河南工业大学高等数学试卷

201 至2012 学年第二学期

高等数学AI（二）试卷B卷

出卷教师：适应班级：2011级计算机科学、土木工程、建筑管理工程、机电工程、

材料工程、电气工程

考试方式：闭卷本试卷考试分数占学生总评成绩的70%

复查总分总复查人

（本题 18 分）一、填空题

1．直线

221

312

x y z

+-+

==

-

与平面23380

x y z

++-=的交点为。

2．设22

ln()

z x xy y

=++，则

z z

x y

x y

∂∂

+=

∂∂

。

3．二次积分

cos

2

00

(cos,sin)

d f r r rdr

π

θ

θθθ

⎰⎰可以写成。

4．幂级数23

2

(1)

3

n

n

n

n

x

n

∞

-

=

-

⋅

∑的收敛半径为。

5．设

1

z

y

u

x

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，则

(1,1,1)

du=。

6．设

,0

()

,0

2

x x

f x

x x

ππ

π

π

---<<

⎧

⎪

=⎨

+≤≤

⎪⎩

是以2π为周期的周期函数，则()

f x的傅立叶级数在0

x=处收敛

于。

（本题 12 分）二、单项选择题

1．在曲线23

,,

x t y t z t

==-=的所有切线中，与平面24

x y z

++=平行的直线

（）。

A 只有1条；

B 只有2条；

C 至少有3条；

D 不存在。

2．设22

:,01

z x y z

∑=+≤≤，则

∑

=（）。

A 2π；

B ；

C ； D

2

π

。

《高等数学AI（二）》试卷第 1 页（共 4 页）

3．设级数

1

n

n

u

∞

=

∑收敛，则必收敛的级数是（）。

A

1

(1)n n

n

u

n

∞

=

-

∑； B 2

1

n

n

u

∞

=

∑； C 212

1

()

n n

n

u u

∞

+

=

-

∑； D 1

1

()

n n

n

u u

∞

+

=

+

∑。

4．设L是221

x y

+=的曲线，则2

2

L

y ds=

⎰（）。

A 2π；

B π； C

2

π

； D 4π。

（本题 48 分）三、计算题

1．设()()

x y

z yf xg

y x

=+，其中,f g具有二阶连续导数，求

22

2

z z

x y

x x y

∂∂

+

∂∂∂

。

2．计算

D

，其中D由22222

0,,20(0)

y x y a x ax y a

≥+≥-+≤>所围成的区域。

3．计算ln(

I y x dy

=++

⎰，其中L是从点(0,0)

O沿曲线sin

y x

=到点

(,0)

Aπ的一段弧。

《高等数学AI（二）》试卷第 2 页（共 4 页）

学

院

名

称

专

业

班

级

姓

名

：

学

号

：

密

封

线

内

不

要

答

题

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃

密

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃

封

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃

线

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃

4．流体的速度(,2,2)v x xy z =-

，求流体从锥面)z z h =≤≤上侧流向下侧的流量。

5．设33z ax by cxy =++在点(1,1)处取得极值1-，（1）确定常数,a b 的值；（2）函数值(1,1)z 是极大值还是极小值？

3．求幂级数121(1)21

n n

n x n -∞

=--∑的收敛域及和函数。

《高等数学AI （二）》试卷 第 3 页 （ 共 4 页 ）

（本题 10 分）四、应用题 在锥面z =

与平面1z =所围的封闭曲面内作一长方体，使其体积最大，

求这个体积的最大值。

（本题 12 分）五、证明题

设22

22

221()arctan ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

，证明(,)f x y 在点(0,0)可微。

《高等数学AI （二）》试卷 第 4 页 （ 共 4 页 ）