复变函数论 第七章 共形映射

7．1解析函数的特性

教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解 解析函数的几何理论. 重点：保角映射的概念与性质. 难点：解析变换的保域性. 课时：4课时 教学过程：

前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理. 一．解析函数的保域性.

定理7.1 (保域定理)设()w f z =在区域D 内解析且不恒为常数,则D 的象()G f D =也是

一个区域.

证明：按区域的定义：要证()G f D =是一个连通开集.

首先证明G 是一个开集即证G 的每一个都是内点,设0w 是G 内的任意一点，则存在0z D ∈，

使得00()f z w =，由第六章的儒歇定理，必存在0w 的一个邻域*0w w δ-<.对于其中的任一数w A =，函数()f z A -在0z z ρ-<内（0z z ρ-<是D 内的邻域）必有根，即w A =，这记0w w G -⊂.表明0w 是G 的内点.由0w 的任意性知G 是开集 其次证明G 是连通集.由于D 是区域,可在D 内部取一条联结12,z z 的折线

=≤≤==121122:()[,(),()]C z z t t t t z t z z t z .

于是： 12:[()]()

w f z t t t t Γ=≤≤就是联结12,w w 的并且完全含于G 的一条曲线.从而,

由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结12,w w 内接于Γ且完全含于G 的折线

Γ.

从以上两点，表明()G f D =是区域.

推论7.2 设()w f z =在区域D 内单叶解析,则D 的象()G f D =也是一个区域. 证明：用()f z 在区域D 内单叶，必()f z 在D 内不恒为常数.

定理7.3 设函数()w f z =在点0z 解析,且'

0()0f z ≠,则()f z 在0z 的一个邻域内单叶解

析.

由此可见，符合本定理条件的解析变换()w f z =将0z 的一个充分小邻域变成00()w f z =的

一个曲边邻域.

2 解析变换的保角——导数的几何意义

设()w f z =于区域D 内解析, ∈0z D ,在点0z 有导数0z .通过0z 任意引一条有向光滑曲线

=≤≤01:()()C z z t t t t ,

=00()z z t ，则必0'()z t 存在且0'()0z t ≠，从而由第二章习题（一）1，C 在0z 有切线，0'()

z t 就是切向量，它的倾角为0arg '()z t ϕ=.经过变换()w f z =，C 之象曲线()f C Γ=的参数方程应为

01:[()]

()w f z t t t t Γ=≤≤

由定理7.3及第三章习题（一）13，Γ在点0w t 0w ＝（）的邻域内是光滑的，又由于000'()'()'()0w t f z z t =≠，故Γ在00()w f z =也有切线，0'()w t 就是切向量，其倾角为

000arg '()arg '()arg '(),w t f z z t ψ==+ 即 0arg '()f z ψϕ=+

假设 0'()R ia f z e =

则必 00'(),arg '()f z R f z a == ， 于是 a ψϕ-= （7.1） 且 lim

0z w

R z

∆→∞

∆=≠∆ （7.2）

图7.1

假定x 轴与u 轴、y 轴与v 轴的正方向相同（如图7.1），而且将原曲线的切线正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角，理解为原曲线经过变换后的旋转角，则 （7.1）说明:象曲线Γ在点00()w f z =的切线正向,可由原象曲线C 在点0z 的切线

正向旋转一个角0arg '()f z 得出:0arg '()f z 仅与0z 有关,而与过0z 的曲线C 的选择无关,称为变换()w f z =在点0z 的旋转角这也就是导数辐角的几何意义.

（7.2）说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比的极限是

0'()R f z =，它仅与0z 有关,而与过0z 的曲线C 之方向无关,称为变换()w f z =在点0z 的

伸缩率.这也就是导数模的几何意义.

上面提到的旋转角与C 的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C 的方向无关这个性质,称为伸缩率不变性.

从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示()w f z =将0z z =处无穷小的圆变成0w w =处的无穷小的圆,其半径之比为0'()f z .

上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性. 经点0z 的两条有向曲线1C 、2C 的切线方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角.设

(1,2)i C i =在点0z 的切线倾角为(1,2)i i ϕ=；i C 在变换()w f z =下的象曲线i Γ在点00()w f z =的切线倾角为(1,2)i i ψ=，则由（7.1）有

11a ϕψ-=及22a ϕψ-=

即有 1122ϕϕψ-=ψ- 所以 1212 ϕϕδψ-ψ=-=

这里12ϕϕ-是1C 和2C 在点0z 的夹角（反时针方向为正），12ψ-ψ是1Γ和2Γ在象点

00()w f z =的夹角（反时针方向为正）.由此可见，这种保角性既保持夹角的大小，又保持

夹角的方向（图7.2）.

图7.2

定义7.1 若函数()w f z =在点0z 的邻域内有定义,且在点0z 具有: (1)伸缩率不变性；

(2)过0z 的任意两曲线的夹角在变换()w f z =下,既保持大小，保持方向；