信号与系统第六章(陈后金)2

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信号与系统 陈后金

信号与系统 陈后金

*连续时间周期信号定义: t ∈ R ,存在非零T,使得
成立,则f(t) 为周期信号. *离散时间周期信号定义: k∈I , 存在非零N,使得
f [k + N ] = f [k ]
成立,则f[k] 为周期信号. 满足上述条件的最小的正 ,正N称为信号的基本周期. 最小的正T, 最小的正 *不满足周期信号定义的信号称为非周期信号. *周期信号每一周期内信号完全一样故只需研究信号 周期信号每一周期内信号完全一样故只需研究信号 在一个周期内的状况. 在一个周期内的状况.
[例2] 试判断下列系统是否为时不变系统
(1)y(t)=sin[f(t)] (2)y(t)=costf(t) (3)y(t)=4f 2(t) +3f(t) (4)y(t)=2tf(t)
时不变系统 时变系统 时不变系统 时变系统
分析: 判断系统是否为时不变系统,只需判断当输入激励f(t) 变为f(t-t0)时,相应的输出响应y(t)是否变为 y(t-t0). 注意:时不变特性只考虑系统的零状态响应 零状态响应,因此在判 零状态响应 断系统的时不变特性时,不涉及系统的初始状态 不涉及系统的初始状态. 不涉及系统的初始状态
系统的分类
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组 成的,具有特定功能的整体.
输入信号 输出信号
信息源
传感 器
发送 设备
信道
接收 设备
传感 器
有用信息
电视广播通信系统框图
输入f(t)
防混迭 滤波器
A/D
数字处 理系统
D/A
平滑滤 波器
输出信号处理系统一系统的描述1. 数学模型
di (t ) L + Ri (t ) = f (t ) dt

信号与系统-陈后金-北京交通大学-全

信号与系统-陈后金-北京交通大学-全

离散信号: 信号仅在规定的离散时刻有定义。通常以f[k]表示。 数字信号:取值为离散的离散信号。
连续时间信号
f (t) 1
离散时间信号
3
f[k] 2 1 k 2
-2 -1
01Biblioteka 2



t
f(t) 1
离散信号的产生
1)对连续信号抽样f[k]=f(kT)
2)信号本身是离散的 3)计算机产生
• • • •
线性系统与非线性系统 时不变系统与时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组 成的、具有特定功能的整体。
ä è Ä Ä Ê È Ð ¹ ä ö Ä Ä Ê ³ Ð ¹
Ä ¢ ´ Ð Ï Ô
« Ð ´ · ð Å
¢ Ë ·Í è ± É ·

f1 (t )
其中,为任意常数
连续系统
y1(t)
f2(t)
连续系统
y2 (t)
f1 ( t ) f 2 ( t )
连续系统
y1 ( t ) y 2 ( t )
具有线性特性的离散时间系统可表示为
f1[k ] y1[k ], f 2 [k ] y2 [k ]
信号与系统
Signals and Systems
陈后金,胡健,薛健 北京交通大学国家电工电子教学基地
hjchen@
/jingpinke/xhyxt/ dianzijiaoan/navigation.htm
参考教材:北京市精品立项教材《信号与系统》. 主编:陈后金,胡健,薛健, 清华大学出版社,2003年.
信号与系统分析导论
• 信号的描述及分类 • 系统的描述及分类 • 信号与系统分析概 述

北京交通大学陈后金教授信号处理课件

北京交通大学陈后金教授信号处理课件

第8章 数字滤波器的实现
第9章 数字语音信号
主要参考书
[1] 陈后金等译:数字信号处理及MATLAB仿真, 机械工业出版社, 2015
[2] S.K. Mitra. 数字信号处理(第4版) 清华大学出版社, 2012
[3] A.V.Oppenheim. 离散时间信号处理(第3版)英文版 ,电子工业出版社, 2011 [4] 胡广书.数字信号处理.清华大学出版社(第3版), 2012. [5]P.P. Vaidyanathan, Multirate systems and filter banks, Prentice Hall, Englewood Cliffs NJ,1993. [6] N.J.Fliege, Multirate digital signal processing. John Wiley &Sons, NY,1994. [7] I.Daubechies, 小波十讲(修订版) ,国防工业出版社, 2011 [8] S. Mallat 信号处理的小波导引:稀疏方法(第3版)英文影印版, 2012
近代数字信号处理
(Advanced Digital Signal Processing)
信号与图像处理研究室 电子信息工程学院
主要教材
主教材: 普通高等教育“十一五”国家级规划教材
《数字信号处理》第2版
陈后金,薛健,胡健 高等教育出版社,2008
主要教材
第1章 离散信号与系统分析基础 第2章 离散傅里叶变换DFT 第3章 DFT快速算法FFT
第4章 IIR数字滤波器的设计来自第5章 FIR数字滤波器的设计
第6章 随机信号功率谱估计
第7章 数字系统的结构 第8章 多速率信号处理基础
主要教材

信号与系统陈后金版答案

信号与系统陈后金版答案

第二步:求差分方程的齐次 解: 2 求差分方程的齐次 第二步 h [ 0 ] = C 1 + C 2 r −5r /6 +1/ 6 = 0 1 k1 1 k 1 特征方程为: [ ( + 特征方程为=hCk1 ] = )[3 (C 2) ( −) 2 ( 求 ] u [ C ] = 3, C 2 = − 2 h [1] ⇒ ) 出 k1 ∴r =1/ 2, r2 =1/3 2 3 3 1 2
(3) 计算固有响应与强迫响应 计算固有响应与强迫响应:
1 7 1 k 4 1 k y[k ] = [ − ( ) + ( ) ]u[k ] 完全响应: 完全响应 2 2 2 3 3 7 1 k 4 1 k 固有响应: yh [k ] = [− ( ) + ( ) ]u[ k ] 固有响应 2 2 3 3 1 强迫响应: 强迫响应 y p [k ] = u[k ] 2 (4) 计算瞬态响应与稳态响应 计算瞬态响应与稳态响应:
特征根为 s1 = -2, s2 = -5, 又因为 n > m , 所以: 则 h ( t ) = K 1e − 2 t u ( t ) + K 2 e − 5 t u ( t )
h '(t ) = − 2 K 1e −2 t u (t ) + K 1δ (t ) − 5 K 2 e −5 t u (t ) + K 2δ (t ) = − 2 K 1e −2 t u (t ) − 5 K 2 e −5 t u (t ) + ( K 1 + K 2 )δ (t ) h ''(t ) = 4 K 1e −2 t u (t ) − 2 K 1δ (t ) + 25 K 2 e −5 t u (t ) − 5 K 2δ (t ) + ( K 1 + K 2 )δ '(t ) 代入方程有: = K 1 + K 2 = '( t ) = 2 K 2δ ( t ) + 5 K∴K2 + (7/3; K1 )δ −1/3; 2δ '( t ) + 3δ ( t ) 1δ ( t )

陈后金《信号与系统》(第2版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】(上册)

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图2-2
3.有一离散时间信号
(1)画出
(2)求序列 学]
使之满足
解:(1)
又 比较上述两式可得: 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4.已知 如图2-4(a),画出

的波形。[北
京理工大学]
解:将 反转得 如图2-4(b)所示,将它们相加、减得 ,波形如图2-4(c)、(d)所示。
图2-4 5.已知f(t)的波形如图2-5所示,令r(t)=tu(t)。
大学]
图1-2 解:因为:
故:
y2(t)的波形如图1-3所示。
图1-3 3.将如图1-4(a)、(b)所示的连续信号展成如下形式:
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解:(a)该信号可分为两段:

可化简为

,即:
(b)该信号可分为三段: 可化简为 故
,即
4.求
的值。[北京航空航天大学2006研]
,应该与齐次解有关,即系统的特征根为-1和-3,故特征方程应为 ,即a0=4,a1=3。
(2)设系统对激励 rzs(t),则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi(t)和
由于
,则由线性时不变系统的微分特性可知
同时,设系统的单位冲激响应为h(t),则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式(1)、式(2),并设
陈后金《信号与系统》(第2版)配 套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1.方程 天大学2007研] A.线性时不变 B.非线性时不变 C.线性时变 D.非线性时变 E.都不对 【答案】B
描述的系统是( )。[北京航空航

信号与系统陈后金ppt

信号与系统陈后金ppt
信号的时域分析
• 连续时间信号的时域描述 • 连续时间信号的基本运算 • 离散时间信号时域描述 • 离散时间信号的基本运算 • 确定信号的时域分解
连续时间信号的时域描述
• 典型普通信号
• 正弦信号 • 实指数信号 • 虚指数信号 • 复指数信号 • 抽样函数
• 奇异信号
• 单位阶跃信号 • 冲激信号 • 斜坡信号 • 冲激偶信号
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-
t0 -
(2)冲激信号具有强度,其强度就是冲激信号对时间的 定积分值。在图中用括号注明,以区分信号的幅值。
(3)冲激信号的物理意义: 表征作用时间极短,作用值很大的物理现象的数学模型
(4)冲激信号的作用:
A. 表示其他任意信号; B. 表示信号间断点的导数。
4) 冲激信号的极限模型
f (t) 1 2
二、奇异信号
1 单位阶跃信号
定义:
u(t
)
1 0
t >0 t<0
1 u(t - t0 ) 0
t >t0 t <t0
u (t ) 1
0

北京交通大学陈后金教授信号处理课件

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第8章 数字滤波器的实现
第9章 数字语音信号
主要参考书
[1] 陈后金等译:数字信号处理及MATLAB仿真, 机械工业出版社, 2015
[2] S.K. Mitra. 数字信号处理(第4版) 清华大学出版社, 2012
[3] A.V.Oppenheim. 离散时间信号处理(第3版)英文版 ,电子工业出版社, 2011 [4] 胡广书.数字信号处理.清华大学出版社(第3版), 2012. [5]P.P. Vaidyanathan, Multirate systems and filter banks, Prentice Hall, Englewood Cliffs NJ,1993. [6] N.J.Fliege, Multirate digital signal processing. John Wiley &Sons, NY,1994. [7] I.Daubechies, 小波十讲(修订版) ,国防工业出版社, 2011 [8] S. Mallat 信号处理的小波导引:稀疏方法(第3版)英文影印版, 2012
第4章 IIR数字滤波器的设计
第5章 FIR数字滤波器的设计
第6章 随机信号功率谱估计
第7章 数字系统的结构 第8章 多速率信号处理基础Fra bibliotek主要教材
第1章 概述 第2章 离散时间信号 第3章 频域概念 第4章 抽样与重建 第5章 FIR滤波器设计与分析 第6章 IIR滤波器设计与分析 第7章 抽样速率转换
近代数字信号处理
(Advanced Digital Signal Processing)
信号与图像处理研究室 电子信息工程学院
主要教材
主教材: 普通高等教育“十一五”国家级规划教材

陈后金《信号与系统》(第2版)课后习题(系统的频域分析)

陈后金《信号与系统》(第2版)课后习题(系统的频域分析)

根据题意
,即
,最后可得
6-15 已知信号 的最大抽样周期
解:因为 样定理,可得恢复原信号的最大抽样周期为
。当对该信号取样时,试求能恢复原信号
,其最高角频率
根据时域抽
6-16 对
二信号以 l/400 秒的周期抽样时,哪个抽样信号在恢复原
信号时丌出现混迭误差。分别画出抽样信号
及其频谱
解:信号在时域进行理想抽样
(1)试求系统的单位冲激响应
(2)若输入为
时,求系统的输出
(3)试求系统对任意输入 的输出
解:(1)
利用 Fourier 变换的对称互易特性推导
所以
(2)
所以 (3)任意信号 通过 Hilbert 变换器的输出
6-13 一线性相位低通滤波器的频率响应如题图 6-3 所示,试求:
(1)滤波器的单位冲击响应
6-2 已知一个 LTI 连续系统的动态方程为 如图 6-1 所示的周期方波,求系统的输出
,若输入信号 f(t)是
图 6-1 解:对微分方程两边进行 Fourier 变换可得
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将周期信号展开为 Fourier 级数形式 所以系统输出为
(2)由于
,所以
,满足无失真传输系统的条件,
故系统为无失真传输系统。
6-6 已知滤波器的频率响应为 的输出响应。
解:(1)
,系统的输入信号 如下,求系统
所以 (2)
所以
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6-7 已知信号 通过系统
后的输出响应为 ,今欲使 通过另一系统
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陈后金《信号与系统》(第2版)(下册)-章节题库-第6~7章【圣才出品】

陈后金《信号与系统》(第2版)(下册)-章节题库-第6~7章【圣才出品】

6.已知 LTL 因果系统,输入 解:
输出为
,求系统的频率特性

由于 所以 得
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(2) 得 频谱图如图 6-3 所示。
图 6-3
7.两个互为逆系统的 LTL 因果系统,单位冲激响应为

(1)频率特性
有何关系?
1.若 f(t)最高角频率为 ,则对
叏样,其频谱丌混叠的最大间隔是
______。
【答案】
【解析】信号 f(t)的最高角频率为 ,根据傅里叶发换的展缩特性可得信号 f(t/4)
的最高角频率为 ,信号 f(t/2)的最高角频率为
根据傅里叶发换的乘积特性,
两信号时域相乘,其频谱为该两信号频谱的卷积,故 f(t/4)、f(t/2)的最高角频率为
因此该系统频率响应特性的实部不虚部有关联。
2.信号 e(f)=cos(10t)cos(1000t)通过下述哪个系统时丌失真( )。
【答案】C 【解析】e(t)=cos(10t)cos(1000t)的频域响应在 990~1100Hz 乊间,{ε(ω +1100)-ε(ω-1100)}的矩形框正好让原信号完整通过, 只是一个线性发换,相
解:先求

(1)

再求
的傅里叶反发换得 。
(2)
(3)
(4)
5.因果 LTL 系统的输入 和输出 关系为

其中
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。求(1)系统频域凼数
;(2)系统的冲激响应 。
解:系统输入输出斱程为
两边傅里叶发换,有
(1)频域凼数 (2)冲激响应

《信号与系统》第6章

《信号与系统》第6章
k
1.Z变换的收敛域
使 F (z) f (k)zk 收敛的z的取值范围,称为收敛域。 k
信号与系统
第六章
2.判别级数收敛的方法
SIGNALS & SYSTEMS
⑴ 比值判别法
若有正项级数 ak k
,令 lim ak1
a k k
当 1时,级数收敛, 1 时,级数发散, 1时不定。
z变换与傅立叶变换、拉普拉斯变换的关系 非重点
信号与系统
第六章
离散时间系统的z域分析
SIGNALS & SYSTEMS
利用Z变换求解系统的响应:
(1)对给定的差分方程两边取Z变换,求得Z域内的响应 Y z ;
(2)对 Y z 进行反Z变换,即可求得时域响应 y k 。
m
H
z
Yzs z Ez
bm j z j
j0 n ani zi
hk Hz
i0
H z 的零极点分布与单位样值响应 h k 的关系
信号与系统
第六章
SIGNALS & SYSTEMS
离散时间系统稳定的充要条件是: h k k
(1)若 H z 全部极点位于单位圆内,则系统一定是稳定的;
(2)若 H z 有一阶极点(实极点或共轭极点)位于单位圆上,而
Rx 2
左边序列的收敛域 z R2
z平面
Rx1 Rx 2
双边序列收敛域为 R1 z R2
信号与系统 常用序列的z变换
第六章
SIGNALS & SYSTEMS
k 1 其收敛域为整个Z平面
k z
z 1
ak k z
za
收敛域为 z 1
收敛域为 z a
ek k
z z e

信号与系统第六章(陈后金)1

信号与系统第六章(陈后金)1
L
s 2 s 2 0
Re(s) 0
sin 0 t u(t )

L
0 2 s 2 0
1 sn
Re(s) 0
Re(s) Re(s)
(t )
L L
( n) (t )
u(t )
tu(t ) t u (t )
n

L
L
Re(s) 0
五、单边拉普拉斯变换的性质
4. 卷积特性
x1 (t ) L X1 (s) Re(s) 1 x2 (t ) L X 2 (s) Re(s) 2 x1 (t ) * x2 (t ) X1 (s) X 2 (s)
L
Re(s) max( 1 , 2 )
1)当收敛域包含j 轴时,拉普拉斯变换和傅里 叶变换均存在。 X ( j ) X ( s )
s j
2)当收敛域不包含j 轴时,拉普拉斯变换存在 而傅里叶变换均不存在。 3)当收敛域的收敛边界位于j 轴时,拉普拉斯 变换和傅里叶变换均存在。
X ( j) X (s) s j π Kn ( n )
0
三、常用信号的拉普拉斯变换
2. 阶跃函数 u(t)
1 L[u(t )] lim L[e u(t )] 0 s
t
0或 Re(s) 0
三、常用信号的拉普拉斯变换
3. (t ), (t )
( n)
L[ (t )] (t )e st dt 1
L
1 s 1 s2 n! s n 1
1 2 (s )
Re(s) 0
Re(s) 0 Re(s) 0
te
t

信号与系统-陈后金-北京交通大学-全-课件

信号与系统-陈后金-北京交通大学-全-课件
时不变系统
时不变特性
时不变的连续系统表示为
f ( t ) ⎯⎯ → y f ( t ) f ( t − t 0 ) ⎯⎯ → y f ( t − t 0 )
时不变的离散时间系统表示为
f [ k ] ⎯⎯ → y f [ k ] f [ k − n ] ⎯⎯ → y f [ k − n ]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
• 其中α,β为任意常数
连续系统
连续系统
连续系统
具有线性特性的离散时间系统可表示为
f1[k] ⎯⎯→ y1[k], f2[k] ⎯⎯→ y2[k] α ⋅ f1[k] + β ⋅ f2[k] ⎯⎯→α ⋅ y1[k] + β ⋅ y2[k]
其中α,β为任意常数
• 非线性系统:不具有线性特性的系统。
• 系统的数学模型 • 系统的方框图表示
• 系统的分类
• 连续时间系统与离散时间系 统
• 线性系统与非线性系统 • 时不变系统与时变系统 • 因பைடு நூலகம்系统与非因果系统 • 稳定系统与不稳定系统
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组 成的、具有特定功能的整体。
输入信号
输出信号
信息源 传感 器
发送 设备
信道

�f 2 x2
[k ]⎤ [0]⎥⎦
⎫ ⎬ ⎭
=
a
y1[k
]
+
b
y2
[k
]
结论: 具有初始状态的线性系统,输出响应等于零输入响应
与零状态响应之和。
3.时不变系统与时变系统
• 系统的输出响应与输入激励的关系不随输入 激励作用于系统的时间起点而改变,就称为时不 变系统。否则,就称为时变系统。

信号与系统第6章(2) (3)解读

信号与系统第6章(2) (3)解读
3
8.1.1 线性时不变离散时间系统
例8.1-1 设某离散系统激励x[n]与响应y[n]之间的关系为
y[n] = nx[n],判断该系统是否为线性时不变系统。
解: 设y1[n]和y2[n]分别为输入x1[n]和x2[n]的响应,即 y1[n] = nx1[n],y2[n] = nx2[n]
(1)当x[n]= ax1[n]时,y[n] = n(ax1[n]) = anx1[n] = ay1[n], 该系统满足均匀性。
解:
单位移位(延时)器:输入为y[n], 输出为y[n-1];
乘系数单元:输入为y[n-1],输出为ay[n-1];
加法器单元:输入为x[n]和ay[n-1],输出为y[n]。
因此,针对加法器可以写出: y[n] = x[n] + ay[n-1]
移项整理可得:
y[n]-ay[n-1] = x[n]
(8.1-2)
第8章 离散时间系统的时域与变 换域分析
8.1 离散时间系统与差分方程 8.2 常系数线性差分方程的求解 8.3 离散系统的单位样值响应和系统函数 8.4 离散系统的频响特性 8.5 数字滤波器的一般概念 8.6 应用Matlab分析离散时间系统
1
8.1 离散时间系统与差分方程
8.1.1 线性时不变离散时间系统 离散时间系统可以看成为一个离散信号的变换器,当输入 信号x[n]经过该离散系统后,将变换成另一个序列------输 出信号y[n],其框图如图8.1-1所示。
y[n] = x[n] + ay[n-1] = a n
此范围仅限于n ≥ 0,

y[n] = anu[n] 11
8.2 常系数线性差分方程的求解
N
M

陈后金《信号与系统》(第2版)名校考研真题(系统的频域分析)

陈后金《信号与系统》(第2版)名校考研真题(系统的频域分析)

第6章系统的频域分析一、选择题1.选择题已知信号f(t)的最高频率,则对信号取样时,其频谱不混叠的最大取样间隔等于()。

[北京交通大学研]A.B.C.D.【答案】A【解析】信号f(t)的最高频率为,根据Fourier变换的展缩特性可得信号的最高频率为(Hz),再根据时域抽样定理,可得对信号取样时,其频谱不混叠的最大取样间隔2.下列说法中正确的是()。

[东南大学研]A.罗斯—霍维茨准则也能判断离散系统的稳定性B.信号经调制后带宽一定增加C.抽样频率必须是信号最高频率的2倍以上才不产生混叠D.积分器是线性运算,不改变信号的带宽【答案】AD【解析】本题考查信号与系统的综合应用。

罗斯霍维茨准则是稳定性判定准则,信号经调制后带宽不一定增加,有时只是频谱的搬移,积分运算是累加运算,也即线性运算,抽样频率必须是信号最高频率的2倍或者2倍以上才不产生混叠。

因此选择AD。

3.系统的幅频特性和相频特性如图6-1(a)、(b)所示,则下列信号通过该系统时,不产生失真的是()。

[西安电子科技大学研]A.B.C.D.【答案】B【解析】由系统的幅频特性和相频特性可知:若输入信号的频率均处于之间,既不产生幅度失真又不产生相位失真。

只有(B)满足这一条件。

图6-1二、填空题1.已知一连续时间LTI系统的频响特性该系统的幅频特性相频特性是否是无失真传输系统______。

[北京交通大学研] 【答案】否【解析】由于的分子分母互为共轭,故有所以系统的幅度响应和相位响应分别为由于系统的相位响应不是的线性函数,所以系统不是无失真传输系统。

三、解答题1.某因果数字滤波器的零、极点如图6-2所示,并已知其H(π)=-1试求:图6-2(1)它的系统函数H(z)及其收敛域,且回答它是IIR、还是FIR的什么类型(低通、高通、带通、带阻或全通)滤波器;(2)写出图6-2(b)所示周期信号x[n研]的表达式,并求其离散傅里叶级数的系数;(3)该滤波器对周期输入x[n研]的响应y[n研]。

信号与系统-课件(陈后金)

信号与系统-课件(陈后金)

f2(t) 0.5
0
t
y(t)=f1(t)+f2(t) 1
t 0
5 . 信号的相乘
f(t)=f1(t)·f2(t) ·…… ·fn(t)
f1(t) 1
t
-1
1
f (t) f1(t) f1(t) 1
f2(t) 1
t
-1
1
t
-2
2
6 . 信号的微分
y(t)=df(t)/dt=f '(t)
f (t) 1
0 t0
t
sin w0 (t - t0 ) u(t - t0 )
t 0 t0
2. 冲激信号
1)冲激信号的引出
单位阶跃信号加在电容两端,流过电容的电流 i(t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。 2)冲激信号的定义
狄拉克定义式:
(t)=0 , t0
+
(t) dt = 1 -
3) 冲激信号的图形表示
dt
性质:
'(t)dt 0
- t
'( )d (t)
-
f (t) ' (t) f (0) ' (t) - f ' (0) (t)
f (t) '(t)dt - f '(0)
-
'(t) (1)
t 0
冲激偶信号图形表示
•四种奇异信号具有微积分关系
'(t) d (t)
dt
t) du(t)
e j0k 的振荡频率不随角频率0的增加而增加。
e e e e j(0 +n2 )k
j0k j 2nk
j0k
周期性:
若e j0N 1
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—— 部分分式展开法
归纳:
N ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 X ( s) n D( s ) s an1s n1 a1s a0
3) X(s)为有理假分式( m≥ n)
N ( s) N1 ( s) mn X ( s) B0 B1s Bmn s D( s ) D( s )
x(t ) (t ) 8te4t u(t ) 24e4t u(t )
s2 8 例4 求下列F(s)的反变换。 (1) X (s) ( s 4) 2 1 1 e 2 s (2) X ( s) 2 2 (3) X ( s) 3s ( s 4) s( s 2 4)

k1 ( s 1)3 ( s 1)3 X ( s) k 2 k3 ( s 1) k 4 ( s 1) 2 ② s 令s= 1, ②式右端只有k2项不等于零,所以
s2 k 2 ( s 1) X ( s) s 1 s
3 s 1
3
例2 采用部分分式展开法求X(s)的反变换。
求解步骤: 1) 经拉氏变换将时域微分方程变换为s域代数方程
2) 求解s域代数方程,求出Yzi(s), Yzs(s)
3) 拉氏反变换,求出响应的时域表示式
一、微分方程描述系统的复频域分析
二阶系统响应的s域求解
y"(t)
2
a1y'(t)

a2y (t)
[s Y (s) sy(0 ) y' (0 )] a1[sY (s) y(0 )] a 2Y ( s) b0 s 2 X (s) b1sX (s) b2 X (s)
1 d i 1 ki [(s p1 ) r X ( s)] i 1,2,, r (i 1)! ds i 1 r n ki i 1 p1t x(t ) [ t e ]u (t ) ki e p1t u (t ) i 1 (i 1)! i r 1
六、单边拉普拉斯的反变换
由此可得
2 / 3 1/ 2 1/ 6 s2 X ( s) s s 1 s 3 s( s 1)(s 3)
对上式进行拉氏反变换可得
2 1 t 1 3t x(t ) u (t ) e u (t ) e u (t ) 3 2 6
例2 采用部分分式展开法求X(s)的反变k 2 sX ( s) k1 ( s 1)(s 3) s 1 s 3
令s=0,上式右端只有k1项不等于零,所以
k1 sX ( s) s 0
s2 ( s 1)(s 3)
s 0
2 3
例1 采用部分分式展开法求X(s)的反变换。
连续时间LTI系统的复频域分析
微分方程描述系统的复频域分析
电路的复频域模型
一、微分方程描述系统的复频域分析
解微分方程
时域微分方程
单 边 拉 氏 变 换
时域响应y(t)
拉 氏 反 变 换
s域代数方程
解代数方程
s域响应Y(s)
一、微分方程描述系统的复频域分析
二阶系统响应的s域求解
d 2 y (t ) dy(t ) d 2 x(t ) dx(t ) a1 a2 y (t ) b0 b1 b2 x(t ) 2 2 dt dt dt dt 已知 x(t),y(0),y' (0) ,求y(t)。
s2 X ( s) 3 s 4s 2 3s Re( s ) 0
解: 同理可求出
s2 1 k2 ( s 1) X ( s) s 1 s 1 s( s 3) 2 s2 1 k3 ( s 3) X ( s) s 3 s 3 s( s 1) 6
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换及其存在的条件 常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 单边拉普拉斯变换的性质
单边拉普拉斯变换的反变换
六、单边拉普拉斯的反变换
—— 部分分式展开法
1 j x(t ) X ( s)e st ds 2πj j
计算拉普拉斯反变换方法:
例1 系统的微分方程为 y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2x'(t) + 8x(t) 激励 x(t) = etu(t),初始状态y(0)=3, y'(0)=2,求响应y(t)。
1 1 1 于是 X ( s) ( 2 ) 2 3 4s 4( s 4) 1 1 x(t ) (t sin 2t )u (t ) 12 2
s2 8 例4 求下列F(s)的反变换。 (1) X (s) ( s 4) 2 1 1 e 2 s (2) X ( s) 2 2 (3) X ( s) 3s ( s 4) s( s 2 4)
N1 ( s) D( s )
为真分式,根据极点情况按1)或2)展开。
L B1s B1 '(t )
L B0 B0 (t )
L Bm n s Bm n ( m n)(t )
s2 8 例4 求下列X(s)的反变换。 (1) X (s) ( s 4) 2 1 1 e 2 s (2) X ( s) 2 2 (3) X ( s) 3s ( s 4) s( s 2 4)
解: (2)X(s) 有1个2阶重极点和一对共轭极点,为计算简便 令s2=q,
1 k1 k2 1 ( ) 则X ( s ) 3 q (q 4) 3q(q 4)
q 0
1 k 2 (q 4) q(q 4)
1 k1 q q(q 4)
1 4
q 4
1 4
1. 利用复变函数中的留数定理 2. 采用部分分式展开法
例1 采用部分分式展开法求X(s)的反变换。
s2 X ( s) 3 s 4s 2 3s Re( s ) 0
解: X(s)为有理真分式,极点为一阶极点。
k3 k1 k2 s2 X ( s) s( s 1)(s 3) s s 1 s 3
b0 x"(t ) b1x' (t ) b2 x(t )
sy (0 ) y' (0 ) a1 y(0 ) b0 s b1s b2 Y ( s) 2 X ( s) 2 s a1s a2 s a1s a2
2



Yzi(s)
Yzs(s)
y(t ) yzi (t ) yzs (t ) L1{Yzi (s) Yzs (s)}
解: (1)X(s)不是真分式,且有1个2阶重极点
8s 8 X ( s) 1 ( s 4) 2 k1 k2 1 2 ( s 4) s4
k1 (s 4)2 X (s) s4 (8s 8) s1 24
d k 2 ( s 4) 2 X ( s) s 4 (8s 8) ' 8 ds
s2 X ( s) s ( s 1)3 Re(s) 0
解: X(s)有1个3阶重极点
X ( s)
k3 k1 k2 k 4 s ( s 1)3 ( s 1) 2 s 1 s2 k1 sX ( s) s 0 2 3 s 0 ( s 1) 将①式两端同时乘以(s+1)3可得
例3 采用部分分式展开法求下列X(s)的反变换。
s 4 13s 2 11s 2 X ( s) s 3 4s 2 3s Re(s) 0
解:
X(s)为有理假分式,将其化为有理真分式
s2 X ( s) s 4 3 s 4s 2 3s
利用例1计算结果,以及
1) X(s)为有理真分式( m < n),极点为一阶极点
N ( s) N ( s) X ( s) D( s) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
kn k1 k2 s p1 s p2 s pn
ki ( s pi ) X ( s ) s pi i 1,2, , n
解: (3)X(s)不是有理分式,将其表示为
1 e 2 s X ( s) 2 s( s 4) s( s 2 4)
X1(s) X2(s) =X1(s)e2s 时移特性 x2 (t ) x1 (t 2)
将X1(s)展开为
k1 k 2 s k3 X 1( s ) 2 s s 4
s2 X ( s) s ( s 1)3 Re(s) 0
k1 ( s 1)3 解:( s 1)3 X ( s) k 2 k3 ( s 1) k 4 ( s 1) 2 ② s 对②式求一阶导数,再令s= 1可得
d( s 1)3 X ( s) s2 ' k3 ) s 1 2 s 1 ( ds s 对②式求二阶导数,再令s= 1可得 1 d 2 ( s 1)3 X ( s) 1 s 2 '' k4 ( ) s 1 2 s 1 2 2 ds 2 s 2 3 2 2 X ( s) 3 2 s ( s 1) ( s 1) s 1 3 2 t 1 x(t ) L [ X ( s)] (2 t e 2te t 2e t )u (t ) 2
x(t ) (k1e p1t k2e p2t kne pnt )u(t )
六、单边拉普拉斯的反变换
—— 部分分式展开法
归纳:
X ( s)
N ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 X ( s) n D( s ) s an1s n1 a1s a0
信号与系统
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