《勾股定理》 教材分析

第十七章 《勾股定理》教材分析

北京四十一中 陶春霞

一、本章教材在学习中地位：

本章主要内容是勾股定理及其逆定理。勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”. 它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系， 使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式.

勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系,是后续学习解直角三角形、余弦定理的基础，是三角形知识的深化, 他紧密联系了数学中最基本的两个量——数和形，能够把形（直角三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足222c b a =+），既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想.

二、本章知识结构框图：

三、课时安排：

本章教学时间约需9课时，具体安排如下：(仅供参考)

17．1 勾股定理 4课时 17．2 勾股定理的逆定理 3课时 数学活动

小 结 2课时

四、目标要求

课标要求：

1、经历探索勾股定理的过程，进一步发展自身合情推理意识和主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系。

2、理解直角三角形三边之间的数量关系，有意识地发现自己说理和简单推理的能力。

3、可以运用勾股定理解决一些实际问题，并通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会它的文化价值。

中考要求：

1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。（A 级）

2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。（B 级）

3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立。（A 级）

学习目标：

1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题.

2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

3、通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

五、本章教法建议：

1、让学生体验勾股定理的探索和运用过程

教材安排从传说故事引入对勾股定理的探索，以及先从特殊的等腰直角三角形入手，直到让学生利用勾股定理解决三个问题（1是木板进门的问题，2是梯子滑动问题， 3是探

，意在不仅激发学生学习的兴趣、降低难度鼓励学生认识规律，更是激励学生主动体验勾股定理的探索和运用过程的精神.

2、结合具体例子介绍抽象概念

本章无论勾股定理还是勾股定理逆定理的研究都体现着由抽象到具体的思维过程. 在勾股定理逆定理的一节中，从古代埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些直角三角形，可以猜想出如果三边长222

,,a b c a b c +=满足，那么这个三角形显然是直角三角形，即教科书的命题2.命题2的条件、结论与上一节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题、逆定理的概念.

3、注重介绍数学文化

在教学中，注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣. 人们对勾股定理的证明进行了大量的研究，这些证明不仅证出了定理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展. 除正文介绍的有关内容外，教科书在P30“阅读与思考 勾股定理的证明”中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了数学活动P36鼓励学生收集一些证明方法与同学交流。特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生的爱国热情，培养他们的民族自豪感，为将来担负起振兴中华的重任打下基础.

4、渗透勾股定理的应用意识

教材安排了大量的勾股定理在实际中广泛应用的实例，让学生感受运用勾股定理可

以解决很多问题. 并且在以后学习了四边形、圆及一元二次方程后，应用的范围就更大了.

六、关注本章的数学思想

1、方程思想的运用

初中代数很多问题都是可以通过列方程、利用解方程的方法得到解决，因此重视方程思想的运用，对提高解题能力具有重要的意义. 如： 已知:如图，矩形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在同一

平面内C '处，BC '与AD 交于点E ，AD=8，AB =4，求DE 的长.

2、分类与整合思想

如：作高分类 已知：△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC 边的长应为多少？

3、突出数形结合思想

1.勾股定理本身和应用就是数形结合的定理

2.它的验证体现了数形结合的思想，数量关系转化到几何图形中去，运用勾股定理可以顺利解决某些具有平方特征的代数问题，反之亦然.

如:如图是用硬纸板做成的四个全

等的直角三角形，两直角边长分别

是a b ，，斜边长为c 和一个边长

为c 的正方形，请你将它们拼成一

个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意

图．

（2）证明勾股定理．

4、转化与化归思想 在运用数形结合思想考虑问题时，既可把数量关系的问题转化为图形的问题来解决，也可以把图形的问题转化为数量关系的问题来处理. 同时，构造直角三角形化非直角三角形问题为直角三角形，体现了化归思想.

c b a c b a

c b a c b a c c

八、具体教学建议：

§18.1、勾股定理

1、勾股定理

（1） 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2） 表示方法：如果直角三角形两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222a b c +=

2、勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2

ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三

角形的面积与小正方形面积的和为221422

S ab c ab c =⨯+=+，大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222

ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 (方法一) (方法二) (方法三)

注：《教师用书》勾股定理拓展里面介绍了我国清末数学家华蘅芳等的精彩的证法。

3、勾股定理的应用

（1） 已知直角三角形任意两边的长，利用勾股定理可求出第三边长；

（2） 知道直角三角形某一边长，可得另两边之间的数量关系；

（3） 可运用勾股定理解决一些实际问题

（4） 勾股定理可以证明线段相等。

4、需要注意的问题：

（1）运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算. 例：已知在△ABC 中，,,a b c 分别是A ∠、B ∠，C ∠的对边，且3,4a b ==，且b c <。若c 为整数，则c = 分析：解法易受“勾三、股四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目

c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

a

b

c c b a E D C B A