第二章优化设计的理论与数学基础
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机械优化设计总复习
机械优化设计总复习
1
第一章 机械优化设计的基本概念和理论
机械优化设计过程包括： (1) 将实际问题加以数学描述，形成数学模型； (2) 选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运
算求解。
2
• 建立最优化问题数学模型的三要素：
• （1）设计变量和参数。
•
设计变量是由数学模型的解确定的未知数。
• （2）约束或限制条件。
解析解法 图解法 数值解法
8
第二章 优化设计的数学基础
多元函数的梯度
f
x1
f
X
f xf2
f X
x1
xn
f X
x2
f X
xn
T
9
例1：求二次函数 fx 1 , x 2 x 1 2 x 2 2 4 x 1 4 在点 3,2T
处的梯度。
解：
f
f
(
x)
x1 f
x2x1
2 f
xn
x1
2 f
x1x2
2 f x22
2 f xnx2
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
x
海色（Hessian）矩阵 H ( x ) 正定，即各阶主 子式均大于零，则X*为极小点。
15
4、凸规划
对于约束优化问题
min f X
s .t . gj X 0 (j1,2,3,,m) 若 f X g j X 都为凸函数，
则称此问题为凸规划。
16
六、不等式约束优化问题的极值条件
对于多元函数不等式的约束优化取得极值的条 件：
库恩—塔克条件
f x m xi j 1
1
第一章 机械优化设计的基本概念和理论
机械优化设计过程包括： (1) 将实际问题加以数学描述，形成数学模型； (2) 选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运
算求解。
2
• 建立最优化问题数学模型的三要素：
• （1）设计变量和参数。
•
设计变量是由数学模型的解确定的未知数。
• （2）约束或限制条件。
解析解法 图解法 数值解法
8
第二章 优化设计的数学基础
多元函数的梯度
f
x1
f
X
f xf2
f X
x1
xn
f X
x2
f X
xn
T
9
例1：求二次函数 fx 1 , x 2 x 1 2 x 2 2 4 x 1 4 在点 3,2T
处的梯度。
解：
f
f
(
x)
x1 f
x2x1
2 f
xn
x1
2 f
x1x2
2 f x22
2 f xnx2
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
x
海色（Hessian）矩阵 H ( x ) 正定，即各阶主 子式均大于零，则X*为极小点。
15
4、凸规划
对于约束优化问题
min f X
s .t . gj X 0 (j1,2,3,,m) 若 f X g j X 都为凸函数，
则称此问题为凸规划。
16
六、不等式约束优化问题的极值条件
对于多元函数不等式的约束优化取得极值的条 件：
库恩—塔克条件
f x m xi j 1
机械优化设计-数学基础
ε高级无穷小量 有： z Δ
P0 P
= f x′ ( x0 , y0 )
Δx P0 P
′ + f y ( x0 , y 0 )
Δy P0 P
+
ε
P0 P
对上式取极限得：
∂z ′ = f x′ ( x0 , y0 ) cos α + f y ( x0 , y0 ) sin α ∂α
∂z 点P0切线方向导数 ∂t
写成矩阵形式
∂f ( x0 , y0 ) ∂f ( x0 , y0 ) ⎡ Δx ⎤ f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) + [ , ]⎢ ⎥ ∂x ∂y ⎣ Δy ⎦ ⎡ ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) ⎢ 1 ∂x 2 + [ Δx , Δy ]⎢ 2 ⎢ ∂ f ( x0 , y 0 ) 2! ⎢ ∂x∂y ⎣ ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) ⎤ ⎥ Δx ∂x∂y ⎥⎡ ⎤ + ∂ 2 f ( x0 , y0 ) ⎥ ⎢ Δy ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ 2 ∂y ⎦ ⎡ Δx ⎤ 1 ⎡ Δx ⎤ 2 T = f ( x0 , y0 ) + ∇ f ( x0 , y0 ) ⎢ ⎥ + [ Δx Δy ]∇ f ( x0 , y0 ) ⎢ ⎥ + ⎣ Δy ⎦ 2 ⎣ Δy ⎦
f ( x0 + Δx , y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 ) P0 P
lim P P →0
0
存在，此极限称为函数沿 方向d的导数，记为：
∂z , α = 0, 偏导数 ∂x
∂z ( ) P0 , 或 f d′ ( x0 , y0 ) ∂d
由于
∂z π ,α= 2 ∂y
现代设计理论与方法(优化设计第二章)
证明：作变换 X Y Q b 式中： (Y ) f (Y Q 1b)
1
致 1 结论：Q为正定矩阵的二次型 Y QY 的等值面是以 Y 0知 2 的同心椭球面族。原二次函数就是以 X Q b 为中 力 行 心的同心椭球面族，椭圆中心为极小值点。
0
f x2
f xn x
T
0
明 德x0
f i 1 xi
n
cos i f ( x0 )T d f ( x0 ) cos(f , d )
x0
多元函数的梯度的模：
f 1/ 2 f ( x0 ) [ ( ) ] i 1 xi x0
x2 1
该方向上的单位向量为
4 2 2 5 0 5 f ( x ) e 0 2 2 1 f ( x ) 4 (2) 5 5
2 2 1 0 5 5 5 5 新点 x x1 x 0 e 1 1 1 5 1 5 5 5
明 德 任 责
Q为对称矩阵，f ( X ) X T QX
二次型
f ( X ) 致 2QX
知 力 行
第二节 多元函数的泰勒展开
1、一元函数
f x 在
x x0
点处的泰勒展开为：
1 x0 x f x0 x 2 f x f x0 f 2
f x1 x x2 x 2 0
2 f x1x2 x1 2 x f 2 致 2 知 x2 x
0
明 德 任 责
力 行
2 f x12 令 G ( x0 ) 2 f x x 2 1
1
致 1 结论：Q为正定矩阵的二次型 Y QY 的等值面是以 Y 0知 2 的同心椭球面族。原二次函数就是以 X Q b 为中 力 行 心的同心椭球面族，椭圆中心为极小值点。
0
f x2
f xn x
T
0
明 德x0
f i 1 xi
n
cos i f ( x0 )T d f ( x0 ) cos(f , d )
x0
多元函数的梯度的模：
f 1/ 2 f ( x0 ) [ ( ) ] i 1 xi x0
x2 1
该方向上的单位向量为
4 2 2 5 0 5 f ( x ) e 0 2 2 1 f ( x ) 4 (2) 5 5
2 2 1 0 5 5 5 5 新点 x x1 x 0 e 1 1 1 5 1 5 5 5
明 德 任 责
Q为对称矩阵，f ( X ) X T QX
二次型
f ( X ) 致 2QX
知 力 行
第二节 多元函数的泰勒展开
1、一元函数
f x 在
x x0
点处的泰勒展开为：
1 x0 x f x0 x 2 f x f x0 f 2
f x1 x x2 x 2 0
2 f x1x2 x1 2 x f 2 致 2 知 x2 x
0
明 德 任 责
力 行
2 f x12 令 G ( x0 ) 2 f x x 2 1
优化设计的数学基础
a11 a12 a11 0, a11 a12 a21 a22 0, , a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n ann 0
即矩阵A的各阶主子式均大于零。当矩阵A为正定时，其对应的二次型 为正定二次型。 如果实二次型 XTAX 中的矩阵A的各阶主子式负、正相间（即所 有奇数阶主子式小于零，而所有偶数阶主子式大于零），即
■ 函数的泰勒近似展开式和黑塞矩阵 ■ 无约束优化问题的极值条件 ■ 凸函数与凸规划 ■
约束优化问题的极值条件
2.1 二次型与正定矩阵
在介绍优化方法时，常常是将二次型函数作为对象。其原因除了 二次型函数在工程优化问题中有较多的应用且比较简单之外，还因为 任何一个复杂的多元函数都可采用泰勒二次展开式做局部逼近，使复 杂函数简化为二次函数。因此，需要讨论有关二次型函数的问题。
A 称为二次型矩阵，因为 aij = aji ，所以 A =AT，称为对称矩阵，
因此二次型矩阵都是对称矩阵。
2. 正定矩阵
在采用泰勒二次近似展开式讨论函数的极值时，常要分析二次型 函数是否正定或负定。二次型的正定与负定的定义简述如下： 如果对于任意的非零向量 X = [x1, x2, …，xn]T，即x1，x2，…，xn 不全为零，若有 XTAX > 0，则称此二次型 f (X)=XTAX 是正定二次 型， 其对应的矩阵A 称为正定矩阵； 若有 XTAX ≥0，则称此二次型 f (X) = XTAX 为半正定二次型，并称 其相应的矩阵A为半正定矩阵； 若有XTAX < 0，则称此二次型 f (X)=XTAX 为负定二次型，其对应 的矩阵A为负定矩阵。 矩阵A的正定与负定的判别，可用矩阵A的各阶顺序主子式的正负 来判别。矩阵A的正定条件是：
a1n a2 n ann
第2章 优化方法的数学基础
X ∈ D 对满足 ,
F ( X ) ( X X * ) ≥ 0
*
T
注意: 注意:
不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中, 不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中,要证明一个 优化问题是否为凸规划,一般比较困难, 优化问题是否为凸规划,一般比较困难,有时甚至比求解优化问题本 身还要麻烦.尤其对一些工程问题,由于其数学模型的性态都比较复 身还要麻烦.尤其对一些工程问题, 杂,更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解,从中选择目标函 数值最好的解. 数值最好的解.
2 2
设: 则有
cos θ1 s≡ 为单位向量. 为单位向量. cos θ 2 F = F ( x0 )T s = F ( x0 ) cos(F , s ) x s 0
梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模 梯度方向是函数值变化最快的方向, 就是函数变化率的最大值 .
x2 x0
-f(x0) 最速下降方向 下降方向 变化率为零的方向 上升方向 f(x 0) 最速上升方向
凸规划的一些性质: 凸规划的一些性质: 1)可行域 D = X g j ( X ) ≤ 0
{
j = 1, 2, , m
}
为凸集; 为凸集;
2)凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 为凸规划问题 最优解的充分必要条件 规划问题的 可微, 3 ) 若 F ( X ) 可微 , 则 X* 为凸规划问题的 最优解的充分必要条件 为: 对任意
0
机械优化设计第二章
第二章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
二次n维函数用向量和矩阵的表示方法：
若f ( x)是n维函数，则可按下式化为向量及矩阵形式： f ( x) f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j bk xk c
i 1 j 1 k 1 n n n
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。 二元函数的偏导数： 一个二元函数f ( x1 , x2 )在点x0 ( x10 , x20 )处的偏导数是
f x1 f x2 f x10 x1 , x20 f x10 , x20 lim x1 0 x1 f x10 , x20 x2 f x10 , x20 lim x2 0 x2
向量d1的方向为：1 2 向量d 2的方向为：1
4
，
3
， 2
6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f T x f f 梯度： 二元函数f ( x1 , x2 )在点x0处的梯度是f ( x 0 ) 1 , f x1 x2 x0 x 2 x
d 0
偏导数与方向导数之间的数量关系：
f d lim
x0
f x10 x1 , x20 x2 f x10 , x20 d
d 0
lim lim f x1
d 0
f x10 x1 , x20 x2 f ( x10 x1 , x20 ) x2 x2 cos 1
Kuhn-Tucker条件
f x1, x2 4x12 5x22 的极值点坐标。
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
在工程中大多数优化问题，可表示为不等式约束 条件的优化问题。
有必要引出非线性优化问题的重要理论，是不等式 约束的多元函数的极值的必要条件。
库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件
一、一元函数在给定区间上的极值条件
h1 x, a1 g1 x a12 a x a12 0 h2 x,b1 g2 x b12 x b b12 0
则该问题的拉格朗日函数
F x, a1,b1, 1, 2 f x 1h1 x, a1 2h2 x,b1
f x 1 a x a12 2 x b b12
微函数f(x)在某一点 x(k )的一阶偏导数为：
f (xk ) ，f (xk ) ，… ，f (xk )
x1
x2
xn
它表示函数f(x)值在x(k )点沿各坐标轴方向的变
化率。
有一个二维函数，如图2-1所示。
图2-1 函数的方向导数
其函数在 x0点沿d方向的方向导数为
f x0
f
x (0) 1
f x0 T
f x0
,
,...
x1
x2
xn
沿d方向的方向向量
cos1
d
cos
2
...
cos
n
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
图2-5 梯度方向与等值面的关系
第二节 多元函数的泰勒展开
若目标函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零，即
对于二维函数 f x1, x2 在 x0 点处的梯度
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
在工程中大多数优化问题，可表示为不等式约束 条件的优化问题。
有必要引出非线性优化问题的重要理论，是不等式 约束的多元函数的极值的必要条件。
库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件
一、一元函数在给定区间上的极值条件
h1 x, a1 g1 x a12 a x a12 0 h2 x,b1 g2 x b12 x b b12 0
则该问题的拉格朗日函数
F x, a1,b1, 1, 2 f x 1h1 x, a1 2h2 x,b1
f x 1 a x a12 2 x b b12
微函数f(x)在某一点 x(k )的一阶偏导数为：
f (xk ) ，f (xk ) ，… ，f (xk )
x1
x2
xn
它表示函数f(x)值在x(k )点沿各坐标轴方向的变
化率。
有一个二维函数，如图2-1所示。
图2-1 函数的方向导数
其函数在 x0点沿d方向的方向导数为
f x0
f
x (0) 1
f x0 T
f x0
,
,...
x1
x2
xn
沿d方向的方向向量
cos1
d
cos
2
...
cos
n
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
图2-5 梯度方向与等值面的关系
第二节 多元函数的泰勒展开
若目标函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零，即
对于二维函数 f x1, x2 在 x0 点处的梯度
最优化_第2章 优化设计的数学基础
(0) (0) f ( x1(0) , x2 x2 ) f ( x1(0) , x2 ) f ( x) lim x2 X ( 0) x2 0 x2
分别表示沿坐标轴x1和x2方向在X (0)处的f(X)变化率。
§2.1
多元函数的导数与梯度
(0) (0) f x1(0) x1 , x2 x2 f x1(0) , x2 f lim d X ( 0 ) d 0 d (0) (0) (0) f x1 x1 , x2 f x1(0) , x2 x1 lim d 0 x1 d
n元函数极值充分条件:海塞矩阵为正定。
2 f 2 x 1 2 f x2 x1 (0) G( X ) 2 f xn x1
2 f xn x2
§2.4
凸集、凸函数与凸规划
f X f X*
函数f(X)在X*附近的一切X均满足不等式
2.二阶导数（ Hessian矩阵)判断
Hessian矩阵G(X)在R上处处半正定。
(0) 1 (0) 2
X (0)
x2
§2.2
多元函数的泰勒展开
二元函数泰勒展开矩阵形式:
f x1 , x2 f X
(0)
f ( X
(0) T
1 ) X X TG ( X (0) )X 2
2 f x 2 1 其中: G ( X (0) ) 2 f x2 x1
2 2
2 5 5 5 1 5 1 5 5
f
X
(1)
26 3x 4 x1 x2 x |X ( 0 ) 5 2 5
2 1
优化设计第2章 优化设计
x1 d , x2 l
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则
第二章-优化设计
优化数学模型： 设计变量：
X x1 x2
T
x3
目标函数：
min f X x1 x2 2 x1 x3 x2 x3
x2
1 1 x1 x2 10 x x1 2 约束条件：
g1 X 4 x1 0 g 2 X x2 0
设计变量X
设计常 量
设计变量:在优化设计过程中需要调整和优选的参数。
特点：
（1）实际工程设计对象的不同，则选取的设计变量也就不同。 它可以是几何参数：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺寸 等；也可以是某些物理量：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯 性矩等；还可以是代表机器工作性能的导出量：如应力、变形等。 总之，设计变量必须是对该项设计性能指标优劣有影响的参数。 （2）设计变量是一组相互独立的基本参数。它的每一个分量都 是相互独立的。
x1
二、优化设计数学模型
可以看出，优化设计的数学模型需要用设计变量、 目标函数和约束条件等基本概念进行描述，可以写成以 下统一的形式： 设计变量：
X x1 , x2 xn 目标函数：
T
f ( X ) f ( x1 , x2 , xn )
约束条件：
不等式约束条件： 等式约束条件：
综上所述，优化数学模型是对实际问题的数学描述和概括，是进行优 化设计的基础。因此，根据设计问题的具体要求和条件建立完备的数学模 型是关系优化设计成败的关键。数学模型的最优解是否是实际问题的最优 解，完全取决于数学模型和实际问题的符合程度。
三、优化问题的分类
一维无约束优化问题 无约束优化问题 工 程 优 化 问 题 多维无约束优化问题
2
3）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
优化设计基础PPT讲稿
其中，x1 x1 x10，x2 x2 x20
二元函数泰勒展开式的矩阵形式：
f
x
f
x0
f x1
f x2
x0
x1
x2
1 2
x1
2 f
x2
x12 2 f
x2x1
f
x0
f
T
1T
x0 x x G
x0
x …
2
2 f
x1x2 2 f x22
x0
例：设目标函数f (x)
f (x1, x2 ) 4
x12 x2 , 求点x0
[1
1]T 处沿
d1和d2两个方向的方向导数。
向量d1的方向为：1
2
，
4
向量d2的方向为：1
3
，2
6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f
梯度：二元函数f
(x1, x2 )在点x0处的梯度是f
优化设计基础课件
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。
二元函数的偏导数：
一个二元函数f (x1, x2 )在点x0 (x10 , x20 )处的偏导数是
f lim f x10 x1, x20 f x10 , x20
(x0 )
x1
f
x2
x0
f
x1
T
f
,
x2
x0
方向导数与梯度的关系： f f (x0 )T d f (x0 ) cos(f , d) d x0
二元函数f
(
x1,
x2
第二章 优化设计
max
l 。这是一个合理选择 d 和 l
Fl w 0.1d 3
T 3 0.2d
②刚度条件：
挠度表达式
Fl 3 64 Fl 3 f f 3EJ 3Ed 4
③结构尺寸边界条件： l lmin 8 cm 将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，可归纳为 如下数学模型：
3
例2-2 现用薄钢板制造一体积为5 m ，长度不小于4m的无上盖 的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、 宽和高的尺寸。 解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。 设货箱的长、宽、高分别为 x1 , x2 , x3，货箱的表面积为S，则 该问题的物理表达式为： (1) 货箱的钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少：
设计变量：
X [ x1 x2 ]T
1 1 ) x2 x1
目标函数的极小化： min f ( X ) x1 x2 2( x1 x3 x2 x3 ) x1 x2 10(
约束条件：
g1 ( X ) 4 x1 0 g 2 ( X ) x2 0 h( X ) 5 x1 x2 x3 0
例2-3 某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材 料9kg、3个工时、4kw电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材 料4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若每天能供应材料360kg， 有300个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天 可能获得的利润最大。 解：这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又 使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。 设每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1 , x2 件，每天获得的利润可 用函数 f ( x1 , x2 ) 表示，即
l 。这是一个合理选择 d 和 l
Fl w 0.1d 3
T 3 0.2d
②刚度条件：
挠度表达式
Fl 3 64 Fl 3 f f 3EJ 3Ed 4
③结构尺寸边界条件： l lmin 8 cm 将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，可归纳为 如下数学模型：
3
例2-2 现用薄钢板制造一体积为5 m ，长度不小于4m的无上盖 的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、 宽和高的尺寸。 解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。 设货箱的长、宽、高分别为 x1 , x2 , x3，货箱的表面积为S，则 该问题的物理表达式为： (1) 货箱的钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少：
设计变量：
X [ x1 x2 ]T
1 1 ) x2 x1
目标函数的极小化： min f ( X ) x1 x2 2( x1 x3 x2 x3 ) x1 x2 10(
约束条件：
g1 ( X ) 4 x1 0 g 2 ( X ) x2 0 h( X ) 5 x1 x2 x3 0
例2-3 某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材 料9kg、3个工时、4kw电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材 料4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若每天能供应材料360kg， 有300个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天 可能获得的利润最大。 解：这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又 使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。 设每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1 , x2 件，每天获得的利润可 用函数 f ( x1 , x2 ) 表示，即
机械优化设计ppt课件第二章机械优化设计的数学基础
f(x)f(x(k))f(x(k))(xx(k))1f(x(k))(xx(k))2 2
f(x(k))f(x(k))x1f(x(k)) x2 2
二元函数f (x1，x2)的泰勒展开：
f(x1,x2)f(X(k))fx1(X(k))(x1x1(k))fx2(X(k))(x2x2(k))
1 2[fx12(X(k))(x1x1(k))22fx1x2(X(k))(x1x1(k))(x2x2(k))
f (X (k))
ds X (k ) min
df
f (X (k))
ds X (k ) max
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11
所以，目标函数在某一点的最速下降方向为 负梯度方向
与负梯度方向成锐角的方向为目标函数 值的下降方向，成钝角的方向为目标函 数值的增加方向。
• 目标函数的梯度方向是目标函数等值线 （面）在同一点的法向矢量方向。
一个点集（或区域），如果连接其中任
意两点的线段都全部包含在该点集内，则 称该点集为凸集。否则，称为非凸集。
• 凸函数（见图2M10）
设函数f (X)定义域为凸集G，X(1)、X(2)
为凸集G上的任意两点，若函数f (X)在线段
X(1)X(2)上的函数值总小于或等于用f (X(1))及
f (X(2))作线性内插所得的值，则称函数f (X)
6
• 目标函数的等值线（面）
• 可计算函数与等值面
给定一组设计变量的值，就对应一个确
定的目标函数值f(X)=C，具有这种性质的 函数叫可计算函数。反之，给定目标函数 f(X)的值C，即f(X)=C，那么将有无限多个 设计点X使该式成立，这些设计点在n维设 计空间中将组成一个点集，称之为等值曲 面（三维空间）或等值超曲面（n>3），通 称等值面。在二维平面中为等值线。若给
第二章优化设计的数学基础
第二章优化设计的数学基础优化设计是指通过调整设计要素，使得设计达到最佳状态的过程。
在实际应用中，优化设计可以应用于各个领域，包括工程设计、经济决策、生产流程以及物流等等。
在进行优化设计时，我们需要依赖数学的基础知识和方法。
本文将介绍一些常用的数学基础，帮助我们更好地理解和应用优化设计。
首先，优化设计离不开数学模型的建立。
数学模型是对实际问题进行抽象和描述的工具。
它可以将实际问题转化为数学问题，从而进行具体的计算和推理。
常见的数学模型包括线性规划模型、非线性规划模型、整数规划模型等等。
通过建立数学模型，我们可以对设计进行量化和形式化的描述，为后续的优化设计提供依据。
其次，数学中的最优化理论也是优化设计的重要基础。
最优化理论主要研究如何在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优值的决策变量取值。
最优化问题可以分为无约束优化和约束优化两种情况。
无约束优化即在没有约束条件下寻求最优解，而约束优化则在给定一定约束条件下寻找最优解。
在实际的优化设计中，往往需要处理复杂的问题，例如多目标优化、多变量优化等等，并应用最优化理论来解决这些问题。
另外，数值方法是优化设计中不可或缺的工具。
数值方法通过使用数值计算的方法，对优化问题进行求解。
常见的数值方法有穷差法、梯度法、遗传算法等等。
这些方法通过迭代计算的方式，逐步接近最优解。
在实际中，由于优化问题的复杂性，往往难以找到解析解，因此数值方法的应用变得尤为重要。
最后，敏感性分析也是优化设计中的重要工具。
敏感性分析主要研究问题中各个因素对最优解的影响程度。
通过敏感性分析，我们可以了解到设计要素的重要性，从而进行针对性的调整和优化。
敏感性分析方法包括参数敏感性分析、目标函数敏感性分析等等。
通过敏感性分析，我们可以进一步了解设计问题，为优化设计提供实际的参考意见。
综上所述，数学是优化设计的基础。
通过数学模型的建立、最优化理论的应用、数值方法的求解以及敏感性分析的研究，我们能够更好地理解和应用优化设计。
优化设计 第二章(基本概念)
= ∇ f ( x ( 0 ) ) T S = ∇ f ( x ( 0 ) ) ⋅ S ⋅ cos ∇ f , S
( 0) (0) 其中： ∇f ( x ( 0) ) = ∂f ( x ) , ∂f ( x ) T
∂x1
∂x2
是 X(0)点的梯度。
s方向的单位向量: S = cos 2 α1 + cos 2 α 2 = 1 。
(k))，f(x)
总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲 面，称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。 当f(x)是二维时，获 得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获 得一族等值面族； 当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(X) ≤ 0 的部分和不满足约 束条件 gu(X) > 0 的部分。
设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有约束的约束面将组成一个复合的约束 曲面，包围了设计空间中满足所有约束条件的区域，称为设计 可行域 。 记作
=
{x
g u(x) ≤ 0 h v (x) = 0
第二章 优化问题的数学模型和基本概念
§2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件
§2.1 优化设计的数学模型
一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤
§2.2 优化设计的三大要素
( 0) (0) 其中： ∇f ( x ( 0) ) = ∂f ( x ) , ∂f ( x ) T
∂x1
∂x2
是 X(0)点的梯度。
s方向的单位向量: S = cos 2 α1 + cos 2 α 2 = 1 。
(k))，f(x)
总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲 面，称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。 当f(x)是二维时，获 得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获 得一族等值面族； 当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(X) ≤ 0 的部分和不满足约 束条件 gu(X) > 0 的部分。
设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有约束的约束面将组成一个复合的约束 曲面，包围了设计空间中满足所有约束条件的区域，称为设计 可行域 。 记作
=
{x
g u(x) ≤ 0 h v (x) = 0
第二章 优化问题的数学模型和基本概念
§2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件
§2.1 优化设计的数学模型
一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤
§2.2 优化设计的三大要素
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Fx"1 x1 A, Fx"1 x 2 B, Fx"2 x 2 C
Fx"1 x1 Fx"1 x 2 Fx"1 x1 0 AC B 0 0 * " " B C Fx 2 x1 Fx 2 x 2 H(X ) " Fx 2 x1 " A0 Fx1 x1 0
梯度是一个向量,其方向是函 (K ) 数在 X 点处数值增长最快的 方向.
7
2.2 目标函数的等值线(面)
8
9
2.3 无约束目标函数极值点存在条件
函数的极值与极值点
10
极值点存在条件
一元函数的情况 极值点存在的必要条件
F ' ( x*) 0
的点称为驻点，极值点必为驻点，但驻 点不一定为极值点。 极值点存在的充分条件 若在驻点附近 F '' ( x * ) 0
T 1 F ( X ) Fk F X X T H k X 2
X [x1 , x2 , xn ]T
Fx"1 x1 " (k ) Fx 2 x1 Hk H ( X ) ... " Fxnx1 Fx"1 x 2 Fx"2 x 2 ...
第二篇 机械优化设计
第二章 优化设计的理论与数学基础
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 目标函数的泰勒(Taylor)展开式 目标函数的等值线(面) 无约束目标函数极值点存在条件 凸集与凸函数
约束极值点条件 2 .6 优化计算的数值解法及收敛条件
1
二次函数的矩阵表示方法(补充)
2 二元二次函数 F ( X ) F ( x1 , x2 ) ax12 bx1 x2 cx2 dx1 ex2 f
(二阶偏导数矩阵) n×n阶的对称方阵
6
一阶偏导数矩阵 称为函数在K点的梯度：
F
" xixj
ห้องสมุดไป่ตู้
F
" xjxi
F ( X
(K )
F ( X ) x1
(K )
) F ( X , x2
(K )
)
F ( X , xn
(K )
)
T
) F ( X (K ) ) 称为函数在 X ( K点的梯度.
F ' ( x*) 0
则x *点为极大点
则x *点为极小点
11
F '' ( x * ) 0
二元函数的情况
多元函数的情况:
(一)极值存在的必要条件: 各一阶偏导数等于零
Fx' 1 0 ' * Fx 2 0 H F ( X ) ... ... ' Fxn 0
2
A B
Fx"1 x 2 正定 " Fx 2 x 2
15
小结:无约束目标函数极值点存在条件
极值存在的必要条件: 各一阶偏导数等于零
Fx' 1 0 ' * Fx 2 0 H F ( X ) ... ... ' Fxn 0
的极值点必须满足
f ( X ) 4 x1 2 x3 0 x1
f ( X ) 10 x2 2 x3 6 0 x2
f ( X ) 2 x1 2 x2 2 x3 0 x3
解此联立方程得：
x1 1,
x2 1,
x3 2
X * [1 ,1 ,2]T 即点 此驻点是否为极值点。
各阶主子行列式均 大于零→正定
16
例题
2 试判断X0=[2 4]T是否为下面函数的极小点：F ( X ) x14 2 x12 x2 x12 x2 4 x1 5
解：
Fx' 1 4 x13 4 x1 x2 2 x1 4 0 F ( X 0 ) ' 2 2 x1 2 x2 0 Fx 2 满足极值存在的必要条件
*
T 1 F ( X ) F ( X ) F X X T H ( X * )X 2
*
若：
=0
二次型>0
处处F(X) >F(X*), 故点X*为极小点
13
什么是矩阵正定、负定、不定？
a11 a12 a 21 a22 A ... ... an1 an 2 ... a1n ... a2 n ... ... ... ann a11 a21 ... a12 a22 ... ... a1n ... a2 n ... ... 0
f "( x* ) 0
Fx"1 x1 0
F
" x1 x1
f "( x* ) 0
Fx"1 x1 0
F
2 " x1 x 2
F
" x2x2
0
《高等数学》：设函数F(X)=F(x1,x2)在点X*的某邻域内连续且有一阶及二 阶连续偏导数，在点X*有F'x1=0、 F'x2=0，令：
为一驻点。再利用海赛矩阵的性质来判断 18
2 f ( X (*) ) x x 1 1 2 f ( X (*) ) (*) H(X ) x2 x1 2 f ( X (*) ) xn x1
a11 a21
①若各阶主子行列式均大于零→正定
a11 a11 0
a11 a12 a11 a22 a12 a21 0
a21 a22
an1 an 2 ... ann
②若各阶主子行列式如下→负定
a11 0
a11 a12 a21 a22 0
a11 a31 a12 a32 a13 a23 0 a33
驻点
极值存在的充分条件: 海赛矩阵H(X*)正定→点X*为极小点
Fx"1 x1 " (k ) Fx 2 x1 H(X ) ... " Fxnx1 Fx"1 x 2 Fx"2 x 2 ...
" Fxnx 2
... Fx"1 xn " ... Fx 2 xn ... ... " ... Fxnxn
验证:
2a b x1 d 2ax1 bx2 d F ( X ) AX B x e bx 2cx e 2 b 2c 2 1 2
二次函数的矩阵表示方法(补充)
例题:将F(X)=x12-2x1x2+x22-8x1+9x2+10写成矩阵表示式，并求其梯度。 解:
x1 2a b X , A 令: b 2c , x2
则: 梯度:
d B , e
C f
1 T F ( X ) X AX BT X C 2
F ( X ) AX B
F x 2ax bx d 2 其中：: F ( X ) 1 1 F bx1 2cx2 e x 2
2 2 x1 8 2 x1 2 x2 8 F ( X ) AX B x 9 2 x 2 x 9 2 2 2 1 2
Fx' 1 2 x1 2 x2 8 验证: F ( X ) ' Fx 2 2 x1 2 x2 9
" Fxnx 2
F x 1 F x T 2 F F F F ( X ) , x1 x2 xn F xn
... Fx"1 xn " ... Fx 2 xn ... ... " ... Fxnxn
3
2.1 目标函数的泰勒(Taylor)展开式
工程实际中的优化设计问题，常常是多维且非线性函数形式，一般较为复杂。 为便于研究函数极值问题，需用简单函数作局部逼近，通常采用泰勒展开 式作为函数在某点附近的近似表达式，以近似于原函数。 一元函数f(x)在x(k)点的泰勒展开式：
二元函数F(X)= F(x1,x2)=在X(k)=[x1(k) x2(k) ]T点的泰勒展开式为：
4
' ' F ( X ) F ( X ( k ) ) Fx1 ( X ( k ) ) x1 Fx 2 ( X ( k ) ) x2
1 " 2 2 (k ) " (k ) " (k ) Fx1 x1 ( X ) x1 2Fx1 x 2 ( X ) x1x2 Fx 2 x 2 ( X ) x2 2
即:
T 1 F ( X ) Fk F X X T H k X 2
其中:
H(X
(K )
Fx"1 x1 ) " Fx 2 x1
Fx"1 x 2 Fx"2 x 2
5
海赛矩阵
多元函数F(X)在X(k)=[x1(k) x2(k) xn(k) ]T点的泰勒展开式为： 同上： 但其中：
14
a21 a22
...... 0
②不是正定或负定→不定
2.3 无约束目标函数极值点存在条件
必要条件 充分条件 极 小 H(X*)正定 极 大 H(X*)负定
函数极值
一元函数 二元函数
F ( X ) H
Fx"1 x1 Fx"1 x 2 Fx"1 x1 0 AC B 0 0 * " " B C Fx 2 x1 Fx 2 x 2 H(X ) " Fx 2 x1 " A0 Fx1 x1 0
梯度是一个向量,其方向是函 (K ) 数在 X 点处数值增长最快的 方向.
7
2.2 目标函数的等值线(面)
8
9
2.3 无约束目标函数极值点存在条件
函数的极值与极值点
10
极值点存在条件
一元函数的情况 极值点存在的必要条件
F ' ( x*) 0
的点称为驻点，极值点必为驻点，但驻 点不一定为极值点。 极值点存在的充分条件 若在驻点附近 F '' ( x * ) 0
T 1 F ( X ) Fk F X X T H k X 2
X [x1 , x2 , xn ]T
Fx"1 x1 " (k ) Fx 2 x1 Hk H ( X ) ... " Fxnx1 Fx"1 x 2 Fx"2 x 2 ...
第二篇 机械优化设计
第二章 优化设计的理论与数学基础
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 目标函数的泰勒(Taylor)展开式 目标函数的等值线(面) 无约束目标函数极值点存在条件 凸集与凸函数
约束极值点条件 2 .6 优化计算的数值解法及收敛条件
1
二次函数的矩阵表示方法(补充)
2 二元二次函数 F ( X ) F ( x1 , x2 ) ax12 bx1 x2 cx2 dx1 ex2 f
(二阶偏导数矩阵) n×n阶的对称方阵
6
一阶偏导数矩阵 称为函数在K点的梯度：
F
" xixj
ห้องสมุดไป่ตู้
F
" xjxi
F ( X
(K )
F ( X ) x1
(K )
) F ( X , x2
(K )
)
F ( X , xn
(K )
)
T
) F ( X (K ) ) 称为函数在 X ( K点的梯度.
F ' ( x*) 0
则x *点为极大点
则x *点为极小点
11
F '' ( x * ) 0
二元函数的情况
多元函数的情况:
(一)极值存在的必要条件: 各一阶偏导数等于零
Fx' 1 0 ' * Fx 2 0 H F ( X ) ... ... ' Fxn 0
2
A B
Fx"1 x 2 正定 " Fx 2 x 2
15
小结:无约束目标函数极值点存在条件
极值存在的必要条件: 各一阶偏导数等于零
Fx' 1 0 ' * Fx 2 0 H F ( X ) ... ... ' Fxn 0
的极值点必须满足
f ( X ) 4 x1 2 x3 0 x1
f ( X ) 10 x2 2 x3 6 0 x2
f ( X ) 2 x1 2 x2 2 x3 0 x3
解此联立方程得：
x1 1,
x2 1,
x3 2
X * [1 ,1 ,2]T 即点 此驻点是否为极值点。
各阶主子行列式均 大于零→正定
16
例题
2 试判断X0=[2 4]T是否为下面函数的极小点：F ( X ) x14 2 x12 x2 x12 x2 4 x1 5
解：
Fx' 1 4 x13 4 x1 x2 2 x1 4 0 F ( X 0 ) ' 2 2 x1 2 x2 0 Fx 2 满足极值存在的必要条件
*
T 1 F ( X ) F ( X ) F X X T H ( X * )X 2
*
若：
=0
二次型>0
处处F(X) >F(X*), 故点X*为极小点
13
什么是矩阵正定、负定、不定？
a11 a12 a 21 a22 A ... ... an1 an 2 ... a1n ... a2 n ... ... ... ann a11 a21 ... a12 a22 ... ... a1n ... a2 n ... ... 0
f "( x* ) 0
Fx"1 x1 0
F
" x1 x1
f "( x* ) 0
Fx"1 x1 0
F
2 " x1 x 2
F
" x2x2
0
《高等数学》：设函数F(X)=F(x1,x2)在点X*的某邻域内连续且有一阶及二 阶连续偏导数，在点X*有F'x1=0、 F'x2=0，令：
为一驻点。再利用海赛矩阵的性质来判断 18
2 f ( X (*) ) x x 1 1 2 f ( X (*) ) (*) H(X ) x2 x1 2 f ( X (*) ) xn x1
a11 a21
①若各阶主子行列式均大于零→正定
a11 a11 0
a11 a12 a11 a22 a12 a21 0
a21 a22
an1 an 2 ... ann
②若各阶主子行列式如下→负定
a11 0
a11 a12 a21 a22 0
a11 a31 a12 a32 a13 a23 0 a33
驻点
极值存在的充分条件: 海赛矩阵H(X*)正定→点X*为极小点
Fx"1 x1 " (k ) Fx 2 x1 H(X ) ... " Fxnx1 Fx"1 x 2 Fx"2 x 2 ...
" Fxnx 2
... Fx"1 xn " ... Fx 2 xn ... ... " ... Fxnxn
验证:
2a b x1 d 2ax1 bx2 d F ( X ) AX B x e bx 2cx e 2 b 2c 2 1 2
二次函数的矩阵表示方法(补充)
例题:将F(X)=x12-2x1x2+x22-8x1+9x2+10写成矩阵表示式，并求其梯度。 解:
x1 2a b X , A 令: b 2c , x2
则: 梯度:
d B , e
C f
1 T F ( X ) X AX BT X C 2
F ( X ) AX B
F x 2ax bx d 2 其中：: F ( X ) 1 1 F bx1 2cx2 e x 2
2 2 x1 8 2 x1 2 x2 8 F ( X ) AX B x 9 2 x 2 x 9 2 2 2 1 2
Fx' 1 2 x1 2 x2 8 验证: F ( X ) ' Fx 2 2 x1 2 x2 9
" Fxnx 2
F x 1 F x T 2 F F F F ( X ) , x1 x2 xn F xn
... Fx"1 xn " ... Fx 2 xn ... ... " ... Fxnxn
3
2.1 目标函数的泰勒(Taylor)展开式
工程实际中的优化设计问题，常常是多维且非线性函数形式，一般较为复杂。 为便于研究函数极值问题，需用简单函数作局部逼近，通常采用泰勒展开 式作为函数在某点附近的近似表达式，以近似于原函数。 一元函数f(x)在x(k)点的泰勒展开式：
二元函数F(X)= F(x1,x2)=在X(k)=[x1(k) x2(k) ]T点的泰勒展开式为：
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' ' F ( X ) F ( X ( k ) ) Fx1 ( X ( k ) ) x1 Fx 2 ( X ( k ) ) x2
1 " 2 2 (k ) " (k ) " (k ) Fx1 x1 ( X ) x1 2Fx1 x 2 ( X ) x1x2 Fx 2 x 2 ( X ) x2 2
即:
T 1 F ( X ) Fk F X X T H k X 2
其中:
H(X
(K )
Fx"1 x1 ) " Fx 2 x1
Fx"1 x 2 Fx"2 x 2
5
海赛矩阵
多元函数F(X)在X(k)=[x1(k) x2(k) xn(k) ]T点的泰勒展开式为： 同上： 但其中：
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a21 a22
...... 0
②不是正定或负定→不定
2.3 无约束目标函数极值点存在条件
必要条件 充分条件 极 小 H(X*)正定 极 大 H(X*)负定
函数极值
一元函数 二元函数
F ( X ) H