swm质点力学习题课

cos θ = 2 / 3时， N = 0对大环无作用力
但 cosθ〈2 / 3 ，并不等于大环一定上升，要看其受力
以大环为研究对象，cosθ〈2 / 3受力分析如图
∴T + 2N ′ cosθ − Mg = MaM
大环上升的瞬间有：
N´
T N´
T = 0 aM = 0
θθ
∴ 2N ′cosθ = Mg
+
(M
+
m)gR(1
−
cosθ
)
=
1 2
(M
+
m)ud2
(M + m)g cosθ − N = (M + m) ud2 R
脱离即为：N = 0
解得：cosθ
=
m2v02 3gR(M + m)2
+
2 3
（2）若在A处脱离，则有：
mv 0 = ( M + m ) u A
(M
+ m)g − N
≤ (M
+
m)
（3）机械能守恒：
1 2
MV
2
+
1 2
ky02
+
Mgymax
=
1 2
k( y0
+
ymax )2
且有：y0=
Mg k
ymax
=
2m M +m
2Mgh k
5. 已知：大环质量M，两个质量均为m的 均匀小环，无摩擦，系统开始静止。若两 个小环同时从大环顶部由静止开始向两边 滑下，试证：若m≥3M/2, 则在两个小环 下滑至某一位置时大环会升起，并求出大 环开始上升时小环下滑的角度θ。
功能原理：W外 +W非保守内力= E − E 其中：E = Ek + EP
守恒定律：当 W外 +W非保守内力 = 0
时，
则有 E = E0 = C
1. 如图，CO绳与竖直方向成30o角度，O
为一定滑轮，物体A与B用跨过定滑轮的细
绳相连，处于平衡状态。已知B的质量为
10kg，地面对B的支持为80N，若不考虑滑
（2）力的时间累积
动
r 量：P
=
mvr
∫ ∑ 冲 量：Ir =
r F ⋅ dt
r rr 动量定理：I = P − P0
∑ 守恒定律：当
r F外
=
0
时，则有
rr r P = P0 = C
（2）力的空间累积
∫ ∫ 变力的功：W =
br r F ⋅ dS =
b
F cos θdS
a
a
动能定理：W = Ek − Ek0
(3)
C : TC cos 30 o − TB cos α − TA = 0 (4)
TB sin α − TC sin 30 0 = 0
(5)
TA = TB
(6)
联立（4）（5）（6）得 α = 60 0
fB = tgα(mB g − NB )
f B = 34.6( N )
m A = 4(kg )
T C= 69.3( N )
m
m
θθ
M
证明：以小环为研究对象，受力分析如图
mg ⋅ cos θ − N = m v 2 R
mgR = 1 mv 2 + mgR cos θ m
N
2
θθ
∴
N
=
3mg (cosθ
−
2 )
3
mg M
可见：cos θ > 2 / 3时， N > 0对大环有一压力
cos θ < 2 / 3时， N < 0对大环有一举力
2. 如图所示，已知：半径为R的光滑球面， 质量为M的滑块，质量为m、水平速度v0的 油灰球。求：（1）它们滑至何处(θ=？)脱 离球面？（2）如欲使二者在A处就脱离球
面，则油灰球的入射速率至少为多少？
v0 m
M
A θ OR
解:（1）由动量、机械能守恒定律
mv0 = (M + m)v
1 2
(M
+
m)Hale Waihona Puke Baidu2
Q N =| N ′ |= 3mg( 2 − cosθ )
mg
3
∴6m cos2 θ − 4m cosθ + M = 0
cosθ = 2m ± 4m2 − 6Mm 6m
因 cosθ 必为实数，所以有：
（1）小球刚要与PQ碰撞时的速度为：
vx = v0
vy = 2gh
（2）m、M在碰撞过程中，
满足动量和动能守恒
m v0
M
P
Q
即： mv y = MV + mv '
(1)
1 2
mvx 2
+
1 2
mvy 2
=
1 2
MV
2
+
1 2
mv'2 +
1 2
mvx 2
(2)
解(1)(2)式可得
V = 2m 2gh M +m
u
2 A
R
N =0
∴ v0
≥
(M
+ m) m
Rg
3. 质量为M，半径为R的1/4圆周的光滑 弧形滑块，静止于光滑桌面上，今有 质量为m 的物体由弧的上端A点由静止 滑下，试求当m 滑到最低点B时，(1)m 相对于M 的速度v，及M 相对于地的速 度V；(2)M 对m 的作用力N。
Am
M
B
解: (1)设m在B点时相对M的速度为v，M 对地的速度为V，对m,M系统水平方向动 量守恒，对m,M,地系统机械能守恒.
角量与线量的关系：ω = dθ dt
α = d 2θ dt 2
dr = R ⋅ dθ
v = R ⋅ω
aτ = R ⋅α an = R ⋅ω 2
2、动力学 （1）牛顿运动定律
自然坐标系
r F
=
mar
直角坐标系
Fτ
= maτ
= m dv dt
Fn
=
ma n
=
m
v2 ρ
Fx = max Fy = may Fz = maz
m (v − V ) − MV = 0
1 m (v − V ) 2 + 1 MV 2 = mgR
2
2
V =m
2 Rg
M (M + m )
Am
v = 2(M + m ) M
M
B
(2)当m到达B点时M在水平方向不受外力， 可看成惯性系，以M为参照系有
N − mg = m v 2 R
N = 3M + 2 m mg M
4. 如图所示，将一块质量为M的平板PQ
放在倔强系数为k的轻弹簧上，现有一质
量为m的小球放在光滑的桌面上，桌面与
平板PQ的高度差为h，
现给小球一个水平初
m v0
速v0，使小球落到平 板上与平板发生弹 性碰撞，求弹簧的
M
P
Q
最大压缩量是多少？
解：物理过程
1.m作平抛运动
2.m、M作完全弹性碰撞
3.M作减速运动
质点力学习题课
一、内容小结
1、运动学
rr
=
r xi
+
r yj
+
r zk
∆ rr = rr2 − rr1
vr = d rr dt
ar = d 2 rr dt 2
ar
=
ar n
+ arτ
=
v2 ρ
nr +
dv τr dt
∫ ∫ 由 aτ
= dv dt
可求 v − v0 =
aτ dt
S − S0 =
vdt
轮的大小。求：
(1) 物体A的质量；
(2) 物体B与地面的摩擦力； C
(3) 绳CO的拉力。
30o O
A
B
解： TA
Tc 300
TB
NB
α
A
α
B
fB
TB
mAg
TA
mBg
A :TA − mAg = 0
(1)
B: f B − TB sin α = 0
(2)
N B + TB cosα − mB g = 0