贝塞尔曲线

2
m 1
x2
1 x
d dx
m
cos x
x
1
ห้องสมุดไป่ตู้
d
m
1d
这里微分算子
x
dx
表示算子 x dx 连续作用 m 次的缩写.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
例 求不定积分 xJ2 x.dx 解 由 xJ '1 x J1 x xJ2 x ，可得
xJ2 x dx xJ '1 x dx J1 x dx x dJ1 x J1 x dx
R
n
m
m 1,2,
与这些特征值相应的特征函数为
Pm
r
Jn
n
m
R
r
m 1,2,
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
➢ 贝塞尔函数的正交性
讨论
Pm
r
J
n
mn
R
r
的正交性
结论１n 阶贝塞尔函数序列
1, 2 …)在区间(0,R) 上带权
Pm
r
r J
正交,
n即 Rmn
r
(m
=
R 0
rJ
其中 c, ak 为常数。
5.2 贝塞尔方程的求解
逐项求(导c2,有n2 )a0 xc [(c 1)2 n2 ]a1xc1
y'x ak c k xck1
[(c
kk)0 2
n2 ]ak
ak2
xck 0
比较系k数y"2得x k0 ak c k c k 1 xck2
代入方c 2程确n定2 a系0数 0ak c 和a0 0 c： n
5.4 贝塞尔函数的递推公式
两式相加减 分别消去 J n 'x 和 J n x , 可以得到
J n1x
J n1x
2n x
Jn
x
J n1x J n1x 2J 'n x
贝塞尔函数的递推公式
若知道 J n x J n1 x 的值, 就可以求出 J n1 x
进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
r
2
P"
rPr rPC' Jrn
r
r
2
n2
Pr 0
由 P R 0 可得:
PR 0,
P0J
n
R
0
为了方求程出的特通征解值为问题, 必须判明 J n x 的零点是否存
在,分布情形如何．
Pr CJn r DYn r
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
➢ 贝塞尔函数的零点的结论：
5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解
5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解
(1) 由 (n m 1) (n m)! 得
Jn
（２）取n=N
(x) m0
1
m
1 2n2m m!
1
xn2m
nm ! 1
, 在 Jn x 中,由于m<N时， N m 1
0
所以级数从m=N开始
JN (x)
方程的通解也可表示为
y CJ n x DYn x
Gamma函数的定义与性质
由广义积分定义
p x p 1e x d x 0 Gamma 函数有如下性质：
p 1 p p
1
1,
1 2
,
1
m
0,
(m
0,1, 2L
)
当m,n为整数时，有 (n m 1) (n m)!
x
x
p1dx
)
n 由mna1 m01L an12(an31)(n1a) 2k1n0m 1
因此a2
aa2m4
22412m2ann02n2a2210m
m2!nn4
1
m
1
a2m
1m
a0
22m m!n 1n
2L
n
m
.
5.2 贝塞尔方程的求解
这样，得到方程的一个特解
J n
x
1m
m0
1
1
2n2m m! n m 1
n
n
m
R
r
J
n
n
k
R
r dr
0, R2 2
mk
J2 n1
n
m
R2 2
J2 n1
n
m
.
mk
R 0
rJ
2 n
mn
R
r
dr
的正平方根称为函数
J
n
n
m
R
r
的模值.
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
结论2. 在区间［０，R］上具有一阶连续导数以
及分段连续的二阶导数的函数 f ( r ),如果在 r=0 处有界, 在 r=R 处等于零, 则它必可以展开为 如下形式的一致收敛的级数：
第五章 贝塞尔函数
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导 出贝塞尔方程； ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解 的性质。
稳恒状态圆域上热传导问题—欧拉方程。
瞬时状态圆域上热传导问题—贝塞尔方程。
5.1 贝塞尔方程的引入
设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上 温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温 度分布规律。
f
r
m1
Am
J
n
n
m
R
r
其中
Ak
R2 2
1 J2
n1
n
k
R 0
rf
r J n
n
k
R
r
dr
５.6 应用举例
５.６ 应用举例
例1 设有半径为1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘， 边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度 分布为1-r2，其中 r 为圆盘内任一点的极半径， 求圆盘的温度分布规律。
分析: 由于是在圆域内求解问题, 故采用极坐标.
结论：当 n 不为整数时, J n x和 J n x 线性无关．
所以方程的通解可以表示为
y AJ n x BJ n x
5.2 贝塞尔方程的求解
如果选取
A cotn ,
得到
B 1
sin n
Yn x
J n xcosn
sin n
Jn x
(n 1, 2,L )
当 n 不为整数时, J n x和 Yn x 线性无关． 称 Yn x 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,
mN
1
m
1 2N2m m!
1 N m1
x N 2m
(1)N
x 2N
N
N
!
2
N
xN 1 2(N
1)
!
2
N
4
xN (N
4
2)!2!
L
(1)N JN (x)
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
所以，当n为整数时, J n x与 J n x 线性相关
此时定义第二类贝塞尔函数为
Yn
x
lim
用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶
贝塞尔方程为
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2 n2
yx 0
其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 n 0的情形.
假定方程有如下形式的级数解：
y x xc a0 a1x L ak xk L
ak x ck (a0 0) k 0
(1) Jn(x)有无穷多个单重实零点, 这些零点在x 轴上关于原点对称分布, 因而Jn(x)有无穷多个正的 零点;
(2) Jn(x) 的零点和 Jn+1(x) 的零点是彼此相间分 布.
(3) 设
n
m
(
m
1,2,
)为J n x的正零点,
则有
lim
m
n m1
mn
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
Jn R 0 的解为
P" ( ) 1 P ' ( )
1
2
P
"(
)
P
(
)
0
2 P" P ' "( ) 2 0
P
P
引入参数 分解
" 0
2P" P' 2 P 0
结合自然周期条件，得本征值问题
" 0
2
本征值 n n 2，
0
a0 2
本征函数
n an cos n bn sin n ,n 1,2,L
xn2m
1m
( x )n2m
m0 m! n m 1 2
称 J n x 为 n 阶第一类贝塞尔函数(n>=0).
5.2 贝塞尔方程的求解
取指标
c
n,
a0
1
2n n 1 得方程的另一特解
Jn
x
m0
1
m
1 2n2m m!
1 n m 1
xn2m
1m
( x)n2m
m0 m! n m 1 2
c
1x2
2
dnd2x22ya1x0
ddyx
ax12
n02
yx 0
k
0
[c(ckk
)2(c
n2ka1k )a(ck 2
k)0
(
xk2
n22,)3],aLk
x
c
k
0
5.2 贝塞尔方程的求解
由选c取akak0z221nkn221aznnka21zkk
ak 2
(
得
p
0取c=n
e 0
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
由于在Y本n 章0 开始，,我由们条从件薄|圆P盘(0)温|度分知布的D 定0解,问
题从中而，导出了贝塞尔方程的特征值问题：
J
x
2
Jn
x
(ln
x 2
C
)
1
n1 m0
(n
m m!
1)!
x 2
n2m
1
m0
(1)m m !(n m)!
x 2
n2m
nm k 1
1 k
m k 1
1 k
其中C为欧拉常数 C = 0.577216
5.4 贝塞尔函数的递推公式
x=(0:0.02:16)'; y=besselj(1,x); plot(x,y) hold on; >> z=0; >> plot(x,z,'b')
(1)
T 't a2T t 0
它的解为
T t Aea2 t
(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz) 2V 2V V 0
x2 y 2
由边界条件，可知
V 0 x2 y2 R2
在极坐标系下，问题可以写成
2V
2
1
V
1
2
2V
2
V 0 0 R
V | R 0
再次分离变量,令 V , P ,代入化简得
n
J
x
cos sin
J
x
不为整数. 可以证明 J n x 和 Yn x 线性无关，
通解可写为
y CJ n x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
Y0
x
2
J0
x (ln
x 2
C)
2
n1 m0
(1)m (m !)2
x 2
2m
m k 1
1 k
Yn
x
lim
n
J
x
cos sin
做代换 r
, 并记
F
r
P
r
2P" P' 2 n2 P 0
dP dP dr dP
d dr d
dr
d 2P
d2
r
d 2P dr 2
方程转化为
r 2F"r r F'r r 2 n2 Fr 0
n阶贝塞尔方程的标准形式.
5.2 贝塞尔方程的求解
5.2 贝塞尔方程的求解
可归结为求解如下定解问题
u t
a
2
2u x 2
2u y 2
,
u x, y t 0
u 0 x2 y2 R2
x2 y2 R2
令 ux, y,t V x, yT t，代入方程得
VT'
a
2
2V x 2
2V y 2
T
进而得
T' a 2T
Vxx Vyy V
0
齐次偏微分方程化为两个微分方程:
1k
x2k
22k k !2
L
1k
22k
x2k 1
k ! k
1! L
5.4 贝塞尔函数的递推公式
又
d dx
[ xJ1 ( x)]
d dx
x2 2
x4 L 23 2!
1k
(2k 2)x2k2
22k1k !k 1!
x3 x 22
L
1k
x2k 1 22k (k !)2
L
x2
x
将 n n 2 代入另一方程得
2 P" P' 2 n2 P 0
n 阶贝塞尔方程.
由条件 V R 0 得 P R 0
由温度是有限的，得 P 0
P(R) 0
原问题就转化为求贝塞尔方程在条件
的特征值和特征函数.
P(0)
下
考虑贝塞尔方程
2P" P' 2 n2 P 0
>> y2=besselj(0.5,x); >> plot(x,y2,'r') >> y3=besselj(1.5,x); >> plot(x,y3,'g')
5.4 贝塞尔函数的递推公式
建微立分不J同0 阶的的第贝2塞k +尔2函项数之1间k递1 推公x式2k.2 22k2 (k
2)!2
首先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间关系.
对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式.
Yn1
x
Yn1
x
2n x Yn
x
Yn1 x Yn1 x 2Y 'n x
5.4 n 为整数时贝塞尔方程的通解
例
n 为半奇数. J n x可以用初等函数来表示:
J 2m1 x 1m
2
2
m1
x2
1 x
d dx
m
sin x
x
J 2m1 x 2
n 0 n 1 分别令ddxJn11xkk212及k212mkkx2!20kxk12kk112得1!m!2:2n21mm!1kn2×(221k（km2[－k2!１)xx1）n2k!21]m2
J0
所x以 1
x2 22
J1 x
x 2
d2d2xx4323xJ!240!x22526x2xJ5!361!3x!2LL
考虑到定解条件和 无关, 所以温度 u 只能是 r
和 t 的函数.
５.６ 应用举例
解:问题可归结为求下列定解问题:设u ur,t
u t
a
2
2u r 2
1 r
1
22
L
1k
x2k 22k (k !)2
L
则
d dx
[ xJ 1
x]
xJ
0
x
5.4 贝塞尔函数的递推公式
一般的, 有
d dx
[xn
Jn
x]
x n J n1 x
d dx
[
x
n
J
n
x
]
x
n
J
n1
x
上面两式左边的导数求出来, 并经过化简,则得
xJ 'n x nJn x xJ n1x
xJ 'n x nJn x xJ n1x