江西省赣州市信丰县信丰中学2020届高考数学 一课一练试题一

高三第二学期数学(理科) 一课一练试题一
命题人:温日明 2020.4
班级 姓名 座号 得分
一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.
1、已知4
11e n dx x =
⎰，那么3()n x x
-展开式中含2
x 项的系数为 2、已知P 为ABC ∆所在平面内的一点，满足30PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r
，ABC ∆的面积为2020，则ABP ∆的面积
为 3、若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线:0l ax by c ++=上的射影为M ，点(0,3)N ，则线段MN 长度的最小值是 4、已知函数()23
log (1)1132
x x k f x x x k x a
-+-≤<⎧=⎨
-+≤≤⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取
值范围是
二、解答题(本大题4小题,共46分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5．(本小题满分10分) 设()f x =|1||1|x x -++. （1）求()2f x x ≤+的解集; （2）若不等式|1||21|
()||
a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.
6．(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2
7
4sin
cos 222
B C A +-=. （1）求角A 的大小；
（2）若BC 边上高为1，求ABC ∆面积的最小值？
7.（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球. （1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.
E
D F
B 1
B
A 1
A
C 1
C
8. (本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C - 中，
11AA AB AC ===，
E ，
F 分别是1CC 、BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点. （1）证明：DF AE ⊥;
（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为
14
14
?若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由.
高三第二学期数学(理科)一课一练试题一答案
1.135
2.1209
3.42-
4.1,32⎛⎤
⎥⎝⎦
5.解： (1)由零点分段法得()2f x x ≤+的解集为{|02}x x ≤≤ ………5分
（2）|1||21|111112123||
a a a a
a
a
a
+--=+--≤++-=
当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
时，取等号. ………8分
由不等式|1||21|()||
a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得|1||1|3x x -++≥
E D
F
C
C 1
A
A 1
B
B 1
x
y
z 解得：32x ≤-
或32x ≥. 故实数x 的取值范围是33
(,][,)22
-∞-⋃+∞………10分
7.解：（1）设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则3
2
993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-
=A P ………4分
（2） 依题意，X 的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为18
5
2
92
42322=++C C C C ，右手所取的两球颜色相同的概率为412
9232323=++C C C C …7分24
134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-==X P ， 18
7
41)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯=
=X P ,72541185)2(=
⨯==X P ………10分 所以Ｘ的分布列为： 36
19
7252187124130)(=
⨯+⨯+⨯=X E 8. （1）证明：11AE A B ⊥Q ，11A B ∥AB AB AE ∴⊥ 又
1AB AA ⊥Q 1AE AA A ⋂=，AB ∴⊥面11A ACC 又AC ⊂Q 面
11A ACC AB AC ∴⊥………2分 ，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz - ， 则
()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫
⎪⎝⎭
,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B
设(),,D x y z ，111A D A B λ=u u u u v u u u u v
且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=(),0,1D λ∴ 11,,122DF λ⎛⎫
∴=-- ⎪⎝⎭u u u v 10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝
⎭u u u v ，∴11022DF AE =-=u u u v u u u v g DF AE ∴⊥……6分
（2）假设存在,设面DEF 的法向量为 (),,n x y z =v ， 则 0
n FE n DF ⎧=⎨=⎩v u u u v
g v u u u v g 111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r Q
11,,122DF λ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭u u u v 111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩ 即： ()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩
令()21z λ=-
()()3,12,21n λλ∴=+-v . ………8分,由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m =u v
………9分
Q 平面DEF 与平面ABC 所成锐二面的余弦值为
14
14
()
14cos ,14m n m n m n ∴==
u v v g u v v u v v 即：()()()
222114
1491241λλλ-=+++- 12λ∴=或7
4
λ= （舍） ………11分,∴ 当点D 为11A B 中点时，满足要求.………12分。