图乘法
图乘法(力学)
Mi
1
Mi
l
l
1
已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD
ql
C
D
l
A
q
B
ql
1
q
1
l
ql 2
l
l
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
Ay c 1 1 2 1 2 ql 2 CD ( l ql 2 l l ql 2 l l l) EI EI 2 3 2 3 8 11ql 4 ( ) 12 EI
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2 A3 y3 Ai yi
4、图乘法步骤：
1、取虚状态
2、画弯矩图
MPM ຫໍສະໝຸດ P 3、代入图乘法公式
Ayc EI
例1：求图示梁B端转角。
A
P
B B
EI
l/2 l/2 Pl / 4
M 1 B 1
Ayc B EI
解:
已知 EI 为常数，求B截面转角。
2kN/m
B
6kN
1
4
3m
MP
12
Mi
A
4m 2m
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
Ay c 1 1 1 2 1 ( 4 12 1 4 4 ) EI EI 2 3 3 2 8 ( ) 3EI
求：1、C点竖向位移 CV 2、C截面转角 C 3、A和C截面相对转角 AC
已知： E、I、A为常数，求 CV 。
D
P A B
a
C
结构力学图乘法课件
THANKS
感谢观看
工程实践应用
探讨结构力学图乘法在工程实践中的应用，包括结构分析和设计、损伤识别与健康监测、物理实验模拟等领域，以帮 助学员了解该领域的实际应用和未来发展方向。
对个人发展的启示 总结学习结构力学图乘法的经验和方法，提出对个人发展的启示和建议，包括思维方式、分析问题和解 决问题的能力以及团队协作等方面的提升。
图乘法的扩展应用
建筑结构分析
图乘法在建筑结构分析中有着广泛的应用，可以用于分析建筑结构的强度、刚度和稳定性。 通过图乘法，工程师可以快速求解出建筑结构的响应和性能，为建筑设计和施工提供依据。
桥梁结构分析
图乘法在桥梁结构分析中也有着重要的应用，可以用于分析桥梁的承载能力和稳定性。通 过图乘法，工程师可以得出桥梁在不同载荷条件下的响应和性能，为桥梁的设计和施工提 供依据。
选择实例
选择具有代表性的扭转结构作 为分析对象。
建模分析
建立结构模型，进行静力分析 和动力学分析。
结果比较
比较不同设计方案和参数下的 结果，分析优劣。
结论总结
总结分析结果，提出优化方案 和结论。
06
图乘法的应用与扩展
图乘法在结构设计中的应用
01
简化复杂结构分析
图乘法可以用于求解复杂结构的内力和位移，通过将结构分解为简单部
教学方法评析
对采用的教学方法和策略进行反 思和评析，包括案例分析、课堂 讲解、小组讨论和习题练习等， 以帮助学员更好地掌握知识和技
能。
学员收获与感受
分享学员在学习过程中的收获和 感受，包括对基本概念的理解、 解决问题的能力和实践应用能力
的提升等方面。
展望与启示
前沿技术发展
介绍结构力学图乘法领域的前沿技术和研究动态，包括新理论、新方法和新应用等，以激发学员对该领域的兴趣和研 究热情。
5结构力学图乘法.
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI
(M x tanα)
yc
xc x
M
x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2） 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K
《图乘法力学》课件
与数值法的比较
数值法通过计算机模拟得出结果，适用于复杂问题但需要专业软件；图乘法简单易行，但计算能力有限。
05
CHAPTER
图乘法的发展趋势与展望
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，图乘法在分析飞行器结构、优化设计等方面将有更广泛的应用。
1
2
3
图乘法在多物理场耦合分析方面具有优势，未来研究将进一步深化其在流固耦合、热固耦合等领域的应用。
直观易懂
图乘法在处理某些复杂问题时，可以简化计算过程，提高解题效率。
计算简便
图乘法适用于多种类型的力学问题，尤其在解决平面问题和旋转问题时表现出色。
适实际实验获取数据，真实度高但受实验条件限制；图乘法不受实验条件限制，但结果依赖于绘图精度。
与解析法的比较
解析法通过数学公式解析问题，精确度高但计算复杂；图乘法在保持一定精确度的同时，简化了计算过程。
详细描述
02
CHAPTER
图乘法的基本原理
图乘法涉及到代数运算，包括线性代数和矩阵运算等。
代数基础
几何基础
微积分基础
图乘法涉及到几何图形，如平面图形和立体图形等。
图乘法涉及到微积分的知识，如微分和积分等。
03
02
01
图乘法可以用于结构分析，通过计算结构的位移和应力等参数，评估结构的性能。
结构分析
在机械结构分析中，图乘法常用于计算机械零件的应力和变形。通过将机械零件各部分离散化，并利用图乘法计算各部分产生的内力和变形，可以得出整个机械零件的受力状态和变形情况。这对于确保机械零件的安全性和稳定性至关重要。
总结词
详细描述
04
CHAPTER
图乘法的优缺点分析
图乘法通过图形直观地展示力学问题，使得学生更容易理解。
图乘法
1.2.3图乘法图乘法是关于的简化计算方法。
在一定的应用条件下，图乘法可给出该积分的数值解，而且是精确解。
适用条件（1）杆件为直杆；（2）EI为常数（等截面）；（3）和图中至少应有一个直线图形。
对于等截面直杆所构成的梁和刚架，都能同时满足以上三个条件，因而均可采用弯矩图图乘的方法，简称图乘法。
算位移的公式（1-15）式中为、图中某一图形的面积；为与该截面形心对应的另一个图形的竖标。
这样，就将较为复杂的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距等几何运算问题。
三）几种常见图形的面积的形心位置在图1-15中，给出了位移计算中几种常见图形的面积公式和形心位置。
图1-15【注意】在所示的各次抛物线图形中，抛物线“顶点”处的切线都是与基线平行的。
这种图形可称为抛物线标准图形。
应用图中有关公式时，应注意这个特点。
（四）图乘法计算位移必须注意的几个问题（1）必须取自直线图形。
（2）与若在杆件同侧时，其乘积取正号；反之，取负号。
（3）如果两个图形都是直线图形，则可取自其中任何一个图形。
（4）如果图是曲线图形，图是折线图形，则应分段互乘，最后叠加。
（5）如果图形比较复杂（由不同类型的多个荷载作用绘出），其面积和形心位置不便确定时，则可利用“区段叠加法”的逆运算，将其分解为几个简单的标准图形，并将它们分别与另一个图形图乘，最后叠加。
（6）如果杆件EI分段变化时，可分段图乘，最后叠加。
（7）如果EI沿杆长连续变化或是曲杆和拱结构，则必须用积分计算位移。
（1）绘实际荷载作用下的图；（2）根据所求位移，加相应单位力，绘图；（3）代入式（1-15）求位移：【注意】根据计算结果的正负号，判定位移的实际方向，并在计算值之后所加的圆括号中，标明其实际方向。
图乘法
yc
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P A C B
a
l
2
l
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
NP P / 2
A
l 2
D P
Ni 1 / 2
D
a
B
2
Pl 4
A
l
1 C
2
a
B
l 2
l 4
C l
MP
M
2 1 l Pl 2 l 1 1 P Pl3 Pa Cy [( ) ] a () EI 2 2 4 3 4 EA 2 2 48EI 4 EA
yc
练习
求C、D两点相对水平位移 CD 。
P
C
EA A
MP
D
P
l
EI Pl
B
1
1
Pl EI
l
l
Mi
l
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
N i N Pl 1 1 2 1 B Pl l l 4 (2 P)(2) l EI EA EI 2 3 EA 4 Pl 3 4 Pl () 3EI EA
EI
40 kN m 10 m
1
1 1 B 10 1 (20 EI 2 2 500 20 ) ( ) 3 3EI
Mi
1/ 2 2 / 3
1 1 2 B ( 10 20 EI 2 3 1 500 10 20 ) ( ) 2 3EI
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
1
1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 B ( l ) ( EI 2 4 2 16EI
图乘法原理
图乘法原理
图乘法原理是指在进行图的乘法运算时，将两个图的每个顶点对都连接起来，形成一个新的图。
这个新图的顶点由两个原始图的顶点组成，边由两个原始图的边组成。
具体而言，设图G1=(V1,E1)和图G2=(V2,E2)是两个图，其中
V1和V2分别是G1和G2的顶点集合，E1和E2分别是G1和G2的边集合。
那么图乘法原理定义了一个新的图G=(V,E)，
其中V=V1×V2，即G的顶点是由G1和G2的顶点对组成的。
而E是由所有G1和G2的边连接起来的，即对于每个
(u,v)∈V1×V2，如果存在(u1,v1)∈E1和(u2,v2)∈E2满足u=u1，v=v2，那么(u,v)∈E。
通过图乘法原理，我们可以将两个图的结构进行组合，得到一个新的图。
这个新图中的顶点保留了原来两个图的顶点的属性，而边则是两个图的边的组合。
在实际应用中，图乘法原理可以用于表示两个图之间的关系，例如社交网络中的用户之间的关注关系和互动关系等。
总之，图乘法原理是一种用于将两个图进行乘法运算的方法，通过将两个图的顶点对连接起来，形成一个新的图。
它可以用于表示两个图之间的关系，在图论和网络分析领域有着广泛的应用。
结构位移和刚度—图乘法(建筑力学)
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
图乘法
图均为非直线。
此时的处理方法：应分段图乘再叠加。
二．图形分解和图乘的分段叠加
10
在实际计算中，当弯矩图的形心位置或面积不便于确定
时，常将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的部分， 并将它们分别与另一图形相乘，然后再将所得结果相加。下面 分几种情况讨论。
yD
x xD
∫C M M Pds
D EI
EI=常数 直杆 ds=dx
D 1
∫ =
1 EI
C D
M M Pdx
tanα=常数
∫ ∫ =
tanα EI
D C
xM Pdx
=
tanα EI
C D
xdω
dω = M Pdx
为
MP
图中有阴影线的微面积；=
tanα EI
ω⋅
xD
xdω 为微面积对 D点的面积矩。
C
=
23Ph2 72 EI
3h/4
Mk
2/3
例 求铰C左、右两侧截面相对转角33
EI = 常数
q
C a
a
a
qa 2 qa2
34
11 2
qa2 /8
2
1
qa 2
M P 图 （kN·m）
2 M 图 (m)
ΔφC
=
1 EI
[2 3
⋅a⋅
qa 2 8
×
1 2
+ 2 ⋅ a ⋅ qa2 × ( 1 +1) 3 82
−A3ql 3 4
(
2 3
2l
+
1 3
l)
l
− −
图乘法
注意:各杆刚度 注意 各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 B = ∑ = Pl l l × 2 + Pl l l 3 4 EI EI EI 2 5 Pl 3 = (→ ) 8 EI
为常数, 并画出变形图. 已知 EI 为常数,求C,D两点相对水平位移 CD,并画出变形图. , 两点相对水平位移 并画出变形图
=1
Mi
ql 2 4
1 2 ql 1 1 ql 2 B = ( × l × × + l 1) EI 3 8 2 2 4 3 ql 3 = ( ) 24 EI
2
2
q
三,图形分解
求C截面竖向位移 C 截面竖向位移
q
A
3ql 2 / 32
3ql 2 / 32 3ql2 / 32 q
B
3l / 4 q
Pl EI l EI
MP
P B
l
Mi
=1
l
解: By = ∑
Hale Waihona Puke =∑MM P ∫ EI ds
ωy c
EI 1 1 2 ( Pl l l + Pl l l ) = EI 2 3 4 Pl 3 = (↓) 3 EI
二,几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
hl ω = n+1
C
h
l n+2
B
c = ∑
ωyc
ql 2 / 2
ql 2 / 8
为常数, 例 4. 图示梁 EI 为常数,求C点竖向位移 . 点竖向位移 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
结构力学图乘法
FN FPb M FQ 状态II FPa
M ds ds EI FN ds ds EA
ds 0
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
0 ds FN ds W12 FP M ds FQ FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
一、 功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 2 FP
FPa
FPb
A
1 2 a b
a
b
B
A
1 2 B a 1 b 2
所以
即
F F
P P
11 FP 2 FP 2 FPa a FPb b
在任一线性变形体系中，第一状态的外力 在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状 态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。
结构力学-图乘法
实例分析：圆轴扭转内力计算
第一段
M1 = (T1 + T2) × L/2
第二段
M2 = (T2 + T1) × L/2
实例分析：圆轴扭转内力计算
01
4. 比较M1和M2的大小，取较大 者作为圆轴内的最大扭矩。
02
5. 根据扭矩的正负号，绘制扭矩 图。
Part
04
组合变形图乘法
组合变形基本概念及分类
者联系起来，从而求解结构位移。
图乘法适用条件及限制
适用条件Βιβλιοθήκη 01载荷作用下，结构的变形是线性的，即变 形量与载荷成正比。
03
02
结构变形符合小变形假设，即变形量与结构 尺寸相比很小。
04 限制
图乘法只适用于线性弹性问题，对于非线 性问题或塑性变形问题不适用。
05
06
在应用图乘法时，需要保证图形函数的准 确性，否则会影响计算结果的精度。
Part
02
弯曲内力图乘法
弯曲内力基本概念
01
02
03
弯曲内力
指构件在受到外力作用时， 其内部产生的抵抗弯曲变 形的力。
剪力
作用于构件横截面上的内 力，其方向与构件轴线垂 直。
弯矩
作用于构件横截面上的内 力偶矩，其大小等于该截 面左侧或右侧所有外力对 截面形心的力矩之和。
弯曲内力图乘法求解步骤
图乘法优点总结
直观性
图乘法通过图形表示结构 中的力学元素和它们之间 的关系，使得分析结果更 直观，易于理解和解释。
高效性
相较于数值分析方法，图 乘法能够更快地给出结构 分析的近似解，适用于初 步设计和快速评估。
适用性广
图乘法可应用于各种不同 类型的结构，包括静定结 构和超静定结构，具有较 广泛的适用性。
图乘法
1.2.3 图乘法图乘法是关于的简化计算方法。
在一定的应用条件下，图乘法可给出该积分的数值解，而且是精确解。
（一）图乘法的适用条件（1）杆件为直杆；（2）EI为常数（等截面）；（3）和图中至少应有一个直线图形。
对于等截面直杆所构成的梁和刚架，都能同时满足以上三个条件，因而均可采用弯矩图图乘的方法，简称图乘法。
（二）图乘法计算位移的公式（1-15）式中为、图中某一图形的面积；为与该截面形心对应的另一个图形的竖标。
这样，就将较为复杂的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距等几何运算问题。
（三）几种常见图形的面积的形心位置在图1-15中，给出了位移计算中几种常见图形的面积公式和形心位置。
图1-15【注意】在所示的各次抛物线图形中，抛物线“顶点”处的切线都是与基线平行的。
这种图形可称为抛物线标准图形。
应用图中有关公式时，应注意这个特点。
（四）图乘法计算位移必须注意的几个问题（1）必须取自直线图形。
（2）与若在杆件同侧时，其乘积取正号；反之，取负号。
（3）如果两个图形都是直线图形，则可取自其中任何一个图形。
（4）如果图是曲线图形，图是折线图形，则应分段互乘，最后叠加。
（5）如果图形比较复杂（由不同类型的多个荷载作用绘出），其面积和形心位置不便确定时，则可利用“区段叠加法”的逆运算，将其分解为几个简单的标准图形，并将它们分别与另一个图形图乘，最后叠加。
（6）如果杆件EI分段变化时，可分段图乘，最后叠加。
（7）如果EI沿杆长连续变化或是曲杆和拱结构，则必须用积分计算位移。
（五）图乘法的计算步骤（1）绘实际荷载作用下的图；（2）根据所求位移，加相应单位力，绘图；（3）代入式（1-15）求位移：【注意】根据计算结果的正负号，判定位移的实际方向，并在计算值之后所加的圆括号中，标明其实际方向。
图乘法
ql 2 / 4
ql / 4
MP
l/2
Mi
l
l
1/ 2
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
1 1 ql 2 2 l 1 ql 2 2 l 2 ql 2 1 l CD ( l 2l 2l ) EI EI 2 4 3 2 2 4 3 2 3 8 2 2 2 2 ql 4 ( ) 48 EI EI
1 M M P dx EI l ac bd (a b)(c d ) 6 EI 1 2 1 2 1 l ql [ (c d )] EI 3 8 2
图 图
l ac bd (a b)(c d ) 6 EI
ql 3 (c d ) 24 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§4-5 图乘法：（Graph Multiplication）
几种常见简单图形的图乘 1、两个梯形：
1 1 MM P dx EI EI
M ( M Pa M Pb )dx
图
1 EI
M M Pa dx M M Pb dx
一、图乘法
(对于等 截面杆) 图乘法是Vereshagin于
( M x tan ) 的学生。 1 x tan M P dx EI tan
EI xM P dx
1 M1925年提出的，他当时 M P dx (对于直杆) 为莫斯科铁路运输学院 EI
图乘法求位移公式为:
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
Mi
EI
结构力学图乘法
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
xc
x
Δ
MC
EI
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h Ap 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
12 y3=4 A
ω2 2m MP图(kN.m)
ω1
4B 4
C
CH 1 EI 1 EI 1 (1 y1 2 y2 3 y3 ) EI 8 32 ( 1.5 2 8 4) 3 3 6.67 (25.33 32) () EI
2
ω3 y2
y1
EI
FP2=M 2
F
Fa/4 1/2 解：
M
a 21 21 / F 16 EI
2
a 12 12 / M 16 EI
2
12 21
例2 验证位移互等定理。
FP1=5kN.m 1 EI 4m 2 1m 1 Δ12 FP2=3kN 2 1m
图乘法
1.2.3图乘法图乘法是关于的简化计算方法。
在一定的应用条件下，图乘法可给出该积分的数值解，而且是精确解。
（一）图乘法的适用条件（1）杆件为直杆；（2）E I为常数（等截面）；（3）和图中至少应有一个直线图形。
对于等截面直杆所构成的梁和刚架，都能同时满足以上三个条件，因而均可采用弯矩图图乘的方法，简称图乘法。
（二）图乘法计算位移的公式（1-15）式中为、图中某一图形的面积；为与该截面形心对应的另一个图形的竖标。
这样，就将较为复杂的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距等几何运算问题。
（三）几种常见图形的面积的形心位置在图1-15中，给出了位移计算中几种常见图形的面积公式和形心位置。
图1-15【注意】在所示的各次抛物线图形中，抛物线“顶点”处的切线都是与基线平行的。
这种图形可称为抛物线标准图形。
应用图中有关公式时，应注意这个特点。
（四）图乘法计算位移必须注意的几个问题（1）必须取自直线图形。
（2）与若在杆件同侧时，其乘积取正号；反之，取负号。
（3）如果两个图形都是直线图形，则可取自其中任何一个图形。
（4）如果图是曲线图形，图是折线图形，则应分段互乘，最后叠加。
（5）如果图形比较复杂（由不同类型的多个荷载作用绘出），其面积和形心位置不便确定时，则可利用“区段叠加法”的逆运算，将其分解为几个简单的标准图形，并将它们分别与另一个图形图乘，最后叠加。
（6）如果杆件E I分段变化时，可分段图乘，最后叠加。
（7）如果E I沿杆长连续变化或是曲杆和拱结构，则必须用积分计算位移。
（五）图乘法的计算步骤（1）绘实际荷载作用下的图；（2）根据所求位移，加相应单位力，绘图；（3）代入式（1-15）求位移：【注意】根据计算结果的正负号，判定位移的实际方向，并在计算值之后所加的圆括号中，标明其实际方向。
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y0 o A
MM P 1 ∆ = ∑∫ ds = ωy 0 EI EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室 李保德副教授
MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
1 1 2 ω 3 = × qL 2 8 3 y3 = L 4
C
B L/2
1 L 1 2 ω1 = × × qL 3 2 8
1 L 1 2 ω 2 = × × y2 = L 6
∆B =
1 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω 3 y3 ) EI
41qL4 = 384 EI
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3. 常见图形的面积和形心
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注意: 注意:
标准抛物线
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4. 图乘的一般方法
两图均是直线图形，y0可取其中的任一图形
ω
y0
y0
ω
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C
B L/2
∆B =
1 ωM P y EI
1 1 2 PL3 = × L × PL × L = EI 2 3 EI
B
MP
或
1 ∆B = ωM y EI
1 1 2 PL3 = × L × L × PL = EI 2 3 EI
M
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P A L/2 PL y A L/2 ω A C B M B MP C B L/2
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例3：试求图示刚架B点的水向位移，EI为常数。 图示刚架B点的水向位移，EI为常数。 刚架 为常数 L C q L A B
2 L 3
D L
qL2/2 ω2 ω1 qL2/8
L y2
y1
ω3
y3
MP
y1 =
M
2 1 × L × qL2 3 8 y3 = 1 L 2
一般结构（ 一般结构（梁、刚架、桁架、拱和组合结构）： 刚架、桁架、拱和组合结构）：
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2. 问题的分析过程
EI为常数 EI为常数
MM P ∆ = ∑∫ ds EI
1 ∆= EI
∑ ∫ MM
P
ds
从数学上说：M、MP各为一函数，即： 从数学上说： 各为一函数， f(x)=ax+b
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分段图乘
一图形为曲线，另外一图形为折线
ω1
ω2
y1
y2
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分块图乘
基本原理：叠加原理
ω1 ω2 ω3
y2
y1
y3
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混合图乘 ω2 ω1
ω4
ω5
ω3
y5 y4
y3
y2
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作业： 作业：
P307： P307：6-15 a) P307： P307：6-16 b) P308： P308：6-23
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ω1 =
1 1 × L × qL2 2 2
ω3 =
1 1 ω 2 = × L × qL2 2 2
2 y2 = L 3
1 3qL4 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω3 y3 ) = ∆C = EI 8EI
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小结： 小结：
应用图乘法的前提：两直线一常数; 应用图乘法的前提：两直线一常数; 常见图形的面积和形心－－记忆; 常见图形的面积和形心－－记忆; 面积和形心－－记忆 注意图形分段、分块的方法。 注意图形分段、分块的方法。特别 是对非标准抛物线的处理－－分块; 是对非标准抛物线的处理－－分块; －－分块 弯矩图绘制的准确性; 弯矩图绘制的准确性;
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1. 问题的提出
荷载作用下弹性位移的一般公式: 荷载作用下弹性位移的一般公式:
积分计算－ 积分计算－复杂
NN P ∑ EA l
剪力影响可忽略
MM P NN P kQ QP ∆ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA GA
y1
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混合图乘 ω1 非标准抛物线 ω2 ω4 y1 y2 y3 y4 非标准抛物线 ω3
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5. 图乘法应用实例
例1：试求图示悬臂梁B点和C点的竖向位移，EI为常数。 图示悬臂梁B 的竖向位移，EI为常数。 为常数 P A L/2 PL ω A L y A B
不能取M 不能取 P的面积
1 ∆c = ωM y EI
1 1 1 1 5 5PL3 = × L × L × PL = EI 2 2 2 6 48EI
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例2：试求图示悬臂梁B点的竖向位移，EI为常数。 图示悬臂梁B点的竖向位移，EI为常数。 为常数 q A L/2 3qL2/8 ω3 A L A y3 ω2 ω1 y2 y1 B M qL2/8 标准抛物线 B MP
图乘法
图乘法的适用条件: 图乘法的适用条件: 的适用条件
杆轴为直线; ; EI＝常数; ; M与MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形; ;
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MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
注意事项: 注意事项:
ω与y0对应不同的弯矩图形; ; y0所在的弯矩图必须是直线; ; ω与y0在杆的同一侧为正，反之为负; ; EI为无穷大时，表示本段产生的位移为0; ;
结构力学教学竞赛
李保德
副教授
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室
6-5
结构位移计算的图乘法
本节的主要内容： 本节的主要内容：
图乘法推导及其应用条件; 图乘法推导及其应用条件; 推导及其应用条件 常见图形的面积和形心; 常见图形的面积和形心; 图乘的一般方法; 图乘的一般方法; 一般方法 应用实例; 应用实例;
∫ f ( x) g ( x)dx
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a ∫ xg ( x) dx + b ∫ g ( x )dx
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y
面积ω 面积ω 形心 g(x) A x0 f(x) B x B
面积矩
面积
a ∫ xg ( x) dx + b ∫ g ( x )dx
ax0ω + bω = ω (ax0 + b ) = ωy0