第一章求极限练习题答案(可编辑修改word版)
第一章求极限练习题答案
n dAl l th i nb ea rgo1．求下列极限：(1) 解：原式===22221lim(1)n n n n →∞++-2221lim 21n n n n n →∞++-+22112lim 211n n n n n→∞++-+(2) 解：原式==(3) 解：原式20lim(1)x x x →+12lim[(1)]x x x →+2e 3x →==(4) 解：原式=3x →x →141lim (1)xx x e →∞-=1(5) 求.解：原式=1(1)lim1xx e x→∞-0x ≠当当当lim cos cos cos 242nn x x x→∞==cos cos (2cos sin )2422lim2sin 2n n n n x x x x x →∞ 1cos sin22lim 2sin 2n n nx xx →∞-sin lim 2sin 2n nn x x →∞ ==(6) 解：原式==sin 2lim()sin 2n n nx x x x →∞A sin x x limx lim x (7) limx lim x 22212lim(12n nn n n n n n n→∞+++++++++ 解：令 2221212n ny n n n n n n n =+++++++++ 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而，，2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++2(1)12lim 12n n n n n →∞+=++故222121lim(122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (8)解：原式=n →∞Al th ng i nt hi n g2n n →∞→∞==1.3 函数的极限 作业1.根据函数极限的定义,验证下列极限:(1) 解: ,要使, 即,31lim0x x→∞=0ε∀>3311|0|||x x ε-=<||x >只要取,则当时,恒有 , 所以. X =||x X >31|0|xε-<31lim0x x→∞=(2) 解: ,要使,2x →=0ε∀>|4||2|2x ε-=<<还要使，即，或，只要取,0x ≥44x -≥-|4|4x -<min{2,4}δε=则当时,恒有 , 所以. 0|4|x δ<-<|2|ε-<42x →=2.求下列数列极限:(1) 22212lim(12n nn n n n n n n→∞+++++++++ 解：令2221212n ny n n n n n n n =+++++++++ 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而，，2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++2(1)12lim 12n n n n n →∞+=++故222121lim(122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (2)解：原式=n →∞2n n →∞→∞==3．求下列函数极限：(1) 解：原式=-9(2) 解：原式==4225lim 3x x x →+-224lim 2x x x →--2lim(2)x x →+a re (3)解：原式=1x→11x x →→==(4) 解：原式=x →∞x =(5) 解：原式=2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+226723lim 4412x x x x x →∞-+=++(6) 解：原式=2121lim()11x x x →---211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+4.设，分别讨论在，和23 2 0() 1 01 1 x>11x x f x x x x ⎧⎪+≤⎪=+<≤⎨⎪⎪-⎩()f x 0x →1x →时的极限是否存在.2x →解：，，故不存在.0lim ()2x f x -→=0lim ()1x f x +→=0lim ()x f x →，趋向无穷大，故不存在.1lim ()2x f x -→=1lim ()x f x +→1lim ()x f x →，，故.2lim ()1x f x -→=2lim ()1x f x +→=2lim ()1x f x →=1.43．求下列函数极限：(1) =-9(3) ==4225lim 3x x x →+-224lim 2x x x →--2lim(2)x x →+1x →1x x →→==(7) 00h h h →→→===(9) =x →∞x =ngsin(11) =2(21)(32)lim(21)xx xx→∞--+226723lim4412xx xx x→∞-+=++(13) lim lim0x x==(15) =2121lim(11x x x→---211(1)11lim lim112x xxx x→→---==--+2. 设，分别讨论在，时的左右1100()01112xxxf xx xx-⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪<<⎪≤<⎪⎩()f x0x→1x→极限，并说明这两点的极限是否存在.解：，，故001lim()lim11x xf xx--→→-==-00lim()lim0x xf x x++→→==00lim()lim()x xf x f x-+→→≠不存在.，lim()xf x→11lim()lim1x xf x x--→→==11lim()lim11x xf x++→→==.11lim()lim()x xf x f x-+→→=1lim()1xf x→=1.51．求下列极限：(1)00sin3sin3lim lim333x xx xx x→→=⋅=00tan333(3)lim limsin444x xx xx x→→==2220002sin22(5)24()2x x xxxxxx→→→⋅===注:在，.0(0,)Uδ2sin02x≥220002(5)4x x xxx→→→===Al ng snt he (7) 解: 原式=0x →0x →=202sin sin lim sin 2x x x x x x→→+==42021sin sin lim2()2x x x xx →+220sin sin 2lim ()x x x x x →=+注意: 代数和中的一部分不能用无穷小替换.错 原式=0x →0→ (8)1sin cos lim1sin cos x x xx xββ→+-+-解: 原式==2022sin cos 2sin 222lim2sin cos 2sin 222x x x x x x x βββ→++0sin (cos sin )222lim sin (cos sin )222x x x x x x x βββ→++===00sin cos sin 222limlim sin cos sin222x x x x x x x x βββ→→++A 02lim 12x x x β→A 1β注意: 代数和的一部分不能用无穷小替换.错 =01sin cos lim 1sin cos x x x x x ββ→+-+-202112lim 12x x xx x βββ→+=+33333(9)lim(1)lim[(1)]xx x x e x x →∞→∞+=+=244424(11)lim(lim[(1]22x x x x x e x x +---→∞→∞--=+=++113330(13)lim(13)lim[(13)]xx x x x x e →→+=+=4. 当时，下列函数中哪些是的高阶无穷小，哪些是的同阶0x →x x无穷小，哪些是的低阶无穷小？x32(1)1000x x+322001000lim lim(1000)0x xx xx xx→→+=+=解：因为321000()x x o x+=所以3(2)2sin x32002sin sinlim lim2sin0x xx xxx x→→=⋅=解：因为3sin()x o x=所以(3) 解:ln(1)x+100ln(1)lim lim ln(1)1xx xxxx→→+=+=因为ln(1)~x x+所以(4) 解: ，1cos x-20002sin sin1cos22lim lim lim(sin)022x x xx xx xxx x→→→-===A因为1cos()x o x-=所以(5) 解: 因为==2，故是的同sinx x+sinlimxx xx→+sinlim(1xxx→+sinx x+x阶无穷小.解: 因为==，x→131233sin11lim[()cosxxxx x→A A∞的低阶无穷小.或：因为=xx→0x→是的低阶无穷小.x→x思考题：1．==9=911331lim(39)lim9(13xxx x x xxx x→+∞→+∞+=+A A1331lim9[(1]3x xxxx→+∞+A0e2．，因为当时，.arccotlimxxx→=∞0x→arccot2xπ→习题2.2 1．求下列函数的导数：解：2(1)cosy x x=+'sin2y x x=-+(3) 解：（注：）sin cosy x x e=++'cos1y x=+(cos)'0e=(5) 解2cos2xy='2cos(cos)'22x xy=A==2cos(sin)('222x x x-A A2cos(sin)22x x-cos sin22x x-A解：(7)sin3y x='3cos3y x=解：2(9)sin(1)y x x=++2'(21)cos(1)y x x x=+++解：3(11)lny x=+1139'(ln)'(3ln)'222y x xx x x=+=+=(6) 解：=6(21)y x=+5'6(21)2y x=+A512(21)x+(10) 解：=ln(ln)y x=1'(ln)'lny xx=11ln x xA(11) 解：ln(sin)y x=1''(sin)'siny xx=+1cossinxx+A2．在下列方程中，求隐函数的导数：(1)解：cos()y x y=+'sin()(1')y x y y=-+⋅+(2)解：222333x y a+=113322'033x y y--+=3. 求反函数的导数：(1)解：lny x x=+1111dxdydydx x===+(2) 解：，故arcsin xy e=sin lnx y=1cos lndxydy y=⋅4. 求下列函数的导数(1) 解：2siny x x='y=22sin cosx x x x+(5) 解：3(3)lny x x=23221'3ln3lny x x x x x xx=+=+解：1ln1lnxyx-=+21ln1ln'(1ln)x xx xyx+---=+211lnyx=-++eanrb22212'0(1ln)(1ln)yx x x x=-⋅=-++(7) 解21cosy xx=1'2cosy xx=+2x1(sinx-12cosxx+2x1(sinx-(9)ln(y x=+''y x=+==解：(10) 解：12 (0)xy x e a=->112'2x xy xe x e=+A(ln(x xa a a--(11) arccos xyx=-arccosln(1lnxy xx=-+-解：1'yx=-+2arccos1xx x=+2arccos xx=-ln(13)xy x=2ln ln(ln)x x xy e e⋅==解：ln ln11'2ln2lnx xy x x x xx-=⋅⋅=⋅(14) cos(sin)xy x=解：，对该式两边求导数得ln cos ln siny x x=11'sin ln sin cos cossiny x x x xy x=-+cos'(sin)(sin ln sin cos tan)xy x x x x x∴=-+(15) 解：，对该式两边求导y x=11ln ln ln(1)ln(1)22y x x x=+--+数得1111'2(1)2(1)yy x x x=---+Al t he (10)解：arcsin lnx y x =-'[ln(1(ln )'y x =++-(1'1x+(2)x -1x +1x4. 求反函数的导数：(1)解：ln y x x =+1111dxdy dydx x===+arcsin xy e =解：，故求下列参数方程的导数：sin ln x y =1cos ln dx y dy y =⋅'y 211(1)(1)x t t y t ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩242(1)2(1)'()1(1)1'()1(1)t t t dy y t t t dx x t t t +-⋅+-+===+-+解： (2) 解：3233131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩322332323326(1)333(2)(1)3(1)333(12)(1)at t at t dy dy at t t dt dxa x at t dx a t dt t +-⋅-+===+-⋅-+(3) 解：2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩222111221dy dyt dt tdx t dx t dt t-+===+2．若在点连续，且。
北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.3
习题1.31.(1,2,),lim 1,0,,2|-1|,:n n n n n x n x N n n N x εε→∞===>+>< 设证明即对于任意求出正整数使得当时有 并填下表220,1,|-1||1|,2,2222,,|-1|.2.lim ,lim ||||.0,,,||,||||||||,lim ||||.3.{},(1),n n n n n n n n n n n n nx n n n N n N x a l a l N n N a l a l a l a l a l N εεεεεεεεε→∞→∞→∞∀><=-=<>-++⎡⎤=-><⎢⎥⎣⎦==∀>∃>-<-≤-<=不妨设要使只需取则当时就有设证明使得当时此时故设有极限证明存在一个自然数证证1||||1;(2){},,||(12,).(1)1,,,||1,|||||||||| 1.(2)m ax {||1,||,,||},||(12,).-313(1)lim23n n n n n n n N n n n N a l a M a M n N n N a l a a l l a l l l M l a a a M n N n n εε→∞<<+≤==∃>-<=-+≤-+<+=+≤=+=- 是一个有界数列即存在一个常数使得对于使得当时此时令则 4.用说法证明下列各极限式:证23/23/2; (2)lim0;21!(3)lim 0(||1); (4)lim0;111(5)lim 1;1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)31311(1),2322(23)n nnn n n n n n n q q nn n n n n n n n εεε→∞→∞→∞→∞→∞=+=<=⎛⎫+++= ⎪-⎝⎭⎛⎫++= ⎪+⎝⎭+∀-=<-- 不妨设要使只需证>0,<1,3113,2113133133,,,lim .22322321(2),,,n n n N n N n n n εεεεεεε→∞>+++⎡⎤=+>-<=⎢⎥--⎣⎦∀<≤<>取当时故要使由于只需>0,32222333331,.1(3)||(0).41||(1)(1)(2)(1)1266242424,,m ax {4,}.(1)(2)!111(4),,.11(5)1223nnnnN n N q n nnn q n n n n n n nn N n n n n n N nnεεαααααααεααεαεαεεε⎡⎤=><⎢⎥⎣⎦=>>+==---++++++⎡⎤<<<>=⎢⎥--⎣⎦⎡⎤≤<>=⎢⎥⎣⎦+++ 取当时3/23/23/22211(1)1111111111,,.1223(1)1111(6),,.(1)(2)(1)5.lim 0,{},,||(1,2,),lim n n n n n n n n N n n n n n N n n n a b M b M n εεεεεε→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+-++--=<>=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎡⎤++≤<<>=⎢⎥++⎣⎦=<= 设是有界数列即存在常数使得证明2222220.0,,||,||||||,lim 0.6.lim1.0,11, 1.(1)24444,1,,.(1)(1)(1)127.:(1)l n n n n n n n n n n n nna b N a a b a b M MMa b n n n n N n n n n n n εεεεεεεεεεεεεεε→∞→∞→∞=∀>∃<=≤===∀><<+⎡⎤=<<<>=⎢⎥-+-⎣⎦++正整数使得故证明要使|只需而只需求下列各极限的值证证32232244432221im lim0.310013/100/1(2)limlim.4241/2/4(210)(210/)(3)limlim16.11/11(4)lim 1lim 1.n n n n n n nnn n n n n n n n n nn n n nne n n →∞→∞→∞→∞→∞→∞---→∞→∞==+-+-==-+-+++==++⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21111(5)lim 1lim 11111111.11lim 1lim 1111111(6)lim 1lim 1,(,1),,,1101nn n n n n n nnnnn n nn n n en n q N n N q n n e n n -→∞→∞-→∞→∞→∞→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-∈∃>-<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫<-⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦取当时2211,lim 0,lim10,lim 10.1111(7)lim 1lim 1lim 1 1.nnnnn nn n n nnnn n n q q n n e n n n e →∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫<=-=-=⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即12221212218.1111(1),,12(1)11112 2.12(1)1111(2),,21212121111111111121222222221n n n n n n n n n n nn nn n n x x x x nn x x n n nx x x x x +++-=+++=+>+<+++=-<-=+++=+>++++-⎛⎫=+++=++++= ⎪⎝⎭ 利用单调有界序列有极限证明下列序列极限的存在性:单调增加有上界，故有极限.111 1.12111111(3).0,1222122,0,111(4)11.0,2!!(1)!111111213 3.2231n n n n n n n n n n n n n x x x x n n n nn n n x x x x x x x n n x n n n x +++<-=+++-=-=-<++++++<>=++++-=>+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 单调增加有上界，故有极限.单调减少有下界，故有极限.单调增加有上界，故11lim 11.2!!n e n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 有极限.9.证明=211(1)1(1)(1)1112!!(1)(1)1!111111112111112!!!1111111.lim 1lim 112!!2!!nknnn n n n n n n k n n n n k n n n n n n nk n n k n n n n n e n n n →∞→∞---+⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭--++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫<++++=+≤++++ ⎪⎝⎭ 证1.,11111112111,2!!1111,2!!1111lim 11lim 11.2!!2!!10.:||||,1,2,,nk n n n k n k k n n k n n n e k e k n x k x n →∞→∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭>-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫→∞≥++++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫≥++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤= 对于固定的正整数,由上式,当时令得设满足下列条件其中是小于211111.lim 0.||||||||0(),lim 0.n n n n n n n n x x k x k x k x n x →∞-+-→∞=≤≤≤→→∞= 的正数证明由得证。
北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.6
习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取。
(完整word版)数学分析—极限练习题及详细答案
一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
（完整版）高职专升本第一章函数极限与连续习题及答案
（完整版）高职专升本第一章函数极限与连续习题及答案高等数学习题集第一章函数极限与连续一.选择题1．若函数)(x f 的定义域为[0,1]，则函数)(ln x f 的定义域是（ B ）。
A [0,1]B [1,e]C [0,e]D (1,e)2．设xx f 11)(+=，则)]([x f f =（ A ）。
(2002-03电大试题) A.x x ++11 B.x x +1 C.x ++111 D.x+11。
3．设)(x f =e 2x ，则函数)()()(x f x f x F -+=是（ B ）。
A 奇函数；B 偶函数；C 既是奇函数又是偶函数；D 非奇非偶函数。
4．下列说法错误的是（ D ）。
A y=2x 与y=|x|表示同一函数；B x x f 3sin 21)(=是有界函数； C x x x f +=cos )(不是周期函数； D 12+=x y 在(－∞,＋∞)内是单调函数。
5．下列函数中非奇非偶的函数是（ D ）。
A ||lg )(x x f =；B 2)(xx e e x f --=； C x x x f sin )(+=； D ||)(x x x f -=。
6．下列函数中（ A ）是基本初等函数。
A x x f 2=)(；B x x f 2=)(；C 2)(+=x x f ；D x x x f +=2)(。
7．函数（ A ）是初等函数： A x x y arccos 12-=；B =≠--=.1,0,1,112x x x x y C xx y ln )ln(-=；D ΛΛ+++++=+12421n y 8．“数列{x n }的极限存在”是“数列{x n }有界”的（ A ）。
A 充分但非必要条件；B 必要但非充分条件；C 充分必要条件；D 既非充分亦非必要条件。
9．∞→x lim 5x 的值是（ D ）。
A +∞； B -∞； C 0； D 不存在。
10．+∞→x lim e -x 的值是（ A ）。
极限习题及答案极限的则运算
极限习题及答案极限的则运算极限习题及答案：1. 计算极限：lim(x→∞) (2x + 1)/(3x - 2)解：当 x 趋近无穷大时，分子和分母的最高次项都是 x，所以可以将 x 提取出来：lim(x→∞) (2x + 1)/(3x - 2)= lim(x→∞) (2 + 1/x)/(3 - 2/x)当 x 趋近无穷大时，1/x 趋近于 0，所以可以将其忽略：= lim(x→∞) (2 + 0)/(3 - 0)= 2/32. 计算极限：lim(x→0) (sin 3x)/(2x)解：当 x 趋近 0 时，sin 3x 趋近 0，所以可以将其忽略：lim(x→0) (sin 3x)/(2x)= lim(x→0) (3)/(2)= 3/23. 计算极限：lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)解：这个极限的形式是 0/0，我们可以尝试将其进行因式分解：(x^2 - 1)/(x - 1) = (x + 1)(x - 1)/(x - 1) = x + 1当 x 趋近 1 时，x + 1 趋近 2，所以极限为 2。
4. 计算极限：lim(x→∞) (e^x + 1)/(e^x - 1)解：当 x 趋近无穷大时，e^x 趋近无穷大，所以可以将其忽略：lim(x→∞) (e^x + 1)/(e^x - 1)= lim(x→∞) (1 + 1)/(1 - 1)= 2/0这个极限不存在。
5. 计算极限：lim(x→0) (1 - cos x)/(x^2)解：这个极限的形式是 0/0，我们可以尝试将其进行泰勒展开：1 - cos x = 1 - (1 - x^2/2 + x^4/4! - x^6/6! + .)= x^2/2 - x^4/4! + x^6/6! - 。
当 x 趋近 0 时，x^2/2 趋近 0，所以极限为 0。
这是一些常见的极限习题及答案，通过这些例子，你可以更好地理解极限的概念和运算法则。
第一章函数、极限与连续习题答案.doc
第一章函数、极限与连续1 . 若」 t =t31，贝 U 「t 31 =( D )A. t 31 B. t62 C. t92 D. t 9 3t 6 3t322. 设函数 f x = In 3x ? 1 ? i 5 - 2x ? arcsin x 的定义域是 ( C )1 5C.-1,1 D. -1,13 ,233. 下列函数 f x 与 g x 相等的是 （A ）— 2A. f x = x 2 , g x - x4B . fx=x ,gx= xC.fX gx「X 1x -14. 下列函数中为奇函数的是 （A )2x x八sin xf- c 2— 22 ?A. y2B .y - xe xCsin xD . y = x cosx xsin xx25 . 若函数 fxl=x , - 2：； x ：：： 2，则 f x-1 的值域为 （B ）A. 0,2B. 0,3C. 0,21D. 0,316 . 函数y =10x4 -2 的反函数是（D )xC .A . y =igB .log x 2x—2a X X 是有理数7.设函数 %是无理数°<a"，则（B ）1y =Iog 2_ D . y =1 lg x 2 x1A . 当 Xr J 时， f x 是无穷大B . 当 x- 工: 时， f x 是无穷小C. 当 Xr - ■时， f x 是无穷大 D . 当 x—. - ■时， f x 是无穷小8 . 设 f x 在R上有定义 ,f x 在点X。
连续的（A . 充分条件C.必要条件x2 a,cos x, 函数 f x 在点X。
左、右极限都存在且相等是函数B. 充分且必要条件D. 非充分也非必要条件x—1在 R 上连续，则 a 的值为（D）x::: 1C. -1D.-210.若函数 f x 在某点X。
极限存在，则（C ）f x 在X o的函数值必存在且等于极限值B. f x 在X o函数值必存在，但不一定等于极限值C. f X 在X o的函数值可以不存在D. 如果f X o存在的话 ,11 . 数列0，3 ，2，4，是 (B )A.以0为极限B.以1为极限C . 以口为极限D . 不存在在极限n112 . lim xsin( CxB. 不存在C. 1D. 013.li=(A )C.0x2214?无穷小量是（C）A.比零稍大一点的一个数B. —个很小很小的数C. 以零为极限的一个变量 D . 数零[2X，-1 _ x ：： 015. 设f(x)= 2, x :：: 1 则f x的定义域为[-1,3] , f 0 =x—1, 1 _x _32 __ , f 1 =0。
（完整word版）第一章求极限练习题答案
（完整word版）第⼀章求极限练习题答案1．求下列极限：(1) 2221lim (1)n n n n →∞++- 解：原式=2221lim 21n n n n n →∞++-+=22112lim 211n n n n n→∞++-+=2 (2) 20lim(1)x x x →+解：原式=12lim[(1)]x x x →+=2e(3) 32lim3x x →- 解：原式=3x →=x →=14(4) 1lim (1)x x x e →∞-解：原式=1(1)lim1xx e x→∞-=1(5) 0x ≠当时，求lim cos cos cos 242n n x x x→∞L .解：原式=cos cos (2cos sin )2422lim2sin 2n n n n x x x x x →∞L =1cos sin22lim 2sin 2n n nx x x →∞-=sin lim 2sin 2n nn x x →∞ =sin 2lim()sin 2n n n x x x x →∞g =sin x x(6) 21sinlim x x 解：原式=21limx x g=limx=limx=(7)22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++L 解：令2221212n ny n n n n n n n=+++++++++L 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++L L ⽽2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++， 2(1) 12lim 12n n n n n →∞+=++，故222121n n n n n n n n n →∞+++=++++++L(8) n →∞解：原式=2n n →∞→∞==1.3 函数的极限作业1. 根据函数极限的定义,验证下列极限: (1) 3 1lim0x x→∞= 解: 0ε?>,要使3311|0|||x x ε-=<,即||x >只要取X =,则当||x X >时,恒有 31|0|x ε-<, 所以31lim 0x x →∞=.(2) 42x →= 解: 0ε?>,要使|4||2|2x ε-=<<,则当0|4|x δ<-<时,恒有|2|ε<,所以42x →=. 2. 求下列数列极限:(1) 22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++L 解：令2221212n ny n n n n n n n =+++++++++L 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++L L ⽽2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++， 2(1) 12lim 12n n n n n →∞+=++，故222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++L(2) n →∞解：原式=2n n →∞→∞==3．求下列函数极限：(1) 225lim 3x x x →+- 解：原式=-9(2) 224lim 2x x x →-- 解：原式=2 lim(2)x x →+=4(3) 21lim1x x →-解：原式=14x x →→==-(4) x →∞ 解：原式=0x =(5) 2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+ 解：原式=226723lim4412x x x x x →∞-+=++ (6) 2121lim()11x x x →--- 解：原式=211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+ 4. 设23 2 0() 1 01 1 x>11x x f x x x x ?+≤=+<≤-? ，分别讨论()f x 在0x →，1x →和2x →时的极限是否存在.解：0lim ()2x f x -→=，0lim ()1x f x +lim ()x f x →不存在. 1lim ()2x f x -→=，1lim ()x f x +→趋向⽆穷⼤，故1lim ()x f x →不存在. 2lim ()1x f x -→=，2lim ()1x f x +→=，故2lim ()1x f x →=.1.43．求下列函数极限：(1) 225lim 3x x x →+-=-9(3) 224lim 2x x x →--=2lim(2)x x →+=4 1x →14x x →→==-(7) 000h h h →→→===(9) x →∞=0x =(11) 2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+=226723lim 4412x x x x x →∞-+=++(13) limlim0x x == (15) 2121lim()11x x x →---=211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+ 2. 设10100()01112x x x f x x x x -?==<极限，并说明这两点的极限是否存在. 解：001lim ()lim11x x f x x --→→-==-，00lim ()lim 0x x f x x ++→→==，00lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠ 故lim ()x f x →不存在.11lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim11x x f x ++→→== 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→= 1lim ()1x f x →=. 1.51．求下列极限：(1) 0sin 3sin 3lim lim 333x x x xx x→→=?=00tan 333(3)limlim sin 444x x x x x x →→==222200022sin 222(5)lim 2sin 224()2x x x x x x x xx→→→?===? 注:在0(0,)U δ，2sin 02x ≥.222000222(5)lim 2sin24x x x x x x x →→→===(7) 02cos lim sin 2x x x →解: 原式=2021sin cos lim sin cos )2x x x x=2002sin sin lim sin 2x x x x x x →→+g =2021sin sin lim2()2x x x xx →+220sin sin 2lim ()x x x x x →=+=4 注意: 代数和中的⼀部分不能⽤⽆穷⼩替换. 错原式=0x →220212lim 1cos )4x x x x x →+ (8) 01sin cos lim1sin cos x x xx xββ→+-+-解: 原式=2022sin cos 2sin 222lim 2sin cos 2sin 222x x x x x x x βββ→++=0sin (cos sin ) 222lim sin (cos sin )222x x x x x x x βββ→++=00sin cos sin 222limlim sin cos sin222x x x x x x x x βββ→→++g =02lim 12x x x β→g =1β注意: 代数和的⼀部分不能⽤⽆穷⼩替换.错 01sin cos lim 1sin cos x x x x x ββ→+-+-=202112lim 12x x x x x βββ→+=+ 33333(9)lim(1)lim[(1)]xx x x e x x →∞→∞+=+=244424(11)lim()lim[(1)]22x x x x x e x x +---→∞→∞--=+=++330(13)lim(13)lim[(13)]x x x x x x e →→+=+=4. 当0x →时，下列函数中哪些是x 的⾼阶⽆穷⼩，哪些是x 的同阶⽆穷⼩，哪些是x的低阶⽆穷⼩？32(1)1000x x +322001000lim lim (1000)0x x x x x x x→→+=+=解：因为 321000()x x o x +=所以3(2)2sin x 32002sin sin lim lim 2sin 0x x x x x x x→→=?=解：因为 3sin ()x o x =所以(3) ln(1)x +解: 100ln(1)limlim ln(1)1x x x x x x→→+=+=因为ln(1)~x x +所以 (4) 1cos x -解: 2002sin sin1cos 22limlim lim(sin )022x x x x xxx xxx →→→-===g 因为，1cos ()x o x -=所以(5) sin x x + 解: 因为 0sin limx x x x →+=0sin lim(1)x xx→+=2，故sin x x +是x 的同阶⽆穷⼩.(6): 因为0x →=1312033sin 11lim[())cos x x xx x →g g =∞，故是x的低阶⽆穷⼩.或：因为0x →=0x →0x →x 的低阶⽆穷⼩. 思考题：1．11331lim (39)lim 9(1)3x x xx xx x x x →+∞→+∞+=+g g =1331lim 9[(1)]3x xx x x →+∞+g =90e =9 2．0arccot limx x x →=∞，因为当0x →时，arccot 2 x π→.习题2.2 1．求下列函数的导数：2(1)cos y x x =+解：'sin 2y x x =-+=2cos (sin )()'222x x x -g g =2cos (sin )22x x -gcos sin 22x x -g(7)sin 3y x =解：'3cos3y x =2(9)sin(1)y x x =++解：2'(21)cos(1)y x x x =+++3(11)ln y x =解：1139'(ln )'(3ln )'222y x x x x x=+=+=(6) 6(21)y x =+解：5'6(21)2y x =+g =512(21)x + (10) ln(ln )y x =解：1'(ln )'ln y x x ==11ln x x g(11)ln ln(sin )y x =解：1'(sin )'sin y x x =+1cos sin x x +g2．在下列⽅程中，求隐函数的导数： (1)cos()y x y =+解：'sin()(1')y x y y =-+?+(2)222333x y a +=解：113322x y y --+=3. 求反函数的导数：(1)ln y x x =+解：1111dx dy dy dx x==+(2) arcsin x y e =解：sin ln x y =，故1cos ln dx y dyy=?=4. 求下列函数的导数(1) 2sin y x x =解：'y =22sin cos x x x x + 3(3)ln y x x=23221'3ln 3ln y x x x x x x x=+=+解： (5) 1ln 1ln xy x-=+解：21ln 1ln '(1ln )x xx x y x +---=+211ln y x=-++ 22212'0(1ln )(1ln )y x x x x =-=-++ (7) 21cosy x x=解1'2cos y x x =+2x 1(sinx -12cos x x +2x 1(sin)x -(9)ln(y x ='y x =+==解：(10)12(0)xxy x e a =->解：112'2xxy xe x e =+g g(ln (x x a a a --(11) arccos ln x y x = -arccos ln(1ln xy x x=--解：1'y x=-+2arccos 1x x x =-+2arccos x x =- ln (13)x y x =2ln ln (ln )x x x y e e ?==解： ln ln 11'2ln 2ln x x y x x x x x-=??=? (14) cos (sin )xy x =解：ln cos lnsin y x x =Q ，对该式两边求导数得11'sin ln sin cos cos sin y x x x x y x=-+cos '(sin )(sin ln sin cos tan )x y x x x x x ∴=-+ (15) y x =11ln ln ln(1)ln(1)22y x x x =+--+Q ，对该式两边求导数得1111'2(1)2(1)y yxx x =---+arcsin lnx y x =-解：'[ln(1(ln )'y x =++(11x +(2)x -1x +1x4. 求反函数的导数：(1)ln y x x =+解：1111dx dy dydx x==+arcsin x y e =解：sin ln x y =，故=?=求下列参数⽅程的导数'y ： 211(1)(1)x t t y t ?=?+?=+242(1)2(1)'()1(1)1'()1(1)t t t dy y t t t dx x t t t +-?+-+===+-+解：(2)3233131at x t at y t ?=??+??=?+? 解：322332323326(1)333(2)(1)3(1)333(12)(1)at t at t dydy at t t dt dx a x at t dxa t dt t +-?-+===+-?-+(3)2ln(1)arctan x t y t t ?=+?=-? 解：222111221dy dyt dt tdx t dx t dt t-+===+2．若()F x 在点a 连续，且()0F x ≠。
极限练习题含答案
极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。
下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。
练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以\( x^2 \)，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当\( x \)趋近于1时，\( x - 1 \)趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以\( \sin x \)，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当\( x \)趋近于无穷大时，\( \sin x \)的值在-1和1之间波动，但相对于\( x \)来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。
第1章极限的定义习题集及答案
第一章 习题一 极限的定义一．选择题 1．设1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则[]{}()f f f x =（ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）1,10,1x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ （D ）0,11,1x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩2．“数列极限∞→n lim n x 存在”是“数列}{n x 有界”的（ B ）（Ａ）必要条件；（Ｂ）充分条件；（Ｃ）充要条件；（Ｄ）既非充分也非必要条件．3．下列命题错误的是（ B ）（A ）∞→n lim n x 存在，则∞→n lim n x 存在； （B ）∞→n lim n x 存在，则∞→n lim n x 存在； （C ）∞→n lim n x 存在，则∞→n lim n x =n n x ∞→lim ；（D ）∞→n lim n x 不存在，则∞→n lim n x 也不存在． 4．若lim n n x →∞存在，则以下选项错误的是（ B ）（A ）lim n n x →∞存在 （B ）lim(1)n n n x →∞-存在 （C ）1lim n n n x x +→∞存在 （D ）1lim2n n n x x +→∞+存在5．设{}{}{}n n n a b c 均为非负数列，且lim 0,lim 1,lim n n n n n n a b c →∞→∞→∞===∞，则必有（ D ）（A ）n n a b <对任意n 成立 （B ）n n b c <对任意n 成立 （C ）极限lim n n n a c →∞不存在 （D ）极限lim n n n b c →∞不存在 6．设n n n z y x ≤≤，下列命题不正确的是（ B ） （A ）若a z x n n n n ==∞→∞→lim lim （a 是实数），则a y n n =∞→lim ；（B ）若∞==∞→∞→n n n n z x lim lim ，则∞=∞→n n y lim ；（C ）若-∞==∞→∞→n n n n z x lim lim ，则-∞=∞→n n y lim ；（D ）若+∞==∞→∞→n n n n z x lim lim ，则+∞=∞→n n y lim ．7．当∞→x 时，x arctan 2-π是（ C ）（A ）无穷小量； （B ）无穷大量； （C ）有界变量； （D ）无界变量． 8．当0→x 时，函数xx x f 1sin 1)(=是（ D ）（A ）无穷小量； （B ）无穷大量； （C ）有界变量； （D ）无界变量． 9．设,n n x y 满足：lim 0n n n x y →∞=，则下列断言正确的是（ D ）（A ）若n x 发散，则n y 发散 （B ）若n x 无界，则n y 有界。
第1章 极限与连续 习题答案
（4）
2 .（5） 0，1. 2
（6）ln2. （7） e 2 .（8） − .（9） a = b = 2 . （10） 1 .（11） e .（12） 1 ， −1 .
3 2
（13） − .
1 3
4. 证明： （1）反证法：不妨设 lim an = A , lim an = B , A ≠ B . 取 ε = | A − B | , ∃N1 ，当 n > N1 时， | an − A |< ε ，
n →∞ n →∞
1 2
∃N 2 ， | an − B |< ε ， | A − B |≤| an − A | + | an − B |< ε + ε =| A − B | . 取 N = max{N1 , N 2} , 则 n > N 时， 当 n > N2 时，
矛盾.
| an − A |≤ 1 ， （2） 设 lim an = A ， 取ε =1 ， ∃N ， 当 n > N 时， 则 | an |≤| A | +1 ， 取 M = max{| a1 |," | aN |,| A | +1} ，
无穷间断点
10. 解： （1） f ( x) = ⎪ ⎨0
⎧x ⎪− x ⎩
0
x = ±1 为跳跃间断点.
x ⎧ ⎪ 0 ⎪ （3） f ( x) = ⎪ ⎨ 1 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎩ −1
x≤0 0 < x <1 x =1 x > 1, x ≠ 2
x =1
为跳跃间断点； x = 2 无穷间断点.
令 n → +∞ ，得 0 < n a1 " an ≤ 1.ε = ε . 由 ε 的任意性，知 lim n a1a2 " an = a .
北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.2（范文）
北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.2（范文）第一篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.2（范文）习题 1.2 1.求下列函数的定义域:(1)y=ln(x2-4);(2)y=ln1+x5x-x211-x;(3)y=ln4;(4)y=2x2+5x-3.解(1)x2-4>0,|x|2>4,|x|>2,D=(-∞,-2)⋃(2,+∞).(2)1+x1-x>0.⎧⎨1-x>0或⎧1-x<0⎩1+x>0⎨⎩1+x<0.-1<x<1,D=(-1,1).(3)5x-x24>1,x2-5x-4<0.x2 -5x+4=0,(x-1)(x-4)=0,x1=1,x2=4.D=(1,4).(4)2x2+5x-3>0.(2x-1)(x+3 )=0,x1=-3,x2=1/2.D=(-∞,-3)⋃(1/2,+∞).2.求下列函数的值域f(X),其中X为题中指定的定义域.(1)f(x)=x2+1,X=(0,3).f(X)=(1,10).(2)f(x)=ln(1+sinx),X=(-π/2,π],f(X) =(-∞,ln2].(3)f(x)=3+2x-x2,X=[-1,3],3+2x-x2=0,x2-2x-3=0,(x+1)(x-3 )=0,x1=-1,x2=3,f(X)=[0,f(1)]=[0,4].(4)f(x)=sinx+cosx,X=(-∞,+∞).f(x)= 2(sinxcos(π/4)+cosxsin(π/3))=2sin(x+π/4),f(X)=[-2,2].3.求函数值：设f(x)=lnx2(1)ln10,求f(-1),f(-0.001),f(100);(2)设f(x)=arcsinx1+x2,求f(0),f(1),f(-1);(3)设f(x)=⎧⎨ln(1-x),-∞<x≤0,⎩-x, 0<x<+∞,求f(-3),f(0),f(5).⎧cosx,0≤x<1,(4)设f(x)=⎪⎨1/2, x=1,求f(0),f(1),f(3/2),f(2).⎪⎩2x, 1<x≤3解(1)f(x)=logx2,f(-1)=log1=0,f(-0.001)=log(10-6)=-6,f(100)=log104 =4.(2)f(0)=0,f(1)=arcsin(1/2)=π/6,f(-1)=arcsin(-1/2)=-π/6.(3)f(-3)=l n4,f(0)=0,f(5)=-5.(4)f(0)=cos0=1,f(1)=1/2,f(3/2)=22,f(2)=4.4.设函数f(x)=2+x2-x,x≠±2,求f(-x),f(x+1),f(x)+1,f⎛1⎫1⎝x⎪⎭,f(x).解f(-x)=2-x2+x+13+x2+x,x≠±2;f(x+1)=2-x-1=1-x,x≠1,x≠-3,2+x4⎛1⎫2-1/x2x-1+1=,x≠±2;f ⎪==,x≠0,x≠±1/2,2-x2-x⎝x⎭2+1/x2x+11 2+x=,x≠±2.f(x)2-xf(x+∆x)-f(x)5.设f(x)=x3,求，其中∆x为一个不等于零的量.∆xf(x+∆x)-f(x)(x+∆x)3-x3x3+3x2∆x+3x∆x2+∆x3-x3解===3x2+3∆x+∆x2.∆x∆x∆x6.设f(x)=lnx,x>0,g(x)=x2,-∞<x<+∞,试求f(f(x)),g(g(x)),f(g(x)),g(f(x)).f(x)+1=解f(f(x))=f(lnx)=lnlnx,x>1;g(g(x))=g(x2)=x4,-∞<x<+∞;f(g(x))=f(x2)=lnx 2,x≠0;g(f(x))=g(lnx)=ln2x,x>0.⎧0, x≥0,⎧x, x≥0;7.设f(x)=⎨g(x)=⎨求f(g(x)),g(f(x)).-x,x<0;1-x,x<0,⎩⎩解∀x,g(x)≥0,f(g(x))=0.⎧g(0), x≥0,⎧0, x≥0,g(f(x))=⎨=⎨g(-x),x<0.⎩⎩-x,x<0.8.作下列函数的略图:(1)y=[x],其中[x]为不超过x的最大整数;(2)y=[x]+x;1(3)y=sinhx=(ex-e-x)(-∞<x<+∞);21(4)y=coshx=(ex+e -x)(-∞<x<+∞);2⎧x2, 0≤x<0,(5)y=⎨⎩x-1,-1≤x<0.（1）（2）（3）（4）（5）⎧x29.设f(x)=⎨,x≥0,求下列函数并且作它们的图形⎩x, x<0,:(1)y=f(x2);(2)y=|f(x)|;(3)y=f(-x);(4)y=f(|x|).解(1)y=x4,-∞<x<+∞.(2)y=|f(x)|=⎧⎨x2,x≥0，⎩-x, x<0.(3)y=f(-x)=⎧⎨x2,-x≥0,⎧x2,x≤0,⎩-x, -x<0=⎨⎩-x, x>0.(4)y=f(|x|)=x2,-∞<x<+∞.3求下列函数的反函数:(1)y=x2-2x(0<x<+∞);(2)y=sinhx(-∞<x<+∞);(3)y=coshx(0<x<+∞).解(1)x2-2x=y,x2-2yx-4=0,x=y+y2+4,y=x+x2+4(-∞<x<+∞).ex-e-x(2)=y ,z=ex,z2-2yz-1=0,ex=z=y+y22+1,x=ln(y+y2+1),y=ln(x+x2+1),(-∞<x< +∞).(3)ex+e-x2=y,z=ex,z2-2yz+1=0,ex=z=y+y2-1,x=ln(y+y2-1),y=ln (x+x2-1),(x≥1).证明cosh2x-sinh2x=1.⎛ex+e-x⎫2⎛ex-e-x⎫2(e2x证coshx-sinhx=+e-2x+2)-(e2x+e-2x22-2)⎝2⎪⎭-⎝2⎪⎭=4=1.下列函数在指定区间内是否是有界函数?(1)y=ex2,x∈(-∞,+∞);否(2)y=ex2x∈(0,1010);是(3)y=lnx,x∈(0,1);否(4)y=lnx,x∈(r,1),其中r>0.是2(5)y=e-x2+sinx+cos(2x),x∈(-∞,+∞);是|y|≤12-1+1=2.4 10.11.12.(6)y=x2sinx,x∈(-∞,+∞);否.(7)y=x2cosx,x∈(-1010,1010).是13.证明函数y=1+x-x在(1,+∞)内是有界函数.证y=1+x-x=(1+x-x)(1+x+x)1+x+x=11+x+x<12+1(x>1).13.研究函数y=x6+x4+x21+x6在(-∞,+∞)内是否有界.|x|≤1时,x6+x4+x2x6+x4+x23x6解1+x6≤3,|x|>1时,1+x6≤x6=3,|y|=y≤3,x∈(-∞,+∞).5第二篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.4 习题1.41.直接用ε-δ说法证明下列各极限等式:(1)limx→ax=a(a>0);(2)limx=a;(3)lime=e;(4)limcosx=cosa.x→ax→ax→a22xa证(1)∀ε>0,要使||x-a|x-a|=|x-a|x-a<ε,由于|x-a|x+a<|x-a|ax-,a|<ε,故lim只需<ε,|x-a|<aε.取δ=aε,则当|x-a|<δ时,|x=a.ax→a(2)∀ε>0,不妨设|x-a|<1.要使|x2-a2|=|x+a||x-a|<ε,由于|x+a|≤|x-a|+|2a|<1+|2a|,只需(1+|2a|)|x-a|<ε,|x-a|<ε当1+|2a|.取δ=min{ε1+|2a|,1},则|x-a|<δ时,|x2-a2|<ε,故limx2=a2.x→a(3)∀ε>0,设x>a.要使|ex-ea|=ea(ex-a-1)<ε,即0<(ex-a-1)<εea,1<ex-a<1+εea,0<x-a<ln⎛ε⎫=min{ε1+,1},则当0<x-a<δ时,|ex-eaa⎪,取δ|<⎝e+|2a|ε,⎭1故limex=ea.类似证limex=ea.故limex=ea.x→a+x→a-x→a(4)∀ε>0,要使|cosx-cosa|=2sinx+aa2sinx-a2=2sinx+a2sinx-2≤|x-a|,取δ=ε,则当|x-a|<δ时,|cosx-cosa|<ε,故limcosx=cosa.x→a2.设limf(x)=l,证明存在a的一个空心邻域(a-δ,a)⋃(a,a+δ),使得函数u=f(x)在x→a该邻域内使有界函数.证对于ε=1,存在δ>0,使得当0<|x-a|<δ时,|f(x)-l|<1,从而|f(x)|=|f(x)-l+l|≤|f(x)-l|+|l|<1+|l|=M.3.求下列极限:2(1)lim(1+x)2-1=lim2x+x=lim(1+x1.x→02xx→02xx→02)=22sin2⎛x⎛⎫(2)lim1-cosx⎝2⎪⎭=1 sin⎛x ⎫⎫⎪⎪1x→0x2=limx→0x22lim ⎝2⎭⎪=γ12 =1.x→0 x ⎪22⎝2⎪⎭(3)limx+a-axx=lim=1(a>0).x→0x→0x(x+a+a)2a(4) limx2-x-2x→12x2-2x-3=-2-3.x2(5)lim-x-2-2x→02x2-2x-3=-3.1 201030(6)lim(2x-3)(2x+2)x→∞(2x+1)30=2230=1.(7)lim1+x-1-x=lim2x=1.x→0xx→0x(1+x+1-x)(8)lim⎛13⎫x2-x+1-3x2-x-2x→-1 -⎝x+1x3+1⎪=lim⎭x→-1(x+1)(x2-x+1)=limx→-1(x+1)(x2-x+1)=lim(x+ 1)(x-2)(x-2)=-3x→-1(x+1)(x2-x+1)=limx→-1(x2-x+1)3=-1.(9)lim1 +2x-3=lim(1+2x-3)(x+2)(1+2x+3)x→4x-2x→4(x-2)(x+2)(1+2x+3)=li m(2x-8)(x+2)=2γ4x→4(x-4)(1+2x+3)6=43.n(n-1)2nlimxn-1n(10)-1ny+2y+Λ+yx-1=lim(1+y)x→1y→0y=lim=n.y→0y(11)limx2+1-x2-1)=lim2=0.x→∞(x→∞x2+1+x2-1mm-1(12)lima0x+a1x+Λ+amamx →0bnn-10x+b+Λ+b(bn≠0)=1xnb.n-1⎧a0/b0,m=n(13)lima0xm+a1 xm+Λ+amx→∞bnbn-1+Λ+b(aγb⎪00≠0)=⎨0, n>m0x+1xn⎪⎩∞, m>n.x4+81+8/x4(14)limx+11+1/x2=1.x→∞2=limx→∞31+3x-3(15)li m1-2xx→0x+x2(3221+3x-333=lim1-2x)(1+3x+1+3xγ31-2x+31-2x )x→0x+x2)(321+3x+31+3xγ31-2x+32(1-2x)=lim5xx→0x(1+x)(321+ 3x+321+3xγ31-2x+31-2x)=lim522=5x→0(1+x)(31+3x+31+3xγ31-2x+31-2x)3.(16)a>0,li mx-a+x-a=lim⎛x-a1⎫x→a+0x2-a2x→a+0 ⎝x2-a2+x+a⎪⎪⎭=lim⎛(x-a) (x+a)+1⎫x→a+0 ⎝x+ax-a(x+a)x+a⎪⎪⎭2=lim⎛(x-a)+1⎫x→a+0 ⎝x+ax-a(x+a)x+a⎪⎭=lim⎛x-a+1⎫1.x→a+0 ⎝x+a(x+a)x+a⎪⎪=⎭2ax4.利用limsinx=1及lim⎛1x→xx→∞1+⎫⎝x⎪=e求下列极限:⎭(1)limsinαxsinαxαx→0tanβx=limx→0sinβxlimcosβx=x→0β.sin( 2x2)sin(2x2(2)lim)2x2x→3x=lim1γ0=0x→02x2γlimx→03x=(3)limta n3x-sin2x=limtan3xsin2x21x→0sin5xx→0sin5x-limx→0sin5x=35 -5=5.(4)limx=limxx→0+1-cosxx→0+2sinx=2.2cosx+aa(5)limsinx-s ina2sinx-2=cosa.x→ax-a=limx→ax-a2-k⎛k⎫-xx(-k)⎡x(6)limlimk=⎢⎛k⎫k⎤=e-k.∞1+x→⎝x⎪⎭x→∞1+⎫k=⎛⎝x⎪⎭⎢limx→∞1+⎪⎥⎣⎝x⎭⎥⎦-5(7)lim(1 -5y)1/y=⎡1/(5y)⎤-5y→0⎢⎣lim(1-5y)⎥=e.y→0⎦x+100x10(8)lim⎛1+10= lim⎛1+1=e.x→∞⎫⎝x⎪⎭x→∞⎫⎡⎛1⎫⎤⎝x⎪⎭⎢lim⎣x→∞1+⎝x⎪⎭⎥⎦5.给出limf(x)=+∞及limf(x)=-∞的严格定义.x→ax→-∞limf(x)=+∞:对于任意给定的A>0,存在δ>0,使得当0<|x-a|<δ时f(x)>A.x→alimf(x)=-∞:对于任意给定的A>0,存在∆>0,使得当x<-∆时f(x)<-A.x→-∞3第三篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.6 习题1.61.证明:任一奇数次实系数多项式至少有一实根.证设P(x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则limP(x)=+∞,x→+∞limP(x)=-∞,存在A,B,A<B,P(A)<0,P(B)>0,P在[A,B]连续,根据连续函数x→-∞的中间值定理,存在x0∈(A,B),使得P(x0)=0.2.设0<ε<1,证明对于任意一个y0∈R,方程y0=x-εsinx有解,且解是唯一的.证令f(x)=x-εsinx,f(-|y0|-1)=-|y0|-1+ε<-|y0|≤y0,f(|y0|+1)≥|y0|+1-ε>|y0|≥y0,f在[-|y0|-1,|y0|+1]连续,由中间值定理,存在x0∈[-|y0|-1,|y0|+1],f(x0)=y0.设x2>x1,f(x2)-f(x1)=x2-x1-ε(sinx2-sinx1)≥x2-x1-ε|x2-x1|>0,故解唯一.3.设f(x)在(a,b)连续,又设x1,x2∈(a,b),m1>0,m2>0,证明存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=m1f(x1)+m2f(x2)m1+m2.证如果f(x1)=f(x2),取ξ=x1即可.设f(x1)<f(x2),则f(x1)=m1f(x1)+m2f(x1)m1+m2≤m1f(x1)+m2f(x2)m1+m2≤m1f(x2)+m2f(x2)m1+m2=f(x2),在[x1,x2]上利用连续函数的中间值定理即可.4.设y=f(x)在[0,1]上连续且0≤f(x)≤1,∀x∈[0,1].证明在存在一点t∈[0,1]使得f(t)=t.证g(t)=f(t)-t,g(0)=f(0)≥0,g(1)=f(1)-1≤0.如果有一个等号成立,取t为0或1.如果等号都不成立,则由连续函数的中间值定理,存在t∈(0,1),使得g(t)=0,即f(t)=t.5.设y=f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=f(2).证明在[0,2]存在两点x1与x2,使得|x1-x2|=1,且f(x1)=f(x2).证令g(x)=f(x+1)-f(x),x∈[0,1].g(0)=f(1)-f(0),g(1)=f(2)-f(1)=f(0)-f(1)=-g(0 ).如果g(0)=0,则f(1)=f(0),取x1=0,x2=1.如果g(0)≠0,则g(0),g(1)异号,由连续函数的中间值定理,存在ξ∈(0,1)使得g(ξ)=f(ξ+1)-f(ξ)=0,取x1=ξ,x2=ξ+1.第四篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.3习题1.31.设xn=nn+2(n=1,2,Λ),证明limxn=1,即对于任意ε>0,求出正整数N,使得n→∞当n>N时有 |xn-1|<ε,并填下表:n-1|=2n+2<ε,只需n>2-2,取证∀ε>0,不妨设ε<1,要使|xn-1|=|N=n+2ε⎡2⎤-2,则当n>N时,就有|xn-1|<ε.⎢ε⎥⎣⎦n→∞n→∞2.设liman=l,证明lim|an|=|l|.证∀ε>0,∃N,使得当n>N时,|an-l|<ε,此时||an|-|l||≤|an-l|<ε,故lim|an|=|l|.n→∞3.设{an}有极限l,证明(1)存在一个自然数N,n<N|an|<|l|+1;(2){an}是一个有界数列,即存在一个常数M,使得|an|≤M(n=12,Λ).证(1)对于ε=1,∃N,使得当n>N时,|an-l|<1,此时|an|=|an-l+l|≤|an-l|+|l|<|l|+1.(2)令M=max{|l|+1,|a1|,Λ,|aN|},则|an|≤M(n=12,Λ).4.用ε-N说法证明下列各极限式:(1)limn→∞3n+12n-3=;(2)limn→∞n+1=0;(3)limnq=0(|q|<1);(4)limn→∞n→∞2nn!nn=0;⎛1⎫11(5)lim ++Λ+⎪=1;n→∞1γ22γ3(n-1)γn⎝⎭⎛⎫11(6)lim +Λ+=0.3/ 23/2⎪n→∞(n+1)(2n)⎝⎭证(1)∀ε>0,不妨设ε<1,要使3n+12n-3-32=112(2n-3)<ε,只需n>112ε+3,取N=3n+133n+13⎡11⎤+3,当n>N时,-<ε,故lim=.⎢2ε⎥n→∞2n-32n-322⎣⎦(2)∀ε>0,要使<ε,由于≤只需<ε,n>ε3,⎡1取N=⎢ε3⎣(3)|q|=|nq|=n⎤,当n>N时⎥⎦1<ε.1+αn(α>0).n>4=1+nα+<124nαnn(n-1)(1+α)6nnα+n(n-1)(n-2)α+Λ+α⎤}.⎥⎦3n<(n-1)(n-2)αn!nn<ε,n>⎡1⎢ε⎣⎤.⎥⎦εα,N=max{4,⎡24⎢εα3⎣(4)≤1n<ε,n>ε,N=⎛1⎫11(5) ++Λ+⎪-1(n-1)γn⎭⎝1γ22γ3⎛⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫⎫11⎡1=-⎪+-⎪+Λ+-⎪⎪-1=<ε,n>,N=⎢nε⎣ε⎝(n-1)n⎭⎭⎝⎝12⎭⎝23⎭⎤.⎥⎦1(n+1)n→∞3/2+Λ+1(2n)3/2≤n(n+1)3/2<<ε,n>ε,N=⎡1⎢ε2⎣⎤.⎥⎦5.设liman=0,{bn}是有界数列,即存在常数M,使得|bn|<M(n=1,2,Λ),证明limanbn=0.n→∞证∀ε>0,∃正整数 N,使得|an|<故limanbn=0.n→∞εM,|anbn|=|an||bn|≤εMγM=ε,6.证明limn→∞=1.证∀ε>0,要使1|n(1+ε)n1<ε,只需n(1+ε)n<1.4nε1+nε+nn(n-1)<ε(n-1)ε<4nε,只需<1,n>ε,N=⎡4⎢ε2⎣⎤.⎥⎦7.求下列各极限的值:(1)limn→∞=limn→∞=0.22(2)limn→∞n+3n-1004n-n+2(2n+10)n+n =limn→∞1+3/n-100/n4-1/n+2/n=.(3)limn→∞=limn→∞(2+10/n)1+1/nn=16.-21⎫⎛(4)lim 1+⎪n→∞n⎭⎝-2n⎡1⎫⎤⎛=⎢lim 1+⎪⎥n→∞n⎭⎥⎝⎢⎣⎦=e.-21⎫1⎛(5)lim 1-⎪=limn-1n→∞n→∞n⎭⎝1⎫⎛1⎫⎛1+1+⎪⎪n-1⎭⎝n-1⎭⎝=1⎫⎛lim 1+⎪n→∞n-1⎭⎝1⎫⎛(6)lim 1-⎪n→∞n⎭⎝nnnn-1=1⎫⎛lim 1+⎪n→∞n-1⎭⎝nn1e.⎡⎛1⎫⎤11⎫⎛=lim⎢1-⎪⎥,取q∈(,1),∃N,当n>N时, 1-⎪<qn→∞n⎭⎥en⎭⎝⎢⎣⎝⎦⎡⎛1⎫⎤1⎫⎛1-=0,即lim1-⎢⎥⎪⎪n→∞nn⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦nnnnn⎡⎛1⎫⎤nn0<⎢1-⎪⎥<q,limq=0,limn→∞n→∞n⎭⎥⎢⎣⎝⎦nnn=0.1⎫1⎫1⎫1⎛⎛⎛(7)lim 1-2⎪=lim 1+⎪lim 1-⎪=e=1.n→∞n→∞n⎭n⎭n→∞⎝n⎭e⎝⎝8.利用单调有界序列有极限证明下列序列极限的存在性:(1)xn=xn<1+(2)xn=11+11γ212+1+Λ+1n,xn+1=xn+=2-12+1n1(n+1)>xn,+Λ+1(n-1)n11n<2.xn单调增加有上界，故有极限.,xn+1=xn+n+1+2+1+Λ++1>xn,1-n1111⎛111⎫1<1.xn=+2+Λ+n=1++2+Λ+n-1⎪=2222⎝222⎭21-12xn单调增加有上界，故有极限.(3)xn=1n+1+1n+2+Λ+1n+n.xn+1-xn=12n+2-1n+1=-12n+2<0,xn+1<xn,xn>0,xn单调减少有下界，故有极限.(4)xn=1+1+12!+Λ+1n!.xn+1-xn=1(n+1)!>0,1⎫⎛11⎫1⎫1⎛⎛1xn≤2+1-⎪+-⎪+Λ+-⎪=3-<3.2⎭⎝23⎭n⎝⎝n-1n⎭xn单调增加有上界，故有极限.11⎫⎛9.证明e=lim 1+1++Λ+⎪.n→∞2!n!⎭⎝1⎫1n(n-1)1n(n-1)Λ(n-k+1)1⎛证 1+⎪=1+n+2+Λ++knn2!nk!n⎝⎭Λ+n(n-1)Λ(n-n+1)1n!nnn=2+1⎛1⎫1⎛1⎫⎛k-1⎫1⎛1⎫⎛n-1⎫1-+1-Λ1-+1-Λ1-⎪⎪⎪⎪⎪2!⎝n⎭k!⎝n⎭⎝n⎭n!⎝n⎭⎝n⎭1n1⎫11⎫⎛⎛<1+1++Λ+.e=lim 1+⎪≤lim 1+1++Λ+⎪.n→∞n→∞2!n!n⎭2!n !⎭⎝⎝对于固定的正整数k,由上式,当n>k 时,1⎫1⎛1⎫1⎛1⎫⎛k-1⎫⎛1+>2+1-+1-Λ1-⎪⎪⎪⎪,n⎭2!⎝n⎭k!⎝n⎭⎝n⎭⎝11⎫⎛令n→∞得e≥1+1++Λ+⎪,2!k!⎝⎭11⎫11⎫⎛⎛e≥lim 1+1++Λ+=lim1+1++Λ+⎪n→∞⎪.k→∞2!k!2!n!⎝⎭⎝⎭10.设满足下列条件:|xn+1|≤k|xn|,n=1,2,Λ,其中是小于1的正数.证明limxn=0.n→∞nn-1证由|xn+1|≤k|xn|≤k|xn-1|≤Λk|x1|→0(n→∞),得limxn=0.n→∞第五篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.5 习题1.5 1.试用ε-δ说法证明(1)1+x在x=0连续(2)sin5x在任意一点x=a连续.证(1)∀ε>0,要使|x<ε,|x|<221+x-21+0|=2x22<ε.由于22x22≤x,只需221+x+11+x+11+0|<ε,故1+x在x=0连续.5(x-a)2|<ε.ε,取δ=ε,则当|x|<δ时有|1+x-5x+5a2||sin(2)(1)∀ε>0,要使|sin5x-sin5a|=2|cos由于2|cos取δ=5x+5a2||sin5(x-a)2|≤5|x-a|,只需5|x-a|<ε,|x-a|<ε5,ε5,则当|x-a|<δ时有|sin5x-sin5a|<ε,故sin5x在任意一点x=a连续.2.设y=f(x)在x0处连续且f(x0)>0,证明存在δ>0使得当|x-x0|<δ时f(x)>0.证由于f(x)在x0处连续,对于ε=f(x0)/2,存在存在δ>0使得当|x-x0|<δ时f(x)-f(x0)|<f(x0)/2, 于是f(x)>f(x0)-f(x0)/2=f(x0)/2>0.3.设f(x)在(a,b)上连续,证明|f(x)|在(a,b)上也连续,并且问其逆命题是否成立?证任取x0∈(a,b),f在x0连续.任给ε>0,存在δ>0使得当|x-x0|<δ时|f(x)-f(x0)|<ε,此时||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|<ε,故|f|在x0连续.其逆命题⎧1,x是有理数不真,例如f(x)=⎨处处不连续,但是|f(x)|≡1处处连续.⎩-1,x是无理数4.适当地选取a,使下列函数处处连续: 2⎧⎧ln(1+x), x≥1,⎪1+x,x<0,(1)f(x)=⎨(2)f(x)=⎨⎩aarccosπx,x<1.⎪⎩a+x x≥0;解(1)limf(x)=limx→0-x→0-x→1+x→1+1+x2=1=f(0),limf(x)=f(0)=a=1.x →0+x→1-x→1-(2)limf(x)=limln(1+x)=ln2=f(1),limf(x)=limaarccosπx=-a=f(1)=ln2,a=-ln2.5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限:(1)limcosx→+∞1+x-x=22x=coslimx→+∞1+x-xx=cos0=1.(2)limxx →2x.sin2xsin3x2sin2x(3)limex→0sin3x=elimx→0=e3.=arctanlimx →∞(4)limarctanx→∞x+8x+124x+8x+124=arctan1=π4.1(5)limx→∞( x+1-3|x|x+1+22x-2)|x|=⎤⎥=2x-2⎦x→x02lim⎡(x→∞⎣x+1-22x-2)|x|⎤⎦=⎡lim⎢x→∞⎣x→x0⎡⎤3lim⎢⎥=22x→∞⎣1+1/x+1-2/x⎦g(x)32.6.设limf(x)=a>0,limg(x)=b,证明lim)f(x)x→x0lim[(lnf(x))g(x)]=a.=a.bb证lim)f(x)x→x0g(x)=lim)ex→x0(lnf(x))g(x)=ex→x0=eblna7.指出下列函数的间断点及其类型,若是可去间断点,请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:(1)f(x)=cosπ(x-[x]),间断点n∈Z,第一类间断点.(2)f(x)=sgn(sinx),间断点nπ,n∈Z,第一类间断点.⎧x,x≠1,(3)f(x)=⎨间断点x=1,第一类间断点.⎩1/2,x=1.⎧x+1,0≤x≤1⎪(4)f(x)=⎨间断点x=1,第二类间断点.π,1<x≤2,⎪sinx-1⎩⎧1,0≤x≤1,⎪2-x⎪(5)f(x)=⎨x,1<x≤2,间断点x=2,第一类间断点.⎪1⎪,2<x≤3.⎩1-x228.设y=f(x)在R上是连续函数,而y=g(x)在R上有定义,但在一点x0处间断.问函数h(x)=f(x)+g(x)及ϕ(x)=f(x)g(x)在x0点是否一定间断?解h(x)=f(x)+g(x)在x0点一定间断.因为如果它在x0点连续,g(x)=(f(x)+g(x))-f(x)将在x0点连续,矛盾.而ϕ(x)=f(x)g(x)在x0点未必间断.例如f(x)≡0,g(x)=D(x).。
（完整word版）数学分析—极限练习题及详细答案
（完整word版）数学分析—极限练习题及详细答案⼀、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价⽆穷⼩。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶⽆穷⼩的是（） A.3x B.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+?==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.34.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+?-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+?，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满⾜的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
函数极限题库及答案详解
函数极限题库及答案详解1. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当 \(x \to 0\) 时，分子分母同时趋向于0，可以应用洛必达法则。
对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\)。
2. 求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 +5}\)。
答案：当 \(x \to \infty\) 时，分子和分母的高次项将主导极限的值。
因此，\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3\)。
3. 求极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
答案：这是一个0/0的不定式，可以进行因式分解，分子可以分解为\((x - 2)(x + 2)\)，因此原式变为 \(\lim_{x \to 2} (x + 2)\)，结果为4。
4. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)。
答案：根据e的泰勒展开式，\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \cdots\)，当 \(x \to 0\) 时，高阶项可以忽略，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)。
5. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
答案：根据泰勒展开，\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} - \cdots\)，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 -\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2!} +\text{高阶项}}{x^2} = -\frac{1}{2}\)。
极限练习题及答案
极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。
A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。
．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。
2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。
?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。
??1,x?0.?19无穷小量是。
20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。
极限求法考试题及答案
极限求法考试题及答案1. 计算极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母分别求导，得到\(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。
2. 计算极限：\(\lim_{x \to \infty} \left(1 +\frac{1}{x}\right)^x\)。
答案：这是一个著名的极限，其结果为自然对数的底数e，即\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)。
3. 计算极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
答案：利用泰勒展开式，\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)\)，所以\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{1 - (1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4))}{x^2} = \frac{1}{2}\)。
4. 计算极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)。
答案：根据导数的定义，\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} =e^x|_{x=0}' = 1\)。
5. 计算极限：\(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}\)。
答案：由于\(\sin \frac{1}{x}\)在-1和1之间振荡，而\(x\)趋向于0，所以\(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0\)。
6. 计算极限：\(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\)。
答案：这是一个\(\frac{\infty}{\infty}\)型的不定式，可以应用洛必达法则，得到\(\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0\)。
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(x - 3)( 1+ x + 2)2x 2 - 11．求下列极限：222 + 1 + 1(1) lim 2n + n +1解：原式= lim 2n+ n +1 = lim n n 2 =2n →∞ (1- n )2n →∞ n 2 - 2n +1 n →∞ 1- 2 + 1n n 22 1 (2) lim(1+ x ) x解：原式= lim[(1+ x ) x ]2= e 2 (3) lim 解：原式=x →0x →0 x →3x - 3lim x - 3=lim = 1(4)1lim x (e x-1) 解：原式= lim 1 (e x-1) x →3 x →3 4x →∞ x →∞ 1 x=1(5) 当 x ≠ 0当 当求 x x xlim cos cos cos.解 ： 原 式 = n →∞ x x x x cos 2 cos 4 (2 cos 2n sin 2n )2 4 2n x x cos sin 2 2sin xlim n →∞ 2 sin x 2n = lim n →∞ 2n -1 sin x2n = lim n →∞ 2n sin x 2nx = lim(sin x 2n ) = sin x (6) x 2 sin 1 lim x 解 ： 原 式 = lim 2 1 x x = n →∞ x sin x x 2nx →+∞ x →+∞limx →+∞x = limx →+∞=2 (7) 2lim(n →∞1 + n2 + n +1 2 n 2 + n + 2 + +n )n 2 + n + n解：令 y n =1+ n 2 + n +1 2 n 2 + n + 2+ +n n 2 + n + n n (n +1) 因 2 = 1+ 2 + + n ≤ y n (n +1)≤ 1+ 2 + + n = 2 n 2 + n + n n 2 + n + n nn 2 + n +1 n 2 + n +1 n (n +1) n (n +1)而lim 2 = 1 ， lim 2 = 1 ，n →∞ n 2 + n + n 2 n →∞ n 2 + n +1 2故lim( n →∞ 1 + n 2 + n +1 2 n 2 + n + 2 + + n n 2 + n + n ) = 12(8) lim( n →∞- n - n ) 解： 原 式 =1+ x - 21 1+ x +2 2x 2-1 2x 2 -1 1 2 - 1 x2 n +3 nn + 3 n - (n -n )n + 3 n +n -n1+ 3 1+n1-1n13x + 2n + 3 n - (n -n )n + 3 n +n -n1+ 3 1+n1-1n 3lim( ) = lim( 4) = 2n→∞n→∞1.3 函数的极限作业1.根据函数极限的定义,验证下列极限:(1) lim 1 = 0 解: ∀> 0 ,要使| 1 - 0 |= 1 <, 即| x |>,3x→∞x x | x |只要取 X = [ 31 ] ,则当| x |>X 时,恒有| 1 - 0 |<, 所以lim 1 = 0 .(2) limx→4 = 2 解: ∀> 0 ,要使|x- 2 |=| x - 4 |<| x - 4 |<,2x→∞x还要使x ≥ 0 ，即x - 4 ≥-4 ，或|x-4|<4，只要取= min{2, 4}, 则当0 <| x - 4 |<时,恒有| -2 |<, 所以limx→4= 2 .2.求下列数列极限:(1) lim(n→∞ 1+n2+n +12n2+n + 2+ +n)n2+n +n解：令yn =1+n2+n +12n2+n + 2+ +nn2+n +n n(n +1)因 2 =1+ 2 + +n≤yn(n +1) ≤1+ 2 + +n= 2n2+n +n n2+n +n n n2+n +1 n2+n +1 n(n +1) n(n +1)而lim 2 =1 ，lim 2 =1 ，n→∞n2+n +n 2 n→∞n2+n+1 2故lim(n→∞ 1+n2+n +12n2+n + 2+ +nn2+n +n) =12(2) lim(n→∞-n - n ) 解：原式=lim( ) = lim( 4) = 2n→∞n→∞3.求下列函数极限：(1) limx→2 x2+ 5x - 3解：原式=-9(2) limx→2x2- 4x - 2解：原式=lim(x + 2) =4x→2x xx xn + 3 n333( 3 - x + 1+ x )(x +1) x 2+1 + x 2-1( 3 - x + 1+ x )(x +1) x + h + x x 2 +1 + x 2 -1⎨ (3)lim 3 - x -1+ x解 ： 原 式 =limx →1 x →1 x 2 -1= lim -2 x →1= - 2 4(4)lim( x →∞- x 2 -1)解：原式= lim2 = 0x →∞(5)(2x -1)(3x - 2)6x 2 - 7x + 2 3lim x →∞ (2x +1)2解：原式= limx →∞ 4x 2 + 4x +1 =2 (6) lim( 2 - 1)解：原式=lim -(x -1)= lim -1 = - 1x →1 x 2 -1 x -1⎧x →1 x 2 -1 x →1 x +1 2⎪3x + 2 x ≤ 0 4. 设 f (x ) = ⎪ x 2+10 < x ≤ 1， 分别讨论 f (x ) 在 x → 0 ， x → 1 和⎪ ⎪⎩ x -1x>1x → 2 时的极限是否存在.解： lim x →0-f (x ) = 2 ， l im x →0+f (x ) = 1 ，故lim f (x ) 不存在.x →0lim f (x ) = 2 ， lim f (x ) 趋向无穷大，故lim f (x ) 不存在.x →1-lim x →2-x →1+f (x ) = 1 ， lim x →2+x →1f (x ) = 1 ，故lim f (x ) = 1.x →21.43. 求下列函数极限：(1)limx →2x 2 + 5 =-9(3) x - 3lim x →2x 2 - 4 = x - 2lim(x + x →22) =4lim 3 - x -1+ x =lim = lim -2 = - 2x →1(7) limh →0 x 2 -1 x + h - h x →1x = lim h →0 = lim h →0 x →1 4 1 = (9) lim( x →∞- x 2-1) = lim2 = 0x →∞3 - x - (1+ x ) ( 3 - x + 1+ x )(x 2 -1) x 2 +1 3 - x - (1+ x ) ( 3 - x + 1+ x )(x 2 -1) x + h - x h ( x + h + x ) 1 2 xx 2+1 11- c os x 2 1- c os x 22 ⎨ lim = lim = 0 2 ⋅ (11)(2x -1)(3x - 2)6x 2 - 7x + 2 3limx →∞ (2x +1)2 = lim x →∞ 4x 2+ 4x +1 = 2+ 41+ + 4 - 2(13) 4 x 4 2 + x 4 x x 2 x →+∞x 4 + 2 + x →+∞ x 2 + 2 + 1 - 2(15) lim( 2x 2 - 1 ) =lim -(x -1) = lim -1 x x 2 = - 1 x →1 x 2 -1 x -1 ⎧ -1x →1x < 0 x 2 -1 x →1 x +1 2⎪ x -1 2. 设 f (x ) = ⎪ 0⎪ x ⎪x = 0 0 < x < 1 ，分别讨论 f (x ) 在 x → 0 ， x → 1 时的左右 ⎩⎪ 11 ≤ x < 2极限，并说明这两点的极限是否存在. 解： limf (x ) = lim-1= 1 ， lim f (x ) = lim x = 0 ， lim f (x ) ≠ lim f (x )故x →0-x →0-x -1x →0+ x →0+ x →0- x →0+lim f (x ) 不存在. lim f (x ) = lim x = 1， lim f (x ) = lim 1 = 1x →0 x →1- x →1- x →1+ x →1+lim f (x ) = lim f (x )lim f (x ) = 1 .x →1-x →1+x →11.51．求下列极限：(1) lim sin 3x = lim sin 3x ⋅ 3 = 3(3) limtan 3x = lim3x = 3 x →0xx →03xx →0sin 4xx →0 4x 4x 2sin2⋅ x 2 (5) lim = lim 2 sin x 2 x 2 2 = lim 1 2 =x →0 1- cos x x →0 2 sin 2 x x →0 2 sin 2 x注 :在2 2 ⋅ x 2( x)2 4 2，x 2 ≥ .(5) lim= lim2 sin x 2= lim U (0, )x 21 2 2 sin2x →0 1- c os x x →0 2 sin 2 x x →0 x 2 44x - 2 x - 2 2 2 2 2 =1+ x sin x lim+ (7)lim 解: 原式= 1+ x sin x - cos 2 xx →0=lim x →0 sin 2x2x sin x + sin 2 x sin 2 x 2lim x →0 x →0 sin 2 x ( 2+ cos x )= 1lim x sin x + sin 2 x = 2 l im ( sin x sin 2 x 2) =42 x →0( x )2 2x →0xx注意: 代数和中的一部分不能用无穷小替换.2x 2 + 1x 2错 原式=lim 1+ x sin x - cos x = lim 2(8)lim x →0 sin 2 x ( 2 1+ sin x - cos x+ cos x ) x →0 1 x 2 4 + cos x )x →01+ sin x - cos xx x 2 xx x x 2 s in cos + 2 s in sin (cos + sin ) 解: 原式=lim 2 2 2 =lim2 2 2 x →0 2 s in x cos x + 2 s in 2 x 2 2 2x →0 sin x (cos x + s in x )2 2 2 sin x cos x + sin x x =lim 2 lim 2 2 =lim 2 1= 1x →0 sinx x →0 c os x + s in x x →0 x 2 2 2 2注意: 代数和的一部分不能用无穷小替换.x + 1x 2错 lim 1+ sin x - cos x =lim 2 = 1x →0 1+ sin x - cos x 3 3 xx →0 x + 1 x 2 2x - 2-4 x +2 (9) lim(1+ )x = lim[(1+ )3 ]3 = e 3 (11) lim( )x = lim[(1+ ) -4 ]-4 = e -4x →∞ x x →∞ xx →∞ x + 2 x →∞ x + 21 1 (13) lim(1+ 3x ) x = lim[(1+ 3x )3x ]3= e 3x →0 x →04. 当x → 0 时，下列函数中哪些是x 的高阶无穷小，哪些是x 的同阶无1+ x sin x cos x 1+ x sin x 1+ x sin x + cos x 1+ x sin x3 tan x 3 tan x = 2穷 小 ， 哪 些 是x 的 低 阶 无 穷 小 ？ (1) x 3 +1000x 2解：因为 limx 3 +1000x 2lim (x +1000x ) = 0 x →0xx →0所以 x 3 +1000x 2 = o (x )(2) 2 s in 3x 解：因为 lim x →0所以 sin 3 x = o (x )2 s in3 xx= lim 2 s in 2 x →0 x ⋅ sin x = 0 x(3) ln(1+ x ) 解:因为limx →0 ln(1+ x )x1= lim ln(1+ x ) x = 1 所以 ln(1+ x ) ~ x x →0 2 s in 2 x sin x(4) 1- cos x 解 : 因为lim 1- cos x = lim2 = lim(sin x 2 ) = 0 ，所以 1- cos x = o (x )x →0 x x →0 x x →0 2 x 2(5) x + sin x 解: 因为 lim x + sin x =lim(1+ sin x) =2，故x + sin x 是x 的同阶无穷小.x →0 x x →0 xsin x 11 1 (6) 解: 因为 lim =lim[( )3) =∞ ，x →0 x x →0 x 1 2 cos 3 x x 3x x 3故 是 x 的低阶无穷小.或： 因为 lim =lim 3 =lim 3 x →0 x sin xx 2 cos x =0，故 3 tan x 是x 的低阶无穷小. x →0 3 tan x x →0 tan x思考题：11 3x 1 1 x 11． lim (3x+ 9x ) x = lim 9(1+) 3x x = lim 9[(1+ )3 ]3x x =9 e 0 =9x →+∞x →+∞3x x →+∞ 3x2． limarccot x = ∞ ，因为当x → 0 时， arccot x → .x →0x2习题 2.2 1．求下列函数的导数：(1) y = cos x + x 2 解： y ' = -sin x + 2x3tan xx x 1 x x 1 (3) y = sin x + x + cos e 解： y ' = cos x +1（注： (cos e )' = 0 ）(5) y = cos 2 x 解y ' = 2 cos xx2 = 2 cos x(-(cos ) '2 2 x x = 2 cos x (-x = -cos sin = - sin x(7) sin ) ( ) ' 22 2 y = sin 3x 解： y ' = 3cos 3xsin )2 2 22 2 2(9) y = sin(x 2 + x +1) 解： y ' = (2x +1) cos(x 2 + x +1)(11) y = ln + ln x 3 解： y ' = 1+ (3ln x ) ' = 1 + 3 = 9(6) ( ln x ) '2 2x x 2x y = (2x +1)6 解： y ' = 6(2x +1)5 2 =12(2x +1)5 (10) y = ln(ln x ) 解： y ' =1(ln x ) ' =1 1 =1ln xln xx x ln x (11)= 1 2xy = ln+ cot x+ ln(sin x ) 解： y ' = 1 ( x ) '+ 1sin x (sin x ) ' = 1 1 + 2 1 sin x cos x2. 在下列方程中，求隐函数的导数：(1) y = cos(x + y ) 解： y ' = -sin(x + y ) ⋅ (1+ y ') 故 y ' = -sin(x + y ) 1+ sin(x + y )22 2 (2) x 3+ y 3= a 3解：-12x 3 + -1yy 3 y ' = 0 ，故 y ' = - 3 3 3x 3. 求反函数的导数：(1) y = x + ln x 解： dx = 1 dy dy = 1 1+ 1= x 1+ x(2)dx x y = e arcsin x 解： x = sin ln y ，故 dx = cos ln y ⋅ 1 = dy y4. 求下列函数的导数(1) y = x 2 sin x 解： y ' = 2x sin x + x 2 cos x(3)y = x 3ln x 解：y ' = 3x 2 ln x + x 3 1 = 3x 2 ln x + x 2 (5) xy = 1- l n x 解 ：1+ ln x- 1+ ln x - 1- ln x y ' =x x = - (1+ ln x )2 2 解： x (1+ ln x )2y = -1+ 2 1+ ln xx x ycos ln y x 2x + x 2 - 4 x + x 2 - 4 x 2- 4x 2x x - 1 1- x 2x - arccos x 1+ 1- x 2 2 1- x 2 x 1- x 2(1+ 1- x 2 ) 1- x 2a 1y ' = 0 -2 ⋅ 1 = -2(1+ ln x )2 x x (1+ ln x )2(7)y = x 2cos 1 解 y ' = 2x cos 1 + x 2 (- 1= 2x c os 1 + x 2 (- 1 - 1) =sin ) ( ) 'x xx xsin ) ( x x x 2(9) 解： y = ln(x + y ' =x 2 - 4) 1 (x +x 2 - 4) ' = 1 (1+) = 1(10)- (a xln a ) 1 xy = x 2e x-1 - a x (- 1)(a > 0) 解：1 1y ' = 2xex+ x 2 e x (- ) x 2(11) y = arccos x - ln x x 解： y = arccos x - ln(1+ x- ln xy ' =-x 21⋅ -2x +1 x=1 -arccos x + x 2 x + 1 x = -arccos xx 2(13) y = x ln x 解： y = e ln x ⋅ln x = e (ln x )2y ' = x ln x ⋅ 2 l n x ⋅ 1= 2x ln x -1 ⋅ ln xx(14) y = (sin x )cos x解： ln y = cos x ln sin x ，对该式两边求导数得1 y ' = -sin x ln sin x + cos x y 1 sin xcos x∴ y ' = (sin x )cos x (-sin x ln sin x + cos x tan x )(15) y = x1- x解： ln y = ln x + 1 ln(1- x ) - 1ln(1+ x ) ，对该式两边求导1+ x22数得 1 y ' = 1 -1- 1，∴ y ' = x 1- x ( 1 - 1 )yx 2(1- x ) 2(1+ x ) 1+ x x 1- x 22x cos 1 + sin 1x x 2x 2 x 2 - 4 x1 12xa ln a - a xx= y ' = 2xe x- -e x 2x x1+ 1- x 2 1- x 2 11+dy dt dxdt (10)y = arcsin x- ln 解：x xy ' =[ln(1+ (ln x ) '-(1+ 1 x11- + 1( 2x ) x1 x4. 求反函数的导数：(1) y = x + ln x 解： dx = 1dydy= 1 1+ 1y = e arcsin xdx x解： x = sin ln y ，故 dx= cos ln y ⋅ 1dy y求下列参数方程的导数 y ' ：(1) ⎧ x = ⎪ ⎨ 1t +1 t解 ： dy = y '(t ) = dx x '(t )(t +1)2 - t ⋅ 2(t +1) (t +1)4 1= t -1 t +1 ⎪ y =⎪⎩ (1+ t )2- (t +1)2⎧ x = ⎪ (2) ⎨ 3at 1+ t 3 2 解： dy = =6at (1+ t 3 ) - 3at 2 ⋅ 3t 2 (1+ t 3 )2= 3at (2 - t 3 ) =t (2 - t 3 )⎪ y = ⎩3at dx 1+ t 3 3a (1+ x 3 ) - 3at ⋅ 3t 2 (1+ t 3 )2 3a (1- 2t 3 ) ⎪dydt dx dt= ⎧ (3) ⎨x = ln(1+ t 2 ) 解： dy = = 1- 11+ t 2 =t 2= t⎩ y = t - arctan t dx 2t 1+ t 22t 2． 若 F (x ) 在 点 a 连 续 ， 且 F(x ) ≠ 0 。