一种3-PRP共平面并联微动平台的研究

斜 角度 ，所 以在 平 台进 行平 移时 ，，ｂ 方 向上 的位 ：ｙ －
移 会相 互影 响 ，它们 具有 关 系为式 （ ３）、式 （ ４） 所 示 。并 且 可 以通 过 式 （ ５）、式 （ ６）求 得 Ⅲ 、
２、 ｌ ２。
（） ａ
（） ｂ
（） ｃ
图７工作平台受力分析图
厂 ——
３工作 台的运动反解
上 文已经 介绍 了 － Ｒ 并 联机 构 的基本 机 构 。 ＰＰ
Ｌ ｌ ２ ； ；ＣＳ０＋ｒｔ （３ ２一 ｘ＝ 一 １ ＋Ｌ Ｏ（ ａｃ ｎ ／ ） ａＬ Ｌ ）
（ ； ）ｎ ０＋ｒｔ （３ ２— ３ａ 、 ＋ ／ ｓ （ ａｃ ｎ ／ ） Ｌ）ｎ ｉ ａＬＬ） ｔ ０
４工作平 台的动力学分析
本论 文采用 牛顿一 欧拉方 程对工作平 台进行动力 学 分析 ，该 工作 平 台可 以简化 为平 面并 联机 构 ，其
运行 动作是 属于刚体的平面运动 ，如 图７ 所示 。
图 ６平 台平 移 运 动
由３１ ．节可 知道０ 的坐标 已知 ，而点 ０ 是平 台 预 ： 达到的坐标值也是 已知 。可令０ ， 、０ ， ，故 Ｙ） ： ： ） Ｙ 可得 Ｚｙ ｙ－ Ｘ ＝ ： ， Ｘ ＝ ２ ，Ｚｘ ｘ 。又 由于平 台有 一定 的倾 ｙ
Ｉ ２ ｃｓ ＋ ｎ０ ＋Ｉ ２ ／ ｓ ） ｏ（ ｔ ） ｃ ｍ ｆ １ａ ｍ ｌ ｏ０ （ ０ １） 根据 式 （ ８）、式 （ ）、式 （ ０）可 得 到输 出 ９ １ （ ， △ △ △ ， 和输入 ， ） 的一次线性关系式如式
（１ １ ）所 示 。
由于 该 工 作 平 台 的 自 由度 为 ３ ，平 台 形 心 从
Ｄ Ｙ ０ 运 动Ｎｏ ， ０２ ， ， ） ： Ｙ， ，其 坐标在ｘ Ｙ、０方 向 ） 、
上均 有变化 ， 现在 分两步进 行运动 反解 ：第 一步 ，
实现角度 的旋转运动 ，平 台形心将从Ｄ ｙ ０ 运动 到 ， ， ） ０ ， ， ，第二步实现平 移的运 动 ，平 台的形 心将 ０）
’ ‘ ， 、
…
式中 ：． ， 为雅可 比系数 ，
・
ｔ １（／ ２ ｓ ０ ｓ ａ ０ － ； ＋ｌ７ Ｉｉ ） ｅ０ ｎ １ ２ １ ｎ ｅ １ １
Ｉ Ｉｎ Ｌ／ ＂ｆｉ０ｓ ，其中， ， ｔ Ｉ ｌ＋ｌ１ ｎ ） ｃ０ ＝ ａ０ （ ２ １ ｓ ｅ ７ ２
求导 ，得式 （ ）、式 （ ８ ９）、式 （ ０）。 １
３２ 台的平移运 动 ．平 当平 台绕 旋转之后 ，其平 台的形 心坐标 已经
从Ｏｘ Ｙ ０） （， ， 变化 为０ ， ０ ） Ｙ， ，则 如 图６ 所示 ，令该
／ｈ ｔ ０× 一 １ ＋ｌ１Ｉｉ０ｓ （ ） ￣＝ ｎ 支 （／ ２ ｓ ）ｎ０Ｘ ａ Ｌ ２ １ ｎ ｉ ７ ８ ／ ＝ ｎ ｋ １一Ｉ ２ ｓ ）ｎ０Ｘ （ ） ｋ ｔ ｘ ＋ ／ 埘 ｉ０ ｓ ９ ￣ ａ０ ２ ｌｎ ｉ
（） ａ （） ｂ
图５平台旋转
Ｋ： 隔 一 ｓ （ ＋ｒａ（／）ａ ０ （一 ｉ ０ ａ ｔ ）ｎ ＋ ， ｎ ｎ ：ｔ ｙ ）。 一Ｚ ｔ 。（＋。 ， ） ｚ √ ０。 ０ａｔ ） 。 ０ ｒ 一
ｌ ２ ｅｓ ＋ ｎ０＋Ｉ ２ ／ ｓ ｏ １ｔ ） ｃ ｍ ｆ （ ａ ｍ ｌ ｏ０
２
式 中 ： 为活 动构件 的个 数 ；Ｐ 为低 副 的个 数 ； 力 Ｌ ｐ 为高副 的个数 。
） Ｌ＋ ，Ｌ６ ＝４ ｊ ；，Ｌ４ ６ ｓ ０＋０ １， ＝ ×ｃ （ ｏ ）
５ ×ｓ （ ＝ ６ ｉ ０＋０１， ７ ２ ，Ｌ ＝ｌ ５ ３ｌ ｎ Ｌ ＝Ｉ — ｌ ８ ￡ 一 ， ） ４ ９ ８ ａ ×ｔ ０，最终可得Ｌ ｌ 一 － ９ ｎ ｘ＝ ７ ） ｌ Ｌ ，即 ：
由度并联 机构 的运 动不 同之处 在于 其运动 是一个 刚
设 动平 台形心Ｄ的初始位置 为 固定坐标 系的原点 ，如 图２ 所示 。为 了更好 地表达动平 台 、ｙ ０的变化 、
量 ，再设一 动 坐标 系随着平 台一 起移 动 ，该动 坐标 系Ｘ。 ， Ｏ Ｙ 的原点为Ｏ ，动 坐标系 轴与定 坐标系 轴
ｉ 一ｙ ｍ 一Ｉ ｏ ０ｔ ０ ｌ ２ ｓ ０ （－ ２ ２ ｃｓ ）ｎ ｍ Ｉｎ ｍ Ｉ ａ （） ７
。同理 可得 到
和 极 、 向上 的
向上 的分力 、
分力 。 、
。令 平 台的质量 为ｍ，平 台凇 、ｙ 轴
电子工艺技术
２８ ４
式 （ ４）。 １
∑ ， ｍａ ；
３
ｆ １ ｍ ． ｃ ｌ 盟 ，ｓ ０（ｃ ｔ Ｆ（ｓ （ ｏ０ ） ２ ｉ ，ｏ０（＋ ２）ｎ０ ， ｓ ＋ （ ｎ ） ｓ ） ｔｉ ） ｔ ）
图１ － Ｒ ！维结构简 图 Ｐ Ｐ ３
２工作台的 自由度分 析
对该 平面并 联 机构 的简 化 ，考 虑 到动平 台下 面
的４ 个万 向球与定平 台接触属 于球面高副 ，并 且只是 起 到对动 平 台的支 撑作用 ，又 由于 摩擦力 很小 ，可
得到如 图２ 所示 的图示 。
图３工 作 平 台 尺 寸 参 数 图 ４ ￡作 平 台 运 动 图
伍 ｉ０ ｔ 一Ｉ Ｉ ｎ ） ａ ０ ｍ ｓ ｎ
Ａｖ －Ｌ／） ｎ０ ・ ２ ２ｌ ｏ ＋ ＝ （１ ｔ ＋ 珊 一ｌ ｃｓ ２ａ ｍ ０
一
（） ５
同 ，方向相反 ，而 由于平台的调整角度很小 ，分力
Ｆ ； Ｘｓ ｎ ｉ ０也很小 ，所 以忽 略不计 。图７（ ）中的 ｅ
△ ＝ 。ａ （厶Ｌ Ｌ ｉ（ ａ ｔ （３ ２・ｎ ０ ｔ ０× ＋一 ／ ｓ ０＋ｒ ａ Ｌ／ ）ｔ ＋ ＿ｎ ｎ ｃ ｎ Ｌ ）ａ
步骤 中每个导杆 的运动距 离为 △ｕ ｍ 、Ａｖ Ｌ ： ＝Ｌ ＝ ｎ、
Ａ ｗ－ 】ｏ － ２ ＬＹ
３＋２ ｃ 一／ ＋ ；ａ０ｏ ０ ａｔ（／） ＿ 埘） ， ； Ｌ ｔ ｓ ＋ｃｎ ３２ ｙ ｓ０ Ｌ ｅ ｎ （ ｒａＬＬ） ｃ 一
Ａｕ － １ ）ａ ＋ 珊２ ｃｓ ＋ ＝ （ ／ ｔ ０ — 一ｌ ｌ ｏ Ｌ２ ｎ ｍ２ ０
体 系 只受 到三 个 延导 向杆方 向的外 力Ｆ 、Ｆ 、 ， ：
如 图７ （ ａ）所 示 ， 图７ （ ｂ）对 滑 块 ２ 行 受 力 分 进
析 ，其 中 Ｆ 。 为平 台对 滑块 的压力 ， 与 大小相 Ｆ
Ｉ２ ０ ａ ｍ Ｉ ｔ ０ ｎ
（） ６
与Ｆ 为作用力 与反 作用力关 系 ，将 分别 向 、 ｙ 向进行投 影 ，分别得至 方 咀
、
ＬＡ －一 Ｌ＋ ；ｏ ０ａｔ ０ ３２ ￣Ｌ √ Ｌｃ（＋ｅｎ （ ） Ｌ２ ｓ ｒａ ） 一 （Ｌ＋ ；ｉ０ ａｔ （ｒ） ３ｎ ＋ √ ； Ｌｓ（＋ｒａ０ ３２Ｌｔ ｎ ｅｎ ） ） ０ 一 ／－ ａ
７
从０ ｌ ， 运动Ｎｏ ，２ 。 ， ０１ １ ） ２２ ， ２ Ｙ ０）
３１ 台的角度旋转 ．平 如 图５ 示 。 为 了使 平 台能 够 绕 点 旋 转 角 度 所
０，导杆５ 的行程 △ｕ 、６ 、Ａｖ ，应该具备 △ｕ Ａｖ — 的
图２工 作 平 台简 图
条件 ，为 了表达 清楚令 该步 骤 中每个 导杆 的运 动距
电子 工艺技术
２６ ４
Ｅ ｃｒｎｃ ｒｃ ｓ ｅ ｈ ｏｏ ｖ ｌ ｔ ｉｓ ｏ ｅ ｓ ｃ ｎ ｌ￣ ｅ ｏ Ｐ Ｔ
２ １ 年７ ０１ 月
滑块 ，这两 个 滑块均 通过 直线运 动副 分别 与动平 台 和机架相连 ，动平 台的下端有４ 个球 面高副 与定 平台 相接 处 ，其球 面高 副只起 到支撑 作用 。与 其他 少 自
Ｅ ｃｒｎｃ ｒｃ ｓ ｅ ｈ ｏｏ ｖ ｌ ｔ ｉｓ ｏ ｅ ｓ ｃ ｎ ｌａ ｅ ｏ Ｐ Ｔ
最终得￣ ＿ Ｊ ｌ 作平 台的动力学方程 。 Ｔ
２ １ 年７ ０ １ 月
方 向 的加 速度 分别 为ａ 、ａ ，平 台对 其形 ， ５Ｏ的转 动 惯量 为， ，平 台形 ， 的瞬时角加速度 为 。 ｒ Ｊ ５ Ｏ 根据 牛顿一 欧拉方程可 得式 （ ２）、式 （ ３）、 １ １
（ ２）
第 ３卷 第４ ２ 期
史建卫。等： 一种３ Ｐ Ｐ 一 Ｒ 共平面并联微动平台的研究
２７ ４
同时 可也计 算 出平 台形心 ０ 的 坐 标 值 为
０ （ ｓ ０， （－ ｏ ０ ） １ ｆ ｌｉ ｍ２ ｃｓ ） ｍ２ ｎ １ 。
分别将 求导式 （ ５）、式 （ ６）、式 （ 对 时间ｔ ７）
ｙ － ２ － ａ △ １ Ｌｙ － ｔｎ０ Ｘ ３ ３ Ｌ １ ｔｎ０ × Ａｙ ｘ３ ａ ＝
（ ３） （ ４）
在平 台的物体 系 中 ，取平 台 的初 始位 置 的形 心
０为ＸＯＹ 坐标 系 的原 点 ，忽 略掉 摩擦 力 ，该 平 台物
综 上 所述 ，导 杆 的位移 与 平 台的位 置关 系式 为 式 （ ５）、式 （ ）、式 （ ）所示 。 ６ ７
图 ５ ，令 ０ １ 中 ＝／ＮＭＫ，Ｌ 为 直 线ＭＮ 在 轴 上 的投影长 度 ， 为 直 线ＫＮ 在 】 上 的 投 影 长 ， 轴 度 ， 为 直 线ＭＮ 的 长度 ， ， 直线 Ｋ 在 轴 上 为 Ｎ
低 副 ， 、Ｅ、Ｈ为３ 个转 动低副） 个高 副 ，根据 平 ，０ 面机构 自由度计算公式 （ ），便 可以求得该机 构的 １
自由度为３ ，并 且运动唯一 。
Ｆ ３－ｐ － Ｈ ＝ ｎ ２ Ｌｐ （１）
的投 影 长 度 ， 为直 线Ｐ ｌ 上 的投 影 长 度 ， Ⅳ在 ， 轴
。
为 直线Ｐ、在 轴 上 的投 影 长 度 ， 』 ｒ
厂 — —＿ ＿ ＿
、 ， 、 为
已知 ，贝 有 一 ｙ＝ ｚ＝ａ × ／ ， ０ｌａｃａ （ ０ ｌ ｌｔｎ０ Ｌ１ ２ ＝ ｒｔｎＬ３ ／
离 为 Ａｕ Ｌ 、 ＡｖＬ ２，Ａｗ Ｌ ｌ －川 ＝ｙ ｌ ＝ ｌ ｘ。
由图 ２ 以看 出 ，该 机 构 共 有 ７ 活 动 构 件 ， 可 个 （ 即运动 平 台 １ ，三 个 滑块 ２ 、４ 、３ ，三个 导杆 ５ 、 ６ 、７），９ 个低 副 （ 即 、Ｃ、Ｄ、Ｆ、Ｇ、Ｉ￣ 个 滑动 ）６ Ｊ
的夹 角 为 ０，令角 度 ０以逆 时针方 向为 正 。在 初始
体 的平 动 ，因每个支链 是 由共线 的 “ 动一 滑 转动一 滑
动”完成运 动的传 递 ，所以该平台为３Ｐ Ｐ 面并联 一Ｒ 平
机 构 ，如 图１ 所示 。其 中１ 为动平 台 ，２ 为滑块 ，８ ～７
为支架。
位置 时Ｏ， 的坐标为 （ ，），其夹角为 ０＝ 。 。如 图３ ００ ０ 所示 ，其 中 ，在 ｙ 轴方 向上 的两个 导杆５ 在 向 、６ 方
上 的距离匙 ， ，动平 台的在 向上的宽度是 ，在 方 ｙ 向上 导杆７ 、６ 方 到５ 导杆 上 的转动 副 的距 离为 。 工作 平台经 过对位运动后 ，其动坐标系 的原点Ｏ 的坐
Βιβλιοθήκη Baidu标变为 ， ０ ，如 图４ ｙ ） ， 所示 。则相对应 的导杆５ 、 、６
７ 应运 动的距离 为 ＡＵ Ａ 、 、ＡＷ 。建 立（ ，Ａ ＡＵ ， Ａｗ与 ， ） 间的关 系即为平 面并联 机构的运动反 ） ０之 解模型 。