初二数学因式分解知识点经典总结

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八年级数学分解因式知识点

八年级数学分解因式知识点

八年级数学分解因式知识点数学是一门让人们非常头疼的学科,而其中有一道题目经常让学生们感到头疼,那就是分解因式。

虽然这个知识点在数学中并不算难,但它的应用涉及面非常广。

下面我们就来一起了解一下八年级数学分解因式知识点吧。

一、什么是分解因式分解因式是一种把一个多项式写成若干个单项式的乘积的运算。

通俗来说,就是把式子中的每个因数都拆分成最基本的单元。

例如,对于式子 $2x+4$,我们可以把它分解因式为 $2(x+2)$。

二、分解因式的方法1. 提公因式法提公因式法是分解因式的一种基本方法。

我们在分解因式的时候,首先要判断该式的各项之间是否有公因数。

例如,对于式子 $4x^3+8x^2$,我们可以将其分解因式为$4x^2(x+2)$。

这是因为该式的两项 $4x^3$ 和 $8x^2$ 具有公因数$4x^2$。

2. 短除法短除法指的是将一个多项式除以一个一次式并得到一个商和余数的过程。

利用短除法运算,我们可以将多项式分解因式为若干个二次因式的乘积。

例如:将 $x^3+x^2-6x-8$ 除以 $x-2$,求商和余数。

首先将除数从被除数的第一项开始除,一步步得出商和余数:$x^3+x^2-6x-8\div (x-2)=x^2+3x+6\dfrac{-20}{x-2}$因此,原式可以分解因式为 $(x-2)(x^2+3x+6)$。

3. 公式法公式法是另一种分解因式的方法。

下面列举几种常见的公式和例子:(1). $a^2+b^2=(a+b)(a-b)$例如,式子 $4x^2+9$ 可以分解因式为 $(2x+3)(2x-3)$。

(2). $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$例如,式子 $x^3+1$ 可以分解因式为 $(x+1)(x^2-x+1)$。

(3). $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$例如,式子 $8x^3-27$ 可以分解因式为 $(2x-3)(4x^2+6x+9)$。

初二数学分解因式的方法知识点

初二数学分解因式的方法知识点

初二数学分解因式的方法知识点初二数学分解因式的方法知识点在现实学习生活中,大家都背过各种知识点吧?知识点有时候特指教科书上或考试的知识。

那么,都有哪些知识点呢?下面是店铺整理的初二数学分解因式的方法知识点,欢迎阅读与收藏。

初二数学分解因式的方法知识点篇1注意四原则1.分解要彻底(是否有公因式,是否可用公式)2.最后结果只有小括号3.最后结果中多项式首项系数为正(例如:-3x^2+x=x(-3x+1))4.最后结果每一项都为最简因式归纳方法:1.提公因式法。

2.公式法。

3.分组分解法。

4.凑数法。

[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]5.组合分解法。

6.十字相乘法。

7.双十字相乘法。

8.配方法。

9.拆项补项法。

10.换元法。

11.长除法。

12.求根法。

13.图象法。

14.主元法。

15.待定系数法。

16.特殊值法。

17.因式定理法。

我们在竞赛上,又有待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,短除法,除法等。

初二数学分解因式的方法知识点篇2因式分解的一般步骤如果多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法;若是四项或四项以上的多项式,通常采用分组分解法,最后运用十字相乘法分解因式。

因此,可以概括为:“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意:因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否则就是不完全的因式分解,若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解,应该是指在有理数范围内因式分解,因此分解因式的结果,必须是几个整式的积的形式。

相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习,同学们已经能很好的掌握了吧,希望同学们会考出好成绩。

初中数学知识点:因式分解下面是对数学中因式分解内容的知识讲解,希望同学们认真学习。

因式分解因式分解定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

因式分解要素:①结果必须是整式;②结果必须是积的形式;③结果是等式;④因式分解与整式乘法的关系:m(a+b+c)公因式:一个多项式每项都含有的公共的因式,叫做这个多项式各项的公因式。

初二数学因式分解方法总结

初二数学因式分解方法总结

(5)16x4-8x2y2+y4
(6)x2-120x+3456
(7)x2+42x-3528
(8)n3+3n2+2n 的最大公约数是
(9)4x3-31x+15
(10)x3+4-a3-6a2-a+2
(m n )2 4(m n )2 3n m (12)
(13)整数 a,b 满足 6ab=9a-10b+16,求 a+b
(2)如图,在四边形 ABCD 中,∠A=90°,∠ABC 与∠ADC 互补. Ⅰ)求∠C 的度数; Ⅱ)若 BC>CD 且 AB=AD,请在图上画出一条线段,把四边形 ABCD 分成两部分,使得这两部分能够重新拼成一个正方形,并说明理由; Ⅲ)若 CD=6,BC=8,S 四边形 ABCD=49,求 AB 的值.
3.(1)四边形是大家最熟悉的图形之一,我们已经发现了它的许多性质,只要善于观 察、乐于探索,我们会发现更多的结论.问题的提出:四边形一条对角线上任意一点 与另外两个顶点的连线,将四边形分成四个小三角形,其中相对的两对三角形的面积 之积有何关系?你能探索出结论吗? Ⅰ)为了更直观的发现问题,我们不妨先在特殊的四边形——平行四边形中,研究这 个问题:已知:在□ABCD 中,O 是对角线 BD 上任意一点(如图①) 求证: S△OBC·S △OAD=S△OAB·S△OCD. Ⅱ)有了(1)中的探索过程作参照,你一定能类比出一般四边形(如图②)中,解决 问题的办法了吧!填写结论并写出证明过程.已知:在四边形 ABCD 中,O 是对角线 BD 上任意一点.(如图②) Ⅲ)在三角形中(如图③),你能否归纳出类似的结论?若能,用文字叙述你归纳出 的结论,并写出已知、求证和证明过程;若不能,说明理由.

因式分解知识点总结

因式分解知识点总结

因式分解知识点总结一、因式分解的概念。

1. 定义。

- 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

例如:x^2-4=(x + 2)(x - 2),就是将多项式x^2-4因式分解为两个整式(x + 2)与(x - 2)的积的形式。

2. 与整式乘法的关系。

- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。

整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式,如(a + b)(a - b)=a^2-b^2;而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘,如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

二、因式分解的方法。

1. 提公因式法。

- 公因式的确定。

- 系数:取各项系数的最大公因数。

例如,对于多项式6x^2+9x,系数6和9的最大公因数是3。

- 字母:取各项相同的字母。

在6x^2+9x中,相同的字母是x。

- 字母的指数:取相同字母的最低次幂。

对于6x^2+9x,x的最低次幂是1。

所以公因式是3x。

- 提公因式的步骤。

- 找出公因式。

- 用多项式除以公因式,得到另一个因式。

例如,6x^2+9x = 3x(2x+3)。

2. 公式法。

- 平方差公式。

- 公式:a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 应用条件:多项式必须是两项式,并且这两项都能写成平方的形式,符号相反。

例如,9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y),这里9x^2=(3x)^2,16y^2=(4y)^2。

- 完全平方公式。

- 公式:a^2+2ab + b^2=(a + b)^2,a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。

- 应用条件:多项式是三项式,其中有两项能写成平方的形式,且这两项的符号相同,另一项是这两个数乘积的2倍。

例如,x^2+6x + 9=(x + 3)^2,这里x^2=x^2,9 = 3^2,6x=2× x×3。

3. 十字相乘法(拓展内容,人教版教材部分有涉及)- 对于二次三项式ax^2+bx + c(a≠0),如果能找到两个数m和n,使得m + n=b 且mn = ac,那么ax^2+bx + c=(x + m)(x + n)。

初二数学上册【因式分解】解题常用8种总结

初二数学上册【因式分解】解题常用8种总结

初二数学上册【因式分解】解题常用8种总结一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.注意:公因式可以是单独的一个数或字母,也可以是多项式,当第一项是负数时可先提负号,当公因式与多项式某一项相同时,提公因式后剩余项是1,不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x 一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m,则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m 十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²,中间右侧上下相乘得ab,中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x,则能进行分解,如:14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重,在以后有关代数式的运算,解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1,n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位,同学们要多加强这方面的练习,为以后的学习奠定扎实的基础。

因式分解知识总结

因式分解知识总结

因式分解一、知识梳理1、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把多项式因式分解. 注:因式分解是“和差”化“积”,整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程,因些常用整式乘法来检验因式分解.2、提取公因式法把ma+mb+mc,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下:ma+mb+mc=m(a+b+c)注:i 多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成:①系数:各项系数的最大公约数;②字母:各项都含有的相同字母;③指数:相同字母的最低次幂.3、运用公式法把乘法公式反过用,可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.ⅰ)平方差公式注意:①条件:两个二次幂的差的形式;②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式;③在用公式前,应将要分解的多项式表示成的形式,并弄清a、b分别表示什么.ⅱ)完全平方公式注意:①是关于某个字母(或式子)的二次三项式;②其首尾两项是两个符号相同的平方形式;③中间项恰是这两数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数);④使用前应根据题目结构特点,按“先两头,后中间”的步骤,把二次三项式整理成公式原型,弄清a、b分别表示的量.补充:常见的两个二项式幂的变号规律:4、十字相乘法借助十字叉线分解系数,从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式,寻找满足的ab、,则有5、分组分解法定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。

再提公因式,即可达到分解因式的目的。

例如:这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.原则:用分组分解法把多项式分解因式,关键是分组后能出现公因式或可运用公式.6、求根公式法:如果有两个根,那么二、典型例题及针对练习考点1 因式分解的概念例1、在下列各式中,从左到右的变形是不是因式分解?注:左右两边的代数式必须是恒等,结果应是整式乘积,而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..考点2 提取公因式法2注:提取公因式的关键是从整体观察,准确找出公因式,并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.[补例练习]1。

初中因式分解知识点

初中因式分解知识点

初中因式分解知识点因式分解是一个数学概念,指将一个代数式写成若干个因式相乘的形式。

因式分解在初中数学中是一个重要的知识点,主要包括基本的因式分解方法和应用。

一、基本因式分解方法1.公因式提取:当一个代数式中的各项有一个相同的因子时,可以将这个公因式提取出来,变成一个因式。

例如:将6x+15y分解成3(2x+5y)。

2.基本配方法:对于二次多项式,可以使用巧妙的方法进行因式分解。

例如:将x^2+3x+2分解成(x+1)(x+2)。

3.平方差公式:平方差公式是一个常用的因式分解公式,它可以用来将二次多项式分解为两个平方差的形式。

例如:将x^2-9分解成(x+3)(x-3)。

4.两项平方差公式:两项平方差公式是一个特殊的因式分解公式,可以用来将二次多项式分解为两个平方差的形式。

例如:将x^2-y^2分解成(x-y)(x+y)。

5.因式分解公式:因式分解公式是一些常用的因式分解方法的总结,可以用来解决一些特殊的因式分解问题。

例如:将x^3 - y^3分解成(x - y)(x^2 + xy + y^2)。

二、因式分解的应用1.求解方程:因式分解可以用来求解一元二次方程、一元三次方程等等。

通过因式分解,将方程转化为两个或多个因式相乘的形式,可以更容易地求解方程。

例如:x^2+5x+6=0可以分解为(x+2)(x+3)=0,从而解得x=-2或x=-32.化简代数式:因式分解可以用来化简复杂的代数式,从而更好地理解和计算代数式。

例如:将3x^2+6x分解为3x(x+2),可以方便地进行进一步计算。

3.求最大公因数和最小公倍数:因式分解可以用来求解两个数的最大公因数和最小公倍数。

通过将两个数的因式分解后的形式进行对比,可以求得两个数的最大公因数和最小公倍数。

例如:求24和36的最大公因数和最小公倍数,24=2^3*3和36=2^2*3^2,所以最大公因数是2*3=6,最小公倍数是2^3*3^2=72三、常见的问题和解决方法1.如何找到一个代数式中的公因式?答:首先观察代数式中各项的系数和指数,找到它们之间的公因子。

八年级数学整式的乘法与因式分解常考必考知识点总结

八年级数学整式的乘法与因式分解常考必考知识点总结

一、整式的乘法1.几个常用公式:(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)(a-b)=a²-b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³2.整式的乘法法则:(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd加减混合运算:(a+b)(c-d) = ac - ad + bc - bd3.多项式的乘法:(a₁+a₂+...+aₙ)(b₁+b₂+...+bₙ)=a₁b₁+a₁b₂+...+a₁bₙ+a₂b₁+a₂b₂+...+a₂bₙ+...+aₙb₁+aₙb₂+...+aₙb ₙ4.整式的乘法性质:交换律:a·b=b·a结合律:(a·b)·c=a·(b·c)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c5.整式的乘法应用:展开、计算、化简等二、因式分解1.因式分解的基本概念:将一个整式分解为两个或多个因式的乘积的过程。

2.因式分解的方法:a.公因式提取法:找出整个整式和各项中的公因式,并提取出来。

b.公式法:利用已知的一些公式对整式进行因式分解。

c.分组法:将整式中各项按一定的规则分组,然后在每组内部进行因式分解。

d.辗转相除法:若整式中存在因式公共因式,可以多次使用辗转相除法进行因式分解。

3.一些常见的因式分解公式:a.二次差平方公式:a²-b²=(a+b)(a-b)b. 平方差公式:a² + 2ab + b² = (a+b)²c. 平方和公式:a² - 2ab + b² = (a-b)²d. 三次和差公式:a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)、a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)e. 四次和差公式:a⁴+b⁴ = (a²+b²)(a²-ab+b²)、a⁴-b⁴ = (a+b)(a-b)(a²+b²)4.因式分解的应用:简化计算、寻找整式的根、列立方程等。

初二数学_因式分解

初二数学_因式分解

因式分解知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式,及形如x 2+(p+q)x+pq 的多项式因式分解,培养学生应用因式分解解决问题的能力.知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.知识点2 提公因式法多项式m a +mb+mc 中的各项都有一个公共的因式m ,我们把因式m 叫做这个多项式的公因式.m a +mb+mc=m(a +b+c)就是把m a +mb+mc 分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m ,另一个因式(a +b+c)是m a +mb+mc 除以m 所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.【例题解析】:例1、下列变形是否是因式分解(1)3x 2y-xy+y=y(3x 2-x);(2)x 2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x 2y 2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);(4)x n (x 2-x+1)=x n+2-x n+1+x n .例2、:把下列整式分解因式(1)、c ab b a 323128- (2)m m m 2616423-+-(3)、)2()2(6x x x -+- (4)、23)(10)(5x y y x -+-练习:把下列整式分解因式(1)、.46z x y x - (2)、3223220155y x y x y x ++ (3)(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)(4)、(2a +b)(2a -3b)+(2a +5b)(2a +b) (5) 、4p(1-q)3+2(q-1)2知识点3 公式法(1)平方差公式:a 2-b 2=(a +b)(a -b).即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积.例如:4x 2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)完全平方公式:a 2±2a b+b 2=(a ±b)2.其中,a 2±2a b+b 2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.例如:4x 2-12xy+9y 2=(2x)2-2·2x ·3y+(3y)2=(2x-3y)2.【例题解析】例1 把下列各式分解因式.(1) (a +b)2-4a 2; (2)22)(9)(16b a b a +-- (3)1-10x+25x 2; (4)(m+n)2-6(m+n)+9.例2、把下列各式分解因式.(1)35x x - (2)44y x - (3)22363ay axy ax ++ (4)xy y x 4422+--练习: 把下列各式分解因式.(1)、;)()(22c b a c b a ---++ (2);2824y y - (3)、.4)(4)(22m n m m n m ++++ (4)ab b a 81622--- (5)22242bn bmn bm ++ (6);44322y y x xy --知识点4:分组分解法1.分组后能提取公因式例1把2105ax ay by bx -+-分解因式. 例2把2222()()ab c d a b cd ---分解因式.2.分组后能直接运用公式例3把22x y ax ay -++分解因式. 例4把2222428x xy y z ++-分解因式.练习:把下列各式分解因式:(1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3) 251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +--知识点5 关于x 2+(p+q)x+pq 型二次三项式的因式分解x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).例1 把下列各式分解因式①x x 232++ ②x x 276-+ ③x x 2421--例2 把下列各式分解因式(1)x x 4268++ (2)()()ab ab ---+243 (3)m m n nm n 222228++---例3、 把下列各式分解因式(1)x x y y 2245+- (2)x x x 432328+- (3)x xy y 422489--练习: 把下列各式分解因式(1) 232x x -+(2) 23736x x ++ (3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n -- (6) 2()11()28a b a b -+-+知识点6:一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道,2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++.反过来,就得到:2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 例1把下列各式因式分解:(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-例2 分解因式(1)3212112()x x +-- (2)()()2523x y x yx y +-+-+ (3)253316522x x y y x y +----练习:把下列各式分解因式(1) ;71032++x x (2) ;61152+-y y (3) ;51272++a a(4) ;445112+-b b (5) ;18671422y xy x +- (6) .42854222y xy x +-知识点7:因式分解的应用: 例1: 解方程组⎩⎨⎧=-=-②①.12,5422y x y x 练习:解方程组⎩⎨⎧-=-=+.359,7322y x y x例2: 若a ,b ,c 是三角形的三边,且满足关系式a 2+b 2+c-a b-a c-bc=0,试判断这个三角形的形状.例3 利用因式分解计算下列各题.(1)234×265-234×65; (2)992+198+1.例5 若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解,则k 可取的整数值有( )A.2个B.3个C.4个D.6个练习:1、利用因式分解计算下列各题.(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9; (2)20022-4006×2002+20032;(3)5652×11-4352×11; (4)(543)2-(241)2.2、已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式(2x+1),求m 的值.3、已知a+b=5,ab=3,求代数式a 3b -2a 2b 2+ab 3的值.5.已知x 2+y 2-4x+6y+13=0,求x,y 的值。

(完整版)因式分解知识点归纳

(完整版)因式分解知识点归纳

n m n a a +=同底数幂相乘,底数不变,指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

35())a b b += 、幂的乘方法则:mnm aa ((n m ,都是正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘。

如:幂的乘方法则可以逆用:即考点四、十字相乘法(1)二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中,如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积,并且a b +等于一次项系数p 的值,那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式:652++x x分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=51 2 解:652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例题讲解2、分解因式:672+-x x解:原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6(-1)+(-6)= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件:(1)21a a a = 1a 1c(2)21c c c = 2a 2c (3)1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果:c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式:101132+-x x分析: 1 -2 3 -5 (-6)+(-5)= -11解:101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式:(1)6752-+x x (2)2732+-x x。

八年级l上册数学因式分解知识点

八年级l上册数学因式分解知识点

八年级l上册数学因式分解知识点一、因式分解的概念因式分解是将一个多项式化为若干个乘积的形式,其中每个乘积称为因式。

对于一个多项式P(x),若存在两个多项式Q(x)和R(x),满足P(x)=Q(x)×R(x),且Q(x)和R(x)的次数都小于P(x)的次数,则称Q(x)和R(x)是P(x)的因式。

二、因式分解的基本方法1.提公因式法:当一个多项式中含有公因式时,可以将公因式提出来。

例如:24x²y+36xy²+48xy=12xy(2x+3y+4)2.分组提公因式法:将多项式按照一定的规律分为多组,然后进行提公因式。

例如:6a²b-3ab²+4a³-2b³=3ab(2a-b)+2a³-2b³=3ab(2a-b)-2b³+2a³=3ab(2a-b)-2b³+2a²a=3ab(2a-b)-2b³+2a²(a)=(3ab-2b³)+2a²(a-1)3.差的平方公式:a²-b²=(a+b)(a-b)例如:4x²-9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)4.完全平方公式:a²+2ab+b²=(a+b)²例如:x²+6x+9=(x+3)²5.纯平方三项式公式:a²+2ab+b²=(a+b)²,a²-2ab+b²=(a-b)²例如:4x²+12xy+9y²=(2x)²+2(2x)(3y)+(3y)²=(2x+3y)²6.平方差/和分解公式:a²-b²=(a+b)(a-b),a³±b³=(a±b)(a²-ab+b²)例如:16x²-25y²=(4x)²-(5y)²=(4x+5y)(4x-5y)7.因式分解公式(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 8.分解因式x²-y²=(x-y)(x+y)3x²-2xy-5y²=(3x+5y)(x-?)三、思维拓展因式分解在初中数学中是一个重要的知识点,它在后续的代数运算中有着广泛的应用。

八年级因式分解的知识点

八年级因式分解的知识点

八年级因式分解知识点总结因式分解是数学中一个重要的知识点,不仅在初中阶段就开始学习,还贯穿了高中乃至大学的数学学习。

因此,掌握好八年级的因式分解知识点,对于后续数学学习的顺利进行具有重要的作用。

本文将就八年级因式分解的知识点进行总结,希望对于大家的学习有所帮助。

一、公因数与最大公因数公因数是指同时能够整除两个或多个数的因数,在因式分解中有着重要的作用。

求两个或多个数的最大公因数的方法,可以通过列举其公因数,然后筛选出最大的一个。

例如,求两个数72和96 的最大公因数。

首先列出它们的公因数,有1、2、3、4、6、8、12、24 八个数,在这个基础上,筛选能够整除72 和96 的最大整数,即24,因此,72 和96 的最大公因数为24。

二、公式在因式分解中,常用到一些公式,例如差平方公式、和平方公式等。

这些公式的掌握对于因式分解的顺利进行具有非常重要的作用。

1. 差平方公式$(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$2. 和平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$三、因式分解在因式分解中,一个重要的概念是质因数分解。

质因数分解是指将一个正整数分解成若干个质数的积的形式。

例如,24=2×2×2×3,即24的质因数分解为$2^3\cdot3$。

在因式分解中,常用到一些方法,例如提公因式、分组、取因式等。

这些方法的运用可以简化计算过程,提高计算效率。

四、例题下面列举两个例题,帮助大家更好地理解因式分解的知识点。

1. $6x^2+5x-6$的因式分解式是解:先求出这个多项式的根,即$x_1=\frac{-5+\sqrt{5^2+4\cdot6\cdot6}}{2\cdot6}=-\frac{2}{3}$,$x_2=\frac{-5-\sqrt{5^2+4\cdot6\cdot6}}{2\cdot6}=1$。

因此,将原式分解成$(2x+3)(3x-2)$。

初二数学知识点归纳:因式分解

初二数学知识点归纳:因式分解

初二数学知识点归纳:因式分解因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式公因式:一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式确定公因式的方法:公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数最低的提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法提出多项式的公因式以后,另一个因式的确定方法是:用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的,在提出“-”号时,多项式的各项都要变号因式分解和整式乘法的关系:因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程,整式乘法的结果是整式,因式分解的结果是乘积式运用公式法:如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法平方差公式:两数平方差,等于这两数的和乘以这两数的差,字母表达式:a2-b2=具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方,②字母指数要成双,③两项符号相反用平方差公式分解因式的关键:把每一项写成平方的形式,并能正确地判断出a,b分别等于什么完全平方公式:两个数的平方和,加上这两个数的积的2倍,等于这两个数的和的平方字母表达式:a2±2ab+b2=2 完全平方公式的特点:①它是一个三项式②其中有两项是某两数的平方和③第三项是这两数积的正二倍或负二倍④具备以上三方面的特点以后,就等于这两数和的平方立方和与立方差公式:两个数的立方和等于这两个数的和乘以它们的平方和与它们积的差利用立方和与立方差分解因式的关键:能把这两项写成某两数立方的形式具备什么条的多项式可以用分组分解法来进行因式分解:如果一个多项式的项分组并提出公因式后,各组之间又能继续分解因式,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式分组分解法的前提:熟练地掌握提公因式法和公式法,是学好分组分解法的前提分组分解法的原则:分组后可以直接提出公因式,或者分组后可以直接运用公式在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解,合理选择分组方法是关键一、知识点总结:、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

初二上册数学因式分解的知识点

初二上册数学因式分解的知识点

初二上册数学因式分解的知识点初二上册数学关于因式分解的知识点漫长的学习生涯中,大家对知识点应该都不陌生吧?知识点是知识中的最小单位,最具体的内容,有时候也叫“考点”。

还在苦恼没有知识点总结吗?以下是店铺收集整理的初二上册数学因式分解的知识点,欢迎大家分享。

初二上册数学因式分解的知识点篇11、因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解;注意:因式分解与乘法是相反的两个转化。

2、因式分解的方法:常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”。

3、公因式的确定:系数的最大公约数·相同因式的最低次幂。

注意公式:a+b=b+a;a—b=—(b—a);(a—b)2=(b—a)2;(a—b)3=—(b—a)3。

4、因式分解的公式:(1)平方差公式:a2—b2=(a+b)(a—b);(2)完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,a2—2ab+b2=(a—b)2。

5、因式分解的注意事项:(1)选择因式分解方法的一般次序是:一提取、二公式、三分组、四十字;(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;(5)因式分解的最后结果要求加以整理;(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式。

初二上册数学因式分解的知识点篇2用待定系数法分解因式余式定理及其应用余式定理f(x)除以(x—a)的余式是常数f(a)因式:如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式本身和非零常数外,再也没有其他的因式,那么这个因式(即该多项式)就叫做质因式因式分解:把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解1 提取公因式法2 运用公式法3 分组分解法4 十字相乘法5 配方法6 求根公式法公式(a的立方=a^3;a的平方=a^2)公式:a^3+b^3+c^3—3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2—ab—bc—ca)平方差公式:a平方—b平方=(a+b)(a—b)完全平方和公式:(a+b)平方=a平方+2ab+b平方完全平方差公式:(a—b)平方=a平方—2ab+b平方两根式: ax^2+bx+c=a[x—(—b+√(b^2—4ac))/2a][x—(—b—√(b^2—4ac))/2a]两根式立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2—ab+b^2)立方差公式:a^3—b^3=(a—b)(a^2+ab+b^2)完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3。

八年级下册数学因式分解知识点总结

八年级下册数学因式分解知识点总结

八年级下册数学因式分解知识点总结一、因式分解的概念因式分解是指将一个代数式分解为若干个因式的乘积。

通过因式分解,我们可以更好地理解和计算代数式,简化运算过程。

二、公式的因式分解1.平方差公式平方差公式指的是a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。

利用平方差公式,我们可以快速求解平方差的值。

2.二次平方根公式二次平方根公式指的是a^2+2ab+b^2可以分解为(a+b)^2。

这个公式在应用中非常常见,可以简化一些复杂运算。

3.一元二次方程的因式分解一元二次方程的因式分解是指将形如ax^2+bx+c的二次方程分解为两个一次因式相乘的形式。

三、常见的因式分解方法1.提公因式法提公因式法是最基本的因式分解方法,它通过提取多项式的最大公因式来进行分解。

2.平方三项差公式平方三项差公式是指a^2-2ab+b^2可以分解为(a-b)^2。

这个公式在因式分解中经常使用。

3.两个平方差的差公式两个平方差的差公式是指a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。

这个公式也是因式分解中常用的方法之一。

四、高阶因式分解在高阶因式分解中,我们需要注意多项式的次数和系数,采用不同的方法进行因式分解。

常用的高阶因式分解方法有配方法、分组分解、换元法等。

因式分解是数学中的一项基本技能,对于解决方程、证明等问题具有重要的作用。

掌握因式分解的基础知识和常见方法,能够更好地理解和解决数学问题。

在实际应用中,我们还需要根据具体情况选择合适的因式分解方法,提高计算效率和准确性。

以上是八年级下册数学因式分解知识点的总结。

希望通过这篇文档,可以帮助大家更好地理解和掌握因式分解的方法和技巧。

八年级数学因式分解知识点

八年级数学因式分解知识点

第四章因式分解
1.因式分解定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式。

2.公因式:把多项式的各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的各项的公因式。

3.提公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那末就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法。

4.找公因式的一般步骤:
(1) 若各项系数是整系数,取系数的最大公约数;
(2) 取相同的字母,字母的指数取较低的; .
(3)取相同的多项式,多项式的指数取较低的.
(4)所有这些因式的乘积即为公因式.
5.公式法:
(1) ma+mb+mc=m(a+b+c) (2) (3)
6.、分解因式的一般步骤为:
(1)若有“"先提取"-”,若多项式各项有公因式,则再提取公因式
(2)若多项式各项没有公因式则根据多项式特点选用平方差公式或完全平方公式
(3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
7、因式分解与整式乘法是相反向的变形。

(1)把几个整式的积化成一个多项式的形式,是乘法运算.
(2)把一个多项式化成几个整式的积的形式,是因式分解.
补充:十字相乘法。

因式分解八上知识点总结

因式分解八上知识点总结

因式分解八上知识点总结一、因式分解的观点因式分解是将一个多项式写成多个因子相乘的形式的过程。

其中,多项式中的因子可以是数字、字母或数字与字母的乘积,因子的个数可以是任意多个。

二、因式分解的基本方法1. 提取公因式:将多项式的每一项提取出一个公因式。

例如:对于多项式6x+8y,可以提取公因式2,得到2(3x+4y)。

2. 拆分差平方:将差平方式拆分为两个因子相乘的形式。

例如:对于差平方式x^2-y^2,可以拆分为(x+y)(x-y)。

3. 分组配方法:将多项式中的项进行分组,使得每一组之间有一个公因式。

例如:对于多项式x^3+x^2+y^3+y^2,可以进行分组得到x^2(x+1)+y^2(y+1)。

4. 公式法:利用一些特殊的公式进行因式分解。

例如:平方差公式(a^2-b^2)可以分解为(a+b)(a-b)。

三、因式分解的应用因式分解在解方程、化简分式等数学问题中有广泛的应用。

精通因式分解的方法,可以简化计算过程、简化表达式,优化解题思路。

下面我们通过几个例子来说明因式分解的应用。

1. 解一元二次方程对于一元二次方程ax^2+bx+c=0,可以通过因式分解法快速求解。

起首,将方程因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式,然后利用零因子乘积法,得到x的解。

2. 化简分式对于复杂的分式,可以通过因式分解的方法将其化简为两个或多个分式的和、差或积的形式,简化分式的运算。

3. 求最大公因数与最小公倍数在计算两个或多个数的最大公因数与最小公倍数时,常会用到因式分解的方法。

因式分解将数分解为多个因子的乘积,从而可以找到其中共有的因子,确定最大公因数;同时,将数分解为最简形式后,将它们的因子相乘,得到的积即为最小公倍数。

总结:因式分解是数学中重要的解题方法,精通它对于解题分外有援助。

因式分解的基本方法有提取公因式、拆分差平方、分组配方法和公式法等。

同时,因式分解还有广泛的应用,如解一元二次方程、化简分式以及求最大公因数与最小公倍数等。

初二数学因式分解知识点

初二数学因式分解知识点

(一)运用公式法:我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有:a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子:a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时,各项如果有公因式应先提公因式,再进一步分解。

2.因式分解,必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来,就可以得到:a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说,两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数:三项②有两项是两个数的的平方和,这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时,应该先提出公因式,再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式,也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式,必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn,这四项中没有公因式,所以不能用提取公因式法,再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn),这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式,因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n),因此还能继续分解,所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)•(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出,如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时,首先观察多项式的结构特点,确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时,可以用设辅助元的方法把它转化为单项式,也可以把这个多项式因式看作一个整体,直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候,要把多项式进行适当的变形,或改变符号,直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意:1.必须先将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试,一般步骤:①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.(七)分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式,可先考虑把它分别分解因式,得到因式乘积形式,再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式,此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则,如x-y=-(y-x),(x-y)2=(y-x)2,(x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方,可按分式符号法则,变成整个分式的符号,然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然,简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号,再算乘方,然后乘除,最后算加减.(八)分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言,但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言,而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简,而通分是把分式化繁,从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形,其共同点是保持分式的值不变.3.一般地,通分结果中,分母不展开而写成连乘积的形式,分子则乘出来写成多项式,为进一步运算作准备.4.通分的依据:分式的基本性质.5.通分的关键:确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。

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整式乘除与因式分解概述定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。

意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。

学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正(例如:-3x^2+x=-x(3x-1))基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时,多项式的各项都要变号。

例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意:把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。

平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);完全立方公式:a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3.公式:a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如:a 2 +4ab+4b 2 =(a+2b) 2。

(3)分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握:①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数; ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤: (1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式:①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

一、知识点总结:1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。

如:bc a 22-的 系数为2-,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。

如:122++-x ab a ,项有2a 、ab 2-、x 、1,二次项为2a 、ab 2-,一次项为x ,常数项为1,各项次数分别为2,2,1,0,系数分别为1,-2,1,1,叫二次四项式。

3、整式:单项式和多项式统称整式。

注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升(降)幂排列: 如:1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列:3223221x y x xy y +-+-- 按x 的降幂排列:1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列:3223221y y x xy x --++- 按y 的降幂排列:1223223-++--x xy y x y 5、同底数幂的乘法法则:m n m n aa a +=(n m ,都是正整数)同底数幂相乘,底数不变,指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如:235()()()a b a b a b ++=+6、幂的乘方法则:mnn m aa =)((n m ,都是正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘。

如:10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用:即m n n m mna a a )()(==如:23326)4()4(4==7、积的乘方法则:nnnb a ab =)((n 是正整数) 积的乘方,等于各因数乘方的积。

如:(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••- 8、同底数幂的除法法则:nm nmaa a -=÷(n m a ,,0≠都是正整数,且)n m同底数幂相除,底数不变,指数相减。

如:3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 9、零指数和负指数;10=a ,即任何不等于零的数的零次方等于1。

p paa1=-(p a ,0≠是正整数),即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

如:81)21(233==- 10、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。

注意:①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。

②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。

如:=•-xy z y x 323211、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加, 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意:①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。

] 如:)(3)32(2y x y y x x +--12、多项式与多项式相乘的法则; 多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。

如:)6)(5()3)(23(-+-+x x b a b a13、平方差公式:22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如:))((z y x z y x +--+14、完全平方公式:2222)(b ab a b a +±=±公式特征:左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意:ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+ ab b a b a 4)()(22-+=-222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+-完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,加上首尾乘积的2倍。

15、三项式的完全平方公式:bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++16、单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

注意:首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 如:b a m b a 242497÷-17、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。

即:()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 18、因式分解:常用方法:提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……三、知识点分析:1.同底数幂、幂的运算: a m ·a n =a m+n (m ,n 都是正整数). (a m )n =a mn (m ,n 都是正整数).例题1.若6422=-a ,则a= ;若8)3(327-=⨯n ,则n= 例题2.若125512=+x ,求x x +-2009)2(的值。

例题3.计算()[]()[]mnx y y x 2322--练习 1.若32=na,则n a 6= .2.设4x =8y-1,且9y =27x-1,则x-y 等于 。

2.积的乘方(a b)n =a n b n (n 为正整数).积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.例题1. 计算:()[]()()[]43p pm n n m m n -⋅-⋅-3.乘法公式平方差公式:()()22b a b a b a -=-+完全平方和公式:()2222b ab a b a ++=+完全平方差公式:()2222b ab a b a +-=-例题1. 利用平方差公式计算:2009×2007-20082例题2.利用平方差公式计算:22007200720082006-⨯.3.(a -2b +3c -d )(a +2b -3c -d )5. 因式分解:1.提公因式法:式子中有公因式时,先提公因式。

例1把2105ax ay by bx -+-分解因式.分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x 的降幂排列,然后从两组分别提出公因式2a 与b -,这时另一个因式正好都是5x y -,这样可以继续提取公因式.解:21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试.例2把2222()()ab c d a b cd ---分解因式.分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式.解:22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+说明:由例3、例4可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.2. 公式法:根据平方差和完全平方公式例题1 分解因式22925x y - 3.配方法:例1分解因式2616x x +-解:222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验.4.十字相乘法:(1).2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此,2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式. 例1把下列各式因式分解:(1) 276x x -+(2) 21336x x ++解:(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--. (2)3649,4913=⨯+=21336(4)(9)x x x x ∴++=++说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同. 例2把下列各式因式分解:(1) 2524x x +-(2) 2215x x --解:(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同. 例3把下列各式因式分解:(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析:(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式,这时常数项是26y -,一次项系数是y ,把26y -分解成3y 与2y -的积,而3(2)y y y +-=,正好是一次项系数.(2) 由换元思想,只要把2x x +整体看作一个字母a ,可不必写出,只当作分解二次三项式2812a a -+.解:(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-(2).一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道,2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++. 反过来,就得到:2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现,二次项系数a 分解成12a a ,常数项c 分解成12c c ,把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到1221a c a c +,如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ,那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++,其中11,a c 位于上一行,22,a c 位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解. 例4把下列各式因式分解:(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解:(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.。

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