高中数学知识点总结与题库
高中数学必修二第七章复数知识点题库(带答案)
高中数学必修二第七章复数知识点题库单选题1、3+i1−3i=（）A．1B．−1C．i D．−i答案：C解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3i，化简即可得出答案.解：3+i1−3i =(3+i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=3+3i2+10i10=3−3+10i10=i.故选：C.小提示：复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．2、复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则实数a的值为（）A．1或-1B．1C．-1D．0或-1答案：C分析：利用复数是实数的充要条件，列式计算作答.因复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则{a−1≠0a2−1=0，解得a=−1，所以实数a的值为-1.故选：C3、已知i是虚数单位，若z=i+a1+i为纯虚数，则实数a=（）A．1B．−1C．2D．−2答案：B分析：由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解．因为z=i+a1+i =(a+i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−a i+i−i22=a+12+1−a2i为纯虚数，所以{a+12=01−a2≠0，a =−1．故选：B ．4、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( ) A ．2√3B ．−2√3i C ．√3−3i D ．3+√3i 答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3， ∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i2)=32−3√3i2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ．5、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可.因为(−1+2i)x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1 ，解得{x =−3y =4，所以|x −yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5. 故选：B.6、已知复数z 1=21+i 与z 2在复平面内对应的点关于直线y =x 对称，则z 1z 2=（ ） A ．−4i B ．−2i C ．2i D ．4i 答案：C分析：利用复数的除法运算法则化简复数z 1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y =x 对称的点，得到复数z 2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z 1z 2．因为z 1=21+i =2(1−i )(1+i )(1−i )=1−i ，所以复数z 1在复平面内对应的点为(1,−1)，其关于直线y =x 对称的点为(−1,1)，所以z 2=−1+i ， 所以z 1z 2=(1−i )(−1+i )=2i ， 故选：C ．7、设2(z +z )+3(z −z )=4+6i ，则z =（ ） A ．1−2i B ．1+2i C ．1+i D ．1−i 答案：C分析：设z =a +bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .设z =a +bi ，则z =a −bi ，则2(z +z )+3(z −z )=4a +6bi =4+6i ， 所以，{4a =46b =6，解得a =b =1，因此，z =1+i .故选：C. 8、已知复数z =2−i 20171+i，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：A分析：根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 复数z =2−i 20171+i =2−i 1+i=(2−i )(1−i )(1−i )(1+i )=1−3i 2=12−32i ，则z =12+32i所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(12,32)，位于复平面内的第一象限. 故选：A 多选题9、意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo ，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：第一步，把方程x 3+a 2x 2+a 1x +a 0=0中的x 用x −a 23来替换，得到方程x 3+px +q =0；第二步，利用公式x 3+y 3+z 3−3xyz =(x +y +z )(x +ωy +ω2z )(x +ω2y +ωz )将x 3+px +q 因式分解；第三步，求得y ，z 的一组值，得到方程x 3+px +q =0的三个根：−y −z ，−ωy −ω2z ，−ω2y −ωz （其中ω=−1+√3i 2，i 为虚数单位）；第四步，写出方程x 3+a 2x 2+a 1x +a 0=0的根：x 1=−a 23−y −z ，x 2=−a 23−ωy −ω2z ，x 3=−a 23−ω2y −ωz .某同学利用上述方法解方程8x 3−12x 2−42x +55=0时，得到y 的一个值：−1+i ，则下列说法正确的是（ ）A ．a 2=−32B ．yz =2C ．x 2=−12+√3D ．x 3=−1−√3答案：ABC分析：根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项.8x 3−12x 2−42x +55=0⇒x 3−32x 2−214x +558=0依题意可知a 2是2次项系数，所以a 2=−32，A 选项正确. 第一步，把方程x 3−32x 2−214x +558=0中的x ，用x +12来替换，得(x +12)3−32(x +12)2−214(x +12)+558=x 3−6x +4=0，第二步，对比x 3−6x +4=0与x 3+y 3+z 3−3xyz =0， 可得{y 3+z 3=4−3yz =−6y =−1+i ，解得yz =2,z =−1−i ，B 选项正确.所以x 2=−a 23−ωy −ω2z =12−−1+√3i 2(−1+i )+(−1+√3i 2)2(1+i )=−12+√3，C 选项正确.x 3=−a 23−ω2y −ωz =12−(−1+√3i 2)2(−1+i )+(−1+√3i 2)(1+i )=−12−√3，D 选项错误.故选：ABC10、设z 为复数，则下列命题中正确的是（ ） A ．|z|2=zz̅ B ．z 2＝|z |2C ．若|z |＝1，则|z +i|的最大值为2D ．若|z ﹣1|＝1，则0≤|z |≤2分析：根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.设z=x+yi(x,y∈R)，则z̅=x−yi，对A：|z|2=x2+y2=(x+yi)(x−yi)=zz̅，故A正确；对B：z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyi≠x2+y2=|z|2，故B错误；对C：若|z|=1，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，而|z+i|表示复数z对应点到(0,−1)的距离，故当且仅当z对应点为(0,1)时，取得最大值2，故C正确；对D：若|z−1|=1，其表示复数z对应的点是以(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点，又|z|表示复数z对应点到原点的距离，显然|z|∈[0,2]，故D正确.故选：ACD.11、已知复数z0=1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z−1|=|z−i|，下列结论正确的是（）A．P0点的坐标为(1,2)B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为√22答案：ACD解析：根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出z，利用|z−1|=|z−i|，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z=x+yi(x,y∈R)，代入|z−1|=|z−i|，得|(x−1)+yi|=|x+(y−1)i|，即√(x−1)2+y2=√x2+(y−1)2，整理得，y=x；即Z点在直线y=x上，C正确；易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为√2=√22，故D正确.小提示：本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 填空题12、已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=____.答案：1+3i##3i+1分析：利用复数的四则运算法则化简可得结果.由已知条件可得z2+z=(1+i)2+1+i=2i+1+i=1+3i.所以答案是：1+3i.13、已知(1+i)z=2i（i为虚数单位），则z=___________.答案：1+i##i+1分析：根据复数代数的四则运算计算即可.∵(1+i)z=2i,∴z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i(1−i)=1+i.所以答案是：z=1+i.14、已知复数z满足z(1−i)=(1+i)2，则z=___________. 答案：−1+i##i-1分析：利用复数的运算进行化简即可．z(1−i)=(1+i)2=2i，则z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=i−1，所以答案是：−1+i解答题15、已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m的值；（2）用m表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m>1 2,0≤m≤12√1−m,m<0.分析：（1）由α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．可得α+β=−2，αβ=m，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．∴α+β=−2，αβ=m，若α，β为实数，即Δ=4−4m≥0，解得m≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m，解得m=−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m<0，解得m>1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m−4i|，解得m=3．综上可得：m=−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。
部编版高中数学必修二第七章复数带答案知识点题库
(名师选题)部编版高中数学必修二第七章复数带答案知识点题库单选题1、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32、如果复数z 满足|z +1−i |=2，那么|z −2+i |的最大值是（ ）A ．√13+2B ．2+√3C ．√13+√2D ．√13+43、复数1−cosθ−i sinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（ ）A ．2sin θ2(cosθ+π2+i sin θ+π2)B ．2sin θ2(cos π−θ2+isin π−θ2) C ．2sin θ2(cos θ−π2+i sin θ−π2)D ．2cos θ2(cos π−θ2+i sin π−θ2) 4、若复数z 满足(1+i )z =|1+i |，则z 的虚部为（ ）A ．−√2iB ．−√2C ．−√22iD ．−√225、设m ∈R ，则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、(2+2i )(1−2i )=（ ）A ．−2+4iB ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i7、已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,b )，若z 1z 2是纯虚数，则b =（ ）A ．2B ．12C ．−12D ．－2 8、在复平面内，O 是原点．向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为12−√32i ，其中i 为虚数单位，若点A 关于虚轴的对称点为B ，则向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数的共轭复数为（ ）A ．12+√32i B ．12−√32i C ．−12+√32i D ．−12−√32i多选题9、给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是−zB ．若z 1−z 2=0，则z 1=z 2C ．若z 1+z 2∈R ，则z 1与z 2互为共轭复数D ．若z 1−z 2=0，则z 1与z 2互为共轭复数10、已知复数z =21+i ，则正确的是（ ）A ．z 的实部为﹣1B ．z 在复平面内对应的点位于第四象限C ．z 的虚部为﹣iD ．z 的共轭复数为1+i11、若非零复数z 1,z 2分别对应复平面内的向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，且|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，线段AB 的中点M 对应的复数为4+3i ，则（ ）A ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑C ．|z 1|2+|z 2|2=10D ．|z 1|2+|z 2|2=100填空题12、设Z ∈C ，若z 2+z +1=0，则z 2017+z 2018+z 2020+z 2021=__________．13、已知i 是虚数单位，化简11−3i 1+2i 的结果为_______．部编版高中数学必修二第七章复数带答案(三十一)参考答案1、答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i)x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1 ，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.2、答案：A分析：复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z −2+i|的最大值是√13+2．故选：A ．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z +1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．3、答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−i sinθ=2sin 2θ2−2i sin θ2cos θ2 =2sin θ2(sin θ2−i cos θ2) =2sin θ2(cos π−θ2−i sin π−θ2)=2sin θ2[cos π−θ2+i sin (−π−θ2)] =2sin θ2(cosθ−π2+i sin θ−π2)，故选：C.4、答案：D分析：先利用复数的模长和除法运算化简得到z=√22−√22i，再根据虚部的定义，即得解由(1+i)z=|1+i|=√2，得z=√21+i =√2(1−i)(1+i)(1−i)=√22−√22i，∴z的虚部为−√22.故选：D5、答案：C分析：求出z=(m+2i)(1+i)为纯虚数时m的值，与m=2比较，判断出结果z=(m+2i)(1+i)=m−2+(m+2)i，复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数，则m−2=0，解得：m=2，所以则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的充要条件故选：C6、答案：D分析：利用复数的乘法可求(2+2i)(1−2i).(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，故选：D.7、答案：A分析：根据复数的几何意义，可得z1=2+i,z2=1+bi，根据复数的运算法则，即可得答案.由题意得：z1=2+i,z2=1+bi，所以z1z2=(2+i)(1+bi)=2+2bi+i+bi2=2−b+(2b+1)i，又z1z2是纯虚数，所以{2−b=02b+1≠0，解得b=2，故选：A.小提示：本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.8、答案：C分析：根据对称求得点B 的坐标，从而OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 求出对应的复数由题意，得A (12,−√32)，B (−12,−√32)， 所以向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−12−√32i 所以向量OB⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数的共轭复数为−12+√32i ， 故选：C ．9、答案：AD解析：A ．根据共轭复数的定义判断.B.若z 1−z 2=0，则z 1=z 2，z 1与z 2关系分实数和虚数判断.C.若z 1+z 2∈R ，分z 1,z 2可能均为实数和z 1与z 2的虚部互为相反数分析判断.D. 根据z 1−z 2=0，得到z 1=z 2，再用共轭复数的定义判断.A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若z 1−z 2=0，则z 1=z 2，当z 1,z 2均为实数时，则有z 1=z 2，当z 1，z 2是虚数时，z 1≠z 2，所以B 是假命题；C ．若z 1+z 2∈R ，则z 1,z 2可能均为实数，但不一定相等，或z 1与z 2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若z 1−z 2=0，则z 1=z 2，所以z 1与z 2互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD小提示：本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10、答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可. 因为z =21+i =2(1−i )(1+i )(1−i )=1−i ，所以z 的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z =1+i ，故AC 错误，BD 正确.故选：BD11、答案：AD分析：利用向量的加减法和复数模的结合意义，得到OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再由线段AB 的中点M 对应的复数为4+3i ，得到|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2|OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=10，即可求解. 如图所示，由向量的加法及减法法则可知OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，又由复数加法及减法的几何意义可知|z 1+z 2|对应OC⃑⃑⃑⃑⃑ 的模，|z 1−z 2|对应BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 的模， 因为|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 又因为线段AB 的中点M 对应的复数为4+3i ，所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2|OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=10， 所以|z 1|2+|z 2|2=|OA⃑⃑⃑⃑⃑ |2+|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |2=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |2=100． 故选：AD.12、答案：-2分析：求出z 3=1，算出z 2017=z ，再利用复数的乘法和乘方的运算律计算即可.(z −1)(z 2+z +1)=z 3−1=0z 3=1，故z 2017=z 3×672⋅z =z又z 2(z 2+z +1)=0故z 4+z 3+z 2=0故z 4+z 3=−z 2=z +1z 2017+z 2018+z 2020+z 2021=z 2017(1+z +z 3+z 4) =z 2017(1+z +1+z) =z(2+2z)=2(z +z 2)=−2 所以答案是：-2小提示：本题考查复数的n次幂运算，熟练复数乘法和乘方的运算律是求解的关键.需要掌握一定的整体代换技巧和转化与化归数学思想.13、答案：1−5i##−5i+1分析：根据复数代数形式的运算法则即可解出．11−3i 1+2i =(11−3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=11−6−25i5=1−5i．所以答案是：1−5i．。
全国名校高中数学题库--主干知识点
1 2a + 1
2
对称，求 b 的最小值．
练习，1．不等式 ax + bx + c > 0 的解集为 ( 2,3) ，则 cx + bx + a < 0 的解集为 ______ 2 已知 f ( x ) 是定义在 ( −∞，+∞ ) 上的减函数，若 f ( m 2 − sin x ) ≤ f ( m + 1 + cos 2 x ) 对 x ∈ R 恒成立，求实数 m 的取值范围 3 函数 f ( x ) = ax + b (a ≠ 0) 有一个零点为 2，则 g ( x ) = bx 2 + ax 的零点是
b 的取值 a
3
例 3．已知函数 f ( x) = ax 2 + bx 满足条件 f ( − x + 5) = f ( x − 3) ，方程 f ( x) = x 有等根。 是否存在 m, n( m < n) 使得定义域和值域分别为 [ m, n] 和 [3m,3n] ，说明理由。
例 5．对于函数 f ( x) ，若存在 x 0 ∈ R ，使 f ( x 0 ) = x0 成立，则称 x 0 为 f ( x ) 的不动点， 已知函数 f ( x) = ax 2 + (b + 1) x + (b − 1), ( a ≠ 0) （1）当 a = 1, b = −2 时，求函数 f ( x) 的不动点； （2）若对任意实数 b ，函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若 y = f ( x ) 的图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不动点， 且 A、B 两点关于直线 y = kx +
高中数学知识点完全总结(打印版)
高中数学知识点总结一、三角函数【1】以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=yr。
【2】同角三角函数平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；同角三角函数倒数关系：1=⋅ααctg tg ，1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα；同角三角函数相除关系：αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg 。
【3】函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
【4】三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。
【5】=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos =±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1【6】二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2⋅cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tg2α=αα212tg tg -【7】三倍角公式是：sin3α=αα3sin 4sin 3-cos3α=ααcos 3cos 43-【8】半角公式是：sin2α=2cos 1α-±cos2α=2cos 1α+±tg2α=ααcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。
【高考必备】高中数学总复习题总结(完整版附答案)
高中数学总复习题总结第一章 集合与函数概念一、选择题1．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－|),(x y y x ， P ＝{(x ，y )| y ≠x ＋1}，那么C U (M ∪P )等于( )．A ．∅B ．{(2，3)}C ．(2，3)D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1}2．若A ＝{a ，b }，B ⊆A ，则集合B 中元素的个数是( )． A ．0B ．1C ．2D ．0或1或23．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1B ．0C ．0或1D ．1或24．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )． A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75. 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )．A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0，1)C ．b ∈(1，2)D ．b ∈(2，＋∞)6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧00＋＋2 x c x c bx x ，，≤， 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．47．设集合A ＝{x | 0≤x ≤6}，B ＝{y | 0≤y ≤2}，下列从A 到B 的对应法则f 不是映(第5题)＞射的是( )．A ．f :x →y ＝21x B ．f :x →y ＝31xC ．f :x →y ＝41x D ．f :x →y ＝61x 8．有下面四个命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1B ．2C ．3D ．49．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( )． A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减10．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1)D ．f (4)＜f (2)＜f (1)二、填空题11．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是 ．12．若集合A ＝{x | x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝___，b ＝___． 13．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．14．已知f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝ ；f (x －2)＝ ． 15．y ＝(2a －1)x ＋5是减函数，求a 的取值范围 ．16．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈［0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈(－∞，0］时，f(x)＝．三、解答题17．已知集合A＝{x∈R| ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R．①若A是空集，求a的范围；②若A中只有一个元素，求a的值；③若A中至多只有一个元素，求a的范围．18．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值．19．证明f (x )＝x 3在R 上是增函数．20．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3x 4＋21x ；(2)f (x )＝(x －1)xx－＋11； (3)f (x )＝1－x ＋x －1；(4)f (x )＝12－x ＋21x －．高一数学必修1第二章单元测试题（A 卷）班级 姓名 分数一、选择题：（每小题5分，共30分）。
(精选试题附答案)高中数学第八章立体几何初步知识点题库
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步知识点题库单选题1、足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足AB=BC=AD=BD=CD=√2dm，二面角A−BD−C的大小为2π3，则该足球的体积为（）A．7√42π27dm3B．35√2π27dm3C．14π27dm3D．32√2π27dm3答案：A分析：画出图形，O为线段BD的中点，则可得∠AOC为二面角A−BD−C的平面角，取N,M分别是线段AO,CO上靠近点O的三等分点，则可得N,M分别为△ABD和△CBD的外心，过N,M分别作平面ABD和平面CBD的垂线EN,EM，交于点E，则点E为三棱锥A−BCD外接球的球心，即为足球的球心，所以线段EB为球的半径，然后结已知数据求出EB，从而可求出足球的体积根据题意，三棱锥A−BCD如图所示，图中点O为线段BD的中点，N,M分别是线段AO,CO上靠近点O的三等分点，因为AB=BC=AD=BD=CD=√2dm，所以△ABD和△CBD均为等边三角形，因为点O为线段BD的中点，所以AO⊥BD,CO⊥BD，所以∠AOC为二面角A−BD−C的平面角，所以∠AOC=2π3，因为△ABD和△CBD均为等边三角形，点O为线段BD的中点，所以AO,CO分别为△ABD和△CBD的中线，因为N,M分别是线段AO,CO上靠近点O的三等分点，所以N,M分别为△ABD和△CBD的外心，过N,M分别作平面ABD和平面CBD的垂线EN,EM，交于点E，则点E为三棱锥A−BCD外接球的球心，即为足球的球心，所以线段EB为球的半径，因为AO⊥BD,CO⊥BD，AB=BC=AD=BD=CD=√2dm，所以AO=CO=√62dm，则NO=MO=√66dm，因为AO=CO,EO=EO,∠ENO=∠EMO=90°，所以△ENO≌△EMO，所以∠EON=∠EMO=12∠AOC=π3，在直角△EMO中，EM=OMtanπ3=√22，因为EM⊥平面BCD，BM⊂平面BCD，所以BM⊥EM，因为M是△CBD的外心，所以BM=√63，所以EB=√EM2+BM2=√76,所以V=43π⋅EB3=43π(√76)3=7√4227π，所以足球的体积为7√4227πdm，故选：A小提示：关键点点睛：此题考查三棱锥外接球问题，考查计算能力，解题的关键是由题意求出三棱锥外接球的球心，从而可确定出球的半径，然后计算出半径即可，考查空间想象能力，属于较难题2、在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，AD =3，AA 1=5，点P 在长方体的面上运动，且满足AP =5，则P 的轨迹长度为（ ）A ．12πB ．8πC ．6πD ．4π答案：C分析：由题设，在长方体表面确定P 的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度.如图，P 在左侧面的轨迹为弧A 1N ⌢，在后侧面的轨迹为弧NC ⌢，在右侧面的轨迹为弧MC ⌢，在前侧面内的轨迹为弧A 1M ⌢.易知|NC ⌢|=14π×4×2=2π，|MC ⌢|=14π×3×2=3π2，又sin∠A 1AN =cos∠NAD =35，cos∠A 1AM =sin∠MAB =35， ∴∠A 1AN +∠A 1AM =π2，则|A 1N ⌢|+|A 1M ⌢|=14π×5×2=5π2，∴P 的轨迹长度为6π，故选：C.3、在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）．①α、β都垂直于平面r，那么α∥β②α、β都平行于平面r，那么α∥β③α、β都垂直于直线l，那么α∥β④如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3答案：D分析：在正方体中观察可判断①；由平面平行的传递性可判断②；由线面垂直的性质可判断③；根据面面平行判定定理可判断④.如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；过直线l做平面γ与α、β分别交于l1,l2，过直线m做平面χ与α、β分别交于m1,m2，因为l∥α，l∥β，所以l∥l1,l∥l2，所以l1∥l2因为l1⊄β，l2⊂β，所以l1∥β同理，m1∥β又l、m是两条异面直线，所以l1,l2相交，且l1⊂α，m1⊂α所以α∥β，故④正确.故选：D4、在△ABC 中，AB =1，AC =2，∠BAC =60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则m +n 的最小值是（ ）A ．−1B ．−12C ．−13D ．−16 答案：B分析：先解三角形得到△ABC 为直角三角形，建立直角坐标系，通过AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出m +n ，借助三角函数求出最小值.由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC = 1+4−2×1×2×cos 60∘=3，所以BC =√3，所以AB 2+BC 2=AC 2，所以AB ⊥BC ．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A （－1，0），C （1，0），B （－12，√32），设P 的坐标为(cosθ,sinθ)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ = (cosθ+1,sinθ)，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(cosθ+1,sinθ)=m (12,√32)+ n (2,0)=(m 2+2n ,√32m)，所以m =2√33sin θ，n =cos θ2+12−√36sin θ，所以m +n =2√33sin θ+cos θ2+12−√36sin θ =√32sin θ+cos θ2+12=sin (θ+π6)+12≥−1+12=−12，当且仅当sin (θ+π6)=−1时，等号成立．故选：B．5、已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．94πR2C．83πR2D．πR2答案：B分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出．设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为ℎ，所以在轴截面三角形中，如图所示：由相似可得，rR =3R−ℎ3R，所以，ℎ=3R−3r，即圆柱的全面积为S=2πr2+2πrℎ=2πr2+2πr(3R−3r)=2π(−2r2+3rR)=2π[−2(r−34R)2+98R2]≤9π4R2，当且仅当r=34R时取等号．故选：B．6、如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．23B．24C．26D．27答案：D分析：作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.该几何体由直三棱柱AFD−BHC及直三棱柱DGC−AEB组成，作HM⊥CB于M，如图，因为CH=BH=3,∠CHB=120∘，所以CM=BM=3√32,HM=32，因为重叠后的底面为正方形，所以AB=BC=3√3,在直棱柱AFD−BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM, 由AB∩BC=B可得HM⊥平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为I,则V I−BCDA=13×3√3×3√3×32=272,V AFD−BHC=12×3√3×32×3√3=814则该几何体的体积为V=2V AFD−BHC−V I−BCDA=2×814−272=27.故选：D.7、下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3答案：A分析：①②③④均可举出反例.①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；②如图2，满足两侧面ABB1A1与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；③如图3，四边形ACC1A1为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．故选：A8、下列条件中，能得出直线m与平面α平行的是（）A．直线m与平面α内的所有直线平行B．直线m与平面α内的无数条直线平行C．直线m与平面α没有公共点D．直线m与平面α内的一条直线平行答案：C分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.对A，直线m与平面α内的所有直线平行不可能，故A错误；对B，当直线m在平面α内时，满足直线m与平面α内的无数条直线平行，但m与α不平行；对C，能推出m与α平行；对D，当直线m在平面α内时，m与α不平行.故选：C.9、下列说法正确的有（）①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形.A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A解析：根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；④中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以④是正确的.故选：A10、如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=1，AB=BC=√3，cos∠ABC=1，P是A1B上的一动点，3则AP+PC1的最小值为（）A．√5B．√7C．1+√3D．3答案：B分析：连接BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′，判断出当A、P、C′三点共线时，则AC′即为AP+PC1的最小值.分别求出∠AA1C′=120°,AA1=1,A1C′=2,利用余弦定理即可求解.连接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′，则有AP+PC1≥AC′.当A、P、C′三点共线时，则AC′即为AP+PC1的最小值.，由余弦定理得：AC=√AB2+BC2−2AB·BCcosB=在三角形ABC中，AB=BC=√3，cos∠ABC=13√3+3−2×3×1=2,所以A1C1=2，即A1C′=23在三角形A1AB中，AA1=1，AB=√3，由勾股定理可得：A1B=√AA12+AB2=√1+3=2,且∠AA1B=60°. 同理可求：C1B=2因为A1B=BC1=A1C1=2，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1=60°，所以在三角形AA1C′中，∠AA1C′=∠AA1B+∠BA1C′=120°,AA1=1,A1C′=2,)=√7.由余弦定理得：AC′=√1+4−2×1×2×(−12故选B.小提示：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.填空题11、达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点F到直线QC的距离是__________.答案：√2分析：根据题意，求得△FQC的三条边长，在三角形FQC中求边QC边上的高线即可.根据题意，延长QN,BA交于点M，连接QF,FC，如下所示：在△QFC中，容易知：QF=√QN2+NF2=√12+(√2)2=√3；同理FC=√12+(√5)2=√6，QC=√QM2+MC2=√22+(√5)2=3，满足QF2+FC2=QC2，设点F到直线QC的距离为d，由等面积法可知：=√2，即点F到直线QC的距离是√2.QF×FC=QC×d，解得d=√3×√63所以答案是：√2.12、三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个．答案：1或3分析：讨论三条平行线是否共面，即可确定平面的个数.当三条平行线不共面时，如下图示可确定3个平面；当三条平行线共面时，如下图示确定1个平面.所以答案是：1或313、已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.答案：2分析：求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.设圆柱的高为ℎ，底面半径为r，则体积为πr2ℎ，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为4πr2ℎ，因为高不变，故体积4πr2ℎ=π(2r)2ℎ，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为2πrℎ，扩大后的圆柱侧面积为2π⋅2rℎ= 4πrℎ，故侧面积扩大为原来的2倍.所以答案是：214、在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件___________时，A1P//平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)答案：P是CC1中点分析：根据线面平行的性质，只需在侧面BCC1B1上找到一点，A1P//平面BCD上的任一条线即可，可以取A1P//CD，此时P是CC1中点.取CC1中点P，连结A1P，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P//CD，∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P//平面BCD所以答案是：P是CC1中点.15、如图所示，有边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，P为正方体表面的一个动点．若三棱锥A−PBC的体积，则|PD1|的取值范围是____________．为12答案：[54,3√174]分析：根据三棱锥A−PBC的体积求出点P到平面ABC的距离ℎ，由此确定点P的轨迹，结合图形即可得出答案. 设点P到平面ABC的距离为ℎ，则V P−ABC=13S△ABC⋅ℎ=23ℎ=12，所以ℎ=34，如图在AA1上取点E，使得AE=34，过点E作平面EFGH∕∕平面ABCD，F,G,H分别在BB1,CC1,DD1上，故点P在四边形EFGH的边上，则当点P在点H的位置时，|PD1|最小，为54，当点P在点F的位置时，|PD1|最大，为√4+4+2516=3√174，所以|PD1|的取值范围是[54,3√174].所以答案是：[54,3√174].解答题16、如图，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ADC＝90°，DE＝DA，M为AE的中点.（1）求证：AC∥平面DMF；（2）求证：BE⊥DM.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据矩形的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可.（1）如图，连结EC交DF于点N，连结MN.因为CDEF为矩形，所以EC，DF相互平分，所以N为EC的中点.又因为M为EA的中点，所以MN∥AC.又因为AC⊄平面DMF，且MN⊂平面DMF.所以AC∥平面DMF.（2）因为矩形CDEF，所以CD⊥DE.又因为∠ADC＝90°，所以CD⊥AD.因为DE∩AD＝D，DE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE.又因为DM⊂平面ADE，所以CD⊥DM.又因为AB∥CD，所以AB⊥DM.因为AD＝DE，M为AE的中点，所以AE⊥DM.又因为AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以MD⊥平面ABE.因为BE⊂平面ABE，所以BE⊥MD.17、如图：ABCD是正方形，O为正方形的中心，PO⊥底面ABCD，点E是PC的中点.求证：(1)PA//平面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE.答案：(1)证明见解析(2)证明见解析分析：（1）连接OE，则由三角形中位线定理可得OE//PA，再由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得BD⊥AC，BD⊥PO，由线面垂直的判定定理可证得BD⊥面PAC，再由面面垂直的判定定理可证得结论（1）证明：连接OE，∵ABCD为正方形，∴O为AC中点，又∵E为PC中点，∴OE//PA，OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，∴PA//面BDE，（2）证明：∵ABCD为正方形，BD⊥AC，又∵PO⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥PO，∵PO∩AC=O，PO⊂面PAC，AC⊂面PAC，∴BD⊥面PAC，∵BD⊂面BDE，∴面BDE⊥面PAC，18、如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M，N分别为AC，PD的中点．（1）求证：MN∥平面ABP；（2）若BP⊥PC，求证：平面ABP⊥平面APC．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即连结BD，证明MN//BP；（2）要证明面面垂直，需证明线面垂直，利用垂直关系转化，证明PC⊥平面ABP.证明：（1）连结BD，由已知，M为AC和BD的中点，又∵N为PD的中点，∴MN∥BP．∵MN⊄平面ABP，BP⊂平面ABP，∴MN∥平面ABP．（2）∵AB⊥BP，AB⊥BC，BP∩BC＝B，∴AB⊥平面BPC．∵PC⊂平面BPC，∴AB⊥PC．∵BP⊥PC，AB∩BP＝B，∴PC⊥平面ABP．∵PC⊂平面APC，∴平面ABP⊥平面APC．19、用符号表示下列语句，并画出图形.（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.答案：（1）α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B；图象见解析；（2）A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB；图象见解析分析：由题意将自然语言转化为符号语言,根据点线面的关系,借用集合符号,表示即可.（1）用符号表示：α∩β＝l,a∩α＝A,a∩β＝B，如图.（2）用符号表示：A∈α,B∈α,a∩α＝C,C∉AB，如图.小提示：本题主要考查点、线、面的关系的符号表达,属于基础题.。
高中数学知识点总结全2024
高中数学知识点总结全2024一、集合与函数概念1. 集合的基本概念集合的定义：集合是某些确定的、互不相同的对象的全体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。
集合间的关系：子集、真子集、相等。
集合的运算：并集、交集、补集。
2. 函数的概念函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、最值。
3. 函数的表示方法解析法：用数学式子表示函数关系。
表格法：用表格形式表示函数关系。
图象法：用图象表示函数关系。
二、基本初等函数1. 一次函数定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数。
性质：图象是一条直线，k为斜率，b为截距。
2. 二次函数定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
性质：图象是一条抛物线，a决定开口方向和大小，顶点坐标为(b/2a, cb²/4a)。
3. 指数函数定义：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数。
性质：图象过点(0,1)，a>1时单调递增，0<a<1时单调递减。
4. 对数函数定义：形如y=log_a(x)（a>0且a≠1）的函数。
性质：图象过点(1,0)，a>1时单调递增，0<a<1时单调递减。
5. 三角函数正弦函数：y=sin(x)，周期为2π，图象为波形曲线。
余弦函数：y=cos(x)，周期为2π，图象为波形曲线。
正切函数：y=tan(x)，周期为π，图象为渐近线间的曲线。
三、立体几何1. 空间几何体的结构多面体：由若干个多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥。
旋转体：由平面图形绕某条直线旋转形成的几何体，如圆柱、圆锥、球。
2. 空间几何体的三视图主视图：从正面看到的图形。
俯视图：从上面看到的图形。
左视图：从左面看到的图形。
高中数学数列知识点总结与题库
第六章数列二、重难点击本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。
注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。
知识网络四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系1．∑==++++=ni in n a a a a a S 1321⋯2．⎩⎨⎧≥−==−2111n S S n S a n n n 课前热身3．数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832−=,则数列各项中最小项是(B )A．第４项B．第５项C．第６项D．第７项4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是),3(+∞−5．数列{}n a 的前n 项和142+−=n n S n ,，则⎩⎨⎧≥−=−=25212n n n a n题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式⑴7，77，777，7777，…⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…解析：⑴将数列变形为),110(97−×),110(972−)110(973−，,⋯)110(97−n ⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。
可得数列的通项公式为2)1(1nn n a −++=点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。
题型二应用⎩⎨⎧≥−==−)2()1(11n S S n S a n n n 求数列通项例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.⑴23−=nn S 解析：⑴当123,1111=−===S a n 时，当)23()23(,211−−−=−=≥−−n nn n n S S a n 时132−⋅=n 又11=a 不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==−)2(32)1(11n n a n n 三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式⑴141,21211−+==+n a a a n n 解析：⑴因为14121−+=+n a a n n ，所以121121(2114121+−−=−=−+n n n a a n n 所以)3111(2112−=−a a )5131(2123−=−a a 43111()257a a −=−…，…，1111()22321n n a a n n −−=−−−以上)1(−n 个式相加得)1211(211−−=−n a a n 即：24342411−−=−−=n n n a n 点拨：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若),(1n f a a nn =+求n a 用累乘法，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。
高中数学第三章函数的概念与性质知识点题库(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质知识点题库单选题1、“n=1”是“幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数”的一个（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：A分析：由幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数，可得{n 2−3n+3=1n2−3n<0，由充分、必要条件的定义分析即得解由题意，当n=1时，f(x)=x−2在(0,+∞)上是减函数，故充分性成立；若幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数，则{n 2−3n+3=1n2−3n<0，解得n=1或n=2故必要性不成立因此“n=1”是“幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A2、函数y=√2x+4x−1的定义域为（）A．[0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0，解得x≥0且x≠1，故选：D3、“幂函数f(x)=(m2+m−1)x m在(0,+∞)上为增函数”是“函数g(x)=2x−m2⋅2−x为奇函数”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：A分析：要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，求出m =1，可得函数g (x )为奇函数，即充分性成立；函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数，求出m =±1，故必要性不成立，可得答案. 要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，则{m 2+m −1=1m >0，解得：m =1，当m =1时，g (x )=2x −2−x ，x ∈R ， 则g (−x )=2−x −2x =−(2x −2−x )=−g (x )，所以函数g (x )为奇函数，即充分性成立； “函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”，则g (x )=−g (−x )，即2x −m 2⋅2−x =−(2−x −m 2⋅2x )=m 2⋅2x −2−x ， 解得：m =±1，故必要性不成立， 故选：A ．4、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.5、下列图形能表示函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D分析：根据函数的定义，判断任意垂直于x 轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案. 由函数的定义：任意垂直于x 轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A 、B 显然不符合，C 在x =0与函数图象有两个交点，不符合，只有D 符合要求. 故选：D6、已知函数f(x)={2x 2+1,x ≤1,3x ,x >1.则f(f (3))=（ ）A ．319B ．3C ．1D ．19 答案：B分析：根据解析式代入求解即可f(f (3))=f (33)=f (1)=2+1=3故选：B7、已知函数f(x)={x 2+2，x ＜12x +a 2，x ≥1，若f(f(0))=4a ，则实数a ＝（ ）A ．12B ． 45C ．2D ．9 答案：C分析：由函数的解析式可得f(f(0))=f(2)=4+a 2=4a ，求解可得答案． ∵函数f(x)={x 2+2，x ＜12x +a 2，x ≥1，∴f(0)=2，则f(f(0))=f(2)=4+a 2=4a ， 即(a −2)2=0，解可得：a =2. 故选：C8、下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为（ ） A ．f (x )=x 2+4B ．f (x )=1−2x C ．f (x )=−x 2−x +1D ．f (x )=2−3x答案：D分析：根据各个函数的性质逐个判断即可对A ，f (x )=x 2+4二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(−∞,0)是减函数，故A 不对． 对B ，f (x )=1−2x 为一次函数，k <0，在(−∞,0)是减函数，故B 不对．对C ，f (x )=−x 2−x +1，二次函数，开口向下，对称轴为x =−12，在(−∞,−12)是增函数，故C 不对． 对D ，f (x )=2−3x 为反比例类型，k <0，在(−∞,0)是增函数，故D 对． 故选：D 多选题9、一次函数f(x)满足：f(f(x))=4x +3，则f(x)的解析式可以是（ ） A ．f(x)=2x +1B ．f(x)=1−2x C ．f(x)=2x −3D ．f(x)=−2x −3 答案：AD分析：根据待定系数法，设出f(x)=kx +b (k ≠0)，可得f(f(x))=k (kx +b )+b =4x +3，再根据对应项系数相等即可求出．设f(x)=kx +b (k ≠0)，则f(f(x))=k (kx +b )+b =k 2x +kb +b =4x +3，所以{k 2=4kb +b =3，解得{k =2b =1或{k =−2b =−3，即f (x )=2x +1或f (x )=−2x −3．故选：AD ． 10、已知函数f(x)=x−b x 2+1是奇函数，则下列选项正确的有（ ）A ．b =0B ．f(x)在区间(1,+∞)单调递增C ．f(x)的最小值为−12D ．f(x)的最大值为2 答案：AC分析：利用函数是奇函数，可得f(0)=0，求出b可判断A；利用函数的单调性以及利用单调性求最值可判断B、C、D.函数f(x)=x−bx2+1是奇函数，则f(0)=0，代入可得b=0，故A正确；由f(x)=x−bx2+1=xx2+1=1x+1x，对勾函数y=x+1x在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)=1x+1x在(1,+∞)上单调递减，故B错误；由y=x+1x ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)，所以f(x)=1x+1x∈[−12,0)∪(0,12]，所以f(x)min=−12，故C正确、D错误.故选：AC11、已知函数y=f(x−1)的图象关于x=1对称，且对y=f(x),x∈R，当x1,x2∈(−∞,0]时，f(x2)−f(x1)x2−x1<0成立，若f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立，则a的可能取值为（）A．−√2B．−1C．1D．√2答案：BC解析：由已知得函数f(x)是偶函数，在[0,+∞)上是单调增函数，将问题转化为|2ax|<|2x2+1|对任意的x∈R恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．因为函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，所以函数y=f(x)的图象关于直线x=0（即y轴）对称，所以函数f(x)是偶函数.又x1,x2∈(−∞,0]时，f(x2)−f(x1)x2−x1<0成立，所以函数f(x)在[0,+∞)上是单调增函数.且f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立，所以|2ax|<|2x2+1|对任意的x∈R恒成立，当x=0时，0<1恒成立，当x≠0时，|a|<|2x2+1||2x|=|x+12x|=|x|+|12x|，又因为|x|+|12x |≥2√|x|⋅|12x|=√2，当且仅当|x|=√22时，等号成立，所以|a|<√2，因此−√2<a<√2，故选：BC.小提示：方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数a ≥f (x )恒成立(a ≥f (x )max 即可)或a ≤f (x )恒成立（a ≤f (x )min 即可）；② 数形结合(y =f (x ) 图象在y =g (x ) 上方即可)；③ 讨论最值f (x )min ≥0或f (x )max ≤0恒成立.12、已知幂函数f(x)=(m +95)x m ，则下列结论正确的有（ ） A ．f (−32)=116 B ．f(x)的定义域是R C ．f(x)是偶函数D ．不等式f (x −1)≥f (2)的解集是[−1,1)∪(1,3] 答案：ACD分析：首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，判断定义域，奇偶性，以及解不等式. 因为函数是幂函数，所以m +95=1，得m =−45，即f (x )=x −45，f (−32)=[(−2)5]−45=(−2)−4=116，故A 正确；函数的定义域是{x |x ≠0}，故B 不正确； ∵f (−x )=f (x )，所以函数是偶函数，故C 正确；函数f (x )=x −45在(0,+∞)是减函数，不等式f (x −1)≥f (2)等价于|x −1|≤2，解得：−2≤x −1≤2，且x −1≠0，得−1≤x ≤3，且x ≠1，即不等式的解集是[−1,1)∪(1,3]，故D 正确. 故选：ACD13、已知函数f(x)={−x,x <0x 2,x >0，则有（ ）A ．存在x 0>0，使得f (x 0)=−x 0B ．存在x 0<0，使得f (x 0)=x 02C ．函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同D ．若f (x 1)=f (x 2)且x 1≠x 2，则x 1+x 2≤0 答案：BC分析：根据函数解析式，分别解AB 选项对应的方程，即可判定A 错，B 正确；求出f (−x )的解析式，判定f (−x )与f(x)的单调区间与单调性，即可得出C 正确；利用特殊值法，即可判断D 错. 因为f(x)={−x,x <0x 2,x >0，当x 0>0时，f(x 0)=x 02，由f (x 0)=−x 0可得x 02=−x 0，解得x 0=0或−1，显然都不满足x 0>0，故A 错；当x 0<0时，f(x 0)=−x 0，由f (x 0)=x 02可得−x 0=x 02，解得x 0=0或−1，显然x 0=−1满足x 0<0，故B 正确；当x <0时，f(x)=−x 显然单调递减，即f(x)的减区间为(−∞,0)；当x >0时，f(x)=x 2显然单调递增，即f(x)的增区间为(0,+∞)；又f(−x)={x,−x <0x 2,−x >0={x,x >0x 2,x <0，因此f (−x )在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；即函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同，故C 正确；D 选项，若不妨令x 1<x 2，f (x 1)=f (x 2)=14，则x 1=−14，x 2=12，此时x 1+x 2=14>0，故D 错； 故选：BC.小提示：关键点点睛：求解本题的关键在于根据解析式判定分段函数的性质，利用分段函数的性质，结合选项即可得解. 填空题14、若幂函数y =f(x)的图像经过点(18,2)，则f(−18)的值为_________. 答案：−2分析：根据已知求出幂函数的解析式f(x)=x −13，再求出f(−18)的值得解.设幂函数的解析式为f(x)=x a ， 由题得2=(18)a =2−3a,∴−3a =1,∴a =−13，∴f(x)=x −13.所以f(−18)=(−18)−13=(−12)3×(−13)=−2. 所以答案是：−2.小提示：本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15、若函数y =f(x)的值域是[12,3]，则函数F(x)=f(2x +1)+1f(2x+1)的值域是________.答案：[2,103]分析：由给定条件求出f(2x +1)的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 因函数y =f(x)的值域是[12,3]，从而得函数t =f(2x +1)值域为[12,3]，函数F(x)变为y =t +1t，t ∈[12,3]，由对勾函数的性质知y =t +1t在[12,1]上递减，在[1,3]上递增，t =1时，y min =2，而t =12时，y =52，t =3时，y =103，即y max =103，所以原函数值域是[2,103]. 所以答案是：[2,103]16、（1）函数y =x 45的定义域是________，值域是________； （2）函数y =x −25的定义域是________，值域是________； （3）函数y =x 32的定义域是________，值域是________； （4）函数y =x −34的定义域是________，值域是________．答案： R [0,+∞) (−∞,0)∪(0,+∞) (0,+∞) [0,+∞) [0,+∞) (0,+∞) (0,+∞) 分析：画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域 （1）幂函数y =x 45图像如图所示，定义域为R ，值域为[0,+∞),（2）幂函数y =x −25图像如图所示，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，值域为(0,+∞),（3）幂函数y =x 32图像如图所示，定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞),（4）幂函数y=x−34图像如图所示，定义域为(0,+∞)，值域为(0,+∞),所以答案是：（1）R;[0,+∞),（2）(−∞,0)∪(0,+∞);(0,+∞),（3）[0,+∞);[0,+∞),（4）(0,+∞);(0,+∞).解答题17、已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=−x2+2x．（1）求x<0时，函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间[−1,a−2]上单调递增，求实数a的取值范围．（3）解不等式f(x)≥x+2．答案：（1）f(x)=x2+2x；（2）(1,3]；（3）(−∞,−2]分析：（1）设x<0，计算f(−x)，再根据奇函数的性质f(x)=−f(−x)，即可得对应解析式；（2）作出函数f(x)的图像，利用数形结合思想，列出关于a的不等式组求解；（3）由（1）知分段函数f(x)的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可.（1）设x<0，则−x>0，所以f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x又f(x)为奇函数，所以f(x)=−f(−x)，所以当x<0时，f(x)=x2+2x，（2）作出函数f(x)的图像，如图所示：要使f(x)在[−1,a −2]上单调递增，结合f(x)的图象知{a −2>−1a −2≤1，所以1<a ≤3，所以a 的取值范围是(1,3].（3）由（1）知f(x)={−x 2+2x,x ≥0x 2+2x,x <0，解不等式f(x)≥x +2，等价于{x ≥0−x 2+2x ≥x +2或{x <0x 2+2x ≥x +2，解得：∅或x ≤−2综上可知，不等式的解集为(−∞,−2]小提示：易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题. 18、求下列函数的值域：(1)f (x )=x 2+2x +1(x ∈{−2,−1,0,1,2})； (2)f (x )=2x+1x−3(3)f (x )=√−2x 2+x +3； (4)f (x )=x −√1−2x ． 答案：(1){0,1,4,9} (2)(−∞,2)∪(2,+∞) (3)[0,5√24](4)(−∞,12]分析：（1）将−2,−1,0,1,2代入f (x )求解即可；（2）形如y =ax+b cx+d (ac ≠0,ad ≠bc )的函数常用分离常数法求值域，y =ax+b cx+d =a c +b−ad c cx+d ，其值域是{y |y ≠a c }.（3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可.（4）形如y =ax +b +√cx +d(ac ≠0)的函数常用换元法求值域，先令t =√cx +d ，用t 表示出x ，并注明t 的取值范围，再代入原函数将y 表示成关于t 的二次函数，最后用配方法求值域．（1）因为f (−2)=1，f (−1)=0，f (0)=1，f (1)=4，f (2)=9，所以函数f (x )的值域为{0,1,4,9}．（2）因为f (x )=2x+1x−3=2(x−3)+7x−3=2+7x−3，且7x−3≠0，所以f (x )≠2，所以函数f (x )的值域为(−∞,2)∪(2,+∞)． （3）因为f (x )=√−2x 2+x +3=√−2(x −14)2+258，所以0≤f (x )≤5√24，所以函数f (x )的值域为[0,5√24]. （4）设t =√1−2x （换元），则t ≥0且x =−12t 2+12，令y =−12t 2−t +12=−12(t +1)2+1. 因为t ≥0，所以y ≤12，即函数f (x )的值域为(−∞,12].。
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高中数学复习题库1. 函数的基本概念1.1 函数的定义域和值域1.2 函数的单调性1.3 函数的奇偶性1.4 函数的周期性2. 函数的性质2.1 函数的连续性2.2 函数的可导性2.3 函数的极值2.4 函数的拐点3. 导数与微分3.1 导数的定义3.2 导数的几何意义3.3 微分的定义3.4 微分的几何意义4. 导数的应用4.1 利用导数求切线4.2 利用导数求极值4.3 利用导数求拐点4.4 利用导数求函数的单调区间5. 积分5.1 不定积分的概念5.2 定积分的概念5.3 积分的基本公式5.4 积分的计算方法6. 积分的应用6.1 利用积分求面积6.2 利用积分求体积6.3 利用积分求曲线的长度 6.4 利用积分求物理量7. 空间几何7.1 空间直线与平面7.2 空间多面体7.3 空间曲线7.4 空间向量8. 解析几何8.1 直线的方程8.2 圆的方程8.3 椭圆、双曲线、抛物线 8.4 参数方程与极坐标9. 概率论初步9.1 随机事件9.2 概率的计算9.3 条件概率9.4 独立性10. 统计初步10.1 总体与样本10.2 样本的分布10.3 样本的数字特征10.4 统计图表11. 数列11.1 数列的概念11.2 等差数列11.3 等比数列11.4 数列的求和12. 极限12.1 极限的概念12.2 极限的性质12.3 极限的运算12.4 无穷小与无穷大13. 复数13.1 复数的概念13.2 复数的运算13.3 复数的几何意义 13.4 复数的代数形式14. 矩阵与行列式14.1 矩阵的概念14.2 矩阵的运算14.3 行列式的概念 14.4 行列式的计算15. 算法初步15.1 算法的概念15.2 算法的表示15.3 算法的复杂度 15.4 算法的应用16. 逻辑与推理16.1 命题逻辑16.2 推理方法16.3 证明方法16.4 数学归纳法17. 集合论初步17.1 集合的概念17.2 集合的运算17.3 子集与幂集17.4 集合的表示18. 组合数学18.1 排列组合18.2 二项式定理18.3 组合数的性质18.4 组合数的应用19. 初等数论19.1 整数的性质19.2 素数与合数19.3 最大公约数与最小公倍数 19.4 同余与模运算20. 微分方程20.1 微分方程的概念20.2 一阶微分方程20.3 高阶微分方程20.4 微分方程的应用以上是高中数学复习题库的主要内容，涵盖了高中数学的主要知识点。
(精选试题附答案)高中数学第十章概率知识点题库
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率知识点题库单选题1、当P(A)>0时，若P(B|A)+P(B ̅)=1，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．互斥B ．对立 C ．相互独立D ．无法判断 答案：C分析：根据条件概率的公式，化简原式，再根据相互独立事件的性质即可得出结论. ∵P(B|A)+P(B ̅)=P(B|A)+1−P(B)=1， ∴P(B|A)=P(B)，即P(AB)P(A)=P(B)，∴P(AB)=P(A)P(B)， ∴事件A 与B 相互独立. 故选：C.2、某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A 表示事件“正面向上”，则A 的（ ） A ．频率为35B ．概率为35C ．频率为12D ．概率接近35答案：A分析：根据频率和概率的知识确定正确选项. 依题意可知，事件A 的频率为1220=35，概率为12. 所以A 选项正确，BCD 选项错误. 故选：A3、某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）A．至多一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都没中靶答案：D分析：利用对立事件的定义判断可得出结论.对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.故选：D.4、造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（）.A．69人B．84人C．108人D．115人答案：C分析：先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此列出比例式，可求得400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100−73=27人，设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x人，则10027=400x，解得x=108人.故选：C.小提示：本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.5、“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（ ）. A ．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防； B ．小概率事件很少发生，不用怕； C ．小概率事件就是不可能事件，不会发生； D ．大概率事件就是必然事件，一定发生． 答案：A分析：理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防； 故选：A6、打靶3次，事件A i 表示“击中i 发”，其中i =0、1、2、3.那么A =A 1∪A 2∪A 3表示（ ） A ．全部击中B ．至少击中1发 C ．至少击中2发D ．以上均不正确 答案：B分析：利用并事件的定义可得出结论.A =A 1∪A 2∪A 3所表示的含义是A 1、A 2、A 3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发. 故选：B.7、两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．12答案：D解析：男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．小提示：本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．8、袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件A 表示“3次抽到的球全是红球”，事件B 表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C 表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（ ）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件B 与事件C 不对立C ．P (A )=78D ．P (A ∪C )=34答案：C分析：根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案.解：对于A ，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件A 与事件B 不互斥，故A 错误；对于B ，事件B 与事件C 不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件B 与事件C 互为对立事件，故B 错误；对于C ，因为P (A )=18，所以P (A )=1−P (A )=78，故C 正确；对于D ，因为事件A 与事件C 互斥，P (B )=28=14，所以P (C )=1−P (B )=34，所以P (A ∪C )=P (A )+P (C )=18+34=78，故D 错误. 故选：C9、2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（ ） A ．2180B ．2780C ．3380D ．2740答案：C分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A,B,C ，显然A,B,C 为相互独立事件， 则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC +ABC +ABC ，且ABC,ABC,ABC 互斥，∴所求概率P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P (B )P (C )+P (A )P(B)P (C )+P (A )P (B )P(C) =15×34×34+45×14×34+45×34×14=3380.故选：C.10、掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是 A ．1999B ．11000C ．9991000D ．12 答案：D每一次出现正面朝上的概率相等都是12，故选D.填空题11、一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________. 答案：0.9## 910分析：利用概率加法公式直接求解.一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：P =0.5+0.7−0.3=0.9. 所以答案是：0.9.12、为了迎接春节，小王买了红､黄､紫三种颜色的花各一盆，准备并排摆放在自家阳台上，则红和紫两种颜色的花不相邻的概率为___________. 答案：13分析：列出所有可能的基本事件和符合条件的基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解. 红､黄､紫三种颜色的花依次摆放的方法有：（红､黄､紫），（红､紫､黄），（黄､红､紫），（黄､紫､红）， （紫､红､黄），（紫､黄､红），共6种不同的情况，其中满足条件的是（红､黄､紫），（紫､黄､红），共2种情况，所以红和紫两种颜色的花不相邻的概率为26=13.所以答案是：13.13、甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜制”（即先赢两局者为胜，若前两局某人连胜，则无需比第三局），根据以往两人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为23，则本次比赛中甲获胜的概率为___________.答案：2027分析：根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得甲前两局获胜的概率和前两局中一胜一负，第三局胜利的概率，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.因为甲在每局比赛中获胜的概率为23，若甲前两局获胜，其概率为P1=23×23=49；若甲前两局中一胜一负，第三局胜利，其概率为P2=C21⋅23⋅(1−23)×23=827,所以本次比赛中甲获胜的概率为P=P1+P2=49+827=2027.所以答案是：2027.14、某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：则至少派出医生2人的概率是________.答案：0.74解析：从频率分布表中找出至少派出医生2人的情况，将其对应概率相加即得结果.由题意可知，事件“至少派出医生2人”包含“派出的医生数是2、3、4、5人及以上”，这几个事件是互斥的，概率之和为0.3+0.2+0.2+0.04=0.74，故至少派出医生2人的概率是0.74.所以答案是：0.74.15、为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为____________． 答案：310##0.3分析：利用列举法和古典概型的概率计算公式可得答案.从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列举如下：（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），（蓝，红，黑），（蓝，红，绿），（蓝，黑，绿），（白，红，黑），（白，红，绿），（白，黑，绿），（红，黑，绿），共有10个样本点，其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），共3个样本点，所以蓝、白色口罩同时被选中的概率为310．所以答案是：310． 解答题16、为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 答案：（1）38，23；（2）2132.分析：(1)记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ，根据独立事件概率的求法计算即可得出结果；(2)根据独立事件概率的求法分别求出有0个、1个家庭回答正确的概率，利用间接法即可求出不少于2个家庭回答正确这道题的概率.解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ，则P(A)=34，P(A )⋅P(C )=112，P(B)⋅P(C)=14，即[1−P(A)]⋅[1−P(C)]=112，P(B)⋅P(C)=14，所以P(B)=38，P(C)=23.（2）有0个家庭回答正确的概率P 0=P(AB ̅C )=P(A )⋅P(B ̅)⋅P(C )=14×58×13=596， 有1个家庭回答正确的概率P 1=P(AB ̅C +A BC +A B ̅C)=34×58×13+14×38×13+14×58×23=724， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率P =1−P 0−P 1=1−596−724=2132.17、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了25根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）（单位：mm ），所得数据都在区间[5, 40]中，具体数据如下： 12 14 16 17 17 19 20 20 21 22 23 23 23 24 24 25 25 26 27 27 28 29 30 32 34试估计这批棉花中长度小于20 mm 的棉花纤维的占比． 答案：24%．分析：算出样本对应的概率，用样本估计总体由题，样本中棉花中长度小于20 mm 的棉花纤维有6根，则占比为625=0.24，由样本估计总体，故估计这批棉花中长度小于20 mm 的棉花纤维的占比为24%．18、今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示.（1）求实数a的值，并求80分是成绩的多少百分位数？（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；（3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间[90,100]内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学知识､健体魄”活动.已知这次健康知识竞赛成绩落在区间[90,100]内的员工中恰有3名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率..答案：（1）a=0.005，80分是成绩的75百分位数；（2）71分；（3）45分析：（1）利用频率和为1，列方程可求出a的值，先求出80 分以上的频率，然后求出可求出80分是成绩的多少百分位数；（2）利用加权平均数的公式直接求解；（3）先求出成绩落在区间[90,100]内的员工有6人，然后利用列举法列出所有的情况，从而可求出概率解：（1）10×(a+3a+4a+5a+6a+a)=1，解得a=0.005；1−10(4×0.005+0.005)=0.75，所以80分是成绩的75百分位数.（2）45×0.05+55×0.15+65×0.25+75×0.30+85×0.20+95×0.05=71(分)；所以这次知识竞赛的平均成绩是71分.（3）这次知识竞赛成绩落在区间[90,100]内的员工有120×0.05=6名.记“至少有一个男性员工被选中”为事件A，记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男性员工为1，2，3号，则样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}. A ={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}，所以P (A )=1215=45.答：至少有1名男性员工被选中的概率为45.19、某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25，34，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求： （Ⅰ）三人都合格的概率； （Ⅱ）三人都不合格的概率； （Ⅲ）出现几人合格的概率最大. 答案：（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人.分析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ， 显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13 设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3).（Ⅰ）三人都合格的概率：P 3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110 （Ⅱ）三人都不合格的概率：P 0=P(A B ̅C )=P(A )⋅P(B ̅)⋅P(C )=35×14×23=110. （Ⅲ）恰有两人合格的概率：P 2=P(ABC )+P(AB̅C)+P(A BC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360.恰有一人合格的概率：P 1=1−P 0−P 2−P 3=1−110−2360−110=2560=512.因为512>2360>110，所以出现1人合格的概率最大.。
高中数学知识点总结归纳(完整版)
高中数学知识点总结归纳(完整版)高中数学知识点总结归纳（完整版）高中数学是一门重要且具有一定难度的学科，涵盖了众多的知识点和概念。
以下是对高中数学主要知识点的全面总结归纳。
一、集合与函数1、集合集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。
集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。
集合的运算包括交集、并集和补集。
2、函数函数是两个非空数集之间的一种对应关系。
函数的三要素是定义域、值域和对应法则。
常见的函数类型有一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数等。
一次函数的一般形式为 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0），其图像是一条直线。
二次函数的一般形式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），其图像是一条抛物线。
通过配方法可以将其化为顶点式 y ＝ a(x h)²＋ k，从而确定其顶点坐标和对称轴。
指数函数的形式为 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。
对数函数是指数函数的反函数，形式为 y ＝logₐ x（a ＞ 0 且a ≠ 1）。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
二、三角函数1、任意角和弧度制了解任意角的概念，掌握弧度与角度的换算。
2、三角函数的定义在单位圆中定义正弦、余弦和正切函数。
3、诱导公式能够利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
4、三角函数的图像和性质正弦函数 y ＝ sin x、余弦函数 y ＝ cos x 和正切函数 y ＝ tan x 的图像特点、周期、对称轴、对称中心以及单调性。
5、两角和与差的三角函数公式包括正弦、余弦和正切的和差公式。
6、二倍角公式sin 2α、cos 2α、tan 2α 的公式。
7、解三角形利用正弦定理和余弦定理解决三角形中的边长、角度和面积等问题。
三、数列1、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。
高中数学必修一函数及其性质基础知识题库
(每日一练)高中数学必修一函数及其性质基础知识题库单选题1、函数y =sin2x ln |2x |的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：A解析： 先求出函数定义域，由函数奇偶性的概念，得到y =sin2x ln |2x |是奇函数，排除CD 选项，再根据0<x <12时，函数的正负，即可得出结果.由y =sin2x ln |2x |得|2x |≠1，即x ≠±12，所以函数y =sin2x ln |2x |的定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，关于原点对称，又sin (−2x )ln |−2x |=−sin2x ln |2x |，所以函数y =sin2x ln |2x |是奇函数，图像关于原点对称，排除CD ，又当0<x <12时，0<2x <1，所以sin2x >0，ln2x <0，因此y =sin2x ln |2x |<0，图像应在x 轴下方，故B 错，A正确.故选：A小提示：本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性，以及对数函数的性质即可，属于常考题型.2、已知f(x)是一次函数，且f(x−1)=3x−5，则f(x)=（）A．3x−2B．2x+3C．3x+2D．2x−3答案：A解析：设一次函数y=ax+b(a≠0)，代入已知式，由恒等式知识求解．设一次函数y=ax+b(a≠0)，则f(x−1)=a(x−1)+b=ax−a+b，由f(x−1)=3x−5得ax−a+b=3x−5，即{a=3b−a=−5，解得{a=3b=−2，∴f(x)=3x−2.故选：A．3、已知函数f(x)=x(|x|+1)，若f(a−2)+f(a2−2a)<0，则a的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−1,2)C．(−∞,−2)∪(1,+∞)D．(−∞,−1)∪(2,+∞)答案：B解析：首先根据题意得到f(x)为奇函数，且在R上单调递增，根据f(a−2)+f(a2−2a)<0得到a2−2a<2−a，再解不等式即可.因为函数f(x)的定义域为R，f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，又因为当x≥0时，f(x)=x2+x单调递增，所以f(x)在R上单调递增.因为f(a−2)+f(a2−2a)<0，所以f(a2−2a)<−f(a−2)，则f(a2−2a)<f(2−a)，即a2−2a<2−a，解得−1<a<2. 所以a的取值范围为(−1,2).故选：B4、若f(x)=|sinx|⋅e|x|，x,y∈[−π2,π2]且f(x)>f(y)，则下列不等式一定成立的是（）A．|x|>|y|B．|x|<|y| C．x<y D．x>y答案：A解析：利用奇偶性定义可证f(x)在x∈[−π2,π2]上是偶函数，应用导数研究f(x)在x∈(0,π2]上的单调性，进而可得x∈[−π2,0)上的单调性，根据题设条件即可得结论.∵f(−x)=|sin(−x)|⋅e|(−x)|=|sinx|⋅e|x|=f(x)，∴在x∈[−π2,π2]上f(x)是偶函数.当x∈(0,π2]时，f(x)=e x sinx，则f′(x)=e x(sinx+cosx)>0，故f(x)单调递增；∴当x∈[−π2,0)时，f(x)单调递减；由x,y∈[−π2,π2]且f(x)>f(y)，则必有|x|>|y|.故选：A5、函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，则m的取值范围是（）A．[−3,+∞)B．[3,+∞)C．(−∞,5]D．(−∞,−3]答案：D解析：=1−m，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−先求出抛物线的对称轴x=−2(1−m)−2m≥4，从而可求出m的取值范围=1−m，解：函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3的图像的对称轴为x=−2(1−m)−2因为函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，解得m≤−3，所以m的取值范围为(−∞,−3]，故选：D。
2023年人教版高中数学选修一基础知识题库
(名师选题)2023年人教版高中数学选修一基础知识题库单选题1、设圆C1:x2+y2−2x+4y=4，圆C2:x2+y2+6x−8y=0，则圆C1，C2的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：B分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．由题意，得圆C1:(x−1)2+(y+2)2=32，圆心C1(1,−2)，圆C2:(x+3)2+(y−4)2=52，圆心C2(−3,4)，∴5−3<|C1C2|=2√13<5+3，∴C1与C2相交，有2条公切线．故选：B．2、在直角坐标平面内，与点A(0,3)距离为2，且与点B(4,0)距离为3的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：C分析：根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.当直线不存在斜率时，设为x=a，由题意可知：|a−0|=2且|a−4|=3，没有实数a使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：y=kx+b⇒kx−y+b=0，=2(1)，点A(0,3)到该直线的距离为2，所以有√k2+(−1)2=3(2)，点B(4,0)到该直线的距离为3，所以有√k2+(−1)2由(1)(2)得：b =8k +9或b =9−8k 5，当b =8k +9时，代入(1)中，得15k 2+24k +8=0，该方程的判别式Δ=242−4×15×8=96>0，该方程有两个不相等的实数根， 当b =9−8k 5时，代入(1)中，得9k 2−24k +16=0，该方程的判别式Δ=(−24)2−4×9×16=0，该方程有两个相等的实数根， 所以这样的直线共有三条， 故选：C.小提示：关键点睛：本题的关键是解方程组.3、已知直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则l 的方程为（ ） A ．x +3y −10=0B ．x −3y +8=0C ．3x +y −6=0D ．2x +3y −11=0 答案：A分析：直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op，再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1)，即x +3y −10=0. 故选：A.4、已知两点A(2,−3)，B(−3,2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．−4≤k ≤−14B ．k ≤−4或k ≥−14C ．−4≤k ≤34D ．−34≤k ≤4答案：B分析：数形结合法，讨论直线l 过A 、B 时对应的斜率，进而判断率k 的范围. 如下图示，当直线l过A时，k=−3−12−1=−4，当直线l过B时，k=2−1−3−1=−14，由图知：k≤−4或k≥−14.故选：B5、已知圆C：x2+y2=4，直线L：y=kx+m，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（）A．±2B．±√2C．±√3D．±3答案：C分析：由直线L过定点M(0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m的取值.直线L：y=kx+m恒过点M(0,m)，由于直线被圆C所截的弦长的最小值为2，即当直线L与直线OM垂直时（O为原点），弦长取得最小值，于是22=(12×2)2+|OM|2=1+m2，解得m=±√3.故选：C6、过点(1,−2)，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（）A．y2=4x B．y2=−4x C．x2=−12y D．x2=12y答案：C分析：设抛物线方程为x2=my，代入点的坐标，即可求出m的值，即可得解；解：依题意设抛物线方程为x2=my，因为抛物线过点(1,−2)，所以12=m ×(−2)，解得m =−12，所以抛物线方程为x 2=−12y ；故选：C7、已知F 1，F 2是椭圆x 236+y 29=1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：C分析：由|PM |＝|PF 1|可知|MF 2|＝|PM |+|PF 2|，又已知OQ 是△F 1F 2M 的中位线，点Q 与y 轴重合时，Q 与短轴端点距离最近.解：设F 1Q 的延长线交F 2P 的延长线于点M ，则由题意知|PM |＝|PF 1|∵|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝12 ∴|MF 2|＝|PM |+|PF 2|＝2a ＝12 由题意知OQ 是△F 1F 2M 的中位线 ∴|OQ |＝a ＝6∴Q 点的轨迹是以O 为圆心，以6为半径的圆∴当点Q 与y 轴重合时，Q 与短轴端点取最近距离d ＝a −b ＝6−3＝3 故选：C ．8、已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为12a ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A9、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（）A．3x−y−4√3=0B．x−y−√3=0C．x+y−√3=0D．x+y+√3=0答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k=tan135°=−1，所以直线方程为y+2√3=−(x−√3)，即x+y+√3=0，故选：D10、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√24答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (12,4),B (-32,2)，直线AB : y -42-4=x -12-32-12，整理为x -y +72=0，原点O 到直线距离为|72|√1+17√24，故选：B11、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点和上顶点分别为点F (c,0)(b >c )和点A ，直线l:6x −5y −28=0交椭圆于P,Q 两点，若F 恰好为△APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）A ．√22B ．√33C ．√55D ．2√55答案：C分析：由题设F (c,0),A (0,b )，利用F 为△APQ 的重心，求出线段PQ 的中点为B (3c 2,−b2)，将B 代入直线方程得9c +5b 2−28=0，再利用点差法可得2a 2=5bc ，结合a 2=b 2+c 2，可求出a, b, c ，进而求出离心率.由题设F (c,0),A (0,b ),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则线段PQ 的中点为B (x 0,y 0)，由三角形重心的性质知AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即(c,−b)=2(x 0−c,y 0)，解得：x 0=3c 2,y 0=−b 2 即B (3c2,−b2)代入直线l:6x −5y −28=0，得9c +5b 2−28=0①.又B 为线段PQ 的中点，则x 1+x 2=3c,y 1+y 2=−b ， 又P,Q 为椭圆上两点，∴x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1，以上两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，所以k PQ =y 1−y 2x 1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x 2y1+y 2=−b 2a 2×3c−b =65，化简得2a 2=5bc ②由①②及a 2=b 2+c 2，解得：{a =2√5b =4c =2，即离心率e =√55.故选：C.小提示：方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c ，从而求出e ；②构造a,c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．12、已知圆O 1:x 2+y 2=4，圆O 2:x 2+y 2−2mx −2my −4=0(m ≠0)，则同时与圆O 1和圆O 2相切的直线有（ ）A ．4条B ．2条C ．1条D ．0条 答案：B分析：利用已知条件判断圆O 1与圆O 2的关系，进而可以求解. 由O 1:x 2+y 2=4，得圆O 1(0,0)，半径为r 1=2，由O2:x2+y2−2mx−2my−4=0(m≠0)，得O2(m,m)，半径为r2=12√(−2m)2+(−2m)2−4×(−4)=√2m2+4所以|O1O2|=√(m−0)2+(m−0)2=√2m2>0，|r2−r1|=√2m2+4−2>0，r1+r2=2+√2m2+4，所以|r2−r1|<|O1O2|<r1+r2，所以圆O1与圆O2相交，所以圆O1与圆O2有两条公共的切线.故选：B.双空题13、已知圆C1:x2+y2+2x+2y−2=0，圆C2:x2+y2−4x−2y+1=0，则两圆的位置关系是______，它们的公切线条数为______．答案：相交 2分析：将⊙C1和⊙C2方程化为标准方程，求得圆心和半径，进而求出C1C2，即可求得答案.⊙C1方程可化为(x+1)2+(y+1)2=4，得C1(−1,−1)，r1=2，⊙C2方程可化为(x−2)2+(y−1)2=4，得C2(2,1)，r2=2，∴C1C2=√9+4=√13，∴r2−r1<d<r1+r2，故两圆相交，它们的公切线条数为2.所以答案是：相交；214、直线l：mx−y+1=0截圆x2+y2+4x−6y+4=0的弦为MN，则|MN|的最小值为__________，此时m的值为__________．答案： 2 1分析：设圆心到直线l的距离为d，则d=√m2+1，然后由|MN|=2√r2−d2，可求出|MN|=2√r2−d2=2√5−8m+1m，进而利用均值不等式可求解x2+y2+4x−6y+4=0可化简为(x+2)2+(y−3)2=9，设圆心到直线l的距离为d，则d=√m2+1，可得|MN|=2√r2−d2=2√9−(2m+2)2m2+1=2√9m2+9−4m2−8m−4m2+1=2√5m2−8m+5m2+1=2√5(m2+1)−8mm2+1=2√5−8mm2+1=2√5−8m+1m，当m>0时，|MN|有最小值，当m<0时，|MN|没有最小值，所以，当且仅当m=1m时，等号成立，此时，m=1所以答案是：①2；②1小提示：关键点睛：解题关键在于求出|MN|=2√r2−d2=2√5−8m+1m，进而利用均值不等式求出答案，属于中档题15、已知空间的个基底{a ,b⃑,c},m⃑⃑ =a−b⃑+c,n⃑=xa+yb⃑+c，若m⃑⃑ ，n⃑共线，则x=________，y=________. 答案： 1 −1分析：由m⃑⃑ ，n⃑共线，∴∃λ∈R，使m⃑⃑ =λn⃑，得到对应的方程组，求出答案.∵m⃑⃑ ，n⃑共线，∴∃λ∈R，使m⃑⃑ =λn⃑，∴a−b⃑+c=λ(xa+yb⃑+c)，得{1=λx,−1=λy, 1=λ,解得{λ=1, x=1, y=−1.所以答案是：1，−1小提示：本题考查空间向量共线的应用，属于基础题.16、在平面直角坐标系中，直线y=kx+m(k≠0)与x轴和y轴分别交于A，B两点，|AB|=2√2，则线段AB 的中点到原点的距离等于___________；若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点(1,1)的距离的最大值为___________． 答案： √2 3√2分析：求出B (0,m )，A (−mk ,0)，由|AB|=2√2可得m 2+m 2k 2=8，AB 的中点坐标为A (−m 2k ,m2)，可得|OA |；利用CA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0得(x +m 2k)2+(y −m 2)2=m 2(1+k 2)4k 2，即轨迹为动圆，设圆心为M (x ′,y ′)，代入m 2+m 2k 2=8，可得(x ′)2+(y ′)2=2，由点C 到点(1,1)的距离可得答案.令x =0得y =m ，所以B (0,m )，令y =0得x =−m k(k ≠0)，所以A (−m k,0)，所以|AB|=√m 2+m 2k 2=2√2，可得m 2+m 2k 2=8，AB 的中点坐标为A (−m 2k ,m2)， 所以|OA |=√(−m 2k )2+m 24=√14(m 2k 2+m 2)=√14×8=√2，则线段AB 的中点到原点的距离等于√2； 因为CA ⊥CB ，设C (x,y )，所以CA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即 x (x +mk )+y (y −m )=0，即(x +m 2k )2+(y −m 2)2=m 2(1+k 2)4k 2，即轨迹为动圆，设圆心为M (x ′,y ′)， 则x ′=−m2k ,y ′=m2代入m 2+m 2k 2=8，可得(x ′)2+(y ′)2=2，所以点C 到点(1,1)的距离的最大值为√(1+1)2+(1+1)2+√2=3√2. 所以答案是：①√2②3√2.17、已知圆C 1:x 2+y 2−2x −4y +4=0与直线l:x +2y −4=0相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为_________，若圆C 2经过E(−1,2),F(0,1)，且圆C 2与圆C 1的公共弦平行于直线2x +y +1=0，则圆C 2的半径为_______________． 答案：4√551解析：第一空：根据垂径定理可求弦AB 的长.第二空：设出圆C 2的方程，利用已知条件建立三个等式解出参数，最后得出半径.第一空：由圆C 1:x 2+y 2−2x −4y +4=0，得圆心(1，2)，半径r =1，圆心(1，2)到直线l:x +2y −4=0的距离直线d =√5=√55， 根据垂径定理，AB =2√r 2−d 2=4√55； 第二空：设圆C 2的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，又因为圆C 1:x 2+y 2−2x −4y +4=0，所以圆C 2与圆C 1的公共弦方程为(D +2)x +(E +4)y +F −4=0，由公共弦平行于直线2x +y +1=0得−D+2E+4=−2，又圆C 2经过E(−1,2),F(0,1)，所以5−D +2E +F =0;1+E +F =0,联立以上三式得到D =2，E =−2，F =1，所以圆C 2的半径12√D 2+E 2−4F =12√4+4−4=1. 所以答案是：4√55 ，1. 小提示：名师点评求两圆公共弦方程时，用两圆的方程对应相减，消去x 2和y 2后即可得到公共弦方程. 解答题18、已知△ABC 的顶点坐标为A(−5,−1)，B(−1,1)，C(−2,3)．（1）试判断△ABC 的形状；（2）求AC 边上的高所在直线的方程．答案：（1）直角三角形；（2）3x +4y −1=0.分析：(1)先求AB,AC,BC 直线的斜率,再根据斜率关系即可判断;(2)由k AC =43得AC 边上高线所在直线的斜率为−34,进而根据点斜式求解即可.解：（1）∵k AB =1+1−1+5=12,k BC =3−1−2+1=−2，k AC =3+1−2+5=43∴k AB ⋅k BC =−1，∴AB ⊥BC ，∴△ABC 为直角三角形（2）因为k AC =3−(−1)−2−(−5)=43， 所以，AC 边上高线所在直线的斜率为−34∴直线的方程是y −1=−34(x +1)，即3x +4y −1=019、设直线l 的方程为(a +1)x +y −3+a =0（a ∈R ）.(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；(2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围.答案：(1)0或3(2)[−1,3]分析：（1）通过讨论−3+a 是否为0，求出a 的值即可；（2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0；若a ≠3，则3−a a+1=3−a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y −3=0，∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ，则{−(a +1)≤03−a ≥0，解得−1≤a ≤3， ∴a 的取值范围是[−1,3].20、如图，在四棱锥S −ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，△SAD 是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，P 为棱AD 的中点，四棱锥S −ABCD 的体积为2√33．(1)若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面PEF//平面SCD．若存在，指出点M的位置；(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为√3010若不存在，请说明理由．答案：(1)证明见解析(2)存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处分析：（1）由题可得EP//SD，EF//CD，即证；⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝λAS⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用条件列方程，（2）由题可得SP⊥平面ABCD，结合条件可得AD的长，建立空间直角坐标系，设AM即可解得.（1）因为E、F分别是SA、SB的中点，所以EF//AB，在矩形ABCD中，AB//CD，所以EF//CD，CD⊂平面SCD，EF⊄平面SCD，∴EF//平面SCD，又因为E、P分别是SA、AD的中点，所以EP//SD，SD⊂平面SCD，EP⊄平面SCD，∴EP//平面SCD，又EF∩EP＝E，EF，EP⊂平面PEF，所以平面PEF//平面SCD．（2）假设在棱SA 上存在点M 满足题意，在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，所以SP ⊥AD ，又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S −ABCD 的高．设AD =m (m >0)，则SP =√32m ，S 矩形ABCD =m ， 所以V 四棱锥S−ABCD =13S 矩形ABCD ⋅SP =13m ×√32m =2√33，所以m ＝2．以点P 为原点，PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，PS ⃑⃑⃑⃑ 的方向分别为x ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，S(0,0,√3)，所以PA⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,0)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，AS ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0,√3)．设AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAS ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−λ,0,√3λ)(0≤λ≤1)，所以PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−λ,0,√3λ)．设平面PMB 的一个法向量为n 1⃑⃑⃑⃑ =(x,y,z )，则{n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−λ)x +√3λz =0n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x +y =0 ， 所以取n 1⃑⃑⃑⃑ =(√3λ,−√3λ,λ−1)．易知平面SAD 的一个法向量为n 2⃑⃑⃑⃑ =(0,1,0)，所以|cos ⟨n 1⃑⃑⃑⃑ ,n 2⃑⃑⃑⃑ ⟩|=|n 1⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n 2⃑⃑⃑⃑⃑ ||n 1⃑⃑⃑⃑⃑ ||n 2⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3λ|√7λ2−2λ+1=√3010， 因为0≤λ≤1，所以λ=13，所以存在点M ，位于AS 的靠近点A 的三等分点处满足题意．。
全国名校高中数学题库--集合
同理知 N（t）=11，故选项 B 不正确．
故选 C． 7. 现规定：A 是一些点构成的集合，若连接点集 A 内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集 A
内时，则称该点集 A 是连通集，下列点集是连通集的是（ ） A．函数 y=2x 图象上的点构成的集合 B．旋转体表面及其内部点构成的集合 C．扇形边界及其内部点构成的集合 D．正四面体表面及其内部点构成的集合
6. 含有三个实数的集合可表示为
，也可表示为{a2，a+b，0}，则 a +b 2009 2009 的值为（ ）
6
A．0
B．﹣1
C．1
7. 已知集合 A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一个元素，则 a 的取值范围是
8. 若 a，b∈R，集合
，求 b﹣a 的值
解：由
，可知 a≠0，则只能 a+b=0，
设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合．因此 f (n) 等于 Qn 的子集个数。
当 n 为偶数〔
或奇数）时，
Pn
中奇数的个数是
n 2
（
n
+ 2
1
）。∴
⎧ ⎪2
n 2
(
n为偶数)
f (n)= ⎨ n+1
。
⎪⎩2 2 (n为奇数)
知识点 3、集合的性质
同步演练
1. 下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M={（3，2）}N={3，2}
4. 若 A={（1，﹣2），（0，0）}，则集合 A 中的元素个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5. （2010•广东文）在集合{a，b，c，d}上定义两种运算+和*如下
高中数学总复习题库
高中数学总复习题库第1章集合与简易逻辑§1–1集合一、集合的概念1.1.1在“①难解的题目；②方程x2＋1＝0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是()．(A) ②③(B) ①③(C) ②④(D) ①②④解析由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合，答案为A．1.1.2下列集合中，有限集是()．(A) {x|x<10，x∈N} (B) {x|x<10，x∈Z}(C) {x|x2<10，x∈Q} (D) {x|x＝y＋10，y∈R}解析由N表示自然数集得{x|x<10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}是有限集，答案为A．1.1.3若集合M＝{x|x≤6}，a＝，则下列结论中正确的是()．(A) {a}M(B) a M(C) {a}∈M(D) a∉M解析因为 <6，则∈M，{a}M，所以，答案为A．1.1.4已知集合A＝{0，1}，B＝{y|y2＝1－x2，x∈A}，则A与B的关系是()．(A) A＝B(B) A B(C) A∈B(D) A B解析由已知得集合B＝{－1，0，1}，所以，A B，答案为B．1.1.5下列四个关系中，正确的是()．(A) ∅∈{0} (B) 0∉{0} (C) {0}∈{0，1} (D) 0∈{0，1}解析∅与{0}，{0}与{0，1}是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合间关系的“∈”来表达；而0∈{0}，又0是集合{0，1}中的元素，所以，0∈{0，1}是正确的，答案为D．1.1.6设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝()．(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －2解析由已知得0∈{1，a＋b，a}，而a≠0，于是，只能a＋b＝0，则＝－1，又－1∈{1，a＋b，a}，所以，a＝－1，b＝1，b－a＝2，答案为C．1.1.7用适当的方式写出下列集合：(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合；(2) 不大于6的非负整数所组成的集合；(3) 所有正奇数组成的集合；(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合；(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集；(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合；(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合．解析(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合是{红，黄}．(2) 不大于6的非负整数所组成的集合是{0，1，2，3，4，5，6}．(3) 所有正奇数组成的集合是{x|x＝2k＋1，k∈N}．(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合是{x|x3＋6＝0，x∈R}．(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集{x|x2－5x＋4<0}或写成{x|1<x<4}．(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合是{(x，y)|x>0且y>0}．(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合是{(x，y)|y＝2x－1}．1.1.8已知集合A＝{1，3，x}，集合B＝{1，x2}，若有B A且x∉B，则A＝．解析由x2∈A及x∉B得x2＝3，解得x＝±，经检验此x的值符合集合中元素的互异性，所以，集合A＝{1，3，}或{1，3，－}．1.1.9集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，则m的取值范围是．解析由已知可得解得－1≤m≤．1.1.10若集合M＝{0，1，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为()．(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2解析将点(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)，(0，2)，(2，0)，(1，2)，(2，1)的坐标代入不等式组可知只有点(0，0)，(1，1)，(1，0)，(2，1)四个点在集合N内，所以，答案为C．1.1.11定义集合运算：A☉B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B ＝{2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为()．(A) 0 (B) 6 (C) 12 (D) 18解析由已知可得A☉B＝{0，6，12}，所以，A☉B中所有元素之和为18，答案为D．1.1.12设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()．(A) 自然数集(B) 整数集(C) 有理数集 (D) 无理数集解析任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一定是无理数，而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的，答案为C．1.1.13集合M＝{x|a1x>b1}，N＝{x|a2x>b2}，其中常数a1b1a2b2≠0，则“”是“M＝。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点题库(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点题库单选题1、设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m+1+1n+1的最小值为（ ）A ．134B ．94C ．74D ．95 答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1=(4m+1+1n+1)(m+14+n+14)=n+1m+1+m+14(n+1)+54 ≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54=94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即m =53，n =13时等号成立.故选：B .2、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−b a (−1)×2=c a，即{ba=−1ca=−2②． 将①两边同除以a 得：x 2+(ba −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x2−3x<0，解得0<x<3．故选：A3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．{x|−2<x<1}B．{x|x<−2或x>1}C．{x|−2≤x≤1}D．{x|x≤−2或x≥1}答案：A分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.由二次函数图象知：ax2+bx+c>0有−2<x<1.故选：A4、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．5、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.6、已知p：a>b>0q：1a2<1b2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：根据a>b>0与1a2<1b2的互相推出情况判断出属于何种条件.当a>b>0时，a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以充分性满足，当1a2<1b2时，取a=−2,b=1，此时a>b>0不满足，所以必要性不满足，所以p是q的充分不必要条件，故选：A.7、不等式(x+1)(x+3)<0的解集是（）A．R B．∅C．{x∣−3<x<−1}D．{x∣x<−3，或x>−1}答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由(x+1)(x+3)<0，解得−3<x<−1，即不等式的解集为{x∣−3<x<−1}；故选：C8、若不等式(ax−2)(|x|−b)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则（）A．a>0，ab=12B． a>0，ab=2C．a>0，a=2b D．a>0，b=2a答案：B分析：由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，不满足题意，故b>0，再由二次函数的性质即可求解由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，显然不满足题意，故b>0，由二次函数的性质可知，此时必有2a=b，即ab=2，故选：B多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、下列说法中正确的是（ ） A ．若a >b ，则ac 2+1>bc 2+1 B ．若-2<a <3，1<b <2，则-3<a -b <1 C ．若a >b >0，m >0，则ma<mbD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 答案：AC分析：利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.对于A ，因c 2+1>0，于是有1c 2+1>0，而a >b ，由不等式性质得a c 2+1>bc 2+1，A 正确； 对于B ，因为1<b <2，所以-2<-b <-1，同向不等式相加得-4<a -b <2，B 错误； 对于C ，因为a >b >0，所以1a <1b ，又因为m >0，所以ma <mb ，C 正确；对于D ，−1>−2且−2>−3，而(−1)⋅(−2)<(−2)(−3)，即ac >bd 不一定成立，D 错误. 故选：AC11、下列说法正确的是（ ）A ．若x >2，则函数y =x +1x−1的最小值为3B ．若x >0,y >0，3x +1y =5，则3x +4y 的最小值为5 C ．若x >0，则xx 2+1的最大值为12D ．若x >0,y >0,x +y +xy =3，则xy 的最小值为1 答案：BC分析：利用基本不等式以及“1”的代换，结合不等式的解法，逐项判定，即可求解.对于A 中，由x >2，可得函数y =x +1x−1=(x −1)+1x−1+1≥2√(x −1)×1x−1+1=3， 当且仅当x −1=1x−1时，即x =2时等号成立，因为x >2，所以等号不成立，所以函数y =x +1x−1的最小值为不是3，所以A 不正确；对于B 中，由x >0,y >0，3x+1y=5，则3x +4y =15⋅(3x +4y)(3x+1y)=15×[13+(12y x+3x y)]≥15×(13+2√12y x×3x y)=5，当且仅当12y x=3x y时，即x =2y =1时，等号成立，所以3x +4y 的最小值为5，所以B 正确；对于C 中，由x >0，则x x 2+1=1x+1x因为x +1x≥2√x ×1x=2，当且仅当x =1x时，即x =1时，等号成立，所以x x 2+1的最大值为12，所以C 正确；对于D 中，由x >0,y >0，可得x +y +xy ≥2√xy +xy ，当且仅当x =y 时，等号成立， 所以xy +2√xy ≤3，即xy +2√xy −3=(√xy +3)(√xy −1)≤0， 解得0<√xy ≤1，即0<xy ≤1，所以xy 的最大值为1，所以D 不正确. 故选：BC.12、已知正数a ，b 满足a +2b =1，则（ ） A ．ab 有最大值18B ．1a +2b 有最小值8 C ．1b+ba有最小值4D ．a 2+b 2有最小值15答案：ACD分析：A 由a ⋅2b ≤(a+2b 2)2即可确定ab 最大值；B 利用基本不等式“1”的代换有1a +2b =2b a+2a b+5即可求最小值；C 将a +2b =1代入，利用基本不等式即可求最小值；D 将a =1−2b 代入，结合二次函数的性质求最值. A ：a ⋅2b ≤(a+2b 2)2=14，则ab ≤18当且仅当a =12，b =14时取等号，正确；B ：1a +2b =(a +2b )(1a +2b )=2b a +2a b+5≥4+5=9，当且仅当a =b =13时取等号，错误；C ：1b +ba =a+2b b+ba =2+ab +ba ≥2+2=4，当且仅当a =b =13时取等号，正确；D ：a 2+b 2=(1−2b )2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15(0<b <12)，故最小值为15，正确.故选：ACD13、下列命题不正确的（）A．1a <1b<0⇒|a|>|b|B．ac>bc⇒a>bC．a 3>b3ab>0}⇒1a<1bD．a2>b2ab>0}⇒1a<1b答案：ABD分析：利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.A：∵1a <1b<0∴ab>0且−1a>−1b>0，因此−1a⋅ab>−1b⋅ab>0⋅ab，即−b>−a>0⇒|−b|>|−a|>0⇒|b|>|a|，故本命题不正确；B：因为4−2>8−2，显然4>8不成立，所以本命题不正确；C：由a3>b3⇒a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)>0，而ab>0，所以有a>b，而1a −1b=b−aab<0⇒1a<1b，故本命题正确；D：若a=−2,b=−1，显然{a 2>b2ab>0成立，但是1−2<1−1不成立，故本命题不正确，故选：ABD小提示：方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法. 填空题14、已知a,b,c均为正实数，且aba+2b ⩾13,bcb+2c⩾14,cac+2a⩾15，那么1a+1b+1c的最大值为__________．答案：4分析：本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可因为a,b,c均为正实数，所以由题可得：0<a+2bab ≤3,0<b+2cbc≤4,0<c+2aac≤5，即0<1b+2a≤3，0<1c+2 b ≤4，0<1a+2c≤5，三式相加得：0<3(1a+1b+1c)≤12，所以0<1a+1b+1c≤4所以1a +1b+1c的最大值为4所以答案是：415、若a>0,b>0，则1a +ab2+b的最小值为____________．答案：2√2分析：两次利用基本不等式即可求出. ∵a >0,b >0， ∴1a +a b2+b ≥2√1a⋅a b2+b =2b+b ≥2√2b⋅b =2√2， 当且仅当1a =a b2且2b=b ，即所以1a +ab 2+b 的最小值为2√2. 所以答案是：2√2.16、已知a ，b ∈R ，若对任意x ≤0，不等式(ax +2)(x 2+2bx −1)≤0恒成立，则a +b 的最小值为___________． 答案：√3分析：考虑两个函数g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，由此确定a >0，x <0时，f(x)，g(x)有相同的零点，得出a,b 的关系，检验此时f(x)也满足题意，然后计算出a +b （用a 表示），然后由基本不等式得最小值．设g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，f(x)图象是开口向上的抛物线，因此由x ≤0时，f(x)g(x)≤0恒成立得a >0， g(x)=0时，x =−2a ，x <−2a 时，g(x)<0，−2a <x ≤0时，g(x)>0， 因此x <−2a 时，f(x)>0，−2a <x ≤0时，f(x)<0，f(−2a )=0， 所以4a 2−4b a−1=0①，−b >−2a②，由①得b =1a−a 4，代入②得a 4−1a>−2a，因为a >0，此式显然成立．a +b =1a+3a 4≥2√1a×3a 4=√3，当且仅当1a=3a 4，即a =2√33时等号成立， 所以a +b 的最小值是√3． 所以答案是：√3．小提示：关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数f(x)和g(x)，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数a,b 的关系，从而a b ==可求得a +b 的最小值． 解答题17、设函数f (x )=mx 2−mx −1．（1）若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； （2）解不等式f (x )<(m −1)x 2+2x −2m −1． 答案：（1）(−4,0]；（2）答案见解析．分析：（1）分别在m =0和m ≠0两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果； （2）将不等式整理为(x −m )(x −2)<0，分别在m <2，m >2和m =2三种情况下求得结果. （1）由f (x )<0知：mx 2−mx −1<0， 当m =0时，−1<0，满足题意；当m ≠0时，则{m <0Δ=m 2+4m <0，解得：−4<m <0；综上所述：m 的取值范围为(−4,0]．（2）由f (x )<(m −1)x 2+2x −2m −1得mx 2−mx −1−mx 2+x 2−2x +2m +1<0， 即x 2−(m +2)x +2m <0，即(x −m )(x −2)<0；当m <2时，解得：m <x <2；当m >2时，解得2<x <m ；当m =2时，解集为∅． 综上所述：当m <2时，解集为(m,2)；当m >2时，解集为(2,m )；当m =2时，解集为∅． 18、已知关于x 的不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0). （1）若不等式的解集是{x |x <−3或x >−2}，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围． 答案：（1）k =−25；（2）(−∞,−√66)；（3）[√66,+∞). 分析：（1）由题意可知不等式kx 2−2x +6k =0的两根分别为−3、−2，利用韦达定理可求得实数k 的值； （2）由题意得出{k <0Δ<0，由此可解得实数k 的取值范围；（3）由题意得出{k >0Δ≤0，由此可解得实数k 的取值范围.（1）因为不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集是{x |x <−3或x >−2}， 所以，−3和−2是方程kx 2−2x +6k =0的两个实数根，且k <0， 由韦达定理得(−3)+(−2)=2k，所以k =−25；（2）由于不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集是R ，所以{k <0Δ=4−24k 2<0，解得k <−√66， 因此，实数k 的取值范围是(−∞,−√66)； （3）由于不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集为∅， 则不等式kx 2−2x +6k ≥0(k ≠0)对任意的x ∈R 恒成立， 所以{k >0Δ=4−24k 2≤0，解得k ≥√66. 因此，实数k 的取值范围是[√66,+∞). 小提示：本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.。
高中数学知识点题库 100必然事件、不可能事件、随机事件
1．命题甲：事件A与B是互斥事件；命题乙：事件A¯+B¯是必然事件，则命题乙是命题甲的（）A、充分非必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分也非必要条件答案：B解析：命题甲：事件A与B是互斥事件，则事件A与B不能同时发生，即A与B只能发生一件，则A¯与B¯也只能发生一件所以事件A¯+B¯是必然事件，所以命题甲可以推出命题乙．命题乙：事件A¯+B¯是必然事件，即事件A¯与B¯可能同时发生，则事件则事件A与B 也能同时发生，则事件A与B不是互斥事件，所以命题乙不能推出命题甲．所以命题乙是命题甲的必要不充分条件．题干评注：必然事件、不可能事件、随机事件问题评注：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。
2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的是（）A、3个都是正品B、至少有1个是次品C、3个都是次品D、至少有1个是正品答案：D解析：任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品题干评注：必然事件、不可能事件、随机事件问题评注：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。
3．以下结论错误的有（）①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生；②如果一件事发生的机会达到99.5%，那么它就必然发生；③如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生；④如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生．A、1个B、2个C、3个D、4个答案：C解析：①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它是一个小概率事件，它就不可能发生，故①正确．②如果一件事发生的机会达到99.5%，那么它有可能发生，也有可能不发生，故②不正确，③如果一件事不是不可能发生的，那么它是一个随机事件，可能发生也可能不发生，故③不正确，④如果一件事不是必然发生的，那么它是一个随机事件，可能发生也可能不发生．故④不正确．总上可知有3个结论是错误的．题干评注：必然事件、不可能事件、随机事件问题评注：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。
高中数学第九章统计经典知识题库(带答案)
高中数学第九章统计经典知识题库单选题1、电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映．某新闻机构想了解市民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本．若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为（）.A．100B．160C．200D．240答案：C分析：根据分层抽样的抽取比例相同求解即可.解：由3个区人口数之比为2：3：5，得第三个区所抽取的人数最多，所占比例为50%．又因为此区抽取了100人，所以3个区所抽取的总人数为100÷50%=200，即这个样本的容量为200．故选：C．2、数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是（）A．[4.5,+∞)B．[4.5,6.6)C．(4.5,+∞)D．(4.5,6.6]答案：A分析：根据p%分位数的定义判断求解.因为65%×8=5.2，第65百分位数是4.5，故这组数据的第65百分位数是第六个数，所以x的取值范围是[4.5,+∞)，故选：A.3、甲､乙､丙､丁四位同学在高中学业水平模拟测试中的成绩分布分别为下面的频率分布直方图，估计他们的中位数和平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，正确的是（）A．乙的中位数最高，甲的平均分最高B．甲的中位数最高，丙的平均分最高C．丁的中位数最高，乙的平均分最高D．丁的中位数最高，丁的平均分最高答案：D分析：由频率分布直方图易得四位同学的中位数，可比较出大小，再分别计算出平均数进行比较，可得选项．甲､乙､丙三位同学的成绩中位数都是80，丁的成绩中位数大于80；甲的平均成绩为65×0.1+75×0.4+85×0.4+95×0.1=6.5+30+34+9.5=80，乙的平均成绩为65×0.4+75×0.1+85×0.4+95×0.1=26+7.5+34+9.5=77，丙的平均成绩为65×0.3+75×0.2+85×0.2+95×0.3=19.5+15+17+28.5=80，丁的平均成绩为65×0.2+75×0.2+85×0.3+95×0.3=13+15+25.5+28.5=82.故选：D.4、从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，下列说法正确的是（）A．50名学生是总体B．每个被调查的学生是个体C．抽取的6名学生的视力是一个样本D．抽取的6名学生的视力是样本容量答案：C分析：根据总体、样本、个体、样本容量的概念判断.从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，则50个学生的视力状况是总体，抽取的6名学生的视力是一个样本，每个被调查的学生的视力状况是个体，样本容量是6，结合所给的选项，只有C正确.故选：C．5、嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛.若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个个体的编号为（）45673212123102010452152001125129320492344935823623486969387481A．12B．20C．29D．23答案：C分析：依次从数表中读出答案.依次从数表中读出的有效编号为：12，02，01，04，15，20，01，29，得到选出来的第7个个体的编号为29.故选：C.6、甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队的平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队的平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3．下列说法正确的个数为（）①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③甲队的表现时好时坏．A．0B．3C．2D．1答案：B分析：根据平均数、方差的知识，对四个说法逐一分析，由此得出正确选项.∵甲队平均数大于乙队的平均数，∴甲队的技术比乙队好，又∵甲队的标准差大于乙队的标准差，∴乙队发挥比甲队稳定，甲队的表现时好时坏，故①②③都对．故选：B小提示：本题主要考查平均数、方差在实际生活中的应用，属于基础题.7、甲、乙两名同学都参加了7场篮球比赛，他们的各场比赛得分的情况用如下茎叶图表示，则（）A．甲得分的均值高于乙得分的均值B．甲得分的均值低于乙得分的均值C．甲得分的方差高于乙得分的方差D．甲得分的方差低于乙得分的方差答案：C分析：根据茎叶图可分别计算出甲、乙的得分，根据茎叶图中的数据分布特点可判断甲、乙的方差情况.=23根据茎叶图有：甲得分均值为9+17+23+24+26+30+327乙得分均值为18+19+21+25+25+26+27=237所以甲得分的均值等于乙得分的均值，所以选项A,B不正确.根据茎叶图中的数据分布，可得甲的得分比较分散，乙的分大部分集中在20多分上所以乙的得分比甲得分集中,故甲得分的方差高于乙得分的方差.故选：C小提示：本题考查根据茎叶图的判断均值的大小和方差的大小，属于基础题.8、为了进一步推动全市学习型党组织､学习型社会建设，某市组织开展“学习强国”知识测试，从全体测试人员中随机抽取了一部分人的测试成绩，得到频率分布直方图如图所示.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，则估计这部分人的测试成绩的平均数和中位数分别是（）A．85，87.5B．86.75，86.67C．86.75，85D．85，85答案：B分析：根据平均数和中位数的定义求解即可由题意可知，平均数约为(0.03×77.5+0.05×82.5+0.06×87.5+0.04×92.5+0.02×97.5)×5=86.75；因为前2组的频率和为5×0.03+5×0.05=0.4<0.5，前3组的频率和为5×0.03+5×0.05+5×0.06= 0.7>0.5，所以中位数在[85，90）内，设中位数为x，则5×0.03+5×0.05+(x−85)×0.06=0.5，解得x≈86.67.所以估计这部分人的测试成绩的平均数和中位数分别是86.75，86.67.故选：B.多选题9、在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）A．成绩在[70,80)的考生人数最多B．不及格的考生人数为500C．考生竞赛成绩的众数为75分D．考生竞赛成绩的中位数约为75分答案：AC分析：由频率分布直方图最高矩形成绩在[70,80)，由此可确定对应频率最大，可知分布人数最多，并由此估计得到众数，知AC正确；根据成绩在[40,60)的对应的频率可确定不及格人数，知B错误；根据频率分布直方图估计中位数的方法可求得中位数，知D错误.对于A，成绩在[70,80)的矩形最高，则对应的频率最大，∴成绩分布在此的考生人数最多，A正确；对于B，成绩在[40,60)的频率为(0.005+0.015)×10=0.2，∴不及格的人数为2000×0.2=400人，B错误；对于C，成绩在[70,80)的矩形最高，对应的频率最大，∴众数为75分，C正确；对于D，成绩在[40,70)的频率和为(0.005+0.015+0.020)×10=0.4，设中位数为x，则0.4+(x−70)×0.03=0.5，解得：x=731≈73.33，3∴中位数约为73分，D错误.故选：AC.小提示：方法点睛：利用频率分布直方图估计众数、中位数和平均数的基本方法如下：（1）众数：最高矩形横坐标的中点；（2）中位数：将矩形总面积二等分的点的横坐标；（3）平均数：每个小矩形横坐标中点与对应矩形的面积的乘积的总和.10、统计某校1000名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分为六组，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[130,140)，[140,150]，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．m=0.031B．m=0.31C．100分以下的人数为60D．成绩在区间[120.140)的人数有470人答案：ACD分析：对A,B，通过频率分布直方图中各小长方形的面积和为1，计算得出m的值；对C，通过计算100分以下的的频率，计算出100分以下的人数；对D，计算成绩在区间[120,140)的频率和，计算人数即可.对选项A，B，由图可知，10×(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1，解得m=0.031，故A说法正确，B错误；对选项C，因为100分以下的频率为0.006×10=0.06，所以100分以下的人数为1000×0.06=60，故C说法正确；对选项D，成绩在区间[120,140)内的频率为0.031×10+0.016×10=0.47，所以成绩在区间[120.140)的人数有1000×0.47=470人，故D说法正确.故选：ACD11、下列说法正确的是（）A．调查一个班级学生每周的学习时间适合用普查B．实施简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法C．从某校的5000名学生中抽取30名学生进行体重的统计分析，抽取的30名学生是样本D．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量答案：AB分析：A、B项为针对调查方法和抽样方法的选择，C、D项为样本和样本量的定义辨析，根据具体情况进行分析判断即可.对于A，一个班级的学生相对较少，适合用普查，得出的结论较为准确，故A正确；对于B，抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样方法，故B正确；对于C，从某校的5000名学生中抽取30名学生进行体重的统计分析，抽取的30名学生的体重是样本，故C 错误；对于D，被抽取的200名学生的成绩是样本，样本量是200，故D错误．故选：AB．12、有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i=x i+c(i=1,2,⋅⋅⋅,n),c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同答案：CD分析：A、C利用两组数据的线性关系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x)，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且c≠0，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为x i，则第二组的中位数为y i=x i+c，显然不相同，错误；C：D(y)=D(x)+D(c)=D(x)，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为x max−x min，则第二组的极差为y max−y min=(x max+c)−(x min+ c)=x max−x min，故极差相同，正确；故选：CD13、在某文艺比赛中，由6名媒体代表组成的甲组、12名专家组成的乙组和12名观众代表组成的丙组分别给选手打分(100分制，选手得分为所有评委打分的平均分).已知甲组对某选手打分为;46,50,52,48,48,56,乙组、丙组对该选手打分的平均分分别为48和56,标准差分别为3.7和11.8，则（）A．该选手的得分为51.6B．甲组打分的中位数为50C．相对于丙组，乙组打分稳定性更高D．相对于丙组，乙组对该选手评价更高答案：AC分析：计算出甲组打分平均分，再根据选手得分为所有评委打分的平均分即可求得该选手的得分，即可判断A；将46,50,52,48,48,56,按照从小到大得顺序排列，求得中位数，即可判断B；根据乙组、丙组对该选手打分的标准差即可判断C；根据乙组、丙组对该选手打分的平均分即可判断D.=50,解：甲组打分平均分为46+50+52+48+48+566=51.6,故A正确;∴x=6×50+12×48+12×566+12+12将46,50,52,48,48,56,按照从小到大得顺序排列得46,48,48,50,52,56，所以甲组打分的中位数为48+50=49,B错误;2根据标准差知乙组评委打分的波动小，稳定性更高，故C正确;根据平均数知丙组对选手评价更高，D错误.故选：AC.填空题14、由6个实数组成的一组数据的方差为S12，将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为S22，则S22−S12=________．答案：2分析：根据平均数和方差的定义进行求解即可.因为将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，所以这6个实数组成的一组数据的平均数不变，设为x，设没有变化的4个数与平均数差的平方和为S ，所以S 22−S 12=[S+(2−x )2+(7−x )2]−[S+(5−x )2+(4−x )2]6=2，所以答案是：215、在某市举行的唱歌比赛中，5名专业人士和5名观众代表组成一个评委小组，给参赛选手打分.这10个分数的平均分为8分，方差为12，若去掉一个最高分10分和一个最低分6分，则剩下的8个分数的方差为_____________.附：已知样本数据x 1,x 2,⋯,x n 的平均数x 与方差s 2满足关系式s 2=∑(x i −x )2n i=1n =∑x i 2n i=1−n⋅x 2n .答案：14分析：设这10个分数分别为x 1,x 2,⋯,x 8，6，10，平均数为x ，方差为s 2，x 1,x 2,⋯,x 8的平均数为xʹ，方差为sʹ2，由s 2=12可得x 12+x 22+⋯+x 82=624，从而得到x 1+x 2+⋯+x 8+6+10，得到xʹ，代入sʹ2即可. 设这10个分数分别为x 1,x 2,⋯,x 8，6，10，平均数为x ，方差为s 2，x 1,x 2,⋯,x 8的平均数为xʹ，方差为sʹ2，所以s 2=x 12+x 22+⋯+x 82+36+100−10×8210=12，则x 12+x 22+⋯+x 82=624，则x 1+x 2+⋯+x 8+6+10=10×8，即x 1+x 2+⋯+x 8=64，则xʹ=8，所以sʹ2=624−8×828=14.所以答案是：14.16、福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.分析：根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可.根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05.小提示：本题主要考查了简单随机抽样中的随机数表法，属于容易题.解答题17、某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：√74≈8.602.答案：(1) 增长率超过4000⁄的企业比例为21100，产值负增长的企业比例为2100=150；（2）平均数0.3；标准差0.17.分析：(1)本题首先可以通过题意确定100个企业中增长率超过4000⁄的企业以及产值负增长的企业的个数，然后通过增长率超过4000⁄的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果．(1)由题意可知，随机调查的100个企业中增长率超过4000⁄的企业有14+7=21个，产值负增长的企业有2个，所以增长率超过4000⁄的企业比例为21100，产值负增长的企业比例为2100=150．(2)由题意可知，平均值y =2×(−0.1)+24×0.1+53×0.3+14×0.5+7×0.7100=0.3，标准差的平方：s 2=1100[2×(−0.1−0.3)2+24×(0.1−0.3)2+53×(0.3−0.3)2+14×(0.5−0.3)2+7×(0.7−0.3)2] =1100[0.32+0.96+0.56+1.12]=0.0296，所以标准差s =√0.0296=√0.0004×74≈0.02×8.602≈0.17．小提示：本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查学生从信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题．18、在①55%分位数，②众数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答问题.维生素C又叫L-抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.现从猕猴桃､柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量（单位：mg）各10个数据如下，其中猕猴桃的一个数据x被污损.猕猴桃：104，119，106，102，132，107，113，134，116，x；柚子：121，113，109，122，114，116，132，121，131，117.已知x等于柚子的10个数据中的___________.(1)求x的值与猕猴桃的数据的中位数；(2)分别计算上述猕猴桃､柚子两种食物中测得每100克维生素C含量的平均数.答案：(1)121，中位数为114.5(2)115.4mg，119.6mg分析：（1）先将柚子从小到大排序，若选①，利用55%分位数的定义得到x=121，若选②，利用众数的定义进行也得到x=121，接着代入猕猴桃里面，从小到大排序算出中位数；（2）利用平均数的定义进行计算（1）柚子的10个数据按照从小到大的顺序排列为：109，113，114，116，117，121，121，122，131，132.选①，因为10×55%=5.5，所以柚子10个数据的55%分位数为第6个数，即121，所以x=121.猕猴桃的10个数据按照从小到大的顺序排列为：102，104，106，107，113，116，119，121，132，134，则(113+116)=114.5.中位数为12选②，因为柚子的10个数据的众数为121，所以x=121.猕猴桃的10个数据按照从小到大的顺序排列为：102，104，106，107，113，116，119，121，132，134，则(113+116)=114.5.中位数为12（2）×(102+104+106+107+113+116+119+121+由（1）得每100克猕猴桃维生素C含量的平均数为110132+134)=115.4mg每100克柚子维生素C含量的平均数为1×(109+113+114+116+117+121+121+122+131+10132)=119.6mg。
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第六章 数列二、重难点击本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。
注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。
知识网络四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==++++=ni in n aa a a a S 1321Λ2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 课前热身3．数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832-=,则数列各项中最小项是( B )A ．第４项B ．第５项C ．第６项D ．第７项4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是),3(+∞-5．数列{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ,，则⎩⎨⎧≥-=-=25212n n n a n题型一 归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为),110(97-⨯),110(972-)110(973-，,Λ)110(97-n⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。
可得数列的通项公式为2)1(1nn n a -++=点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。
题型二 应用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 求数列通项例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.⑴23-=nn S解析：⑴当123,1111=-===S a n 时， 当)23()23(,211---=-=≥--n nn n n S S a n 时132-⋅=n又11=a 不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(11n n a n n三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴141,21211-+==+n a a a n n解析：⑴因为14121-+=+n a a n n ，所以)121121(2114121+--=-=-+n n n a a n n所以)3111(2112-=-a a)5131(2123-=-a a43111()257a a -=-…，…，1111()22321n n a a n n --=---以上)1(-n 个式相加得)1211(211--=-n a a n即：24342411--=--=n n n a n 点拨：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若),(1n f a a nn =+求n a 用累乘法，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。
课外练习3设1212111++++++=n n n a nΛ，(*∈N n )，则n n a a 与1+的大小关系是( C ) A ．n n a a >+1 B ．n n a a =+1 C ．n n a a <+1 D ．不能确定 解：因为0221321113212211<+-+=+-+++=-+n n n n n a a n n所以n n a a <+1，选Ｃ． 二、填空题5．已知数列{}n a 的前n 项和，142+-=n n S n 则⎩⎨⎧≥-=-=)2(,52)1(,2n n n a n7．已知数列{}n a 的通项9998--n n （*∈N n ），则数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是910a a ，解：构造函数99989919998--+=--=x x x y由函数性质可知，函数在)99(，-∞上递减，且1<y 函数在），＋∞99(上递增且1>y最小最大，），又910921301211101109(99a a a a a a a a a ∴>>>>>>>>>∴∈ΛΛ三、解答题等差数列知识要点2．递推关系与通项公式为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),(1+==-+=),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
３．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2ca b+=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。
４．前n 项和公式2)(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+=),()(,)2(22212为常数即特征：B A BnAn S Bn An n f S n da n d S n n n +=+==-+=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。
⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。
６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列 课前热身2．等差数列{}n a 中，)(31,1201191210864Ca a a a a a a 的值为则-=++++A ．14B ．15C ．16D ．171651203232)(32)2(31318999119=⋅==-=+-=-a d a d a a a a。
3．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。
解：0912129=-=S S S S ，Θ解003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，，∴{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。
4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ΛΛ，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，前10项的和为10100=S11022101010010221029101010011010100110-=-⋅++=∴+=--=∴=⨯⨯+⨯∴）（又，S DS S S D D 10210102)10(29840242)1(129850max 22==+--=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+--=y n n n n n n n n y 时，所以当６．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，， ①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，，Λ中哪一个值最大，并说明理由。
d )(n f a n =n n a n S {}n a "2"≥n解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=3724308240)82(213)(2132)(1372407240)72(63113131133-<<--<∴<+∴<+=+=+=->∴>+∴>+=d d d d a a a a a S d d d a 从而又 ②最大。
，6677137612000130)(6S a a a S a a S ∴><∴<=>+=Θ课外练习 一、 选择题1． 已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( D )32313132．．．．D C B A -- 2． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于（ A ）A ．15B ．30C ．31D ．64151212497=∴+=+a a a a a Θ解：二、填空题3． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-==544． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则5． 设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点ΛΛ,),2,1(321F P F P F P i P i ，，使=组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-10100101，， 解：椭圆的焦点F 到椭圆上的点最大、最小距离分别为）和（17)17(-+，由题意得：1010010101012011217)117≤<<≤-∴≠≤∴≥--=∴+=-+-d d d d n n d d n 或，又（）（Θ 三、解答题6． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，①求通项n a ；②若n S =242，求n 解：d n a a n )1(1-+=102212501930950301112010+=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+==n a d a d a d a a a n 解方程组，由2)1(1dn n na S n -+=，n S =242 舍去）或解得(221124222)1(12-===⋅-+∴n n n n n 7． 甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？ 解：①设n 分钟后第一次相遇，依题意有：舍去），解得(2077052)1(2-===+-+n n n n n n 故第一次相遇是在开始运动后7分钟。
②设n 分钟后第二次相遇，则：舍去），解得(281570352)1(2-==⨯=+-+n n n n n n 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。