2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编

A B CD E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编（2008年第16题）在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD（2）平面EFC ⊥平面BCD证明：（1）⎭⎬⎫E ，F 分别为AB ，BD 的中点⇒EF ∥AD 且AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ⇒直线EF ∥平面ACD（2）⎭⎬⎫⎭⎬⎫CB ＝CD F 是BD 的中点 ⇒ CF ⊥BD ⎭⎬⎫AD ⊥BD EF ∥AD ⇒ EF ⊥BD ⇒直线BD ⊥平面EFC 又BD ⊂平面BCD ，所以平面EFC ⊥平面BCDB C₁（2009年第16题）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C .求证：（1）EF∥平面ABC（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC（2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C⊂平面BB1C1C故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，故平面A1FD⊥平面BB1C1CPA BC D D P A B CF E （2010年第16题）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则：易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等．又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍．由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ，因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ．易知DF ＝2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2．（方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ．因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°．从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1．由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC ．又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2．由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝2 2． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．（2011年第16题）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面P AD证明：（1）在△P AD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，又∵EF ⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD（2）连接BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△P AD为正三角形∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面P AD又∵BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面P AD（2012年第16题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．证明：（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E∴平面ADE⊥平面BCC1B1（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1∴CC1⊥A1F又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1∴A1F⊥平面BCC1B1，由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD又∵AD⊂平面ADE，A1F ⊄平面ADE，∴A1F∥平面ADES GA BC E F（2013年第16题）如图，在三棱锥S －ABC 中，平面平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AB ＝AS ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点．求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ；（2）BC ⊥SA ．证：（1）∵SA ＝AB 且AF ⊥SB ，∴F 为SB 的中点．又∵E ，G 分别为SA ，SC 的中点，∴EF ∥AB ，EG ∥AC ．又∵AB ∩AC ＝A ，AB 面SBC ，AC ⊂面ABC ，∴平面EFG ∥平面ABC ．（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝BC ，AF ⊂平面ASB ，AF ⊥SB ．∴AF ⊥平面SBC ．又∵BC ⊂平面SBC ，∴AF ⊥BC ．又∵AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ．又∵SA ⊂平面SAB ，∴BC ⊥SA ．（2014年第16题）如图，在三棱锥P －ABC 中，D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5．求证：（1）直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．证明：（1）∵D ,E 为PC ,AC 中点∴DE ∥P A∵P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF∴P A ∥平面DEF（2）∵D ,E 为PC ,AC 中点∴ DE ＝P A 2＝3 ∵E ,F 为AC ,AB 中点∴EF ＝BC 2＝4 ∴DE 2＋EF 2＝DF 2 ∴∠DEF ＝90°，∴DE ⊥EF∵DE ∥P A ，P A ⊥AC∴DE ⊥AC∵AC ∩EF ＝E∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．A BC 1DE A 1 B 1 C （2015年第16题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ， B 1C ∩BC 1＝E求证：（1）DE ∥平面A A 1CC 1(2) BC 1⊥AB 1证明：（1）由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面A A 1C 1C ，AC ⊂平面A A 1C 1C ，所以DE ∥平面A A 1C 1C（2）因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1，又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1， 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC 因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC ，又因为AB 1 ⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥A B 1A 1B 1 D F A （2016年第16题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1．求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC在△ABC 中，因为D 、E 分别为AB ，BC 的中点，∴DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1又∵DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，∴直线DE ∥平面A 1C 1F（2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1A ⊥A 1C 1又∵A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1∵B 1D ⊂平面ABB 1A 1，∴A 1C 1⊥B 1D又∵B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，∴B 1D ⊥平面A 1C 1F∵B 1D ⊂平面B 1DE∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1FABCDEF（2017年第15题）如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC证明：（1）在平面内，∵AB⊥AD，EF⊥AD∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC，AB⊂平面ABC∴EF∥平面ABC（2）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BDBC⊂平面BCD，BC⊥BD∴BC⊥平面ABD∵AD⊂平面ABD∴BC⊥AD又∵AB⊥AD，BC∩AB＝B ，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC∴AD⊥平面ABC又∵AC⊂平面ABC，∴AD⊥ACD 1C 1B 1A 1D C B A（2018年第15题）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC证明：（1）平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AB ∥A 1B 1 ⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥A 1B 1 A 1B 1⊂平面A 1B 1C AB ⊄平面A 1B 1C ⇒ AB ∥平面A 1B 1C（2）⎭⎬⎫平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1 AB ∥A 1B 1 ⇒四边形A 1B 1BA 为菱形⇒AB 1⊥A 1B ⎭⎬⎫平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1 ⇒BC ∥B 1C 1 AB 1⊥B 1C 1 ⇒ AB 1⊥BC ⎭⎪⎬⎪⎫AB 1⊥A 1BAB 1⊥BCA 1B ∩BC ＝B AB 1⊂平面A 1BCBC ⊂平面A 1BC ⇒ AB 1⊥平面A 1BC⎭⎬⎫AB 1⊥平面A 1BC AB 1⊂平面A 1B 1BA ⇒平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC。