高中数学知识点总结与题库

第六章 数列

二、重难点击

本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

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四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==

++++=n

i i

n n a

a a a a S 1

321Λ

2．⎩⎨

⎧≥-==-2

1

1

1

n S S n S a n n n 课前热身

3．数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832

-=,则数列各项中最小项是( B )

A ．第４项

B ．第５项

C ．第６项

D ．第７项

4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2

,则实数λ的取值范围是),3(+∞-

5．数列{}n a 的前n 项和142

+-=n n S n ,，则⎩⎨

⎧≥-=-=2

5

212

n n n a n

题型一 归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…

⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为

),110(9

7-⨯),110(972-)110(973-，,Λ)110(97

-n

⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为

2

)1(1n

n n a -++=

点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二 应用⎩⎨

⎧≥-==-)

2()

1(1

1

n S S n S a n n n 求数列通项

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.

⑴23-=n

n S

解析：⑴当123,11

11=-===S a n 时， 当)23

()23(,21

1---=-=≥--n n

n n n S S a n 时

132-⋅=n

又11=a 不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==-)

2(3

2)1(11n n a n n

三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴141

,2

1211

-+

==

+n a a a n n

解析：⑴因为141

21-+=+n a a n n ，所以

)1

21

121(2114121+--=-=-+n n n a a n n

所以)31

11(2112-=-a a

)51

31(2123-=-a a

43111

()257

a a -=-

…，…，

1111

()22321

n n a a n n --=---

以上)1(-n 个式相加得

)1

211(211--=

-n a a n

即：2

43

42411--=

--=n n n a n 点拨：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若

),(1

n f a a n

n =+求n a 用累乘法，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。

课外练习

3设1

212111++

++++=

n n n a n

Λ，(*

∈N n )，则n n a a 与1+的大小关系是( C ) A ．n n a a >+1 B ．n n a a =+1 C ．n n a a <+1 D ．不能确定 解：因为

02213211

1

3212211<+-+=+-

+++=

-+n n n n n a a n n

所以n n a a <+1，选Ｃ． 二、填空题

5．已知数列{}n a 的前n 项和，142

+-=n n S n 则⎩⎨

⎧≥-=-=)

2(,52)

1(,2n n n a n

7．已知数列{}n a 的通项

9998--n n （*

∈N n ），则数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是910a a ，

解：构造函数

99

9899199

98--+

=--=

x x x y

由函数性质可知，函数在)99(，-∞上递减，且1y

最小

最大，）

，又9109

21301211101109(99a a a a a a a a a ∴>>>>>>>>>∴∈ΛΛ三、解答题

等差数列

知识要点

2．递推关系与通项公式

为常数）

即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),

(1+==-+=

),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成

等差数列的充要条件。 ３．等差中项：

若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2

c

a b

+=

；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 ４．前n 项和公式

2)(1n a a S n n += ； 2

)1(1d n n na S n -+=

)

,()(,)2(22

212为常数即特征：B A Bn

An S Bn An n f S n d

a n d S n n n +=+==-+=

是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*

∈N q p n m 其中

⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。

⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2

⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等

差数列

②中项法：

)22

1*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数

列

③通项公式法：

),(为常数b k b

kn a n +=⇒{}n a 是等差数

列

④前n 项和公式法：

),(2为常数B A Bn

An S n +=⇒{}n a 是

等差数列 课前热身

2．等差数列{}n a 中，

)

(3

1

,1201191210864C

a a a a a a a 的值为则-=++++

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

165

1203232)(32)

2(3

1

318999119=⋅==-=+-=-a d a d a a a a

。

3．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前10

或11项的和最大。

解：0912129=-=S S S S ，Θ

解