直线圆锥曲线与向量的综合问题

直线圆锥曲线与向量的综合问题

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知识要点：

1．直线与圆锥曲线的公共点的情况

00

),(0

2=++⇒⎩⎨

⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0

,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交

（3）两个公共点 → 0,0>∆≠A

2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常

用的弦长公式：1212AB x y y =-=- 3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量容

（1） 给出直线的方向向量或；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线. （6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。

（8）给出,等于已知是的平分线。

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在中，给出等于已知通过的心；

（15）在中，给出等于已知是的心（三角形切圆的圆心，三角形的心是三角形三条角平分线的交点）；

（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;

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主要题型：

1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；

4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。

近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为

（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。

（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。

高考真题

1.[2012·卷] 若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．．arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率．

由已知可得直线的斜率k×

1

－2

＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan2.

2.[2012·卷] 如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．

图1－3

(1)求该椭圆的离心率和标准方程；

(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．

解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．

因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c

2

.结

合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝2

5

5.

在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故

S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c

2·b ＝b 2.

由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.

因此所求椭圆的标准方程为： x 220＋y 2

4

＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.

设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此

y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16

m 2＋5

，

又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →

＝(x 2－2，y 2)，所以 B 2P →·B 2Q →

＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2

＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16

＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2

m 2＋5＋16

＝－16m 2－64

m 2＋5

，

由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →

＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.

3 [2012·卷] 设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .

(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k >0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)如图(1)，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，

可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m

|y |.①因为点A 在单位圆上运动，所以x 20＋y 2

0＝1.

②

将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y

2

m

2＝1(m ＞0，且m ≠1)．

因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；