第9-10讲--随机变量+离散型随机变量及其分布--教学设计-李飞上课讲义
离散型随机变量教案
离散型随机变量及其分布列第一课时2．1.1离散型随机变量教学目标：1.知识与技能：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够应用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量；2.过程与方法：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，引导学生分析问题，归纳共性，提高分析能力和抽象概括能力；3.情感、态度与价值观：列举生活实例，使学生进一步感受到数学与生活的零距离，增强数学的应用意识.教学重点：随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用.教学难点：对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识.教学方法：问题情境法、引导探究.教学手段：多媒体.教学过程：一、创设情境，引出随机变量问题1：掷一枚骰子，向上的点数有哪些？问题2：某人射击一次，射中的环数有哪些？问题3：掷一枚硬币的结果有哪些？思考：掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？二、探究发现，归纳概念问题4：从装有黑色，白色，黄色，红色四个球的箱子中摸出一个球，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻画这种随机试验的结果？引导学生从例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示。
由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量．随机变量的概念：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化。
像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示.思考：随机变量和函数有类似的地方吗？函数随机变量问题5：在掷骰子的试验中，如果我们仅关心的是“掷出的点数是否为偶数”，怎样构造随机变量？问题6：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，设其中含有的次品件数为X ，思考：（1）求出随机变量X 的所有可能取值（2）{X=4}表示什么事件？（3）{X ＜3}表示什么事件？（4）事件“抽出3件以上次品”如何用X 表示？（5）事件“至少抽出1件次品”如何用X 表示？思考：前面所涉及的随机变量，从取值的角度看有什么共同特点？(取值可以一一列出)0,掷出奇数点1，掷出偶数点{Y 实数 实数离散型随机变量的概念：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.问题7：下面两个例题中的随机变量是离散型随机变量吗？(1)某网页在24小时内被浏览的次数(2)某人接连不断的射击,首次命中目标需要射击的次数合作交流：你能举出一些离散型随机变量的例子吗？问题8：下列随机变量是离散型随机变量吗？（1）在某项体能测试中，某同学跑1km所花费的时间；（2）公交车每10分钟一趟，一乘客等公交车的时间；（3）笔记本电脑的寿命.非连续型随机变量的概念：有的随机变量，它可以取某一区间内的一切值这样的随机变量叫做连续型随机变量.问题9：上例体能测试中，如果跑1km时间在3'39"之内的为优秀；时间在3'39"到3'49"之间的为良好；时间在3'49"到4'33"之间的为及格，其他的不及格.（1）如果我们只关心该同学是否能够取得优秀，应该如何定义随机变量？（2）如果我们关心学生的成绩等级，是优秀、良好还是及格，又应该如何定义随机变量呢？三、实际应用，加深理解练习：下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，则写出它可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)一袋中装有5个同样的球，编号依次为1,2,3,4,5.从该袋中随机取出3个球．三个球中的最小编号，最大编号呢？(2)袋子中有2个黑球6个红球，从中任取 3个，其中含有的红球个数？含有的黑球个数呢？(3)某同学打篮球投篮5次，投中的次数；(4)甲乙两队进行乒乓球单打比赛，采用“5局3胜制”，则分出胜负需要进行的比赛次数；四、课堂小结本节课你学到了什么？两个概念：随机变量、离散型随机变量一种思想：数字化五、布置作业必做题：1.有5把钥匙串在一起,其中有1把是有用的,若依次尝试开锁,若打不开就扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X 的所有可能取值是_______；2.在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值及对应的试验结果.选做题：先后抛掷两枚骰子，向上的点数之和 X 的所有可能取值及取这些值时对应的概率.六、板书设计多媒体 典例分析 学生练习区： （1） （2） （3） （4） 2.1.1离散型随机变量1.随机变量的概念和本质：2.离散型随机变量概念：3.非离散型随机变量概念：。
高等数学(第2版)课件：离散型随机变量及其分布
若 X 表示n重伯努利试验中事件 A 发生的次数,则
X 的分布律为
P{ X
k}
C
k n
pkqnk ,q
1
p, k
0,1,
, n.
它表示“事件 A在 n 次试验中恰好发生k 次”的概率.
2. 二项分布 定义. 若随机变量X的分布律为
P{ X
k}
C
k n
pkqnk ,q
1
p, k
0,1,
, n.
则称 X 服从参数为 n, p的二项分布，记为 X ~ b(n, p).
3. 泊松分布
定义. 若随机变量X的分布律为
ke
P{X k}
, k 0,1, ,
k!
其中 0是常数，则称 X 服从参数为的泊松分布，
记为 X ~ P( ).
注：在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用
事业的排队等问题中，泊松分布是常见的.
注：当 n 1时，二项分布即为 (0,1)分布.
例3. 某种型号的电子元件的使用寿命超过1500 小时
的为一级品，已知某一批元件的一级品率为 0.2.
现从中抽查20只，问20只元件中恰有k只(k 1, 2, , 20) 一级品的概率是多少？
解：以 X 表示20只元件中一级品的只数，
则 X ~ b(20, 0.2)
说明： 分布律满足
1（非负性）pk 0 , k 1, 2, ;
2（归一性） pk 1 . k 1
一、离散型随机变量及其分布律
分布律也可以表示为
1
X
~
x1 p1
x2 p2
xn
pn
2
X x1 x2 pk p1 p2
xn pn
第9-10讲--随机变量+离散型随机变量及其分布--教学设计-李飞上课讲义
第9 - 1 0 讲- - 随机变量+离散型随机变量及其分布--教学设计-李飞第二章随机变量及其分布第9-10 讲随机变量、离散型随机变量及其分布教学设计随机变量（15分钟）引言：我们知道，概率是描述随机事件发生可能性大小的度量。
运动员的一次射击，就是一次随机试验，只要了解了随机试验可能出现的结果（即每一个结果就是一个随机事件），以及每一个结果发生的概率，我们也就基本把握了它的统计规律。
随机试验的结果有些本身就是数量. 例如, 掷骰子出现的点数、产品抽样中的次品数、电话总机在单位时间内接到的呼叫次数、测量中出现的误差等.而有些随机试验表面上看其试验结果与数量没有直接关系. 例如, 掷硬币的结果“正面”、“反面” .我们可以将其数量化, 当出现正面时对应数, 出现反面时对应数. 这样随机试验的结果就是随机变化的变量, 把随机试验的结果数量化,便于应用数学知识研究随机现象, 使对随机现象的研究更深入和简单.问题1：概率是描述在一次随机试验中某个随机事件发生可能性大小的度量。
如掷骰子就是一个随机试验，它有六种可能性结果。
你还能举出一些随机试验的例子吗？该随机试验的所有可能结果有哪些？问题2：（1）掷一枚骰子，出现向上的点数X 是1，2，3，4，5，6 中的某一个数；（2）在一块地上种10 棵树苗，成活的棵树Y是0，1，2，3，⋯，10中的某个数。
激发学生的兴趣，让学生体会数学来源于生活，生活中处处有数学。
问题 1 设计意图：能够判定简单的随机试验，并能列举出所有可能的结果，为用“数”表示这些结果做好准备。
问题 2 设计意图：通过讨论引导学生发现任何一个随机试验的结果都可用数字进行表示，这样随机试验的结果与数字之间就构成了一个对应关系，这为引入随机变量的概念奠定基础。
问题 3 设计意图：引导学生通过分析、综合活动，尝试给定义。
这种定义方式是描述性的，学生可以凭借自己的理解下定义，只要这种描述比较准确就可以，不一定按照课本的描述性定义。
离散型随机变量优质课课件(精)
在可靠性问题中应用
寿命分布
通过分析产品的寿命数据，拟合 出合适的离散型随机变量分布， 预测产品的可靠性和使用寿命。
故障间隔时间分布
统计产品故障发生的时间间隔，用 离散型随机变量描述故障间隔时间 的概率分布，为产品的维修和保养 计划提供依据。
系统可靠性评估
基于离散型随机变量的概率分布， 计算系统的可靠度、可用度等指标 ，评估系统的整体性能和可靠性水 平。
定义
超几何分布描述了从有 限N个物件（其中包含K 个指定种类的物件）中 抽出n个物件，成功抽 出指定种类物件的次数 X的分布情况。
性质
超几何分布的期望EX =
nK/N，方差DX
=
nK(N-K)(N-n)/N^2(N-
1)。
应用场景
常用于描述不放回抽样 问题，如从一副扑克牌 中随机抽取若干张牌， 计算抽到某种特定牌型 的概率等。
定义
离散型随机变量是指其可能取值的个 数是有限的或可列的随机变量。
性质
离散型随机变量具有可数性和间断性 。可数性是指其可能取值的个数是有 限的或可列的；间断性是指其可能取 值之间存在“空隙”或“间隔”。
常见离散型随机变量类型
二项分布
在n次独立重复的伯努利试验 中，成功的次数服从二项分布 。
几何分布
在伯努利试验中，首次成功所 需的试验次数服从几何分布。
0-1分布
随机变量只取0和1两个值，常 用于描述伯努利试验的结果。
泊松分布
描述单位时间内随机事件发生 的次数，常用于描述稀有事件 的概率分布。
超几何分布
从有限总体中不放回地抽取n 个样本，其中成功样本的个数 服从超几何分布。
分布律与概率质量函数
06
总结回顾与拓展延伸
离散型随机变量及其分布教案
离散型随机变量及其分布教案一、引言随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机试验中的各种可能结果与相应的概率分布之间的关系。
离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可列无限个离散值的随机变量。
本教案将介绍离散型随机变量及其分布。
二、离散型随机变量的概念离散型随机变量可以理解为能够取到离散值的随机变量。
例如，抛掷一个骰子出现的点数就是一个离散型随机变量，因为它只能取到1、2、3、4、5、6这几个离散值之一。
三、离散型随机变量的分布律离散型随机变量可以通过分布律来描述其各个取值的概率。
1. 定义离散型随机变量的分布律是指在给定取值情况下的概率分布。
对于离散型随机变量X，其分布律可以表示为P(X=x)，其中x表示X的某个取值。
2. 性质离散型随机变量的分布律必须满足以下两个性质：（1）非负性：对于任意的x，P(X=x)≥0；（2）归一性：所有可能的取值情况的概率之和等于1，即∑P(X=x)=1。
四、常见离散型随机变量及其分布1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型随机变量分布之一，它描述了一个随机试验只有两个可能结果的情况。
例如，投掷硬币的结果只能是正面或反面。
2. 二项分布二项分布是描述n个独立的伯努利试验中成功次数的离散型随机变量的分布。
例如，投掷一枚硬币n次，正面朝上的次数就是一个满足二项分布的离散型随机变量。
3. 泊松分布泊松分布是描述在给定时间段或空间范围内某事件发生次数的离散型随机变量的分布。
例如，单位时间内到达某一地点的车辆数量就可以用泊松分布来描述。
4. 几何分布几何分布是描述在一系列独立的伯努利试验中，首次获得成功所需要的试验次数的离散型随机变量的分布。
例如，第一次抛掷正面朝上的硬币所需要的抛掷次数就可以用几何分布来描述。
五、总结离散型随机变量及其分布是概率论中的重要概念，通过分布律可以准确描述随机变量的取值情况和相应的概率分布。
常见的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布，它们在实际问题中具有广泛应用。
高中数学选修2-3《离散型随机变量》教学设计
《离散型随机变量》教学设计一．教学目标知识目标： 1. 理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力.情感目标：二．教学重点学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.三．教学难点对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.四．教学方法发现式为主、讲授式为辅，讲练结合.五．教学过程教学教学内容师生活动设计说明环节创设情境投放男生追女生数学模型由学生感兴趣的设置问题情境，引出用数字表达的随机试例子出发，激发求知验.兴趣，引入课题 . 这样教师给出例子，提出问实例一：抛掷骰子, 观察出现的点数 .既符合学生由具体到题：以上实例有什么共性抽象的思维习惯，也吗？培养学生的抽象概括S={1 ， 2， 3， 4，5， 6}学生观察，寻找类同思维，同时也使课堂随机试验的结果本身就具有数量性质点，回答。
的内容更加丰富，从投放类似例子：而使数学学习更加贴1.科比 3 次投罚球的得分。
近生活，很好地体现2.某人在射击训练中，射击一次，命中的环新教材改革的总体思数。
想 .3.在含有10 件次品的100 件产品中任意抽取 4 件，其中含有的次品件数。
探究发现教学环节实例 2抛掷一枚硬币, 会出现正面向上与反面向上两种可能结果。
结果可以用数字来表示吗？在前面例子的基（1）正面朝上对应数字1础上，让学生自己探教师提出问题，实验结果反面朝上对应数字0求随机试验的结果表没有数量性质怎么办？结（2）正面朝上对应数字-1示方法使学生的认知果可以用数字来表示吗？反面朝上对应数字1起点与新知识平顺的如果投掷n 此后，我们关心的是正面朝上的对接 .学生思考，讨论。
次数，应该如何定义随机变量？如果更关心教师引导学生根据第正面和反面的次数是否相等又应该如何定一个例子，去发现定义.义？猜想硬币投掷的表示结果 . 学生回答问题，答案使学生了解用随机变可能是多种的，教师应该让在这些随机试验中，可能出现的结果都可量表示一个随机试验学生充分地表达，然后根据以用一个数来表示．这个数在随机试验前是结果的多样性，同时学生的回答给与总结.否是预先确定的?在不同的随机试验中，结深化试验结果与随机果是否不变 ?变量的对应关系.随机变量：在一些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量. 随机变量常用字母X、Y、来表示.探索发现观察上面的表示结果，虽然不尽相同，但是他们有没有什么共同的性质？回顾函数的概念，你能对它给与简单的解释吗？根据知识建构的函数的理解：引导学生思考随机变特点，在已有的旧知函数量的定义过程，对比函数的识的基础上，类比新实数实数定义，从映射的角度对随机知识，使得学生对新类比函数的概念，提出对随机变量的理变量进行理解，进而归纳随知识的理解更加自解：即变量值域的概念.然，降低新知识的难随机变量度 .随机试验的结果实数我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域 .因此上面试验中，随机变量的值域可以为{0 ， 1}、{-1， 1} 或{1，2}例 1、一个袋中装有 5 个白球和 5 个意义黑球，若从中任取 3 个，则其中所含白球的个数 x 就是一个随机变量，求x 的取值范教师举例子，学生根据围，并说明x 的不同取值所表示的事件。
离散型随机变量及其分布教学设计2023-2024学年高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册
3.鼓励学生参加相关的数学竞赛或研究项目，如全国高中数学联赛、大学生数学建模竞赛等，通过竞赛提高自己的数学能力，加深对离散型随机变量及其分布的理解。
= 9/12
例2：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取一个球，求取到红球的概率。
解：取到红球的概率P(X=红球) =红球的数量/总球数= 5/8
例3：一个离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，5，对应的概率分别为1/6，1/6，1/6，1/6，1/6，求随机变量X的期望值和方差。
解：期望值E(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 = 15/6
10.鼓励学生进行数学交流，如参加数学讨论会、数学沙龙等，与数学教师和同学进行交流，分享自己的学习心得和经验，提高自己的数学素养。
典型例题讲解
例1：已知离散型随机变量X的可能取值为2，3，4，5，且对应的概率分别为1/4，1/3，1/2，1/6，求随机变量X的期望值和方差。
解：期望值E(X) = 2*1/4 + 3*1/3 + 4*1/2 + 5*1/6 = 1 + 1 + 2 + 5/3 = 17/6
解：期望值E(X) = 2*1/4 + 3*1/3 + 4*2/9 + 5*1/6 = 1/2 + 1 + 4/3 + 5/6 = 19/6
方差Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
= (2^2*1/4 + 3^2*1/3 + 4^2*2/9 + 5^2*1/6) - (19/6)^2
离散型随机变量及其分布列教案
离散型随机变量及其分布列教案离散型随机变量是指在其中一区间内取值有限或可列无限个的随机变量。
离散型随机变量通常用来描述一些试验的结果，例如抛硬币的结果，掷骰子的结果等。
在教学过程中，可以通过引入离散型随机变量教授概率论的基本概念和计算方法。
以下是一个关于离散型随机变量及其分布列的教案：教学目标：1.了解离散型随机变量的定义和特点；2.掌握计算离散型随机变量的分布列；3.学会使用分布列计算期望值和方差。
教学内容：1.离散型随机变量的定义和特点：-定义：离散型随机变量是指在其中一区间内取值有限或可列无限个的随机变量。
-特点：离散型随机变量的取值是可以数清的，不能取到区间之外的值。
2.离散型随机变量的分布列：-分布列是用来描述离散型随机变量各个取值的概率的表格或公式。
-分布列的特点：各个取值的概率之和为13.离散型随机变量的期望值和方差：-期望值是离散型随机变量各个取值与其相应概率的乘积之和。
表示为E(X)。
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn- 方差是离散型随机变量各个取值与其相应概率的乘积减去期望值的平方之和。
表示为Var(X)。
Var(X) = (x1-E(X))^2*p1 + (x2-E(X))^2*p2 + ... + (xn-E(X))^2*pn教学步骤：Step 1：引入离散型随机变量的概念通过实际例子引入离散型随机变量的概念，例如掷骰子的结果就是一个离散型随机变量。
Step 2：介绍离散型随机变量的定义和特点详细介绍离散型随机变量的定义和特点，并与连续型随机变量进行对比。
Step 3：讲解离散型随机变量的分布列解释离散型随机变量分布列的含义，给出分布列的例子，并教授计算分布列的方法。
Step 4：演示如何计算离散型随机变量的期望值和方差从分布列的角度出发，演示如何计算离散型随机变量的期望值和方差。
Step 5：练习和巩固提供一些练习题，让学生通过计算离散型随机变量的分布列、期望值和方差来巩固所学知识。
离散型随机变量及其分布_课件
[问题探究] 抛掷一枚骰子，所得的点数5有哪些值? ξ取每个值的概 率是多少?
解:ξ的取值有1、2、3、4、5、
6ξ
1
2
3
4
5
6
P
1.随机变量
(1)定义:在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一 个 试验结果都用一个 确定的数字 表示，在这个对应 关系下，数字 随着试验结果 的变化而变化，像这 种随试着验结果 变化而变化的变量称为随机变量.
5.老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至 少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇，求∶ （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列; （2）他能及格的概率. 答案：（1）设从10篇课文中随机抽3篇该同学能背诵的篇数为X， 则X可取0，1，2，3，且服从超几何分布
（2）该同学能及格，表示他能背诵2篇或3篇，故概率 为
(2)0.97 6
求离散型随机变量的概率分布列的步骤
： 找出随机变量ξ的所有可能的取
值 求出各取值的概
率 列表格.
答案：由题意可得，随机变量X的取值可以为0，1， 2.
因此，随机变量X的分布列为 ∶
定义1：这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变 量
特征： (1) 不确定性；(2)可类比 定义性2：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量
它是随机变量的一种特殊情形，结果常常是有限个值，能否一 一列举出试验结果的取值是判断是否为离散型随机变量的关键.
通过对实例的理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当 地定义随机变量.
[问题导思]
(1)拋掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上 ，反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示 吗(2)?在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为x ，则x取什么数字?
随机变量及离散型分布PPT课件
pk P{X k} ak (k 1,2,3,4,5) , 求常数a.
解：由概率分布的性质知
5
pk
1,
k 1
即
15a= 1,
解得a
1 15
.
第4页/共17页 下页
例2. 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4个红球.从中 任取3个，求抽到红球数的概率分布.
或 P{X k} pkq1k (k 0,1) .
第7页/共17页 下页
2、二项分布 定义 如果随机变量X的概率分布为
P{X k} Cnk Pkqnk (k 0,1, , n)
则称 X 服从参数为 n，p的二项分布, 记作X~B(n, p).
n
显然,
Cnk pk qnk 1.
k 0
特别当 n=1时，二项分布为退化为0-1分布.
例7. 某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台 发生故障的概率为0.01 . 求下列事件的概率:
① 若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的 概率；② 若3人共同维修100台设备呢？③ 需配备多少工人才能 保证不能及时维修的概率不大于0.02 ？
解：设 X表示同时发生故障的台数，则X～B(n, 0.01)，
服从泊松分布的相关概率, 可查表计算. 《泊松分布表》 的计算为
P{X x} r e . rx r!
第11页/共17页下页
例6.某电话交换台在一天内的收到的呼叫次数服从参数为3 的泊松分布，求下列事件的概率:
① 呼叫次数不小于6； ② 呼叫次数小于6； ③ 呼叫数恰好为2. 解：设X表示呼叫数，由题意知X～P(3)，则
X的概率分布律为
X
0
1
离散型随机变量ppt课件
ξ的概率分布列，简称为ξ的分布列.
也可将①用表的形式来表示
ξ Ｘ1 Ｘ2 … Ｘｉ …
Ｐ
Ｐ1
Ｐ2
…
Ｐｉ
…
上表称为随机变量ξ的概率分布表， 它和①都叫做随机变量ξ的概率分布.
2.分布列的构成: ⑴列出随机变量ξ的所有取值; ⑵给出ξ的每一个取值的概率． 3.分布列的性质:
(1) pi 0, i 1,2, ; (2) p1 p2 1.
,则a的为
．
课堂小结
1. 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样 的变量叫做随机变量．
课堂小结
1. 随机变量
2.离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这 样的随机变量叫做离散型随机变量． 随机变量ξ 的线性组合η =aξ +b(其中a、b是常数) 也是随机变量．
课堂小结
1. 随机变量 2.离散型随机变量
3.离散型随机变量的分布列
ξ Ｐ Ｘ1 Ｐ1 Ｘ2 Ｐ2 … … Ｘｉ Ｐｉ … …
知识回顾
一.随机事件：在一定条件下可能发 生也可能不发生 的事件
二、随机事件的概率 一般地，在大量重复进行同一试验时， m 事件A发生的频率 总是接近于某个常 n 数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫 做事件A的概率，记作P（A）
几点说明： （1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复 试验 （2）概率可看作频率在理论上的期望值，它从数 量 上反映了随机事件发 生的可能性的大小，频率在 大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的 概率 （3）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，因 此 0 p( A) 1
例２.从装有６只白球和４只红球的口 袋中任取一只球，用X表示“取到的白 球个数”，即 1• • •(当取到白球) X • •(当取到红球) 0•
离散型随机变量及分布列优秀教学设计
课题：离散型随机变量及分布列一、教学内容分析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-3）中第二章《随机变量及其分布》第一节“离散型随机变量及其分布列”的第二课时．引入随机变量的目的是研究随机现象发生的统计规律，及所有随机事件发生的概率．离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．对随机变量的概率分布的研究，实现了随机现象数学化的转化．学生在第一课时已经学习了“离散型随机变量”，对离散型随机变量的概念有了一定的认识．了解到建立从随机试验结果到随机变量的映射的目的是将实际问题数量化，便于用数学工具更好地研究问题，进一步体会数学建模的思想. 教师的重要作用就在于培养学生“数学地”观察事物，对现象或问题“数学地”思考，进而合理地量化和转化，把问题“数学化”，用数学的思想方法加以解决．本节课要研究随机变量所表示的随机事件的概率分布情况，即建立“离散型随机变量的分布列”这一数学模型. 离散型随机变量和其对应的概率之间是一种函数关系，因此可以类比函数来研究. 教师引导学生用数学的思维分析问题，用数学的思想方法解决问题. 通过类比函数的表示方法，首先对三个具体实例进行表示，获得对“离散型随机变量的分布列”模型的初步认识，再从这些具体实例中抽象概括出离散型随机变量的分布列的一般定义并进一步探索性质. 在概念得出的过程中，可以培养学生的抽象概括能力. 在此基础上学习两点分布等特殊的分布列，理解分布列对于刻画随机现象的重要性，能够应用分布列解决实际问题．在实际问题的解决中，可以培养学生的数学建模能力.因此，本节课的教学重点：理解离散型随机变量的分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性，理解两点分布的模型及其应用．二、教学目标设置1．通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性；类比函数的几种表示法学习离散型随机变量的表示方法；探索离散型随机变量的性质．2．通过学生的自主探究，进一步体会数学抽象、数学建模的思想，培养学生抽象概括能力．3．通过类比、推广、特殊化等一系列思维活动，体会统计思想，学会用统计思想分析和处理随机现象的基本方法. 在解决实际问题的过程中，同学们加深对有关数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，并学会用数学解决一些实际问题.4．通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感．经历数学建模的过程并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心．三、学生学情分析（一）学生程度我所授课的对象是天津市实验中学的学生．学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力比较强．虽然已经经历了概率的学习，但是对随机变量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强．（二）知识层面1．学生已经学习过概率的知识并掌握了计数原理；2．掌握了离散型随机变量的定义．（三）能力层面1．具有一定的数学抽象的能力；2．具有一定的数学建模的基础．根据以上三个方面的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以自主利用古典概型计算概率的公式完成求基本事件的概率．在具体操作过程中，需要老师的引导和帮助．教学难点：理解离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性．四、教学策略分析1．《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，以问题串驱动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法．2．本节教学内容的脉络是：复习旧知，引入新课——研究实例，抽象概括——探索性质，辨析概念——数学建模，两点分布——实际应用，解决问题——课堂小结，反思提升.首先对上节课已经学习的随机变量的概念加以回顾，并进一步提出后续问题，即“我们更关心随机事件发生的可能性有多大，即随机变量取不同值的概率分布情况是怎样的”，以开门见山的方式提出问题，引发学生的思考.然后对于如何解决这个问题，以三道实际问题“掷骰子”、“掷硬币”、“摸次品”为背景，启发学生寻求解决问题的方法．类比函数的表示方法，研究离散型随机变量分布列的表示方法，进而抽象概括随机变量分布列的概念；探索离散型随机变量的性质，并辨析概念；通过举例，掌握两点分布的分布列模型及其应用；在解决实际问题的过程中，使学生加深对有关数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系.利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象，通过类比、推广、特殊化等一系列思维活动，体会统计思想，学会用统计思想分析和处理随机现象的基本方法.3．在探索两点分布和解决实际问题的过程中，通过小组合作交流，同桌协作探究的方式，借助图形计算器等信息技术手段，为学生的数学探究与数学思维提供支持完成调动学生学习的积极性和主动性，培养学生的探究精神及协作意识，使学生真正体会数学抽象、数学建模思想，并能体验成功的喜悦.五教学过程分析教学环节创设情境——概念形成——概念深化——知识应用——总结反思—达标检测附：板书设计。
离散型随机变量 说课稿 教案 教学设计
离散型随机变量教学目标：知识目标：1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量. 能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力.情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题教学过程：一、复习引入：展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?观察，概括出它们的共同特点二、讲解新课：思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量．在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量三、讲解范例：例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，…η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．小结：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(其中a、b是常数)也是随机变量。
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第9-10讲--随机变量+离散型随机变量及其分布--教学设计-
李飞
第二章随机变量及其分布
第9-10讲随机变量、离散型随机变量及其分布
教学设计
备这些特点的随机事件均属于泊松分布。
问题6：
随机变量和函数有类似的地方吗？ 随机变量的定义
定义1 设随机变量的样本空间为{}e Ω=，称定义在样本空间Ω上的实值单值函数
()X X e =为随机变量。
概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布．引入随机变量后，随机事件就可以通过随机变量表示。
如：（1）扔硬币：{}
出现正面向上={}1X = （2）射击：{}
{}5=5X ≤射击次数不多于次 （3）运算：{}{}{}a X b X b X a <≤=≤-≤ …………………………15分钟
例题1.写出下列各随机变量可能的取值（或范
……………………35分
钟
定义2.4 若随机变量X 只可能取0与1两个值,它的分布律是
1{}(1),0,1(01)k k
P X k p p k p -==-=<<,
即
X
1 0
P
p 1p -
则称X 服从(0-1)分布或两点分布.
…………………………50分
…………………………20分钟
泊松分布产生的一般条件：
在自然界和现实生活中，常遇到在随机时刻
出现的某种事件。
把在随机时刻相继出现的事
件所形成的序列称为随机事件流。
若随机事件
流具有平稳性、无后效性、普通性，则称事件
流为泊松事件流（泊松流）。
平稳性：在任意时间区间内，事件发生k次
k ）的概率只依赖于区间长度而与区间端（0
点无关。
无后效性：在不相重叠的时间段内，事件的
发生相互独立。
普通性：如果时间区间充分小，事件出现两
次或两次以上的概率可以忽略不计。
对泊松流，在任意时间间隔（0，t）内，事件发生的次数服从参数为λ的泊松分布，λ称为泊松流的强度。
…………………………47分钟。