贝塞尔曲线
apollo 贝塞尔曲线
apollo 贝塞尔曲线贝塞尔曲线是图形学中常用的数学曲线，具有平滑且自然的特点。
在 Apollo 自动驾驶系统中，贝塞尔曲线被广泛应用于路径规划和轨迹生成。
本文将介绍 Apollo 中的贝塞尔曲线以及其在自动驾驶领域的应用。
一、贝塞尔曲线的定义与特点贝塞尔曲线是由一系列控制点和参数化函数组成的曲线。
通过调整控制点的位置和参数函数的取值，可以绘制出各种不同形状的曲线，包括直线、二次曲线、三次曲线等。
贝塞尔曲线有三个基本特点：平滑性、局部控制性和逼近特性。
二、Apollo 中的贝塞尔曲线在 Apollo 自动驾驶系统中，贝塞尔曲线主要用于路径规划和轨迹生成。
首先，通过在地图上选取一系列关键点作为控制点，利用贝塞尔曲线的局部控制性，可以更加灵活地指定路径。
其次，通过调整贝塞尔曲线的参数函数，可以实现路径的平滑过渡和自然变化。
最后，Apollo 还使用贝塞尔曲线来生成机动车的轨迹，以实现更精确的行驶控制。
三、贝塞尔曲线在自动驾驶中的应用1. 路径规划：Apollo 利用贝塞尔曲线生成平滑的路径，以提高行驶的安全性和舒适性。
通过调整贝塞尔曲线的控制点和参数函数，可以生成灵活、精确的路径规划结果。
2. 轨迹生成：基于生成的路径，Apollo 使用贝塞尔曲线生成机动车的轨迹。
通过控制贝塞尔曲线的参数，可以实现车辆的平滑变速、转弯半径调整等功能。
3. 交通流量仿真：利用贝塞尔曲线模拟道路上的车辆行驶状态，包括车辆的位置、速度以及加速度等信息。
通过仿真结果，可以评估交通流量的变化趋势、道路瓶颈等情况，为交通管理和规划提供参考依据。
四、贝塞尔曲线的优势与挑战1. 优势：- 平滑性：贝塞尔曲线具有良好的平滑性，能够实现路径的平滑过渡，减少车辆行驶过程中的抖动和不稳定性。
- 灵活性：通过调整控制点和参数函数，可以实现路径的灵活规划，适应不同路况和车辆行驶需求。
- 可控性：贝塞尔曲线具有局部控制性，可以在路径的特定部分进行调整和优化，提高行驶的准确性和精度。
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
cad贝塞尔曲线算法
cad贝塞尔曲线算法
CAD（Computer-Aided Design，计算机辅助设计）中的贝塞尔曲线算法用于绘制平滑的曲线。
贝塞尔曲线由控制点决定，其形状在控制点之间插值。
贝塞尔曲线的算法有多种类型，其中最常用的是二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线。
1. 二次贝塞尔曲线算法：
二次贝塞尔曲线有三个控制点，分别为起始点P0，控制点P1和终点P2。
曲线上的任意点P可以通过以下公式计算得出：
P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2*t*(1-t) * P1 + t^2 * P2
其中t为0到1之间的参数，代表曲线的位置。
2. 三次贝塞尔曲线算法：
三次贝塞尔曲线有四个控制点，分别为起始点P0，控制点P1，控制点P2和终点P3。
曲线上的任意点P可以通过以下公式计算得出：
P(t) = (1-t)^3 * P0 + 3*t*(1-t)^2 * P1 + 3*t^2*(1-t) * P2 + t^3 * P3
其中t为0到1之间的参数，代表曲线的位置。
CAD软件通常通过在曲线上选择若干个控制点，并根据贝塞尔曲线算法计算出曲线上的点来绘制平滑的曲线。
贝塞尔曲线算法的优点是可以精确地控制曲线的形状，并且可以绘制复杂的曲线。
贝塞尔曲线的应用
贝塞尔曲线的应用什么是贝塞尔曲线贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种数学曲线，由法国数学家贝塞尔在1962年提出。
它通过控制点和控制线来定义轨迹，具有良好的平滑性和可调节性，被广泛应用于计算机图形学、动画、数字艺术等领域。
贝塞尔曲线的类型贝塞尔曲线根据控制点的数量可以分为一维、二维和三维贝塞尔曲线。
其中，一维贝塞尔曲线由两个控制点定义，二维贝塞尔曲线由三个控制点定义，三维贝塞尔曲线由四个控制点定义。
不同类型的贝塞尔曲线具有不同的应用场景和特点。
贝塞尔曲线的应用1. 计算机图形学贝塞尔曲线在计算机图形学中被广泛应用于曲线的绘制、曲面的建模以及图形的变形等方面。
通过调整控制点的位置和权重，可以创建出各种形状丰富、流畅的曲线和曲面。
贝塞尔曲线的平滑性和可调节性使其成为计算机图形学中不可或缺的工具。
2. 动画制作贝塞尔曲线在动画制作中也扮演着重要的角色。
通过在时间轴上设置贝塞尔曲线的控制点，可以精确控制动画的过渡效果和运动轨迹。
例如，在二维动画中，通过贝塞尔曲线可以实现物体的平滑移动、缓动效果和抛物线轨迹等。
3. 数字艺术贝塞尔曲线在数字艺术中常被用于创作矢量图形和艺术图案。
通过调整贝塞尔曲线的控制点，可以创建出各种形状独特、线条流畅的艺术作品。
例如，在平面设计中，贝塞尔曲线可以用于绘制字体、图标和插图，赋予作品更多的艺术感和创造力。
贝塞尔曲线的优势和局限性1. 优势•平滑性：贝塞尔曲线具有良好的平滑性，能够创造出流畅的曲线和曲面。
•可调节性：通过调整控制点的位置和权重，可以随意改变曲线的形状和风格。
•简洁性：贝塞尔曲线的定义简单明了，只需要少量的控制点即可确定曲线的轮廓。
2. 局限性•复杂性：当控制点的数量增多时，贝塞尔曲线的计算和编辑会变得复杂而困难。
•可视化：贝塞尔曲线的控制点和控制线在可视化中较难直观显示，可能需要借助额外的工具或插件。
如何使用贝塞尔曲线使用贝塞尔曲线进行绘制和编辑通常需要借助专业绘图软件或图形库。
贝塞尔曲线曲面
贝塞尔曲线曲面
贝塞尔曲线和曲面是计算机图形学中的重要概念。
贝塞尔曲线是由法国工程师皮埃尔·贝塞尔在20世纪60年代提出的一类参数曲线。
它通过控制曲线上的四个点（起始点、终止点以及两个相互分离的中间点）来创造、编辑图形。
其中起重要作用的是位于曲线中央的控制线。
这条线是虚拟的，中间与贝塞尔曲线交叉，两端是控制端点。
移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。
贝塞尔曲面则是通过贝塞尔曲线扩展到三维空间的结果，它是一类三维参数曲面，通过调整控制线，可以得到各种各样的曲面形状。
贝塞尔曲线和曲面广泛应用于计算机图形学中，如游戏设计、建筑设计、工业设计等领域。
在计算机图形学中，它们被用来创建各种复杂的形状和表面，使得设计更加灵活和高效。
贝塞尔曲线 坐标 算法
贝塞尔曲线坐标算法1. 什么是贝塞尔曲线？贝塞尔曲线是一种数学函数，用于描述平滑的曲线形状。
它由两个或多个控制点组成，通过这些控制点来确定曲线的形状和路径。
贝塞尔曲线最常见的应用是在计算机图形学中，用于绘制平滑的曲线和路径。
2. 贝塞尔曲线的分类根据控制点的数量，贝塞尔曲线可以分为以下几类：•二次贝塞尔曲线：由两个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的直线。
•三次贝塞尔曲线：由三个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的曲线。
•高阶贝塞尔曲线：由四个或更多个控制点确定。
在本文中，我们将重点讨论二次和三次贝塞尔曲线。
3. 贝塞尔曲线坐标算法3.1 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1和结束点P2确定。
要计算二次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t^2 * P2其中，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P2。
3.2 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1、控制点P2和结束点P3确定。
要计算三次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2 * P2 + t^3 * P3同样地，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P3。
4. 应用示例4.1 绘制二次贝塞尔曲线假设我们有一个起始点P0(100, 100)，一个控制点P1(200, 50)，和一个结束点P2(300, 100)。
我们想要绘制一条连接这三个点的二次贝塞尔曲线。
首先，我们需要确定曲线上的一系列点。
可以选择一个步长值，例如0.01，然后使用上述公式计算每个t值对应的坐标点。
在这个例子中，t的取值范围为0到1，所以我们可以从0开始，每次增加0.01，直到达到1。
贝塞尔曲线控制点
贝塞尔曲线控制点
（最新版）
目录
1.贝塞尔曲线的定义
2.贝塞尔曲线的控制点
3.贝塞尔曲线的应用
正文
贝塞尔曲线是一种通过基函数和控制点定义的平滑曲线，它是以数学家贝塞尔的名字命名的。
贝塞尔曲线具有很多重要的性质，其中最重要的就是它的控制点。
贝塞尔曲线的控制点是用来控制曲线形状的点。
在贝塞尔曲线中，每个控制点都会对曲线的形状产生影响。
具体来说，贝塞尔曲线的控制点决定了曲线在每个控制点处的切线方向。
因此，通过改变控制点的位置，我们可以控制曲线的形状。
贝塞尔曲线在许多领域都有应用，例如计算机图形学、动画制作和经济学等。
在计算机图形学中，贝塞尔曲线常用于绘制光滑的曲线，如文本和形状。
在动画制作中，贝塞尔曲线可以用来制作平滑的动画效果。
在经济学中，贝塞尔曲线则可以用来描述价格和需求的关系。
总的来说，贝塞尔曲线是一种重要的数学工具，它的控制点是其关键部分。
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ae中贝塞尔曲线
AE中贝塞尔曲线在Adobe After Effects（AE）中，贝塞尔曲线是一个非常重要的概念，它用于创建和编辑动画和运动路径。
在这篇文章中，我们将来详细介绍AE中的贝塞尔曲线。
一、贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线是一种数学曲线，由法国数学家Pierre Bézier创建。
它被广泛应用于计算机图形学、计算机动画和计算机视觉等领域。
在AE中，贝塞尔曲线用于定义物体的运动路径、形状和动画。
二、贝塞尔曲线的构成贝塞尔曲线由一系列点组成，这些点被称为控制点。
每个控制点都有两个“把手”，一个在控制点的左边，一个在右边。
通过调整控制点的位置和把手的角度和长度，可以改变贝塞尔曲线的形状。
三、贝塞尔曲线的类型在AE中，有两种类型的贝塞尔曲线：Bezier曲线和B-spline曲线。
1. Bezier曲线：Bezier曲线是最常用的贝塞尔曲线类型。
它由两个端点和两个控制点组成。
这两个控制点定义了曲线的形状，而两个端点则确定了曲线的起点和终点。
在AE中，Bezier曲线通常用于创建动画和运动路径。
2. B-spline曲线：B-spline曲线是一种更复杂的贝塞尔曲线类型。
它由多个控制点组成，这些控制点可以沿着曲线移动，从而改变曲线的形状。
B-spline曲线在处理复杂形状和动画时非常有用。
四、如何创建和编辑贝塞尔曲线1. 创建贝塞尔曲线：在AE中，可以通过以下步骤创建贝塞尔曲线：a. 选择一个图层或物体，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的空对象。
b. 在时间轴中选择空对象，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的贝塞尔曲线。
c. 在时间轴中选择贝塞尔曲线，然后使用“Ctrl”键拖动控制点以调整曲线的形状。
2. 编辑贝塞尔曲线：在AE中，可以使用以下方法编辑贝塞尔曲线：a. 拖动控制点：选择控制点并拖动它们可以改变曲线的形状。
当鼠标放在控制点的把手上时，会出现一个红色线条，表示可以调整把手的角度和长度。
贝塞尔曲线原理
贝塞尔曲线原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种曲线，它可以用来描
述复杂的2D和3D曲线。
它被广泛应用于计算机图形学和机
器设计领域，为绘制复杂的图形提供了一种有效的方法。
贝塞尔曲线是由法国数学家皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bezier）在20世纪60年代末发明的。
它是一种特殊的曲线，可以用来描述任何2D或3D形状。
它的特点是它可以以简单的数学方
式描述复杂的形状，从而使复杂的形状变得更容易管理和绘制。
贝塞尔曲线由一系列点组成，这些点被称为控制点，它们决定了曲线的形状。
每个控制点都有一个系数，这个系数决定了曲线如何经过这个控制点。
通常，贝塞尔曲线由两个控制点组成，但它们也可以有更多的控制点。
总之，贝塞尔曲线是一种特殊的曲线，它可以用来描述任何2D或3D形状，并且可以以简单的数学方式描述复杂的形状，从而使其变得更容易管理和绘制。
它广泛应用于计算机图形学和机器设计领域，为绘制复杂的图形提供了一种有效的方法。
贝塞尔曲线详解
贝塞尔曲线详解贝塞尔曲线是一种数学曲线，它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔在19世纪中期发明。
贝塞尔曲线在计算机图形学、工程学、设计和艺术等领域中得到了广泛应用。
本文将详细介绍贝塞尔曲线的定义、性质和应用。
一、贝塞尔曲线的定义贝塞尔曲线是由一系列控制点和一组权重值组成的曲线。
控制点是曲线上的点，它们决定了曲线的形状。
权重值是一个数值数组，它们控制了曲线在控制点之间的弯曲程度。
贝塞尔曲线的公式如下：B(t) = Σi=0n Pi * Bi,n(t)其中，B(t)是曲线上的点，t是参数，Pi是控制点，Bi,n(t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是一个多项式函数，它的形式如下：Bi,n(t) = C(n,i) * ti * (1-t)n-i其中，C(n,i)是组合数，ti是t的i次方，(1-t)n-i是(1-t)的n-i次方。
二、贝塞尔曲线的性质1. 控制点的数量决定了曲线的阶数。
例如，如果有3个控制点，那么曲线的阶数为2。
2. 曲线的起点和终点分别是第一个和最后一个控制点。
3. 曲线在控制点处的切线方向与相邻控制点之间的连线方向相同。
4. 曲线的形状由控制点和权重值共同决定。
权重值越大，曲线在相应控制点之间的弯曲程度越大。
5. 贝塞尔曲线具有局部控制性。
这意味着，如果修改了一个控制点的位置或权重值，只会影响该控制点和相邻控制点之间的曲线段，而不会影响整个曲线。
三、贝塞尔曲线的应用1. 计算机图形学贝塞尔曲线在计算机图形学中得到了广泛应用。
它们可以用来绘制平滑的曲线和曲面，例如二维图形、三维模型和动画。
贝塞尔曲线还可以用来实现图形编辑工具，例如Photoshop和Illustrator。
2. 工程学贝塞尔曲线在工程学中也有很多应用。
例如，它们可以用来设计汽车、飞机和船舶的外形，以及建筑物的立面和室内设计。
贝塞尔曲线还可以用来优化机器人的运动轨迹和控制系统的响应速度。
3. 设计和艺术贝塞尔曲线在设计和艺术领域中也非常流行。
贝塞尔曲线和弧线的区别
贝塞尔曲线和弧线的区别
贝塞尔曲线和弧线的主要区别在于它们的形状和数学定义。
贝塞尔曲线是一个二次参数曲线，由法国工程师Pierre Bézier 在20世纪70年代开发，用于描述复杂曲线的过程。
贝塞尔曲线的形状完全由控制点决定，通过调整控制点的位置和数量，可以生成各种复杂的曲线形状。
贝塞尔曲线在计算机图形学、动画、CAD等领域有广泛的应用。
弧线通常是指圆弧或者弧形线段。
在几何学中，弧线是圆的一部分，由一个点（称为弧线的中心或端点）和通过该点的两条射线组成。
弧线的长度等于圆的半径乘以弧所对的圆心角的大小。
因此，贝塞尔曲线和弧线的主要区别在于它们的形状和数学定义。
贝塞尔曲线是一种参数曲线，通过调整控制点来改变形状，而弧线则是圆的一部分，由一个端点和通过该点的两条射线组成。
贝塞尔曲线
8.4 Bezier曲面
利用Bezier曲线的性质，张量积形式的Bezier曲面的定 义可以如下定义。两组正交的Bezier曲线的控制顶点 可作为矩形网格。设Pij (i=0,…,n; j=0,…,m)为空间点列， 这些点生成的n+1行、m+1列的矩形网格称为特征网格， 其中在第i+1行、第j+1列的点是Pij。相应的m×n次张量 积形式的Bezier曲线为
4、仿射不变性 Bezier曲线的形状和位置仅与控制点的位置有关。这 是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点 Pi(i=0,1,...,n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择 5、凸包性 由于Ｂernstein多项式的性质， Bezier曲线落在控制点 的凸包内 6、交互能力 移动第k个结点，对Bezier曲线在t=k/n处的影响最大．
13 23
P03 P(u,1) P33
P02
P12
P22 P32
P(0,v)
P11
P21 P31
P(1,v)
P01 P10 P20
P(u,0) P00 P30
是k次Bernstein基函数。在一般实际应用中，n,m不大于4。 Bezier曲线的变差缩小性质不能推广到曲面。但是，其它许 多性质可推广到Bezier曲面。
根据上述定义， 1.Bezier曲面的几何位置依赖于控制顶点，而与坐标系 无关（几何不变性）； 2.Bezier曲面有关于参数的对称性； 3.Bezier曲面有凸包性。 P P
证明：
k (1 − t ) Bk ,n (t ) = Cn t k (1 − t ) n+1−k =
n + 1 − k ( n + 1)! k t k (1 − t ) n+1−k = 1 − Bk ,n+1 (t ) n + 1 k!( n + 1 − k )! n +1
编程贝塞尔曲线
编程贝塞尔曲线贝塞尔曲线是一种常用于计算机图形学和计算机动画中的数学曲线。
它通过控制点来绘制平滑曲线，具有良好的插值性质和变形能力。
在编程中，贝塞尔曲线被广泛应用于图形设计、动画效果、游戏开发等领域。
本文将介绍贝塞尔曲线的原理和常用编程方法，并以实例说明如何使用代码实现和操作贝塞尔曲线。
一、贝塞尔曲线的原理贝塞尔曲线由控制点组成，而曲线上的所有点都由这些控制点决定。
在二维平面中，贝塞尔曲线可以通过多个控制点来定义。
对于二次贝塞尔曲线，需要三个控制点，分别为起点、终点和控制点；对于三次贝塞尔曲线，需要四个控制点，依此类推。
贝塞尔曲线的特点是平滑和可变形。
它能够通过调整控制点的位置和数量，实现各种不同形状的曲线。
同时，贝塞尔曲线还具有良好的插值性质，即曲线上的点在控制点所决定的区域内连续变化。
在计算机图形学中，贝塞尔曲线通常使用参数方程来描述。
假设有n个控制点，将它们依次标记为P0，P1，...，Pn-1，在参数范围[0, 1]内，贝塞尔曲线可以表示为下列形式的参数方程：B(t) = Σ(C(n, i) * t^i * (1-t)^(n-i) * Pi)其中，C(n, i)是组合数，表示从n个元素中选取i个的组合数。
贝塞尔曲线上的任一点B(t)由所有控制点的加权和决定，权重由组合数和参数t的幂次决定。
二、贝塞尔曲线的编程实现在编程中，可以通过数值计算来近似表示和绘制贝塞尔曲线。
常见的实现方式包括使用递归算法和迭代算法。
1. 递归算法递归算法是最直观和常用的绘制贝塞尔曲线的方法。
对于二次贝塞尔曲线，可以使用如下伪代码实现：function drawQuadraticBezierCurve(P0, P1, P2):for t from 0 to 1 with step 0.01:B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * t * (1 - t) * P1 + t^2 * P2drawPoint(B(t))其中，P0、P1和P2分别表示起点、控制点和终点的坐标。
freecad 贝塞尔曲线
freecad 贝塞尔曲线摘要：1.介绍Freecad软件2.贝塞尔曲线的概念与特点3.Freecad中贝塞尔曲线的创建方法4.贝塞尔曲线的应用领域5.总结正文：【介绍Freecad软件】Freecad是一款开源的CAD（计算机辅助设计）软件，广泛应用于工程、建筑、机械等领域。
它具有强大的三维建模、绘图和编辑功能，支持多种文件格式，为用户提供了便捷的设计工具。
在Freecad中，用户可以轻松地创建和编辑贝塞尔曲线，为设计作品增添丰富的曲线路径。
【贝塞尔曲线的概念与特点】贝塞尔曲线（Bezier curve）是一种以四个控制点定义的平滑曲线。
它的特点是相邻控制点之间的曲线段是二次多项式，整个曲线呈现出连续的拐点。
贝塞尔曲线在计算机图形学、动画和造型等领域具有广泛的应用。
【Freecad中贝塞尔曲线的创建方法】在Freecad中，用户可以通过以下步骤创建贝塞尔曲线：1.打开Freecad软件，新建一个空白文档。
2.点击工具栏中的“曲线”按钮，选择“贝塞尔曲线”。
3.在三维建模空间中，依次点击四个点，以定义贝塞尔曲线的控制点。
4.完成后，点击“确定”按钮，即可创建一条贝塞尔曲线。
【贝塞尔曲线的应用领域】贝塞尔曲线在设计领域具有广泛的应用，如：1.动画制作：贝塞尔曲线可以用于描述角色的动作路径，使动画更加自然流畅。
2.图形设计：贝塞尔曲线可用于创建平滑的曲线和路径，提高作品的美观度。
3.机械设计：贝塞尔曲线可用于描述零件的轮廓和形状，提高设计精度。
【总结】Freecad作为一款功能强大的CAD软件，为用户提供了便捷的贝塞尔曲线创建工具。
通过掌握贝塞尔曲线的概念和创建方法，用户可以充分发挥想象力，创作出富有创意的设计作品。
贝塞尔曲线的理解
贝塞尔曲线的理解Bezier曲线的由来1962年，法国⼯程师贝塞尔发表，他运⽤贝塞尔曲线来为汽车的主体进⾏设计Bezier曲线的作⽤Bezier曲线是⽤⼀系列点控制曲线状态的。
主要分为数据点：确定曲线的起始和结束位置控制点：确定曲线的弯曲程度举例理解：想在AC（起始点和结束点）之间画⼀个曲线，⽤B点（控制点）控制这个曲线的弯曲程度但是控制点是可以多个的，⽐如两个控制点。
以此类推，可以有很多个。
起点和终点都只有⼀个，但是控制点可以多个，甚⾄是0，0的时候就是直线啦！Bezier曲线的原理为什么⼏个点就可以得到⼀个曲线？先说⼀个控制点的情况，如图所⽰：1. A/B/C三点是确定的2. 在AB上任取⼀点D，得到ratio = AD/AB3. 再由BE/BC = ratio 得到E点4. 连接DE，同理DF/DE = ratio得到F5. ⽽F点就是曲线上的⼀点，当然凭着这⼀点是⽆法得到整条曲线的6. 于是，再来⼀遍，重新取D点得到新的F点，以此类推，如图那么两个控制点呢？道理是⼀样的，在AB上任取⼀点E，得到曲线上的J点。
AE/AB = BF/BC = CG/CD = EH/EF = FI/FG = HJ/HI最后来个炫酷的四个控制点：理解Bezier曲线的公式⼀次贝塞尔曲线⼀次贝塞尔曲线（也是线性贝塞尔曲线）公式：B(t) = (1 - t) * P0 + tP1t表⽰在 P0P1/P0P1之间任取⼀点P2，t = P0P2/P0P1，也就是⽐例，公式⾥的P0和P1同步表⽰其x轴坐标或者y轴坐标。
已知P0的坐标是（a,b），P1的坐标是（c,d），那么假设P2的坐标是（x,y）(1-t)/(c-x) = t/(x-a) => x = (1-t)a + tc同理 y = (1-t)d + tb于是简写成 B(t) = (1 - t) * P0 + tP1⼆次贝塞尔曲线⼆次贝塞尔曲线（也是线性贝塞尔曲线）公式：t同上在P0P1上的点是A，在P1P2上的点是B，在AB上的点是C，C也就是曲线上的⼀点。
贝塞尔曲线
详细内容定义贝塞尔曲线(B6zier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线的定义有四个点：起始点、终止点(也称锚点)以及两个相互分离的中间点，滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
依据四个位置任意的点坐标可绘制出一条光滑曲线[1]。
对于N次的贝塞尔曲线：设Δbｊ＝ｂj＋１-bｊ时，有旋转矩阵Ｍ，使得：Δｂｊ＝ＭｊΔｂ０ｉ＝０…，ｎ－１当ｔ∈［０，１］时，对于任意单位向量，矩阵Ｍ满足：则这条曲线是由一系列控制点ｂｉ定义的Ａ级贝塞尔曲线。
此时，旋转矩阵Ｍ满足以下两个条件：１）矩阵ＭＴ＋Ｍ－２Ｉ和ＭＴＭ－Ｉ的特征值必均为非负。
这里Ｉ为一个单位矩阵。
２）矩阵Ｍ必映射到单位球体外的任一点。
即：Ｍ的奇异值δ１，δ２应不小于１。
若旋转矩阵Ｍ是由旋转角θ＜π／２和一个尺度因子s组成，则满足下列条件：的矩阵Ｍ被称为Ａ级矩阵。
由Ａ级矩阵即可产生Ａ级贝塞尔曲线。
特性贝塞尔曲线是一种非常自由的曲线，通过改变其控制点的位置和权重就能改变线条的形状。
相对于传统的直线和圆弧相组合来表达曲线的方式，这是一个巨大的提高。
汽车设计中的曲面形状比较复杂，直线和圆弧不能满足其形状变化的要求。
贝塞尔曲线非常自由，我们可以通过改变控制点来改变线条的形状，有着非常良好的交互性，非常适合汽车曲面设计[2]。
贝塞尔曲线数学原理①线性贝塞尔曲线。
给定两点P0、P，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。
这条线由下式给出：B(t)=P0+(Pl—Po)t=(1-t)Po+tPl，t∈[0，1]且其等同于线性插值。
②二次方贝塞尔曲线。
给定三点Po、P、P：，二次方贝塞尔曲线由函数B(t)表示：B(t)=(1-t)2Po+2t(1-t)P1+tzp2，t∈[0，1]③三次方贝塞尔曲线。
Po、P、P、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P。
走向P，并从P2的方向来到3。
一般不会经过P，或P2，这两个点只是在那里提供方向资讯。
贝塞尔曲线 时间
贝塞尔曲线时间
贝塞尔曲线是一种数学曲线，通常在二维图形应用程序中使用，通过它我们可以精确地描绘出所需的曲线形状。
该曲线由线段和节点组成，节点可以被视为支点，而线段则像可伸缩的皮筋。
在许多矢量图形软件中，如绘图工具上的钢笔工具就是用来创建贝塞尔曲线的。
贝塞尔曲线的时间参数t定义范围在[0,1]，即t∈[0,1]。
这意味着曲线上的任何一点都可以表示为时间t的函数。
换句话说，给定一个特定的t值，我们就可以在曲线上找到一个对应的点。
反之，如果知道某个坐标存在于该贝塞尔曲线上，我们也可以通过一些计算方法来反推或计算出t值。
在实际应用中，贝塞尔曲线可能并不总是满足我们的需求。
例如，当两条贝塞尔曲线需要衔接时，可能会出现不平滑的情况。
在这种情况下，我们可以使用一种称为"分段贝塞尔曲线"的临时解决方案。
不过需要注意的是，两段曲线在衔接处的过渡是否平滑。
如果看起来不太自然，那么可能更好的方法是使用像NURBS 曲线这样的样条曲线。
样条曲线可以很容易地进行局部修改，并且在定义上保证了衔接处的平滑性。
例如，三次B样条曲线的每一截都可以表示为一段三次多项式曲线，而且在衔接处有相同的一阶导数和二阶导数。
ae的贝塞尔曲线参数
ae的贝塞尔曲线参数
AE中的贝塞尔曲线参数通常是一个介于0和1之间的数值，用于确定曲线上的点的位置。
在AE中，可以通过调整贝塞尔曲线参数来改变动画的速度、加速度等属性，从而实现更加自然、流畅的动画效果。
具体来说，在AE中创建贝塞尔曲线后，可以通过选择曲线上的点并调整其参数来改变曲线的形状。
这些参数包括点的位置、切线控制柄的长度和角度等。
通过调整这些参数，可以创建出各种不同形状的贝塞尔曲线，从而实现不同的动画效果。
此外，在AE中还可以使用表达式来控制贝塞尔曲线参数，从而实现更加复杂的动画效果。
例如，可以使用时间、速度等表达式来控制贝塞尔曲线参数的变化，从而实现动态的、交互式的动画效果。
贝塞尔曲线算法
一、贝塞尔曲线介绍贝塞尔曲线：塞尔曲线又称贝兹曲线或贝济埃曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。
“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre B ézier 所发现，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。
它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。
主要实现功能：1、在曲线上可以增加一个节点；2、在曲线的节点上点击可以删除一个节点；3、位图可以点击再拖动某一点可以进行任意形状的编辑；二、贝塞尔曲线原理贝塞尔曲线于1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre B ézier ）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。
贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau 于1959 年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
（1））线性贝塞尔曲线给定点P0 、P1 ，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线，这条线由下面的公式可以计算：（2））二次方贝塞尔曲线路径由给定点P0 、P1 、P2 的函数B(t) 追踪：（3））三次方贝塞尔曲线P0 、P1 、P2 、P3 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P0 走向P1 ，并从P2 的方向来到P3 。
一般不会经过P1 或P2 ；这两个点只是在那里提供方向资讯。
P0 和P1 之间的间距，决定了曲线在转而趋进P2 之前，走向P1 方向的“长度有多长”对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0 、Q1 、Q2 ，和由二次曲线描述的点R0 、R1 所建构（4））n 阶贝塞尔曲线n 阶贝塞尔曲线也称为高阶贝塞尔曲线。
n 阶贝塞尔曲线可如下推断。
给定点P0 、P1、、Pn ，其贝塞尔曲线即三、贝塞尔典线绘制原理用de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线在平面内任选 3 个不共线的点，依次用线段连接：在第一条线段上任选一个点D。
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n
n
m
R
r
J
n
n
k
R
r dr
0, R2 2
mk
J2 n1
n
m
R2 2
J2 n1
n
m
.
mk
R 0
rJ
2 n
mn
R
r
dr
的正平方根称为函数
J
n
n
m
R
r
的模值.
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
结论2. 在区间［０，R］上具有一阶连续导数以
及分段连续的二阶导数的函数 f ( 以展开为 如下形式的一致收敛的级数：
J
x
2
Jn
x
(ln
x 2
C
)
1
n1 m0
(n
m m!
1)!
x 2
n2m
1
m0
(1)m m !(n m)!
x 2
n2m
nm k 1
1 k
m k 1
1 k
其中C为欧拉常数 C = 0.577216
5.4 贝塞尔函数的递推公式
x=(0:0.02:16)'; y=besselj(1,x); plot(x,y) hold on; >> z=0; >> plot(x,z,'b')
其中 c, ak 为常数。
5.2 贝塞尔方程的求解
逐项求(导c2,有n2 )a0 xc [(c 1)2 n2 ]a1xc1
y'x ak c k xck1
[(c
kk)0 2
n2 ]ak
ak2
xck 0
比较系k数y"2得x k0 ak c k c k 1 xck2
代入方c 2程确n定2 a系0数 0ak c 和a0 0 c： n
将 n n 2 代入另一方程得
2 P" P' 2 n2 P 0
n 阶贝塞尔方程.
由条件 V R 0 得 P R 0
由温度是有限的，得 P 0
P(R) 0
原问题就转化为求贝塞尔方程在条件
的特征值和特征函数.
P(0)
下
考虑贝塞尔方程
2P" P' 2 n2 P 0
(1) Jn(x)有无穷多个单重实零点, 这些零点在x 轴上关于原点对称分布, 因而Jn(x)有无穷多个正的 零点;
(2) Jn(x) 的零点和 Jn+1(x) 的零点是彼此相间分 布.
(3) 设
n
m
(
m
1,2,
)为J n x的正零点,
则有
lim
m
n m1
mn
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
Jn R 0 的解为
用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶
贝塞尔方程为
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2 n2
yx 0
其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 n 0的情形.
假定方程有如下形式的级数解：
y x xc a0 a1x L ak xk L
ak x ck (a0 0) k 0
2
m 1
x2
1 x
d dx
m
cos x
x
1
d
m
1d
这里微分算子
x
dx
表示算子 x dx 连续作用 m 次的缩写.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
例 求不定积分 xJ2 x.dx 解 由 xJ '1 x J1 x xJ2 x ，可得
xJ2 x dx xJ '1 x dx J1 x dx x dJ1 x J1 x dx
方程的通解也可表示为
y CJ n x DYn x
Gamma函数的定义与性质
由广义积分定义
p x p 1e x d x 0 Gamma 函数有如下性质：
p 1 p p
1
1,
1 2
,
1
m
0,
(m
0,1, 2L
)
当m,n为整数时，有 (n m 1) (n m)!
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
由于在Y本n 章0 开始，,我由们条从件薄|圆P盘(0)温|度分知布的D 定0解,问
题从中而，导出了贝塞尔方程的特征值问题：
x
x
p1dx
)
n 由mna1 m01L an12(an31)(n1a) 2k1n0m 1
因此a2
aa2m4
22412m2ann02n2a2210m
m2!nn4
1
m
1
a2m
1m
a0
22m m!n 1n
2L
n
m
.
5.2 贝塞尔方程的求解
这样，得到方程的一个特解
J n
x
1m
m0
1
1
2n2m m! n m 1
第五章 贝塞尔函数
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导 出贝塞尔方程； ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解 的性质。
稳恒状态圆域上热传导问题—欧拉方程。
瞬时状态圆域上热传导问题—贝塞尔方程。
5.1 贝塞尔方程的引入
设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上 温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温 度分布规律。
结论：当 n 不为整数时, J n x和 J n x 线性无关．
所以方程的通解可以表示为
y AJ n x BJ n x
5.2 贝塞尔方程的求解
如果选取
A cotn ,
得到
B 1
sin n
Yn x
J n xcosn
sin n
Jn x
(n 1, 2,L )
当 n 不为整数时, J n x和 Yn x 线性无关． 称 Yn x 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,
mN
1
m
1 2N2m m!
1 N m1
x N 2m
(1)N
x 2N
N
N
!
2
N
xN 1 2(N
1)
!
2
N
4
xN (N
4
2)!2!
L
(1)N JN (x)
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
所以，当n为整数时, J n x与 J n x 线性相关
此时定义第二类贝塞尔函数为
Yn
x
lim
P" ( ) 1 P ' ( )
1
2
P
"(
)
P
(
)
0
2 P" P ' "( ) 2 0
P
P
引入参数 分解
" 0
2P" P' 2 P 0
结合自然周期条件，得本征值问题
" 0
2
本征值 n n 2，
0
a0 2
本征函数
n an cos n bn sin n ,n 1,2,L
1k
x2k
22k k !2
L
1k
22k
x2k 1
k ! k
1! L
5.4 贝塞尔函数的递推公式
又
d dx
[ xJ1 ( x)]
d dx
x2 2
x4 L 23 2!
1k
(2k 2)x2k2
22k1k !k 1!
x3 x 22
L
1k
x2k 1 22k (k !)2
L
x2
x
考虑到定解条件和 无关, 所以温度 u 只能是 r
和 t 的函数.
５.６ 应用举例
解:问题可归结为求下列定解问题:设u ur,t
u t
a
2
2u r 2
1 r
5.4 贝塞尔函数的递推公式
两式相加减 分别消去 J n 'x 和 J n x , 可以得到
J n1x
J n1x
2n x
Jn
x
J n1x J n1x 2J 'n x
贝塞尔函数的递推公式
若知道 J n x J n1 x 的值, 就可以求出 J n1 x
进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
可归结为求解如下定解问题
u t
a
2
2u x 2
2u y 2
,
u x, y t 0
u 0 x2 y2 R2
x2 y2 R2
令 ux, y,t V x, yT t，代入方程得
VT'
a
2
2V x 2
2V y 2
T
进而得
T' a 2T
Vxx Vyy V
0
齐次偏微分方程化为两个微分方程:
xn2m
1m
( x )n2m
m0 m! n m 1 2
称 J n x 为 n 阶第一类贝塞尔函数(n>=0).
5.2 贝塞尔方程的求解
取指标
c
n,
a0
1
2n n 1 得方程的另一特解
Jn
x
m0
1
m
1 2n2m m!
1 n m 1
xn2m
1m
( x)n2m
m0 m! n m 1 2
做代换 r