离散数学及其应用第10章-特殊图模型与算法(下)

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离散数学(chapter10一些特殊的图)精品PPT课件

因为每个值班人员的值班天数都不多于四天，故每个结点的度数至少是３，任两个结点度数的和至少是６，根据判断定理（1）， G包含一条哈密尔顿通路，它对应着一个可行的值班安排方案。
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离散数学
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§10.4 平面图
一、平面图的基本概念及性质
平面图：图G若能够以除顶点外没有边交叉的方式画在平面上，则称G为平面图。画出的没有边交叉的图称为G的一个平面嵌入。
大臣要求男女各站一边，彼此愿意成婚的举手，结果大臣认为无法配对成婚。
但国王不理解他的解释，他的命运？
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离散数学
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用图表示卫士与宫女愿意成婚的关系：卫士
宫女
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离散数学
4
1994年全国大学生数学建模竞赛B题：锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制造锁具时对 5 个槽的高度还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批. 出来的所有互不相同的锁具称为一批.
K5
K3,3
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离散数学
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面：设G是一个连通的平面图(G的某个平面嵌入)， G的边将G所在的平面划分成若干个区域，每个区域称为的一个面。
其中面积无限的区域称为无限面(或外部面)，记R0，面积有限的区域称为有限面(或内部面)。
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离散数学
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包围每个面的所有边所构成的回路称为该面的边界。边界的长度称为该面的次数，R的次数记为deg(R)。

离散数学及其应用课后习题答案

离散数学及其应用课后习题答案【篇一：离散数学及其应用(课后习题)】出下列命题是原子命题还是复合命题。

（3）大雁北回，春天来了。

（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。

（5）张三和李四在吵架。

解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。

习题1.21. 指出下列命题的真值：（1）若2?2?4，则太阳从西方升起。

解：该命题真值为t（因为命题的前件为假）。

（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。

解：该命题真值为f（如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。

2. 令p：天气好。

q：我去公园。

请将下列命题符号化。

（2）只要天气好，我就去公园。

（3）只有天气好，我才去公园。

（6）天气好，我去公园。

解：（2）p?q。

（3）q?p。

（6）p?q。

习题1.32. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）：（1）我去新华书店（p），仅当我有时间（q）。

（3）只要努力学习（p），成绩就会好的（q）。

（6）我今天进城（p），除非下雨（q）。

（10）人不犯我（p），我不犯人（q）；人若犯我，我必犯人。

解：（1）p?q。

（3）p?q。

（6）?q?p。

（10）(?p??q)?(p?q)。

习题1.41. 写出下列公式的真值表：（2）p?(q?r)。

解：该公式的真值表如下表：2. 证明下列等价公式：（2）(p?q)??(p?q)??(p?q)。

证明：?(p?q)??((p?q)?(?p??q))??(p?q)??(?p??q))??(p?q)?(p?q) ?(p ?q)??(p?q)（4）(p?q)?(p?r)?p?(q?r)。

证明：(p?q)?(p?r)?(?p?q)?(?p?r)??p?(q?r)?p?(q?r)3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。

乙说：是丁。

丙说：是乙。

丁说：不是我。

已知4个人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？解：设a：甲成绩最好。

b：乙成绩最好。

离散数学第11章特殊图

置可用二进制信号表示。试问如何选取鼓轮 16 个部分的材
料才能使鼓轮每转过一个部分得到一个不同的二进制信号，即每转一周，能得到0000到1111的16个数。
2015/12/25 110-23
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程双语示范课程
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3、计算机鼓轮设计
假设一个旋转鼓的表面被等分为 24 个部分，如图所示，其中每一部分分别由导体或绝缘体构成，图中阴影部分表示导体，空白部分表示绝缘体，导体部分给出信号 1 ，绝缘体部分给出信号 0 。根据鼓轮转动时所处的位置，四个触头 A 、B 、C 、 D 将获得一定的信息。因此，鼓轮的位
以上定义既适合无向图，又适合有向图。
2015/12/25
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欧拉通路和欧拉回路的特征
欧拉通路是经过图中所有边的通路中长度最短的通路，即为通过图中所有边的简单通路；
欧拉回路是经过图中所有边的回路中长度最短的回路，即为通过图中所有边的简单回路。如果仅用边来描述，欧拉通路和欧拉回路就是图中所有边的一种全排列。
P12 = v1e1v2e2v3e3v4e4v5e5v6e6v7e7v8e9v2e10v4e11v6e12v8e8v1
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11.2.3 欧拉图的难点
1. 仅有欧拉通路而无欧拉回路的图不是欧拉图；
2. 图中是否存在欧拉通路、欧拉回路图的判定非常简单，只需要数一下图中结点的度数即可； 3. 使用 Fleury 算法求欧拉通路 ( 回路 ) 时，每次走一条边，在可能的情况下，不走桥。

离散数学特殊图的应用

9
平面图
• 【例1】？
平面图应用
例4 有
11
7
二分图
• 【概念】匹配、最大匹配、完全匹配、匈牙利算法、霍尔定理（婚姻定理）
二分图应用
例4 六名间谍a,b,c,d,e,f被捕获，他们分别懂得语言是{汉语、法语、日语}，{德语、日语、俄语}，{英语、法语}， {汉语、西班牙语}，{英语、德语}，{俄语、西班牙语}，用几个房间监禁他们才能使同一房间的人不能互相直接对话。
Euler图、Hamilton图应用
• 【例2】下图是一个生活小区的道路示意图。道路清扫工人能否从小区大门出发清扫所有的道路一遍后从该大门离开？能否从大门1出发清扫所有的道路一遍后从小区大门2离开？
小区大门2
小区大门1
图a
图b
解：图b中的非欧拉图的欧拉路径告诉我们：第一个答 3 案是否定的，第二个答案是肯定的。
20 50
30
45 48 32
6
40
25 46
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Euler图、Hamilton图应用
• 【例3】货郎担问题： • 理论上这个问题很简单，只要计算所有不同的12条H回路的边的权值和，求出其和最小的一条H回路，问题便得以解决。可是，当城镇的数目比较大（例如100个）的时候，需要计算边的权值和H回路的数量就非常的大（(100-1)!/2=99!/2条H回路），以至于没有计算的可能。 • 这就迫使人们去寻找新的计算完全图中的最小H回路的方法。 • 在计算机算法理论中，与货郎担问题类似的问题有许多，被统称为 “难处理问题”或“NP完全问题”。对这类问题的研究，以及对高效近似算法的探讨，是许多年来计算机科学界的热门话题。 • 有兴趣的同学可以参考文献: Michael Sipser. 计算理论导引, 张立昂等译, 北京：机械工业出版社, 2000

离散数学高等教育出版社配套PPT课件屈婉玲耿素云张立昂

15
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二）设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
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实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂

《离散数学讲义》课件

离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的数据分析方法，用于推断总体特征和比较不同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研究，最初是为了解决当时的一些实际问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分支，它不涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。

离散数学概述

数理逻辑简介
前提
推理（规则）
结论
集合论(set theroy)概述
20世纪数学中最为深刻的活动, 是关于数学基础的探讨。这不仅涉及到数学的本性, 也涉及到演绎数学的正确性。数学中若干悖论的发现, 引发了数学史上的第三次危机, 这种悖论在集合论中尤为突出。
集合论最初是一门研究数学基础的学科, 它从一个比“数” 更简单的概念----集合出发, 定义数及其运算, 进而发展到整个数学领域, 在这方面它取得了极大的成功。
达）软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划
分） (各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学
的各分支）
目的和任务
由于离散数学的重要地位, 因此通过本课程的教学, 使计算机及应用专业的学生能够掌握数理逻辑、集合论、近世代数与图论的基本概念、基本定理、基本方法, 并且培养学生具有一定的抽象思维能力和逻辑推理能力。同时为计算机及应用专业的其它重要后续课程（如数据结构、操作系统、编译原理等课程）奠定比较坚实的基础。
用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。这里所指的数学方法, 就是引进一套符号体系的方法, 在其中表达和研究推理的规律。
数理逻辑简介
通常认为数理逻辑是由莱布尼兹(Leibniz)创立的。数理逻辑的内容包括:
证明论、模型论、递归论、公理化集合论。数理逻辑的应用在形式语义学、程序设计方法学和软件工程领域。在逻辑程序设计方面。在数据库理论方面。在程序自动生成、自动转换等的理论和技术研究中。在形式语言理论、自动机理论、可计算理论、计算
图论
图论是离散数学的重要组成部分, 是近代应用数学的重要分支。
1736年是图论历史元年, 因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》, 所以人们普遍认为欧拉是图论的创始人。

离散数学特殊图

(1) 1,1,1,1,4 数为n-1的n阶无向树为星
(2) 1,1,1,2,3
形图，称唯一的分支点为星心。
(3) 1,1,2,2,2
。。。。
。
。。。。。
。。。。。
第8章特殊图
例9.3：无向树G有5片树叶，3个2度分支点，其余分支点均为3度，问G有多少个顶点？
解：由握手定理 2m=∑d(vi) 及定理9.1 n = m+1
则有序树。 ⑤ 若T是r元正则树，且所有树叶的层数相
同，则称T为r元完全正则树 ⑥ 若r元完全正则树T是有序树，则称T是
r元有序完全正则树。
第8章特殊图
例 9.15 。
。。。。。。。。
二元(叉)树二元(叉)正则树
。。。。。。。
二元(叉)完全正则树
在所有的r元有序正则树中，2 元有序正则树最重要。
我们还可以从另一个角度来考虑最小成树 (最优树)问题，由G的圈（回路）最优条件，我们也可以在原连通权图G中逐步删除构成回路中权最大的边，最后剩下的无回路的生成子图为最小成树(最优树)。我们把这种方法称为“破圈法”。
第8章特殊图
例 9.11 在图(a)中给出了一个连通图, 求此图的生成树
定理9.3 无向图G具有生成树 G是连通图。推论1 设G是n阶m条边的无向连通图，
则m ≥ n-1。推论2 设G是n阶m条边的无向连通图，T为G
的生成树，则T的余树T'中含有 m-n+1边(即T'有m-n+1条弦)。
第8章特殊图
定义9.3 设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生
成树，设e1,e2, … ,em-n+1为T的弦，设Cr为T 添加弦er产生的G的回路， r=1,2, …, m-n+1。则称Cr为对应于弦er的基本回路，称 {C1,C2,Cm-n+1}为对应生成数T的基本回路系统，

图论离散数学离散数学第四版清华出版社PPT课件

12/19/2020
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b
e1
e4
a
e2
d
e5
e3
c
e5, e1, e2, e3, e4是简单通路，不是基本通路，因为c, a, b, c, d, b中b, c均出现了两次。但c,
d, b, c是基本通路，也是基本回路。
12/19/2020
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[定理] 在一个n阶图中，若从顶点u到v (uv)
❖ 起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。
❖ 问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的尽可能短的通路。
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“巧渡河”问题的解
❖ 注意：在“人狼羊菜”的16种组合中允许出现的只有10种。
人羊狼菜人狼菜人羊狼人羊菜人羊
狼菜
狼
12/19/2020
菜
羊
空(成功)
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[定义] 简单通路(Simple Path)
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或结束顶点(endpoint)。
在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
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[定义] 连通性(connectivity)
设G=<V，E>，若从vi到vj存在一条通路，则称vi到vj连通(connective)或可达。
说明：对无向图而言，若vi到vj可达，则 vj到vi也可达。对有向图而言则未必。

离散数学及其应用课件：特殊图

特殊图
图6-7 基于用户的协同过滤
特殊图
基于物品的协同过滤算法与基于用户的协同过滤算法类似,只是将商品和用户互换。通过计算不同用户对不同物品的评分获得物品间的关系,基于物品间的关系对用户进行相似物品的推荐。举个例子:若用户A 购买了商品a 和b,那么说明a 和b 的相关度较高。当用户B 也购买了商品a,就可以推断用户 B 也有购买商品b 的需求。该算法可描述如图 6-8所示。
特殊图
图6-6-题设对应的二部图
特殊图
基于用户的协同过滤算法是通过用户的历史行为(如商品购买、收藏、内容评价或分享)数据发现用户对商品或内容的喜欢程度,并对这些喜好进行度量和打分,然后根据不同用户对相同商品或内容的偏好程度计算用户之间的关系,在有相同喜好的用户之间进行商品推荐。比如:若A,B 两个用户都购买了x,y,z 三本图书,并且给出了5星好评,那么A,B 属于同一类用户,可以将A 看过的书w 推荐给用户B,也可以将B 买过的商品β推荐给用户A。该算法可描述如图6-7所示。
特殊图
特殊图
解表6-1中的关系可以用一个二部图G=<V1,V2,E>表示, 如图6-6所示,其中V1={A1,A2,A3,A4,A5}表示5名应届毕业生,V2={C1,C2,C3,C4,C5}表示五座西部城市。因为A1、A2、A3、 A4、A5 关联的边数分别为2、2、2、3、3,所以每个顶点至少关联t=2条边,而C2、C3 关联了4条边,4>2,所以不满足t条件,于是找不到合适的匹配,使得每个人都能去到自己想去的城市。
特殊图例6.6-考虑图6-16,判断它们是否是欧拉图或半欧拉图,为
什么?
图6-16-有向图的欧拉图判定
特殊图

离散数学-几种特殊图

第四讲几种特殊图一、小结本讲主要介绍欧拉图与汉密尔顿图、平面图与着色以及一些相关的概念与结论等。

1．欧拉图的概念给定无孤立结点图G ，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路；若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，在该回路称为欧拉回路；具有欧拉回路的图称为欧拉图；具有欧拉路但无欧拉回路的图称为半欧拉图。

规定平凡图为欧拉图。

2．欧拉路与回路存在的充要条件无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或2个奇数度数的结点。

无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且它的结点度数都是偶数的。

3．汉密尔顿图的概念给定图G ，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图；具有汉密尔顿路但无汉密尔顿回路的图称为半汉密尔顿图。

4．汉密尔顿回路存在的必要条件若图G=<V,E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S均有W(G-S)￡|S|成立，其中W(G-S)是（G-S）中连通分支数。

5．汉密尔顿路存在的充分条件设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n - 1，则在G中存在一条汉密尔顿路。

6．平面图的概念设G=<V，E>是一个无向图，如果能把G的所有结点与边画在平面上，并且使得任何两条边除端点外没有其他的交点，则称G是一个平面图（也称可平面图）.显然平面图的边与边只在结点处相交。

将平面图“图示在平面上”，有时也说成“将平面图嵌入一平面”。

7．平面图的面、边界、面的次数等概念设G是一个连通平面图，如果由图中的边所包围的一个区域内既不包含图的结点，也不包含图的边，则这个区域称为G的一个面，包围该面的所有边所构成的回路称为这个面的边界。

面r的边界的回路长度称为该面的次数，记为deg(r)。

离散数学教学图论【共58张PPT】

一、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一、图的基本概念
• 有限图和无限图设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。（2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节生成树、最短路径和关键路径由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节欧拉图和哈密顿图
第四节特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节图的矩阵表示第四节欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.