三线合一基本图形及其应用.doc
等腰三角形的三线合一”定理应用
等腰三角形的三线合一”定理应用全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两条边长度相等。
在等腰三角形中，存在一个重要的定理，即“等腰三角形的三线合一”定理。
这个定理指出，在一个等腰三角形中，等腰线、中位线和高线三条线段会共点于一个点，这个点被称为三角形的垂心。
等腰三角形的三线合一定理在几何学中有着重要的应用。
通过这个定理，我们可以推导出很多三角形的性质，并且可以帮助我们解决一些几何问题。
下面我们将通过几个具体的例子来展示等腰三角形的三线合一定理的应用。
我们来看一个简单的例子。
设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是边AC的中位线，E是边BC的中点，连接DE。
我们要证明线段BD 与CE相交于垂心H。
根据等腰三角形的性质，我们知道角B和角C是等的，所以三角形ABC是等腰的。
根据等腰三角形的三线合一定理，我们知道线段BD、CE和AH相交于一个点H，即三角形ABC的垂心。
接下来，我们可以利用这个性质来解决几何问题。
我们可以通过这个定理来证明等腰三角形的顶角相等，或者计算等腰三角形的面积等等。
第二篇示例：等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，其特点是具有对称性和稳定性，是几何学中常见的形状之一。
在等腰三角形中，有一定的定理和性质可以应用，在解决几何问题时起到重要作用。
本文将重点介绍等腰三角形的三线合一定理及其应用。
一、三线合一定理的概念在等腰三角形中，连接等腰三角形顶点与底边中点的直线被称为等腰三角形的三线合一。
三线合一定理指的是在等腰三角形中，三条线段的端点在同一直线上。
这是等腰三角形的一个重要性质，可以通过几何推理和证明加以验证。
假设在等腰三角形ABC中，AB=AC。
连接顶点A与底边BC的中点D，并将直线AD延长至E点。
因为AD是BC的中线，根据中线定理可知AD=DC。
又因为ABC 为等腰三角形，所以AB=AC，由此可得BD=DC。
考虑△ADE和△ACD，根据两边相等、夹角相等、以及对应边角对应相等的条件可以得出△ADE≌△ACD。
云南省红河州弥勒县庆来学校八年级数学上册 利用三线合一解题课件 新人教版
You made my day!
我们，还在路上……
求证:
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
DC
求证: E
证明:延长△ABC的中线AD至E点,使DE=AD,连接CE.
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
（4）已知，等边三角形ABC，D是AC的中 点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。若 DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点， 请说明理由。
只要证DB=DE即可
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
交AC于D.
1
A
求证：∠DBC＝ 2 ∠BAC.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
D
B
C
在△ABC中,对于以下四个条件
①AB=AC或（∠B=∠ C）
② ∠BAD=∠CAD
A
③ AD⊥BC
④ BD=CD
我们已经知道了 ① ②
①③
怎样应用三线合一基本图形解决问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
教学设计等腰三角形的三线合一为初中数学北师大版本七年级下册第五单元第三节等腰三角形三线合一的应用。
这是学生在已经学完了全等三角形的证明后学习的，让学生通过不同方法，比较分析，得出利用“三线合一’这一定理证明的优点 。
教学背景：等腰三角形在初中几何里很常见，其中等腰三角形的性质在实际的应用中也非常普遍，尤其是等腰三角形“三线合一”这一重要定理。
等腰三角形的“三线合一”性质在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位，学生既需要知道它的由来，还要知道它的用途，同时还要善于应用添加辅助线的方法来构造三线合一的情况，即在图形不全的情况下补全“三线合一”所在的基本图形。
如果老师可以把握好等腰三角形“三线合一”性质在辅助线教学中的应用，把握好化归思想方法的渗透，将有助于学生把握解题的关键，更好地培养和发展学生的思维能力，有助于学生突破解题的难点，探索出解题的方法，从而帮助学生提高解决问题的能力。
这个性质的逆定理在证明中的直接和间接地应用也不亚于这个性质的直接应用，可以作为解决与等腰三角形有关问题的一种重要思路。
由于前面课堂上已经讲解过了它的逆命题的证明，所以这里涉及到这类问题就直接应用了，以后再强化加深对三线合一及其逆命题的印象。
学情分析：学生已经学习过了等腰三角形的定义及其性质，也掌握了等腰三角形的对称性。
在此基础上对三线合一的应用进行归纳整理。
教学目标：1、掌握等腰三角形三线合一的性质，理解逆命题的正确性。
2、明确“三线合一”定理的用途，能熟练应用该定理解决问题。
3、提高学生分析问题和解决问题的能力，强化学生的逻辑思维。
达成目标：1、在学生已经认知的等腰三角形的三线合一的基础上提高解题技巧。
2、回家后，学生可以根据自己的听课情况，利用电脑观看，帮助学生课后自主学习。
3、通过本微课的学习，提升学生对三线合一的认识，从而增加知识储备，提高综合运用能力。
教学方法：采用复习与讲练相结合的方法。
1、先熟知三线合一这一基础知识，然后进行初步的归纳总结。
三线合一解题PPT课件
A
E3 B
2
D
1
C
18
1、当题目中出现等腰三角形和“三线” 之一时，直接得到其余两线的性质，
但表达要规范； 2、当题目中没有出现等腰三角形时， 要善于发现“补形”的条件：是否能 产生“两线合一”的情境？
3、应用“三线合一基本图形”是一个重 要 的解题策略，为我们解决问题又提 供了一种手段。
4
在△ABC中,对于以下四个条件
①AB=AC或（∠B=∠ C）
② ∠BAD=∠CAD
A
③ AD⊥BC
④ BD=CD
我们已经知道了 ① ②
①③ ①④
思考： ② ③
②④
③
④
②B
D
C
①
①
③④
①
5
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:CE=ED
A
C
D
B'
E
B
9
例3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC, E在 AC上，D 在BA的延长线上，
AD=AE，连接DE．求证：DE⊥BC．
D
A
E
B
C
10
添加辅助线思路
图中AR这条线段的引出可以看成是： 1 ．过A点作DE的平行线． 2 ．过A点作BC的垂线． 3 ． ∠BAC的角平分线． 4 ． BC边的中线．
证明：∵∠1=∠2 （对顶角相等） ∠A=∠D=90° AB=CD
∴△ABF≌△DCF （AAS） ∴BF=CF ∴ △BCF是等腰三角形. 又 E是BC的中点， ∴EF是∠BFC的角平分线.
等腰三角形的“三线合一”的性质及综合运用
等腰 三角形 底边 上 的高 、底 边 上 的中线 和顶 角平 分 线
相互重合 ，我 们将 等 腰 三角形 的这 一特 性 简称 为 “三 线 要性质 之一 ．其 主要特 点
体现在认 下三个方面 ：① 等腰 三角形 的顶 角平分线 垂直 平
的性质定 理．这些性 质定 理在几何 问题中被广 泛应用 ．下 面
以近几年 来各地 的中考 试题 的改 编题 为例 ，针对 等 腰三 角
形 的“三线合一 ”的分类应用加 以阐述 ，供大家参考．
一 、 求线段最值
在解 决和线段有 关 的数学 问题 时 ，如果 可 以 同时用 全
等 三角形 和等腰 三角形 的知 识来 解决 ，则 提倡运 用 等腰 三
度 的 最 小 值 ．
Ｂ
解 析 经过 Ａ点作 ＡＰ垂直 ＢＣ于 Ｐ 点 ，已知 ＡＣ＝ＡＢ ＝５，ＢＣ＝６，根 据 等 腰
图 １
三 角形 的“三线合 一”性 质 ，可 知 ＢＣ被 ＡＰ垂 直 平分 ，得 到 ＢＰ：３，及直 角三角形 ＡＰＢ，根据勾股 定理可知 ＡＰ＝４，又 由 垂 直线段最短 ，可知当 ＢＨ垂直 于边 ＡＣ时 ，ＢＨ取最小值 ，根 据 等 面 积 法 ，可 得 ＡＪＰ ·ＢＣ＝ＢＨ ·ＡＣ，即 ４×６＝５×ＢＨ，可
合一 ”性质 、全 等三角形 的判及性质的理解 和应用．
三 、处 理 角 与角 之 间 的 关 系
在 解 答 关 于 角 之 间 关 系 的 题 目 时 ，可 以 运 用 等 腰 三 角
形 的“三线合一”性 质 ，将 题 目已知条 件与 待证 的角 的关 系
联 系到一起 ，从而简化 问题 的解 决步骤．
三线合一的条件和结论
三线合一的条件和结论1. 嘿，你知道三线合一不？那可是个挺神奇的事儿呢！啥是三线合一的条件呢？就好比等腰三角形是个舞台，当这个三角形是等腰三角形的时候啊，底边上的高、中线还有顶角平分线就有可能玩三线合一这个魔法啦。
比如说我画了一个等腰三角形的小房子，屋顶尖尖的，从顶点垂直到底边的那条线，就像一个小支柱，这条线既是这个等腰三角形小房子底边上的高，把房子撑得稳稳的；又是底边上的中线，把底边分成了两段一样长的小边边；还是顶角平分线，把那个大顶角分成了两个一模一样的小角角呢。
哇塞，这三线合一是不是很有趣呀？2. 三线合一的结论可不得了啊！你要是看到一个三角形里，一条线既是高又是中线还是角平分线，那这个三角形是啥？那肯定是等腰三角形呀，就像发现了一个小秘密一样。
我给我朋友讲这个的时候，我拿了一个三角形的小饼干，我跟他说，你看这条线就像这个小饼干里的魔法线，如果这条线能同时干这三件事，那这个饼干形状的三角形就是等腰三角形啦。
你要是不信，你可以自己拿个小纸片剪个三角形试试呀，多神奇啊！这就好像是三角形界的一个小暗号，只要看到这个暗号，就知道这个三角形的身份啦。
3. 咱来说说三线合一的条件吧。
等腰三角形就像一个特殊的小家族，在这个家族里才有机会出现三线合一的情况呢。
想象一下，等腰三角形的两条腰就像两个好兄弟，长得一样长。
这个时候啊，底边上的那条特殊的线就像一个多功能工具，在这个等腰三角形的特殊环境下，就能够集高、中线、角平分线于一身啦。
就像我在做数学题的时候，遇到一个三角形，我看到它两条边一样长，我就开始想，这里面会不会有三线合一的情况呢？就像在寻宝一样，只要看到等腰三角形这个宝藏箱的形状，就有可能找到三线合一这个宝贝呢。
4. 三线合一的结论简直是三角形世界里的一个小惊喜。
如果我发现一个三角形里有一条线特别厉害，既是把底边分成相等两段的中线，又像个小柱子一样垂直于底边是高，还像一把小剪刀把顶角平分了，那这个三角形肯定是等腰三角形啦，就像你看到一个人穿着特别的制服，你就知道他是做什么工作的一样。
“三线合一”的性质在等腰三角形中的八种应用
∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.
返回
应用
6ห้องสมุดไป่ตู้
利用“三线合一”证明角的倍分关系
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.
求证∠DBC＝
1 ∠BAC. 2
证明：过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，AF⊥BC，
1 ∠BAC. 2
∴∠CAF＝∠BAF＝
证明：如图，延长BA，CD交于点E.
∵BF平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD.
∵CD⊥BD，
∴∠BDC＝∠BDE＝90°.
又∵BD＝BD，
∴△BDC≌△BDE(ASA)．
∴CD＝ED，即CE＝2CD.
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC， ∴∠ABF＝∠DCF. 又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°， ∴△ABF≌△ACE(ASA)． ∴BF＝CE.∴BF＝2CD.
返回
应用
2
利用“三线合一”求线段长度
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝ DB，DE⊥AB于点E.若BC＝12，且
△BDC的周长为36，求AE的长．
解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝36，BC＝12，
∴BD＋DC＝24.
∵AD＝BD，
∴AD＋DC＝24，即AC＝24.
∵AB＝AC，∴AB＝24.
第13章 轴对称
双休作业(六)
2
“三线合一”的性质在等腰三角形中
的八种应用
1
2
3
4
5
6
7
8
应用
1
利用“三线合一”求角
1．如图，已知屋架的顶角∠BAC＝100°， 立柱AD垂直于横梁BC，斜梁AB＝AC.
4.2.3第2课时 等腰三角形“三线合一”
第2课时 等腰三角形“三线合一”
重难互动探究
探究问题一 运用等腰三角形“三线合一”的性质作图
例1 你能只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法画出
∠AOB(如图2－3－21)的平分线吗？请完成画图并写出画图 的方法．
[反思] 请归纳等边三角形与等腰三角形的异同点． [答案] 可从如下角度进行回答： (1)关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一 定是等边三角形．
(2)性质：①等腰三角形有两边相等，等边三角形的三边都相
等；②等腰三角形有两角相等，等边三角形的三个内角相等， 均为60°；③等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和高线 互相重合，等边三角形任意角的平分线与该角的对边上的中线 和高线互相重合．
第2课时 等腰三角形“三线合一”
[归纳总结] 画法1利用“等腰三角形底边上的中线与顶角
平分线互相重合”这一基本原理；画法2的原理是先用
SAS证明△FCD≌△GDC，得∠FDC＝∠GCD，即HC ＝HD，再用SSS证得△OHC≌△OHD，进而得OH是角 平分线．
第2课时 等腰三角形“三线合一”
探究问题二
► 学习目标2 理解等腰三角形“三线合一”的性质 2．请把等腰三角形“三线合一”的性质分解为三个命题． 解：(1)等腰三角形底边上的高线平分底边，平分顶角；(2)等
腰三角形底边上的中线垂直于底边，平分顶角；(3)等腰三角形
顶角的平分线垂直于底边，平分底边．
第2课时 等腰三角形“三线合一”
3 ．某大桥为三塔斜拉桥．如图 2 － 3 － 19 ，中塔左右两边
三线合一的知识点
三线合一的知识点
嘿，朋友！今天咱来聊聊“三线合一”这个超厉害的知识点呀！
你看啊，就拿等腰三角形来说吧。
在等腰三角形里，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，这三条线可神奇了，它们竟然是合一的哟！比如说，有个等腰三角形 ABC，AB=AC，AD 是它底边上的高，那这时候 AD 不也
是顶角∠BAC 的平分线，还是底边 BC 的中线啊！哇塞，是不是很神奇呀！
这就好像一个团队里，有个人既能当指挥，又能当主力，还能做好后勤保障一样，简直太棒了！你想想，如果没有三线合一，那得有多麻烦呀！
所以说呀，三线合一真的是非常重要呢！它让我们对等腰三角形的理解更加深入，也让我们在解决很多几何问题的时候更加得心应手。
记住它准没错啦！。
等腰三角形三线合一PPT课件
1.⊿ABC中，AD平分∠BAC， DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，试说明： EF⊥AD。
A
E
G
F
B
D
C
8
如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与BD 相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
证明：∵∠1=∠2（对顶角相等） ∠A=∠D=90 ° AB=CD
∴△ABF≌△DCF（AAS） ∴BF=CF ∴ △BCF是等腰三角形. 又 E是BC的中点， ∴EF是∠BFC的角平分线.
4 ． BC边的中线．
D A
E
B
CB
C
13
例：如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，
如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm, 求AD的长。
B
E 10cm D
A
F C
14
练习：已知：如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
求证：∠2=∠1+∠B
A
E3 B
2
D
C
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
9
2.如图，已知AB=AC，EB=EC， 结论∠ABE= ∠ACE是否正确？说明理由。
A
B
C
E
10
如图,在△ABC中,AB=AC,点D为BC的中点， DE⊥AB，垂足为Ｅ，DF⊥AC,垂足为F,试 说明DE= DF。
A 一
线
生
机
E
F
B DC
11
.已知：如图，在△ABC中，AB=AC, E 在 AC上，D 在BA的延长线上，
C
(3)BD=DC 17
三线合一的简单应用 （1）如图，已知AB=BC，D是AC的中点，
等腰三角形“三线合一”的应用举例教程文件
等腰三角形“三线合一”的应用举例精品文档例说等腰三角形的“三线合一”济宁市梁山县小路口镇初级中学李丽（适用于人教版初二版 10月刊）“三线合一”性质是等腰三角形所特有的重要性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：如图1，△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点.C图1（1）若AD是等腰△ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的高线；（2）若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD是底边BC上的高线；（3）若AD是等腰△ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的中线.由此可以看出，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们。
下面仅举几例和同学们共同见识一下“三线合一”的神通.一、证明角相等或倍数关系例1、已知：如图2，在ABC∆中，ACAB=，ADBD⊥于D．求证：∠2．=DBCBAC∠线合一”的性质证得DBC ∠等于其中任一部分即可．【证明】作BAC ∠的平分线AE ， 则有BAC ∠=∠=∠2121．∵AC AB =，21∠=∠，∴BC AE ⊥（三线合一）．∴︒=∠+∠902C ．又∵AD BD ⊥，∴︒=∠+∠90C DBC ．∴DBC ∠=∠2．∴DBC BAC ∠=∠2．【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决．二、证明线段相等例2、如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE ＝DF .B DC图3【分析】：依题意，DE 和DF 分别为点D 到∠BAC 两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D 在∠BAC 的平分线上，这只要证明AD 是∠BAC 的平分线.【证明】：连接AD .∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线.∴AD 平分∠BAC . ∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE ＝DF .【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多．因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决．三、证明线段垂直例3、如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AD ＝AE ，求证：DE ⊥BC .C FB图4【分析】：注意到△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，那么底边上的高与BC 垂直.要证明DE ⊥BC ，应先证明DE 与这条高平行.【证明】：过A 作AF ⊥BC 于F .∵AB ＝AC ，AF ⊥BC 于F ，∴AF 是等腰三角形△ABC 底边BC 上的高线.∴AF 平分∠BAC .∴∠BAC ＝2∠BAF .∵AD ＝AE ，∴∠D ＝∠AED .∴∠BAC ＝∠D ＋∠AED ＝2∠D .∴∠BAF ＝∠D ，DE ∥AF .∴DE⊥BC.【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直：（1）有一个等腰三角形；（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线．。
三线合一.doc
三线合一三线合一？提到它，人们不禁感到纳闷，"三线合一"有什么好说的，不就是中线、高线、角平分线三线合一吗！仅此而已吗？如果你如此认为，那你就大错特错了。
"三线合一"人们听起来很熟悉，但在理解中，这会觉得很陌生。
在数学中的知识：在数学中，三线合一就是单指等腰三角形中，底边的中线、高线及顶角的角平分线，这三线"合一"。
但同时，"三线合一"又是一种判定等腰三角形的方法，有时，我们为了做与等腰三角形的方法。
有时，我们为了做与等腰三角形有关的证明题，也可以做一条底边上的中线、高线、顶角的角平分线，这样，有利于证明题的突破，为三角形提供条件。
在物理学上的研究：在物理中，三线合一是最基本的概念，这在光的反射与折射中都要得到应用。
这无疑就是指入射光线、法线、反射光线三线合一，这时入射角、反射角、折射角都是0度，折射角为什么是0度呢？大多数人都用最科学的方法去想，国为入射角是0度，折射角就只能是0度，但是有另种看法的人就会说："也许是折射光线始终保持中立态度，不想动摇呢？"社会上的推广：正如折射光线一样，始终保持中立，不动摇。
现在社会上也是有这种人的，自家的亲戚闹了矛盾，保持中立，谁也不帮，这也不失为一种方法。
想那康熙年间，皇帝一心想除鳌拜，那时索尼见鳌拜势力强大，就连皇帝也不敢得罪，于是便装病保持中立态度。
看来，"三线合一"也是有些讲究的咧！2019-03-14三线合一？提到它，人们不禁感到纳闷，"三线合一"有什么好说的，不就是中线、高线、角平分线三线合一吗！仅此而已吗？如果你如此认为，那你就大错特错了。
"三线合一"人们听起来很熟悉，但在理解中，这会觉得很陌生。
在数学中的知识：在数学中，三线合一就是单指等腰三角形中，底边的中线、高线及顶角的角平分线，这三线"合一"。
三线合一巧妙应用
“三线合一”的奇妙应用教课目的 : 教课要点 : 教课难点 : 理解并掌握“三线合一”的性质 ,并能灵巧运用 . “三线合一”的性质 .“三线合一”的应用 .复习等腰三角形的性质“三线合一”是等腰三角形的重要性质,它的内容以下 :等腰三角形底边上的高、中线及顶角的均分线相互重合. 简称“三线合一”.典例精讲例 1. 如图（ 1）所示 ,在△ ABC 中, AB AC ,D 是 BC 的中点 ,过点 A 作 EF // BC , 且AE AF .求证 : DE DF .E AFAE FB D C图（ 1）BD C剖析 : 关于等腰三角形 , “遇中点 , 连中线” , 借助于“三线合一”的性质能够奇妙解题 .证明 :连接 AD.∵ AB AC ,点 D 是 BC 的中点∴AD BC∵EF // BC∴AD EF∵AE AF∴AD 垂直均分 EF∴DE DF .提示 : 线段垂直均分线上的随意一点到线段两头点的距离相等.第1 页例 2. 如图（ 2）所示 ,在△ ABC 中, AC 2 AB ,AD 均分BAC ,E 是 AD 上一点 ,且EA EC .求证 : EB AB .BD BE DEA C图（ 2） A F C剖析 : 依据条件 AC 2 AB , 增添协助线 , 利用“三线合一”的性质, 能够结构出一对全等三角形 , 最后由全等三角形的性质即可证明结论.证明 :作 EF AC .∵EA EC , EF AC∴ AF CF 1 AC2∵AC 2 AB∴AB AF∵AD 均分 BAC∴BAE FAE在△ ABE 和△ AFE 中AB AF∵BAE FAEAE AE∴△ ABE≌△ AFE（ SAS）∴ABE AFE90∴ EB AB .典题精练1. 如图（ 3）所示 ,在△ ABC 中 , A 90 , AB AC ,D为BC的中点,E、F分别是AB、AC 上的点 ,且 BE AF .求证 : DE DF .第2 页AFEB D C图（ 3）2. 如图（ 4）所示 ,在等腰直角三角形ABC 中, AB AC , BAC 90 ,BF均分ABC , CD BF 交 BF 的延伸线于点 D.求证 : BF2CD .ADFB C图（ 4）第3 页。
“三线合一”的应用
“三线合一”的应用符和利【期刊名称】《数学学习》【年(卷),期】2002(000)005【摘要】一 .什么是“三线合一”在等腰三角形中 ,顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 ,简称“三线合一” .二.“三线合一”的应用如右图 1 ,在△ＡＢＣ中,(1 )∵ＡＢ =ＡＣ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ＡＤ⊥ＢＣ ,ＢＤ =ＤＣ.(2 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＢＤ =ＤＣ,∴ＡＤ⊥ＢＣ,∠ 1 =∠ 2 .(3 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＡＤ⊥ＢＣ,∴ＢＤ =ＤＣ,∠ 1 =∠ 2 .根据以上三个推理 ,灵活运用它们 ,是解题的关键 .例 1 一个等腰三角形底边上的高为 3ｃｍ ,那么它底求证 :ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ .(2 )当Ｐ不是边ＡＢ的中点时 ,ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ是否仍然成立 ?请证明你的结论 .(北京市宣武区2 0 0 1年初中升学统一考试题 )(1 )分析 :由于Ｐ是ＡＢ的中点 ,所以ＰＡ =ＰＢ ,从而ＰＡＰＢ=1 .欲证ＰＡＰＢ =ＣＭＣＮ,只需证ＣＭＣＮ =1 ,即证ＣＭ =ＣＮ .连结ＰＣ ,因为ＡＣ =ＢＣ ,ＰＡ =ＰＢ ,根据“三线合一” ,得ＰＣ⊥ＡＢ ,ＰＣ平分∠ＡＣＢ ,即∠ＡＣＰ=∠ＢＣＰ .依题意得折痕ＭＮ⊥ＰＣ ,所以ＭＮ∥ＡＢ ,从而得∠ＣＭＮ=∠...【总页数】2页(P)【作者】符和利【作者单位】农垦东昌中学【正文语种】中文【中图分类】G63【相关文献】1.谈"三线合一"定理的运用 [J], 郑丽花2.欧姆龙健康医疗(中国):事业版图“三线合一” [J], 周玉涛3.\"三线合一\"的国土空间规划管控体系\r—南京空间规划从\"划\"到\"管\"的探索[J], 郑晓华;林小虎;沈洁4.“三线合一”的国土空间规划管控体系--南京空间规划从“划”到“管”的探索[J], 郑晓华; 林小虎; 沈洁5.等腰三角形的“三线合一”的性质及综合运用 [J], 邓俭因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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等腰三角形（3）
——三线合一基本图形及其应用【学习目标】
1.回顾和梳理“三线合一基本图形”的有关知识。
2.探索归纳——如何创设应用“三线合一基本图形”的情境。
3.通过本次探究活动，提高基本图形分析法解决几何问题的应用意识。
4.体会到几何知识的运用也是有规律可循的，减少运用几何知识时的思维盲目性。
【学习重点】探索归纳——如何创设应用“三线合一基本图形”的情境
【学习难点】应用“三线合一基本图形”
一、复习
1、等腰“三线合一”的性质
等腰三角形的、、相互重合
符号语言①：如图∵，∴
符号语言②：如图∵，∴
符号语言③：如图∵，∴
2．如图，∠A= ∠D=90°,AB=CD ，AC 与BD 相交于点F，E 是BC 的中点.
求证：∠BFE=∠CFE.
二、探究：等腰三角形“三线合一”的性质能够逆用吗？（观看微视频）
在△ABC 中,对于以下四个条件①AB=AC 或（∠B=∠C），②∠BAD= ∠CAD，③AD⊥BC
④BD=CD ，据“三线合一”有①②→③④，①③→②④，①④→②③，反之将②③④中的任
两个作为条件，可以得出①吗？
A
（1）②③→①（2）③④→①
A 已知：已知：
求证：求证：
B C
D B C
D
1
A （3）②④→①
已知：求证：
B C
D
理解深化：“三线合一”的应用：
在△ABC 中，AB=AC，BD=CD ，AD⊥BC，∠1=∠2 等四个条件，只要，就能
推导出
三、应用“三线合一基本图形”
例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CD⊥AD,D 为垂足，AB >AC。
求证：∠2=∠1+∠B
例2：如图，在等腰△ABC 中，∠C =90°，如果点 B 到∠A 的平分线AD 的距离为5cm,
求AD 的长。
四、归纳小结
2
五、课后练习：
1、如图，已知AB=BC ，∠B=120°，DE 是AB 的垂直平分线.请说明CD =2AD
2、如图，D、E 分别是AB、AC 的中点，CD⊥AB 于D，BE⊥AC 于E，求证：AC=AB。
3、已知，等边三角形ABC，D 是AC 的中点，点E 在BC 的延长线上，且CE =CD。
若DM ⊥BC，垂足为M，那么M 是BE 的中点，请说明理由。
3。