向量内积、外积和混合积
高等数学高数课件 8.3数量积、向量积、混合积
的单位向量.
解
i j k i j c a b ax a y az 3 2
k
4 10 j 5k,
bx by bz 1 1 2
| c | 102 52 5 5,
c
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
例7 在顶点为 A(1,1,2)、B(5,6,2) 和 C(1,3,1)
的三角形中, 求 AC 边上的高 BD.
解 AC 0,4,3, AB 4,5,0,
三角形 ABC 的面积为
S
Hale Waihona Puke 1 2|AC
AB
|
1 2
152
122
162
25 2
,
又
S
1 2
|
AC
|
|
BD
|,
|
AC |
42 (3)2 5,
所以
25 2
1 2
5
|
BD
|,
从而 | BD | 5.
例8
设向量
m
,
n,
p
两两垂直,
符合右手规则,
且
| m | 4,
2
3 .
(3) a b | b | Pr jba,
4 Pr
jba
a b |b |
3.
例2
证明向量
c
与向量
(a
c
)b
(b
c )a
垂直.
证 [(a c )b (b c )a] c
[(a c )b c (b c )a c]
(b c )[a c a c]
ax j ax
bx
bx
2.2向量的内积,向量积与混合积 第三章向量的线性相关性与向量空间 线性代数 课件
0 [ a c ( ) b ( b c ) a ] c
P 4例 8 2 .2 .2 设 , 为任 ,证 意 明
| | | | | |
i j k, i j j k k i 0 ,
|i | | j | |k | 1 ,
i i j j k k 1 . a b a x b x a y b y a z b z
数量积的坐标表达式
a b |a |b ||co csos ab, |a||b|
设
a a x i a y j a z k , b b x i b y j b z k ,
c c x i c y j c z k ,
(a,b,c) (a b )c
a b
x x
ay by
az bz
cx cy cz
混合积的坐标表达式
关于混合积的说明：
〔1〕向量混合积的几何意义：
(
a
,
b
向
,c
量
)
的混
(a
合
积
b)c
是
这
样 值
的 表
一 示
个 以
数 向
， 量
a它 、的b
绝、对c
abc
a
b
为棱的平行六面体的体
（ (积23). ）a (三 ,b 向 ,c量 ) a(、 a b b 、 )cc 共 面(b c ) (a a , b ( ,c c ) a ) 0.b .
c 的 方 向 既 垂 直 于 a ， 又 垂 直 于 b ， 指 向 符
合 右 手 系 . 向量积也称为“叉积〞、“外积〞.
内积外积混和积
例： 证明一： 由定义
证明二：
35
例： 证明：
36
设 ( x1, y1, z1 ), ( x2 , y2 , z2 )
18
( x1, y1, z1 ), ( x2 , y2 , z2 )
( x1i y1 j z1k) ( x2i y2 j z2k) （自己算）
( y1z2 z1 y2 )i (z1 x2 x1z2 ) j ( x1 y2 y1 x2 )k
F
S
解: 根据物理知识，F 可以分解成水平方向分力Fx 和垂直方向分力 Fy 。其中只有与位移平行的分力
Fx 作功，而 Fy 不作功。
于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ
为反映这一类物理现象，引入向量的内积。
3
内积及其运算规律
定义 两个向量α与β的内积是一个数，它等于
这两个向量的长度与它们夹角θ=(α，β)余弦的乘
x1 y2i j y1 y2 j2 z1 y2k j
x1z2i k y1z2 j k z1z2k 2
9
x1 x2 y1 y2 z1z2
(2) 2 x12 y12 z12 x12 y12 z12
(3) cos
解法一： (i 2 j) 2k
2i k 4 j k
2 j 4i
i jk
解法二： (i 2 j) 2k 1 2 0
00 2
20 10 12
i
j
k
02 02 00
4i 2 j
20
例: 求以 A(1, 2, 3) ， B(2, 0, 5) ， C(3, 0, 1) 为顶点的三 角形ABC的面积.
5-4内积、外积、混和积
a 2 135 例 设向量 a 的方向角分别为 60 120
求 a的坐标. 解
a1 cos a
a2 cos a a3 cos a
a1 a cos 2cos60 1
a2 a cos
2cos120 1
a3 a cos 2cos135 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
证 P P ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 1 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
(3) 两向量夹角的余弦公式
a (1, 1, 2)
例 已知向量 OA {1, 1, 2}和 OB {3, 1, 1} ,求向量 AB 的 方向余弦.
解 因为 AB 2, 2, 1 设其方向角是α,β,γ 又 AB ( 3 1)2 (1 ( 1))2 (1 2)2 3 所以
S 解 F 可以分解成水平方向分力Fx和垂直方向分力Fy , 其中只有与位移平行的分力Fx作功,而Fy不作功. 于是功 W=|F|cosθ |S|=|F| |S| cosθ 为反映这一类物理现象,引入向量的数量积.
1. 数量积的定义
定义 两个向量α与β的数量积是一个数,它等于这两个向量的模
与它们夹角余弦的乘积,记为
0 1 a 1 (a , a , a ) a1 a2 a3 a , , 1 2 3 a a a a a
(cos , cos , cos )
0 a 为与 a同方向的单位向量
空间的每一个向量都可以由它的模与方向余弦(或方向角)决定,特 别地,单位向量的方向余弦等于它的坐标.
8.4 向量的内积、外积、混合积
(a b a c b b b c ) (c a ) (a b a c b c ) (c a ) (a b ) c (a b ) a (a c ) c (a c ) a (b c ) c (b c ) a (a b ) c (b c ) a 2( a b ) c
4º 向量外积的坐标计算 设 a { a1 , a 2 , a 3 }，b { b1 , b2 , b3 } , 则 a b ( a1i a 2 j a 3 k ) ( b1i b2 j b3 k )
C F OP s in(OP ,ˆ F )
C
方向: ( OP , F , C ) 形成右手系 于是力矩 C 可表示为:
C OP F
O
P
F
a b 的几何意义 :
b
a b a b sin( a ,ˆ b )
以 a , b 为邻边的平行四边形的面积
（4）
1 (3) a a a a1 a1 a 2 a 3
2 2 2
1 a12 a 2 2 a 3 2 i a2 a1 a 2 a 3
2 2 2
( a1i a 2 j a 3 k ) j a3 a1 a 2 a 3
j
(4) 如果 a , b 0 , 则 a
b ab 0
(5)
i j k , jk i , ki j
k
1.3向量的乘积运算
(1) 因为 BA AC 2 2 4 0,
所以BA⊥AC ,即ABC是直角三角形.
(2) 因为
cos B BA BC 2 1 8 , BA BC 3 18
1 ，（注意向量的方向及夹角）
所以 ∠B .
2
4
1.3.2 向量的外积 (Exterior Product of Vector)
=6a2-4a·b+4a·c+3a·b-2b2+2b·c-3c·a+2c·b-2c2
=6a2-2b2-2c2-a·b+a·c+4b·c.
3) 向量内积的坐标运算
下面在直角坐标系下,推导两个向量内积的坐标表示式.设
a (ax , ay , az ) axi ay j azk, b (bx , by , bz ) bxi by j bzk , 根据内积的运算规律可得
由此推出 i j j k k i 0, i i j j k k 1
两个向量的内积满足下列运算规律：
(1) 交换律 a b b a；
根据定义有 a b a b cos(a,b), ba b a cos(b,a).
而
a b b a ，且 cos (a, b) cos (b, a).
a b a b cos, (a, b).
注意：两向量的内积是一个数量.
2) 向量内积的性质
由内积的定义可以得到以下结论：
(1) (内积的几何意义) a b a Prjab b Prjba ,特别地,若e
为单位向量,则 a e Prjea； (2) (模长公式)a a a2 a 2 ； 这是因为夹角 0 ,所以 a a | a |2 cos 0 a 2 .
高等数学 第八章 第二节 数量积 向量积 混合积
5
第八章 第二节
16
例6 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B(3 , 4 , 5 ) , C( 2 , 4 , 7) ,求三
角形 ABC 的面积。
解: 如图
B
S ABC
=
1 2
AB
AC
sin
= 1 AB AC
A
C
2
i jk
= 1 2 2 2 = 1 (4 , − 6 , 2)
2
2
124
且 | m |= 4 , | n |= 2 , | p |= 3 ，计算 (m n) p 。
第八章 第二节
19
内容小结
1 向量的数量积 (结果是一个数量) ； 2 向量的向量积 (结果是一个向量) ； 3 数量积的坐标表示(对应坐标乘积之和) ； 4 向量积的坐标表示(行列式) ；
5 向量垂直的充要条件 (数量积为零) ；
= axbx + a yby + azbz
数量积的 坐标表达式 a b = (ax , a y , az ) (bx , by , bz )
= axbx + a yby + azbz
第八章 第二节
6
a
b
=
a x bx
+
a yby
+
azbz
a ⊥ b axbx + a yby + azbz
b
证: 如图， 设
CB = a , CA = b , AB = c
c B
C
aห้องสมุดไป่ตู้
则
c
2
=
cc
= (a − b)(a − b)
=
空间向量(内积、外积、混和积)
1
向量的内积
向量是一个具有很强的物理背景的概念，尤 其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用，
要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的
关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了， 还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的
一种乘法。
2
例: 物体放在光滑水平面上，设力 F以与水平线成θ角的方向作用于 物体上，物体产生位移S，求力F 所作的功。
D(4, 1, 2) 为顶点的四面体的体积。
以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积 分析: 是以三角形ABC为底面，AD为棱的三棱柱体 积的2倍，而四面体的体积是三棱柱体积的三
分之一。 所以，D-ABC的体积 VD ABC 可用混合积求
出。
32
解： 构造向量
AB (3,0,3), AC (1,1,2), AD (4,1,0),
F
S
解: 根据物理知识，F 可以分解成水平方向分力 Fx 和垂直方向分力 F y 。其中只有与位移平行的分力 Fx 作功，而 F y 不作功。 于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ 为反映这一类物理现象，引入向量的内积。
3
内积及其运算规律 定义 两个向量α与β的内积是一个数，它等于
( ) ( )
5
例： 用向量证明余弦定理 证明：
B
A
C
即 AB AC BC 2 AC BC cos
2 2 2
6
例： 证明：直径所对应的圆周角为直角.
C
证明：
A
O
B
因此
所以
7
例： 证明：
向量等积线定理证明
向量等积线定理证明三维向量外积（即矢积、叉积）可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：a ×b = |a|·|b|·Sin<a, b>.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。
有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。
我们假定已经知道了：1）外积的反对称性：a ×b = - b ×a.这由外积的定义是显然的。
2）内积（即数积、点积）的分配律：a·(b + c) = a·b + a·c,(a + b)·c = a·c + b·c.这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。
3）混合积的性质：定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明：i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
从而就推出：ii) (a×b)·c = a·(b×c)所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).由i)还可以推出：iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)我们还有下面的一条显然的结论：iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a 必为零矢量。
下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有r·(a×(b + c))= (r×a)·(b + c)= (r×a)·b + (r×a)·c= r·(a×b) + r·(a×c)= r·(a×b + a×c)移项，再利用数积分配律，得r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。
向量的外积与混合积
向量运算：外积与混合积在数学和物理学领域中，向量是一种重要的概念，它可以表示物理量的大小和方向。
向量的运算包括加法、数乘、内积、外积和混合积，其中外积和混合积是两种比较复杂的运算。
外积（叉乘）外积，又称叉乘或向量积，是两个向量之间的一种运算。
对于给定的两个三维向量$\\vec{a}$和$\\vec{b}$，它们的外积定义为一个新向量，记为$\\vec{a}\\times \\vec{b}$。
外积的计算公式如下：$$ \\vec{a} \\times \\vec{b} = \\begin{pmatrix} a_{1} \\\\ a_{2} \\\\ a_{3}\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} b_{1} \\\\ b_{2} \\\\ b_{3}\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2} \\\\ a_{3}b_{1} -a_{1}b_{3} \\\\ a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \\end{pmatrix} $$在物理学中，外积经常用于描述两个向量之间的叉乘关系，并常用于计算力矩等物理量。
混合积（点乘）混合积，又称点乘或数量积，是三个向量之间的一种运算。
对于给定的三个向量$\\vec{a}$、$\\vec{b}$和$\\vec{c}$，它们的混合积定义为一个标量（纯数量），记为$\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c})$。
混合积的计算公式如下：$$ \\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c}) = \\vec{a} \\cdot \\vec{d} =a_{1}d_{1} + a_{2}d_{2} + a_{3}d_{3} $$其中，$\\vec{d} = \\vec{b} \\times \\vec{c}$ 是$\\vec{b}$和$\\vec{c}$的叉积所得的向量。
向量的内积 外积 混合积课件
AMB . 解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1)
则 cos AMB MA MB MA MB
100 1
22 2
故
AMB
3
A
B M
例3. 设均匀流速为 v 的流体流过一个面积为 A 的平
面域 , 且 v 与该平面域的单位垂直向量 n 的夹角为 ,
求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为 ) .
解: P A v cos
n 为单位向量
A vn
v n
A
单位时间内流过的体积
A v cos
例
4
已知a
(1,1,4) ，b
(1,2,2)，求（1）
a ·b ；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影.
v a r sin
v a
M
且 r v 符合右手法则 v r
lr
O
三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b ) c 记作 a, b,c
ab
为 a , b , c 的混合积 . 几何意义
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
例11. 证明四点 A(1,1,1), B( 4,5, 6 ),C( 2,3 ,3),
D(10,15,17 ) 共面 .
解: 因 [ AB , AC , AD ]
3 45
1 2 2 0 9 14 16
A
B C
D
故 A , B , C , D 四点共面 .
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ) , c (cx , cy , cz )
向量内积、外积和混合积
向量内积、外积和混合积1 点乘1.1 定义点乘，也叫向量的内积、数量积。
两个向量的点乘结果是一个标量，不妨假定向量为a b 、，则点乘大小为： cos ,a b a b a b =<>令cos ,a b θ<>=，则[]0,θπ∈。
1.2 坐标表示设a =（x1,y1,z1）,b =（x2,y2,z2），则：121212a b x x y y z z =++1.3 几何意义点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。
1.4 应用（1）计算两个矢量的夹角，取值范围为[]0,θπ∈。
这里有两个特殊值，当点乘为零时，则表示两个向量垂直；点乘取最大值（等于两个向量模的乘积）时，表示两个向量平行；（非零向量）（2）如果两个矢量均为单位矢量（即模为1），则点乘结果表示夹角余弦；（3）如果其中一个矢量是单位矢量，则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影；（4）从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号（>0）多边形在视点背面看不到应 删除。
（<0）多边形在视点的正面能看到。
（5）求平面外一点到平面的距离。
从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。
（6）方向角与方向余弦。
方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。
设于x, y, z 轴的夹角分别为,,αβγ，则：222cos ,cos ,cos cos cos cos y x za a a a a a αβγαβγ===++如果是单位向量，则()0cos ,cos ,cos a αβγ=。
2 叉乘2.1 定义叉乘，也叫向量的外积、向量积。
两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为c （x3,y3,z3）。
向量c 的方向与a,b 所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。
向量内积、外积和混合积
向量内积、外积和混合积
向量的内积和外积在计算方式、几何意义以及各自的性质上都有区别。
具体如下：
1、计算方式不同
向量的内积（点乘／数量积），是对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作；向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
2、几何意义不同
内积（点乘）的几何意义包括：表征或计算两个向量之间的夹角；向量在a向量方向上的投影；在三维几何中，向量a和向量b 的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
3、性质不同
内积性质：a^2≥0；当a^2=0时，必有a=0.（正定性）；
（λa+μb)×c=λa×c+μb×c，对任意实数λ，μ成立（线性）；cos∠（a，b)=a×b/(|a|×|b|)；|a×b|≤｜a||b|，等号只在a与b共线时成立。
向量外积的性质：a×b=-b×a（反称性）；（λa+μb)×c=λ（a×c)+μ（b×c)（线性）。
4向量的内积、外积、混合积
2. 外积的的直接应用
(1).定理1: 两个向量 a , b 共线 a b 0.
特别地 , 如果 a 0,向量 b 沿向量 a 方向的正交分解为 b b1 b2 , 其中b1 // a , b2 a.则a b a b2 .
5i 6 j 3k 25 36 9
5 70
i
6 70
j
3 70
k.
例2. 已知向量 a (1,2,3), b ( 2,1, 2)求 a , b的夹角.
解 : cos a , b
a b ab
226 12 9
1 3
.
例3. 向量 a (1, 1,2), e (1,1,1)求 a在 e上的射影 .
3. 用直角坐标计算向量的内积
(1)定理 3 : 设向量 a , b 在直角坐标系 [O ; i , j , k ]下的坐标分别为 ( a1 , a 2 , a3 ) 与 (b1 , b2 , b3 ), 则它们的内积为 : a b a1b1 a 2 b2 a3b3 .
即 : ( a , b , c ) (b , c , a ) ( c , a , b ) (b , a , c ) ( c , b , a ) ( a , c , b ).
由定理 3, 显然有结论 : 推论 : ( a b ) c a (b c ).
1. 向量的射影与正交分解
a
O
A
a2
A
e
l
a1
(2)正交分解
向量的积题型-概述说明以及解释
向量的积题型-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述向量的积是高中数学中的一个重要概念，也是解决几何与代数问题的基础。
在数学中，我们常常遇到需要计算两个向量的积的情况，例如内积和外积。
内积也被称为点积，是两个向量乘积的数量积，结果是一个标量。
外积也被称为叉积，是两个向量乘积的向量积，结果是一个向量。
在几何中，向量的积有很多重要的应用。
内积可以用来求解向量的长度、夹角以及判定两条线段是否相交。
外积可以用来求解平面的面积、法向量等几何问题。
在物理中，向量的积还有更广泛的应用，例如力矩、磁场等。
本文将围绕向量的积这一主题展开讨论。
首先，我们将介绍内积和外积的定义和性质，包括计算公式和几何意义。
然后，我们将详细讨论内积和外积在几何和物理中的具体应用。
最后，我们将总结向量的积的重要性，并展望未来在数学和科学领域的应用前景。
通过深入学习向量的积的知识，我们可以更好地理解几何和代数问题，并能够灵活运用向量的积解决实际问题。
不仅如此，向量的积还是数学和物理领域中的基础概念，对于进一步学习和研究相关领域具有重要意义。
在接下来的正文部分，我们将逐一介绍向量的积的各个方面，包括内积和外积的定义、性质以及应用。
希望读者通过阅读本文，能够对向量的积有一个全面的了解，进一步提升数学水平和问题解决能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构部分的主要目的是介绍整篇文章的组织和布局，让读者能够清楚地了解文章的主要部分和内容安排。
本文的结构如下：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。
在这一部分，我们将简要介绍本篇文章的主题和目的，并概述各个章节的主要内容。
第二部分是正文，包括第一个要点和第二个要点。
在这一部分，我们将详细介绍向量的积题型的相关知识和技巧。
第一个要点将重点介绍某一种特定类型的向量积题目，并提供解题方法和实例。
第二个要点将介绍另一种类型的向量积题目，同样提供解题方法和实例。
通过这两个要点的介绍，读者将对向量的积题型有一个全面的了解。
向量的内积、外积、混合积
$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot (mathbf{c} times mathbf{d}) = mathbf{a} cdot (mathbf{c} times mathbf{d}) + mathbf{b} cdot (mathbf{c} times mathbf{d})$。
向量的内积、外积、混合积
目录
CONTENTS
• 向量内积 • 向量的外积 • 向量的混合积 • 向量内积、外积、混合积的应用
01
CHAPTER
向量内积
定义
向量内积定义为两个向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$的数量积，记作 $mathbf{a} cdot mathbf{b}$。其计 算公式为：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$之间的夹角。
04
CHAPTER
向量内积、外积、混合积的 应用
在解析几何中的应用
计算向量的模
向量的模可以通过内积计算，即 $mathbf{u} cdot mathbf{u} = |mathbf{u}|^2$。
判断向量是否垂直
两个向量垂直当且仅当它们的内
积为0，即$mathbf{u}
cdot
mathbf{v} = 0$。
当两个向量正交时，它们的内积为0 。
向量的内积满足交换律和分配律，即 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$和 $(mathbf{a} + mathbf{c}) cdot mathbf{b} = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{c} cdot mathbf{b}$。
向量定理七个公式
向量定理七个公式向量定理是线性代数中的重要内容，它涉及到向量的加法、减法、数量乘法、内积、外积等基本运算。
以下是向量定理的七个重要公式：1.向量的加法和减法：对于向量a和b，它们的和可以表示为a+b，差可以表示为a-b。
这两个运算满足交换律和结合律。
交换律：a+b=b+a，a-b≠b-a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，(a-b)-c≠a-(b-c)注意：向量的加法可以通过将两个向量的相应分量相加来实现，向量的减法可以通过将被减向量的分量取负后与减向量的分量相加来实现。
2.向量的数量乘法：对于向量 a 和标量 k，a 乘以 k 表示为 ka。
这个运算满足结合律、分配律和乘法单位元。
结合律：k(ka) = (k·k)a分配律：k(a + b) = ka + kb乘法单位元：1·a=a注意：向量的数量乘法可以通过将向量的每个分量乘以标量k来实现。
3.向量的数量积（内积）：对于向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积有以下性质：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
这个公式的含义是，两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值之积。
注意：向量的数量积可以通过将两个向量的相应分量相乘后相加来实现。
4.向量的向量积（叉积）：对于向量 a 和 b，它们的向量积表示为a×b。
它的模长等于，a，b，sinθ，方向垂直于 a 和 b 所在平面，按右手定则确定。
叉积有以下性质：a×b=-b×aa×(b+c)=a×b+a×c(ka)×b = a×(kb) = k(a×b)a×b=0当且仅当a和b共线注意：向量的叉积可以通过求得两个向量所在平行四边形的面积来实现。
5.向量的混合积：对于向量a、b和c，它们的混合积表示为a·(b×c)。
线性代数上10向量乘积
α×β =
x2 y2
x3 y3 x2
i−
x1 y1 z1 −
x3 y3 x1 y1
j+
x1 y1
x2 y2
k, x2 y2 z3
y2 z1 ∴ (α , β , γ ) = x1 y1
(α × β ) ⋅ γ =
x3 y3 z2 x2 y2
x3 y3
z2 +
x2 y2 z2
x1 y1 x3 y3 z3
(
)
5
3. 内积的应用 利用内积求长度. α ⋅β α ⋅β = (2) cos θ = 利用内积求夹角. 2 2 | α || β | α β
(3)α , β 垂直 ⇔< α , β >=
(1) | α |= α 2
π
2
, 记为 α ⊥ β .
α ⊥ β ⇔ α⋅β = 0.
在直角坐标系 {O; i, j, k} 下夹角的计算： 两向量 α = ( x1 , x 2 , x 3 ), β = ( y1 , y2 , y3 ) 夹角：
e11e22e33是一个空间仿射坐标系记332211321exexexxxx123112233yyyyeyeye利用内积的性质有112233112233xexexeyeyeye111112121313xyeexyeexyee212122222323xyeexyeexyee313132323333xyeexyeexyee111212313123121222323131232333yeeyeeyeexxxyeeyeeyeeyeeyeeyee??????????4111212313123121222323131232333yeeyeeyeexxxyeeyeeyeeyeeyeeyee??????????111213112321222323132333eeeeeeyxxxeeeeeeyeeeeeey????????????????????111213212223313233eeeeeeaeeeeeeeeeeee??????????112233xy称为仿射坐标系的度量矩阵
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向量内积、外积和混合积
1 点乘
1.1 定义
点乘，也叫向量的内积、数量积。
两个向量的点乘结果是一个标量，不妨假定向量为a b 、，则点乘大小为： cos ,a b a b a b =<>
令cos ,a b θ<>=，则[]0,θπ∈。
1.2 坐标表示
设a =（x1,y1,z1）,b =（x2,y2,z2），则：
121212a b x x y y z z =++
1.3 几何意义
点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。
1.4 应用
（1）计算两个矢量的夹角，取值范围为[]0,θπ∈。
这里有两个特殊值，当点乘为零时，则表示两个向量垂直；点乘取最大值（等于两个向量模的乘积）时，表示两个向量平行；（非零向量）
（2）如果两个矢量均为单位矢量（即模为1），则点乘结果表示夹角余弦；
（3）如果其中一个矢量是单位矢量，则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影；
（4）从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号（>0）多边形在视点背面看不到应 删除。
（<0）多边形在视点的正面能看到。
（5）求平面外一点到平面的距离。
从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。
（6）方向角与方向余弦。
方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。
设于x, y, z 轴的夹角分别为,,αβγ，则：
222cos ,cos ,cos cos cos cos y x z
a a a a a a αβγαβγ=
==++
如果是单位向量，则()0cos ,cos ,cos a αβγ=。
2 叉乘
2.1 定义
叉乘，也叫向量的外积、向量积。
两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为c （x3,y3,z3）。
向量c 的方向与a,b 所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。
大小为：
sin ,c a b a b =<>
令sin ,a b θ<>=，则[]/2,/2θππ∈-，指的是a 到b 的夹角，具有方向性。
2.2 坐标表示
c =（x3,y3,z3）=（y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2）
，矩阵表示为
111222,,,,,,i j k
c a b x y z x y z =⨯=
2.3 几何意义
大小为以向量a 和b 为相邻两边的平行四边形所围的面积。
2.4 应用
（1）已知三角形三个顶点坐标，可以用叉乘计算三角形面积；
（2）物理学中，已知力和力臂，则可用叉乘求力矩；
（3）判断两向量夹角的正负，即方向性。
（4）判断两个向量的关系。
叉乘为0时，平行；最值时，垂直。
（非零向量） 3 混合积 3.1 定义
向量()a b c ⨯即混合积，记作()
,,a b c ，结果是标量。
混合积正负的判断方法：混合积 (a,b,c) 的符号是正还是负取决于 ∠ (a×b ， c ) 是锐角还是钝角，即 a×b 与 c 是指向 a ， b 所在平面的同侧还是异侧，这相当于 a ， b ， c 三个向量依序构成右手系还是左手系。
3.2 坐标表示 ()1,1,12,2,23,3,3
x y z a b c x y z x y z ⨯=
3.3 几何意义
混合积的绝对值表示以,,a b c 为棱的平行六面体的体积。
3.4 应用
（1）求平行六面体或四面体（六分之一六面体体积）的体积；
（2）判断三个向量是否共面。
,,a b c 共面的充要条件是()
,,0a b c =；
（3）判断四点是否共面。
四点共面的充要条件是
不妨设一点坐标(),,,1,2,3,4xi yi zi i = 1,1,1,1
2,2,2,1
03,3,3,1
4,4,4,1
x y z x y z x y z x y z =。