最优控制项目报告

最优控制项目报告—Project of Optimal Control

二级倒立摆的控制

黄自龙占奇志张晓

电话：82675350

组号：第六组

组员：黄自龙 3103028009 张晓：3103028007 占奇志 3103028012

授课教师：高峰

所在院、教研室：电气工程学院工企教研室

考核形式：考试

实验日期：2004.03.13～2004.05.18

一、问题的来源

倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例 ,一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的 ,倒立摆系统就其本身而言是一个非最小相位、多变量的系统 .对于这样一个复杂系统的研究 ,从理论上需涉及系统的非线性、解耦、小时间常数及不稳定问题 .控制理论的正确性及可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证，倒立摆正是一个典型的被控对象，世界上对倒立摆系统的研究一直在不断的进行。

倒立摆作为一个研究对象有很多自身的特点，首先倒立摆本身是一个自然不稳定体，能反映出控制中的许多关键问题。如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等。具体可以总结如下：

1.作为实验装置，形象直观、结构简单，构件组成参数和形状容易改变。

2.作为被控对象，相当复杂，是高阶次、多变量、非线性、强耦合系统。

3.系统稳定效果非常明了，通过摆动角度、位移、稳定时间度量，控制好坏一目了然。

4.重要的工程背景，倒立摆系统的稳定与机器人行走、空间飞行器控制有很大相似性。

二、系统模型的建立

一级倒立摆的建模与分析

一级倒立摆的实际装置如图1所示：带轮小车顶端铰链系一刚性倒立摆，小车可沿有界轨道左右运动，摆可在垂直平面内自由运动。

图1 一级倒立摆模型

各个参数的含义如下：

X：小车的位移；

X：小车的速度；

θ：摆杆偏离垂直方向的角度；

θ摆杆的角速度；

m0：小车的质量；

m 1：摆杆的质量； l 1：摆杆的长度； g ：重力加速度；

F ：控制器输出的控制力。

我们做出如下假设条件： 1. 摆杆及小车都是刚体，

2. 库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中忽略不计。 由动力学理论可以推出一级倒立摆的运动方程

0122111211

2sin cos m x F F d J Fl F l dt

θθθ=-=- 2

1211122

1111112(sin )

(cos )d F m x l dt

d F m g m l dt

θθ=+-= 根据运动学方程我们很容易得到一级倒立摆的状态方程，此处从略。下面重点介绍一下二级倒立摆的建模与分析。

二级倒立摆建模与分析

二级倒立摆的模型如图2所示：

图2 二级倒立摆模型

在对二级倒立摆进行运动学分析之前，我们不妨做如下假设： 1. 上摆、下摆及小车都是刚体

2. 小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度；

3. 下摆转动时所受的摩擦力矩正比于下摆的转动速度；

4. 上摆运动时所受的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度；

5. 忽略空气阻力；

对系统中的各项参数定义如下： r ：小车水平方向位移 1θ：下摆角位移

2θ: 上摆角位移

1d ：下摆的质心到原点的长度 2d : 上摆的质心到下摆的长度 3d ：下摆的摆杆长度 4d ：上摆的摆杆长度 1m ：下摆的质量

2m ：上摆的质量 0M ：小车的质量

用能量的观点对小车进行动力学分析，可以建立如下的能量方程： a)首先对小车进行分析

小车的动能：2001

2

k E M r =

小车的势能：00p E =

小车损失的能量：2001

2

D E f r =

b)下摆的能量学方程：

动能：222111111111{[(sin )][(cos )]}22k d d

E J m r d d dt dt

θθθ=+++

势能：1111cos p E m gd θ=

损失的能量：21111

2

d E f θ=

c)上摆的能量学方程：

动能：2222223122312211{[(sin sin )][(cos cos )]}22k d d

E J m r d d d d dt dt θθθθθ=+++++

222223112222311222111

(cos cos )(sin sin )222J m r d d m d d θθθθθθθθθ=+++++

势能：223122(cos cos )p E m g d d θθ=+

损失的能量：22211

()2

D E f θθ=

- 令： k 012

012012

E K K K p p p p D D D D E E E E E E E E E E E =++=++=++

设Lagrange 函数（动势）：K P L E E =- 由Lagrange 方程得：

D

k k k k

E d L L Q dt q q q ⎡⎤∂∂∂-

+=⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 式中 Q k ——广义力 ; q k ——广义坐标

对Lagrange 方程进行平衡点线性化并把方程改写成矩阵形式可以得到如下结果：

111222(0,0)(0,0,0,0)(0,0)r r r M F N GU θθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦