，再代入算法.【标准答案与解析】 解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8mn当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. 举一反三： 【变式】已知322,3mm ab ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝ ．【标准答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、算法：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅- 【思路点拨】利用积的乘方的运算特点进行算法. 【标准答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-． （2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a ba b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【标准答案】A ；提示：只有⑤正确；()3236928x yx y -=-；()326m maa -=-；()3618327aa =；()()57121351071035103.510⨯⨯⨯=⨯=⨯同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一特点. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nna a -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算特点仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0na a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、算法：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则算法．(2)、(4)两小题要注意符号． 【标准答案与解析】解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a aa --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行算法的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、算法下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷- （3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再算法，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0． 【标准答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行算法．3、已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【标准答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======g g g ． 当32m=，34n=时，原式224239464⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和算法，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】已知2552mm⨯=⨯，求m 的值． 【标准答案】解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵ 底数52不等于0和1， ∴ 15522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =． 类型二、负整数次幂的运算4、算法：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【标准答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】算法：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【标准答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭ 45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、 已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________． 【标准答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求nm ．举一反三： 【变式】算法：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； 【标准答案】 解：（1）原式424626b a b c a c --==． （2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==． 类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【标准答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )．A. 8c -B. ()15c -C. 15cD.8c 2．2n n a a +⋅的值是( )．A. 3n a +B. ()2n n a +C. 22n a +D. 8a 3．下列算法正确的是( )．A.224x x x +=B.347x x x x ⋅⋅=C. 4416a a a ⋅=D.23a a a ⋅=4．下列各题中，算法结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310B. 1000×1010＝3010C. 100×310＝510D. 100×1000＝4105．下列算法正确的是( )．A.()33xy xy =B.()222455xy x y -=-C.()22439x x -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b =成立，则( )．A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题7. 若26,25m n ==，则2m n +＝____________．8. 若()319x a a a ⋅=，则x ＝_______．9. 已知35n a =，那么6n a =______．10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______．11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦ ______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________.三.解答题13. 判断下列算法的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( )（3）2224(2)2ab a b -=- （ ） （4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-； （2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；15.（1）若3335n n x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n m a b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【标准答案与解析】一.选择练习题1. 【标准答案】D ；【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=. 2. 【标准答案】C ；【解析】2222n n n n n a a a a ++++⋅==.3. 【标准答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=.4. 【标准答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【标准答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xy x y -=；()22439x x -=.6. 【标准答案】C ；【解析】()333915288,39,315m n m n a ba b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5. 二.填空题7. 【标准答案】30；【解析】2226530m n m n +==⨯=g .8. 【标准答案】6；【解析】3119,3119,6x a a x x +=+==.9. 【标准答案】25；【解析】()2632525n n a a ===. 10.【标准答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【标准答案】64；9n -；103-；12.【标准答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=. 三.解答题13.【解析】解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x xx ⋅-⋅-=-⋅⋅=-； （2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+； （3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--； （5）()()236331293125325272aa a a a a a -+-⋅=-⋅=-. 15.【解析】解：（1）∵3335n n x xx +⋅= ∴ 4335n x x +=∴4n ＋3＝35∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n m a b ba b ⋅⋅= ∴ 333333915n m n m a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15∴n ＝3且m ＝4就这么多了，祝大家思修不挂科！！！页眉设计。
幂的运算总结及方法归纳
幂的运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题：●在运用n m n m a a a +=•（m 、n 为正整数），n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 为正整数且m ＞n ），mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），n n n b a ab =)(（n 为正整数），)0(10≠=a a ，n n aa 1=-（0≠a ，n 为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。
◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。
换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。
◆注意上述各式的逆向应用。
如计算20052004425.0⨯，可先逆用同底数幂的乘法法则将20054写成442004⨯，再逆用积的乘方法则计算11)425.0(425.02004200420042004==⨯=⨯，由此不难得到结果为1。
◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。
如同底数幂的乘法就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。
◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。
一、同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意点：（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.例题：例1：计算列下列各题（1） 34a a ⋅； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅- 简单练习： 一、选择题1. 下列计算正确的是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 下列计算错误的是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( )A.100×102=103B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。
幂的运算(知识点串讲)(解析版)
专题15 幂的运算知识网络重难突破知识点一整式乘法幂的运算性质（基础）：a m·a n＝a m＋n（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【同底数幂相乘注意事项】1）底数为负数时，先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
典例1（2019·新蔡县期末）若2x=5，2y=3，则22x+y=_____．【答案】75【详解】∵2x=5，2y=3，∴22x+y=（2x）2×2y=52×3=75，故答案为：75．典例2（2017·洪泽县期中）已知，则x的值为____________.【答案】6【解析】把因数的底数都转化为2，再运用同底数幂的乘法法则，所以：，则有3x+5=23，解得x=6.故答案是：6.典例3（2018·台州市期末）已知，则n的值是________________．【答案】5【解析】详解:∵，∴，∴，∴n+3=8，∴n=5.故答案为：5.●(a m)n＝a mn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时，偶次方结果为正，奇次方为负，负号在括号外结果都为负。
典例1（2018·长春市期末）若，，则的值为_____.【答案】18【详解】∵x m=2，x n=3，∴x m+2n=x m x2n=x m（x n）2=2×32=2×9=18；故答案为：18．典例2（2019·中山市期末）已知m+2n+2＝0，则2m•4n的值为_____．【答案】【详解】∵m+2n+2＝0，∴m+2n=-2，∴2m•4n=2m•22n=2m+2n=2-2=.故答案为：典例3（2019·襄樊市期末）若，则的值是_______．【答案】32【详解】8x×16y＝（23）x×（24）y＝23x×24y＝23x＋4y＝25＝32．故答案为：32●(ab)n＝a n b n（n为正整数）积的乘方等于各因式分别乘方，再把所得的幂相乘．典例1（2019·富阳市期末）（－2）2018×（－）2019=____________。
幂的运算知识点及考点复习总结
55
)．
、4
44
、5
33
的大小.
分析：这类问题通常都是将参加比较的两个数转化为底数相同的或指数相同的形式，根据 观察，本体用作商法比较大小。 例题 4： 3
2001
的个位是：
变式练习：求 7
2005
32007 的末位数字．
分析： 逆用同底数幂的乘法及积的乘方的法则解答此题
类型三
跟踪练习： 用简便方法计算： （1） (
5 1999 3 2000 ) .(2 ) ; 13 5
1 2 3 3 （2） ( ) ( 2 ) . 2
3
（3） 8 4
2
1997
(0.25) 2001.
例题 3：已知 M
999 119 , N , 那么 M、 N 的大小关系怎样? 999 990
2
变式练习： 生存的世界中处处有氢原子和氧原子，让 1 亿个氧原子排成一行，它们的总长度只有 lcm 多一点， 1 个氧原子的质量约为 2. 657×10
23
g； -个氢原子的直径大约为 0. 000 000 000
05m，它的质量约为 0. 000 000 000 000 000 000 000 000 001 673kg. (1)试比较氢原子和氧原子谁大谁小？谁重谁轻？ (2)利用计算器计算，大约把多少个氢原子紧排在一个平面上时，它们所占的面积相当于 1 枚一元硬币的面积(1 枚一元硬币的直径约为 2. 46cm)．
跟踪练习：
（2 x ) ( （1）
3n 2
1 2n 2 x ) （ x 2n ) 3 2
（2） （ 2 a ) (a ) (a ) (a )
5 2 2 2 2 4
幂函数重难点题型
幂函数重难点题型幂函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生容易错解和混淆的题型。
在解决幂函数题目时，需要注意以下几个重难点：1. 幂函数与指数函数的区别幂函数和指数函数在形式上非常相似，但它们之间有着明显的区别。
幂函数的自变量和因变量之间的关系是乘方关系，而指数函数则是幂关系。
对于幂函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是常数，当$a>1$ 时，随着 $x$ 的增大，$f(x)$ 也会增大；当 $0<a<1$ 时，随着 $x$ 的增大，$f(x)$ 会趋近于 $0$。
而对于指数函数 $f(x)=a^x$，当 $a>1$ 时，随着 $x$ 的增大，$f(x)$ 也会增大；当 $0<a<1$ 时，随着 $x$ 的增大，$f(x)$ 会趋近于无穷大。
在解决幂函数题目时，要注意区分幂函数和指数函数的性质，避免混淆。
2. 幂函数与常函数的区别幂函数和常函数在形式上也有一定的相似之处，但它们之间的差别同样需要注意。
幂函数的自变量和因变量之间的关系是乘方关系，而常函数则是一条水平直线。
幂函数的图像通常是曲线状的，而常函数的图像是一条水平的直线。
在解决幂函数题目时，要注意区分幂函数和常函数的特点，避免混淆。
3. 幂函数的性质幂函数有一些特殊的性质，理解并掌握这些性质对于解决幂函数题目非常重要。
- 幂函数 $f(x)=a^x$ 的定义域是全体实数。
- 当 $a>1$ 时，幂函数是增函数；当 $0<a<1$ 时，幂函数是减函数。
- 平移变换：幂函数的图像可以通过平移变换来得到其他幂函数的图像。
- 幂函数的垂直缩放：改变幂函数的底数 $a$，可以实现对幂函数图像的垂直缩放。
在解决幂函数题目时，要运用这些性质，灵活地进行推导和计算。
4. 幂函数的应用幂函数在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、物理学等领域。
在解决应用题时，要将幂函数与实际问题相结合，理解问题的背景和意义，把握幂函数的特点和性质，找到合适的数学模型和方法，解答问题。
七年级数学下册-第06讲 幂的运算(7大考点+7种题型+强化训练)(解析版)
【解答】解：由题意，得
2 23x 24 253x 223 ， 5 3x 23 ， 解得 x 6 ，
故答案为：6．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用幂的乘方得出同底数幂的乘法是解题关键．
6．（2023 春•江都区期末） ax 2 ， a y 3 ，则 ax y 的值为 6 ．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学 记数法表示一个数是否正确的方法．
五．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n 是正整数，m＞n）
①底数 a≠0，因为 0 不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是 1，而不是 0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数 a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什 么．
f (a a a) f （a） f （a） f （a） 333 3111 33 ， ， f (10a) 310 ， f （a） f (2a) f (3a) f (10a) 3 32 33 310 312310 355 ． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算． 9．（2023 春•仪征市期末）阅读材料，完成问题． 如果 ac b ，则 (a,b) c ．例如： 32 9 ，则 (3,9) 2 ． （1）填空： (4, 64) 3 ， (2,1) ， (3, 1 ) ；
【解答】解： ax 2 ， a y 3 ， axy ax ay ， ax ay ， 23， 6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方法则：底数不变指数相乘．同底数幂的乘法法则：底数
1幂的运算-----同底数幂的乘法课件数学沪科版七年级下册
m个a
n个a
p个a
解法2：原式=(am·an)·ap=am+n·ap=am+n+p
解法3：原式=am·(an·ap)=am·an+p=am+n+p
推广：am·an·ap·…·aq=am+n+p+…+q
例.计算：
（1）
1 2
5×
1 2
8;
=
1 2
5+8
=
1 13.
2
=（ 1 × 1 ×…× 1 )×( 1 × 1 ×…× 1 ）
5.已知我国平均每平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于 燃烧 1.3×108千克煤所产生的能量，那么我国山东省约15.58万平方千 米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤所产生的 能量？
幂的运算性质1——同底数幂的乘法 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. am·an = am+n (m，n都是正整数） 推广：am·an·ap·…·aq=am+n+p+…+q
1.理解并掌握幂的运算性质1(同底数幂的乘法).（重点） 2.运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．（难点） 3.经历探索同底数幂的乘法法则的过程,进一步体会幂的意义, 提高推理能力和有条理的表达能力.
一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次 幂（或a的n次方）”，即
a×a×···×a = an
3.若m为偶数，则(a-b)m·(b-a)n与(b-a)m＋n的结果( A )
A．相等
B．互为相反数
C．不相等
D．以上说法都不对
4.（云南中考）按一定规律排列的单项式：a，-2a，4a，-8a，
专题 幂的运算重难点精练(九大考点)(期末真题精选)(解析版)
专题04 幂的运算重难点精练（九大考点）一．同底数幂的乘法1．已知2m•2m•8＝211，则m＝4．试题分析：将已知中的2m•2m•8化为同底数的幂，然后利用同底数幂的乘法法则进行计算，再根据指数相同列式求解即可．答案详解：解：2m•2m•8＝2m•2m•23＝2m+m+3，∵2m•2m•8＝211，∴m+m+3＝11，解得m＝4．所以答案是4．2．已知2x+3y﹣2＝0，求9x•27y的值．试题分析：直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而化简得出答案．答案详解：解：∵2x +3y ﹣2＝0，∴2x +3y ＝2，∴9x •27y ＝32x •33y ＝32x +3y ＝32＝9．3．已知3x +2＝m ，用含m 的代数式表示3x （ ）A ．3x ＝m ﹣9B ．3x =m 9C ．3x ＝m ﹣6D ．3x =m 6 试题分析：根据同底数幂的乘法法则解答即可．答案详解：解：∵3x +2＝3x ×32＝m ，∴3x =m 9． 所以选：B ．二．同底数幂的除法4．已知：3m ＝2，9n ＝3，则3m ﹣2n ＝ 23 ．试题分析：先利用幂的乘方变为同底数幂，再逆用同底数幂的除法求解．答案详解：解：∵9n ＝32n ＝3，∴3m ﹣2n ＝3m ÷32n =23，所以答案是：23．5．已知m =154344，n =54340，那么2016m ﹣n ＝ 1 ． 试题分析：根据积的乘方的性质将m 的分子转化为以3和5为底数的幂的积，然后化简从而得到m ＝n ，再根据任何非零数的零次幂等于1解答．答案详解：解：∵m =154344=34⋅54344=54340， ∴m ＝n ，∴2016m ﹣n ＝20160＝1． 所以答案是：1．6．已知k a ＝4，k b ＝6，k c ＝9，2b +c •3b +c ＝6a ﹣2，则9a ÷27b ＝ 9 ． 试题分析：先将9a ÷27b 变形，再由k a ＝4，k b ＝6，k c ＝9，2b +c •3b +c ＝6a ﹣2分别得出a ，b ，c 的关系式，然后联立得方程组，整体求得（2a ﹣3b ）的值，最后代入将9a ÷27b 变形所得的式子即可得出答案．答案详解：解：9a ÷27b＝（32）a ÷（33）b＝（3）2a ﹣3b ，∵k a ＝4，k b ＝6，k c ＝9，∴k a •k c ＝k b •k b ，∴k a +c ＝k 2b ，∴a +c ＝2b ①；∵2b +c •3b +c ＝6a ﹣2， ∴（2×3）b +c ＝6a ﹣2， ∴b +c ＝a ﹣2②；联立①②得：{a +c =2b b +c =a −2， ∴{c =2b −a c =a −2−b， ∴2b ﹣a ＝a ﹣2﹣b ，∴2a ﹣3b ＝2，∴9a ÷27b＝（3）2a﹣3b＝32＝9．所以答案是：9． 三．幂的乘方与积的乘方（注意整体思想的运用）7．已知2m ＝a ，32n ＝b ，m ，n 为正整数，则25m +10n ＝ a 5b 2 ．试题分析：根据积的乘方与幂的乘方及同底数幂的乘法的运算法则解答．答案详解：解：∵2m ＝a ，32n ＝b ，∴25m +10n ＝（2m ）5•（25）2n ＝（2m ）5•322n ＝（2m ）5•（32n ）2＝a 5b 2，所以答案是：a 5b 2．8．计算：（﹣0.2）100×5101＝ 5 ．试题分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则，将所求的式子变形为（﹣0.2×5）100×5，再求解即可．答案详解：解：（﹣0.2）100×5101＝（﹣0.2）100×5100×5＝（﹣0.2×5）100×5＝5，所以答案是：5．9．若x+3y﹣3＝0，则2x•8y＝8．试题分析：根据已知条件求得x＝3﹣3y，然后根据同底数幂的乘法法则进行解答．答案详解：解：∵x+3y﹣3＝0，∴x＝3﹣3y，∴2x•8y＝23﹣3y•23y＝23＝8．所以答案是：8．四．幂的运算中的规律10．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017+22018的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22017+22018①，将等式两边同时乘2，得2S＝2+22+23+24+25+…+22018+22019②，②﹣①，得2S﹣S＝22019﹣1，即S＝22019﹣1，所以1+2+22+23+24+…+22017+22018＝22019﹣1．请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+29+210；（2）1+3+32+33+34+…+3n﹣1+3n（其中n为正整数）．试题分析：（1）直接利用例题将原式变形进而得出答案；（2）直接利用例题将原式变形进而得出答案．答案详解：解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210，①将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211，②②﹣①得2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1，∴1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1．（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n，①将等式两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1，②②﹣①得3S﹣S＝3n+1﹣1，即S=12（3n+1﹣1），∴1+3+32+33+34+…+3n=12（3n+1﹣1）．11．（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21，②23＜32，③34＞43，④45＞54，⑤56＞65，…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时，n n+1＜（n+1）n；当n≥3时，n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想，可以知道：20082009＞20092008．试题分析：先要正确计算（1）中的各个数，根据计算的结果确定所填的符号，观察所填符号，总结规律．答案详解：解：（1）①∵12＝1，21＝2，∴12＜21，②∵23＝8，32＝9，∴23＜32，③∵34＝81，43＝64，∴34＞43，④∵45＝1024，54＝625，∴45＞54，⑤∵56＝15625，65＝7776，∴56＞65，…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时，n n+1＜（n+1）n；当n ≥3时，n n +1＞（n +1）n ；（3）∵n ＝2008＞3，∴20082009＞20092008．12．求1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．试题分析：依据12=1−12，12+14=1−14，12+14+18=1−18，…可得规律12+14+18+⋯+12200=1−12200，进而得到1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．答案详解：解：∵12=1−12， 12+14=1−14， 12+14+18=1−18， …12+14+18+⋯+12200=1−12200， ∴1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200 ＝1+12+14+18+⋯+12200 ＝1+1−12200， ＝2−12200．13．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（ 1）23﹣22＝ 2×22﹣1×22 ＝2（ 2 ）， 24﹣23＝ 2×23﹣1×23 ＝2（ 3 ）， ……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．试题分析：（1）根据给出的内容，直接可以仿写25﹣24＝2×24﹣1×24＝24，（2）2n +1﹣2n ＝2×2n ﹣1×2n ＝2n ，（3）将原式进行变形，即提出负号后，就转化为原题中的类型，利用（1）（2）的结论，直接得出结果．答案详解：解：探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝21，23﹣22＝2×22﹣1×22＝22，24﹣23＝2×23﹣1×23＝23，（1）25﹣24＝2×24﹣1×24＝24；（2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n；（3）原式＝﹣（22020﹣22019﹣22018﹣22017﹣……﹣22﹣2）＝﹣2．所以答案是：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3五．新定义14．定义一种新运算（a，b），若a c＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为35．试题分析：设3m＝5，3n＝7，根据新运算定义用m、n表示（3，5）+（3，7），得方程，求出x 的值．答案详解：解：设3m＝5，3n＝7，依题意（3，5）＝m，（3，7）＝n，∴（3，5）+（3，7）＝m+n．∴（3，x）＝m+n，∴x＝3m+n＝3m×3n＝5×7＝35．所以答案是：35．15．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5；②若（x ，18）＝﹣3，则x ＝ 2 ． （2）若（4，5）＝a ，（4，6）＝b ，（4，30）＝c ，试探究a ，b ，c 之间存在的数量关系；（3）若（m ，8）+（m ，3）＝（m ，t ），求t 的值．试题分析：（1）①根据新定义的运算进行求解即可；②根据新定义的运算进行求解即可；（2）根据新定义的运算进行求解即可；（3）根据新定义的运算进行求解即可．答案详解：解：①∵53＝125，∴（5，125）＝3，∵（﹣2）5＝﹣32，∴（﹣2，﹣32）＝5，所以答案是：3；5；②由题意得：x ﹣3=18， 则x ﹣3＝2﹣3， ∴x ＝2，所以答案是：2；（2）∵（4，5）＝a ，（4，6）＝b ，（4，30）＝c ，∴4a ＝5，4b ＝6，4c ＝30，∵5×6＝30，∴4a •4b ＝4c ，∴a +b ＝c ．（3）设（m ，8）＝p ，（m ，3）＝q ，（m ，t ）＝r ，∴m p ＝8，m q ＝3，m r ＝t ，∵（m ，8）+（m ，3）＝（m ，t ），∴p +q ＝r ，∴m p +q ＝m r ，∴m p •m r ＝m t ，即8×3＝t ，∴t ＝24．16．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）：如果a c ＝b ，那么（a ，b ）＝c ． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ 3 ，（5，1）＝ 0 ，（2，14）＝ ﹣2 ． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ，4n ）＝（3，4），小明给出了如下的证明： 设（3n ，4n ）＝x ，则（3n ）x ＝4n ，即（3x ）n ＝4n所以3x ＝4，即（3，4）＝x ，所以（3n ，4n ）＝（3，4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）试题分析：（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；（2）设（3，4）＝x ，（3，5）＝y ，根据同底数幂的乘法法则即可求解．答案详解：解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵2﹣2=14， ∴（2，14）＝﹣2； （2）设（3，4）＝x ，（3，5）＝y ，则3x ＝4，3y ＝5，∴3x +y ＝3x •3y ＝20，∴（3，20）＝x +y ，∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）．所以答案是：3，0，﹣2．六．阅读类---紧扣例题，化归思想17．阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘a ⋅a ⋯a ︸n 个记为a n ．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝2，log216＝4，log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N＝log a（MN）；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明上述结论．试题分析：首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）由特殊到一般，得出结论：log a M+log a N＝log a（MN）；（4）首先可设log a M＝b1，log a N＝b2，再根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明结论．答案详解：解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；（2）4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a（MN）；（4）证明：设log a M＝b1，log a N＝b2，则a b1=M，a b2=N，∴MN=a b1⋅a b2=a b1+b2，∴b1+b2＝log a（MN）即log a M+log a N＝log a（MN）．18．阅读下列材料：若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a＞b（填“＜”或“＞”）．解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，所以a ＞b ．解答下列问题：（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 CA ．同底数幂的乘法B ．同底数幂的除法C ．幂的乘方D ．积的乘方（2）已知x 7＝2，y 9＝3，试比较x 与y 的大小．试题分析：（1）根据幂的乘方进行解答即可；（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．答案详解：解：∵a 15＝（a 3）5＝25＝32，b 15＝（b 5）3＝33＝27，32＞27，所以a 15＞b 15， 所以a ＞b ，所以答案是：＞；（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方，所以选C ；（2）∵x 63＝（x 7）9＝29＝512，y 63＝（y 9）7＝37＝2187，2187＞512，∴x 63＜y 63，∴x ＜y ．19．阅读下面一段话，解决后面的问题．观察下面一列数：1，2，4，8，…，我们发现，这一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于2．一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的比．（1）等比数列5，﹣15，45，…的第四项是 ﹣135 ．（2）如果一列数a 1，a 2，a 3，a 4，…是等比数列，且公比为q ，那么根据上述的规定，有a 2a 1=q ，a 3a 2=q ，a 4a 3=，…所以a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝（a 1q ）q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝（a 1q 2）q ＝a 1q 3，…，a n ＝ a 1q n ﹣1 （用含a 1与q 的代数式表示）． （3）一个等比数列的第二项是10，第三项是20，则它的第一项是 5 ，第四项是 40 ． 试题分析：（1）由于﹣15÷5＝﹣3，45÷（﹣15）＝﹣3，所以可以根据规律得到第四项．（2）通过观察发现，第n 项是首项a 1乘以公比q 的（n ﹣1）次方，这样就可以推出公式了；（3）由于第二项是10，第三项是20，由此可以得到公比，然后就可以得到第一项和第四项．答案详解：解：（1）∵﹣15÷5＝﹣3，45÷（﹣15）＝﹣3，∴第四项为45×（﹣3）＝﹣135．故填空答案：﹣135；（2）通过观察发现，第n项是首项a1乘以公比q的（n﹣1）次方，即：a n＝a1q n﹣1．故填空答案：a1q n﹣1；（3）∵公比等于20÷10＝2，∴第一项等于：10÷2＝5，第四项等于20×2＝40．a n＝a1q n﹣1．故填空答案：它的第一项是5，第四项是40．七．整式除法（难点）20．我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项式也可以用竖式运算，其步骤是：（i）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）．（ii）用竖式进行运算．（ii）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式．解：答：商式是5x2+3x﹣5，余式是﹣x+1；我挑战：已知x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除，请直接写出a、b的值．试题分析：我会做：根据“我阅读”的步骤，计算填空即可；我挑战：用竖式计算，令余式为0即可算出a，b的值．答案详解：解：我阅读：（iii）余式是﹣x+1，所以答案是：0x2，﹣5x2，﹣5x2，﹣5x2+0x﹣5，﹣x+1；我挑战：∴x4+x3+ax2+x+b＝（x2+x+1）（x2+a﹣1）+（2﹣a）x+b﹣a+1，∵x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除，∴（2﹣a）x+b﹣a+1＝0，∴2﹣a＝0且b﹣a+1＝0，解得a＝2，b＝1．21．计算：3a3b2÷a2+b•（a2b﹣3ab）．试题分析：根据单项式的除法以及单项式乘以多项式进行计算即可．答案详解：解：原式＝3ab2+a2b2﹣3ab2＝a2b2．22．计算：（2a3•3a﹣2a）÷（﹣2a）试题分析：依据单项式乘单项式法则进行计算，然后再依据多项式除以单项式法则计算即可．答案详解：解：原式＝（6a4﹣2a）÷（﹣2a）＝6a4）÷（﹣2a）﹣2a÷（﹣2a）＝﹣3a3+1．八．巧妙比大小---化相同23．阅读下列解题过程，试比较2100与375的大小．解：∵2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725，而16＜27，∴2100＜375请根据上述解答过程解答：比较255、344、433的大小．试题分析：根据幂的乘方的逆运算，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据底数的大小比较即可．答案详解：解：∵255＝3211，344＝8111，433＝6411，且32＜64＜81，∴255＜433＜344．24．比较20162017与20172016的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21，②23＜32，③34＞43，④45＞54，⑤56＞65，…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时，n n+1＜（n+1）n；当n＞2时，n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想则有：20162017＞20172016（填“＞”、“＜”或“＝”）．试题分析：（1）通过计算可比较大小；（2）观察（1）中的符号，归纳n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系；（3）由（2）中的规律可直接得到答案；答案详解：解：（1）①∵12＝1，21＝2，∴12＜21，②∵23＝8，32＝9，∴23＜32，③∵34＝81，43＝64，∴34＞43，④∵45＝1024，54＝625，∴45＞54，⑤∵56＝15625，65＝7776，∴56＞65，（2）通过观察可以看出；n≤2时，n n+1＜（n+1）n；n＞2时，n n+1＞（n+1）n；（3）由（2）得到的结论；2016＞2，∴20162017＞20172016．所以答案是：（1）＜，＜，＞，＞；≤2，＞2；＞．25．（1）用“＞”、“＜”、“＝”填空：35＜36，53＜63（2）比较下列各组中三个数的大小并用“＜”连接：①410，86，164②255，344，433．试题分析：（1）根据底数为大于1的正数时，底数相同指数越大幂越大和指数相同时，底数越小幂越小填空即可；（2）①先把这3个数化为底数都为2的幂比较大小；②根据（a m）n＝a mn（m，n是正整数）的逆运算把三个数化为指数相同的数，再比较底数的大小即可．答案详解：解：（1）∵3＞1，∴35＜36，所以答案是：＜；∵1＜5＜6，∴53＜63，所以答案是：＜；（2）①∵410＝（42）5＝220，164＝（42）4＝216，86＝218，∵220＞218＞216，∴164＜86＜410；②∵255＝（25）11，344＝（34）11，433＝（43）11，又∵25＝32＜43＝64＜34＝81，∴255＜433＜344．九．幂的运算的综合提升26．已知5a＝2b＝10，求1a +1b的值．试题分析：想办法证明ab＝a+b即可．答案详解：解：∵5a＝2b＝10，∴（5a）b＝10b，（2b）a＝10a，∴5ab＝10b，2ab＝10a，∴5ab•2ab＝10b•10a，∴10ab＝10a+b，∴ab＝a+b，∴1a+1b=a+bab=1，27．已知6x＝192，32y＝192，则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝−1 2017．试题分析：由6x＝192，32y＝192，推出6x＝192＝32×6，32y＝192＝32×6，推出6x﹣1＝32，32y ﹣1＝6，可得（6x﹣1）y﹣1＝6，推出（x﹣1）（y﹣1）＝1，由此即可解决问．答案详解：解：∵6x＝192，32y＝192，∴6x＝192＝32×6，32y＝192＝32×6，∴6x﹣1＝32，32y﹣1＝6，∴（6x﹣1）y﹣1＝6，∴（x﹣1）（y﹣1）＝1，∴（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝（﹣2017）﹣1=−1 201728．已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0，ba，b的形式，试求a2n﹣1•a2n（n≥1的整数）的值．试题分析：由于ba 有意义，则a≠0，则应有a+b＝0，则ba=−1，故只能b＝1，a＝﹣1了，再代入代数式求解．答案详解：解：由题可得：a≠0，a+b＝0，∴ba=−1，b＝1，∴a＝﹣1，又∵2n﹣1为奇数，﹣1的奇数次方得﹣1；2n为偶数，﹣1的偶数次方得1，∴a2n﹣1•a2n＝（﹣1）2n﹣1×（﹣1）2n＝﹣1×1＝﹣1．29．化简与求值：（1）已知3×9m×27m＝321，求（﹣m2）3÷（m3•m2）m的值．（2）已知10a＝5，10b＝6，求①102a+103b的值；②102a+3b的值．试题分析：（1）先根据幂的乘方的运算法则求出m的值，然后化简（﹣m2）3÷（m3•m2）m并代入求值；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解．答案详解：解：（1）3×9m×27m＝3×32m×33m＝35m+1＝321，∴5m+1＝21，解得：m＝4，则（﹣m2）3÷（m3•m2）m＝﹣m6﹣5m，将m＝4代入得：原式＝﹣46﹣20＝﹣4﹣14；（2）①102a+103b＝（10a）2+（10b）3＝52+63＝241；②102a+3b＝（10a）2•（10b）3＝25×216＝5400．。
8.幂的运算-----同底数幂的除法课件数学沪科版七年级下册
一种液体每升含有1012个有害细菌.为了实验某种杀菌剂的效果,科
学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1
升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴?
一种液体每升含有1012个有害细菌.为了实验某种杀菌剂的效果,
科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要
解:(1)am－n
(2)a3m－3n的值.
(2)a3m－3n=a3m÷a3n=(am)3÷(an)3
=am÷an=8÷5 =1.6.
同底数幂的除法法则的逆用：
am－n=am÷an
=83÷53=512÷125
512
=
125
例3 若a-4b-2=0,则3a÷81b等于( A )
A. 9
1
B.
9
C. 6
= a·a·…·a
（a·a·…·a）
(m-n)个a
n个a
=am-n
am÷an=
幂的运算性质4：am÷an=am-n(a≠0，m,n都是正整数，且m＞n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
一种液体每升含有1012个有害细菌.为了实验某种杀菌剂的效果,
科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要
（1）求:(1 039∪983)的值；（2）求:(2 022∩2 020)的值；
解：(1)(1 039∪983)=101
039×10983=101 039+983=102 022.
(2)(2 022∩2 020)=102
022÷102 020=102 022-2 020=10²=100.
幂的运算性质4——同底数幂的除法
(2)(-x)6÷(-x)3=(-x)6－3 =(-x)3 =-x3；
2020-2021学年数学第一册教师用书：第3章 §2指数幂的运算性质含解析
2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册教师用书：第3章§2指数幂的运算性质含解析§2指数幂的运算性质学习目标核心素养1.掌握指数幂的运算性质．(重点）2。
能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．（难点)通过指数幂的运算，培养数学运算素养．有理数指数幂的运算性质(1）a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q）。
(2)（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）.（3)(ab）r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q).有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝－2提示：错误,错误!错误!＝错误!错误!＝21＝2.1．用分数指数幂的形式表示a3·错误!错误!的结果是() A．a错误!B．a错误!C。
a4D．a错误! B［a3·错误!＝a3·a错误!＝a错误!＝a错误!．故选B。
]2．下列各式运算错误的是()A．(－a2b)2·（－ab2)3＝－a7b8B．（－a2b3)3÷（－ab2）3＝a3b3C．(－a3)2·（－b2）3＝a6b6D．［（a3）2·（－b2）3］3＝－a18b18C[（－a3)2·(－b2)3＝a6·（－b6）＝－a6b6≠a6b6.]3.错误!－错误!＋错误!的值为________．错误![原式＝错误!－错误!＋错误!＝错误!－错误!＋错误!＝错误!。
］4．计算8错误!×错误!＋错误!错误!.[解］原式＝2错误!×2错误!＋错误!6＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.对指数幂的运算性质的理解【例1】(1）下列函数中，满足f错误!＝错误!f错误!的是（）A．f错误!＝4x B．f错误!＝4－xC．f错误!＝2x D．f错误!＝2－x（2)2错误!·5错误!＝（)A．20错误!B．20错误!C．10错误!D．10错误!(1）D（2)A[（1）f错误!＝2－(x＋1)＝错误!×2－x＝错误!f错误!.故选D。
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幂的运算的重难点解析
幂的运算有加减、乘除、乘方的运算类型，运算时幂的运算总是转化成指数的运算。
如果把运算中加减看作第一级运算；乘除看作第二级运算；乘方看作第三级运算；那么幂的运算
降一级 指数的运算，比如同底数幂的乘法除法降一级 指数的加减法 ，幂的乘方降一级 指数的乘法 ，掌握了这一规律，各条运算性质就容易记忆，且不会相互混淆.
幂的运算中的方法与技巧
类型一：熟练使用公式，正确进行各种计算
注意：运算时首先确定所含运算类型，理清运算顺序，用准运算法则 （1）（-5）5×（-5）3 （2）x m-1
· x m+1
（3）-x 2 ·x 3
(4) 7×73×72 （5）4)(p p -⋅- （6）4
3)10( （7） －（2a 2）3
（8） （-43
2
)a （9） 4332⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
（10）[（x 2）3]7 ；
（11）412÷43 （12）(－21)4÷(－2
1)2（次数较低的幂要算出最后结果）
（13）(－3a )5÷(－3a ) （14）(－xy )7÷(－xy )2 （利用积的乘方化到最后）
（15）32m +1
÷3m -1 （16）643)2()2()2(b a b a b a -÷-⋅-
类型二：逆用公式进行计算
逆向公式①n m n m a a a •=+ ②n m n m a a a ÷=-
③()()
m
n n
m mn
a a
a
==
例1.已知2m =4，2n =16.求①2m+n 的值．②2m-n 的值．③m
32的值．④n
m +32
的值
解析：①已知2m =4，2n =16.而求2m+n 的值, 运用公式a m+n ＝a m ·a n 可以把.2m+n 转化为2m ·2n ②已知2m
=4而求m
32
的值, 运用公式()n
m mn
a
a
=可以把m
32
转化为
()3
2m
规律: 同底数幂的乘法法则为a m ·a n ＝a m+n ,将其颠倒过来,就是a m+n ＝a m ·a n .可以将指数为和的形式的幂转化为同底数幂的乘法.这样就可以运用条件了.其余类似。
仔细揣摩解析，完成例题的解答过程。
解： 例2
逆用()n
n n ab b a =简化运算，此公式一般适用于1=ab 或1-=ab 时
计算①2012
2012
818
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯ ②()
2011
2012
125.08
-⨯ ③2012
6036
812
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯
解析： 像 ③2012
6036
812
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯常规计算非常复杂，利用()n
n n ab b a =时指数不相同，底数
积不是1，需要转化，发现()
20122012
32012
36036
82
2
2
===⨯，这样就可以逆用公式
()n
n n ab b a =进行简便运算了。
仔细揣摩解析，完成例题的解答过程。
解：
类型三：通过转化底数实现继续运算或求值的目的 例1 计算(x －y)2(y －x)3
解析：解法一：(x －y)2·(y－x)3=(y －x)2·(y－x)3=(y －x)5 解法二：(x －y)2·(y－x)3=(x －y)2【－ (x －y)3】=－(x －y)5
点拨：底不相同的两个幂运算．必须化为同底才能运算，一般我们转化的是互为相反数的两个底（a-b 与b-a 互为相反数）。
采用上面两种化同底的方法得到的结果是相同的． 注意：在同底数幂的乘法常用的几种恒等变形.
(a －b)=－(b －a) (a －b)3=－(b －a)3 (a －b)2n －1=－(b －a)2n －1(2n-1是奇数) (a －b)2=(b －a)2 (a －b)4=(b －a)4 (a －b)2n =(b －a)2n (2n 是偶数) 另外，变形时切记负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负，运用时可以这样理解： 例2 如果8m ·4m-1=213
,求m 的值。
解析：题目中出现了三个底数，按照幂的运算特点，把不同底转化为同底的，比较8,4,2发现2
24,28==，所以右边()()
252231
231
22222
4
8----=•=•=•m m m m m
m m ，
右边=213
,比较左右两边底数相同，因而5m-2=13，解得m=3 跟踪练习：1. a 4•(-a 3)•(-a )3 2. (x-y)3(y-x)(y-x)6
3.已知27
93⨯⨯m
m
163=,求m 的值
4. 若2x+3y-4＝0，求9x ·27y 的值．
类型四 比较幂的大小（比如比较n m b a 与，两种方法①化成同底数，比较指数的大小； ②化成同指数，比较底数的大小
例1 已知a ＝355，b ＝444，c ＝533，则有（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b
解析：化成同指数的，33, 44，55的最大公约数为11，所以把指数化成11，则 a ＝(35)11＝24311，b ＝(44)11＝25611，c ＝(53)11＝12511． 因为125＜243＜256．所以c ＜a ＜b ． 故应选C ．
跟踪练习：1.若a=8131，b=2741，c=961，比较a 、b 、c 的大小. 2. 比较108
3
与144
2
的大小关系。