高考理科数学试题及答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1982年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
一．（本题满分6分） 填表：
解：见上表
二．（本题满分9分）
1．求（-1+i)20展开式中第15项的数值; 2．求3
cos 2x
y =的导数
解：1.第15项T 15=.38760)()1(6201461420
-=-=-C i C 2..3
2sin 31)3(3sin 3cos 2)3)(cos 3(cos 2x x x x x x
y -='-='=' 三．（本题满分9分）
在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形
1．;
04
36
323112=-y x Y
2．⎩⎨
⎧φ=φ+=.
sin 2,
cos 1y x
解：1.得2x-3y-6=0图形是直线
2.化为,14
)1(2
2
=+-y x 图形是椭圆
四．（本题满分12分）
已知圆锥体的底面半径为R ，高为H
求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图）
解：设圆柱体半径为r 高为h
由△ACD ∽△AOB 得
.R
r
H h H =- 由此得),(h H H
R r -=
圆柱体体积
.)()(2
2
22
h h H H
R h r h V -π=π= 由题意，H ＞h ＞0，利用均值不等式，有
.
)(,3
,,2.
274
274224232222最大时因此当时上式取等号当原式h V H h h h H H R H H R h h H h H H R ==-π=⋅π⋅≤⋅-⋅-⋅π⋅=
（注：原“解一”对h 求导由驻点解得）
五．（本题满分15分）
的大小与比较设|)1(log ||)1(log |,1,0,10x x a a x a a +-≠><<（要写出比
较过程）
A
2R
解一：当a >1时，
.
|)1(log ||)1(log |,1,0,10.
|)1(log ||)1(log |,0)1(log ,110 ,10).1(log |)1(log ||)1(log |),1(log |)1(log |),1(log |)1(log |,
10.|)1(log ||)1(log |,0)1(log ,110,1).1(log )]1(log )1([log |)1(log ||)1(log |),
1(log |)1(log |),1(log |)1(log |222222x x a a x x x x x a x x x x x x x a x x x x a x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +>-≠><<+>-∴>-∴<-<<<-=+--+-=+-=-<<+>-∴>--∴<-<>--=++--=+--+=+--=-总有时因此当时当ΘΘ
解二：
|)1(log |)
1(log )
1(log |)1(log ||)1(log |1x x x x x x a a a a -=+-=+-+Θ
,110,11<-<>+x x Θ
|
)1(log ||)1(log |,1|
)1(log ||
)1(log |,10)1(log ,110,11)1(log 111log 11log )1(log 212212
111x x x x x x x x x
x x x a a a a x x x x x +>-∴>+->∴<-<-<>+--=-+=-=--=+++++即
原式原式Θ 六．（本题满分16分）
如图：已知锐角∠AOB=2α
内有动点P ，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，且四边形PMON 的面积等于常数c 2
今以O 为极点，∠AOB 的角平分线OX 为极轴，求动点P
的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线
解：设P 的极点坐标为（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，
A
OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ), ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ), 四边形PMON 的面积
.
2sin 2.2sin 2)sin (cos sin ,cos .
2sin 22cos 2cos 2sin 2
)](2sin )(2[sin 4
)]sin()cos()sin()[cos(2
:
,)]
sin()cos()sin()[cos(2
212122222
2
2
22
2
2
2
2
22
2
α
=-α=θ-θρθρ=θρ=α
=θρ=θαρ=θ+α+θ-αρ=θ+αθ+α+θ-αθ-αρθ+αθ+α+θ-αθ-αρ=⋅+⋅=c y x c y x c c c c P PN ON PM OM S 即为化为直角坐标方程上式用即用和差化积公式化简得用倍角公式化简得的轨迹的极坐标方程是动点依题意
这个方程表示双曲线由题意，
动点P 的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB 内的一部分
七．（本题满分16分）
已知空间四边形ABCD 中AB=BC ，CD=DA ，M ，N ，P ，Q 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点（如图）求证MNPQ 是一个矩形
证：连结AC ，在△ABC 中，
∵AM=MB ，CN=NB ，∴MN ∥AC 在△ADC 中，∵AQ=QD ，CP=PD ， ∴QP ∥AC ∴MN ∥QP
B
P C