高等数学函数展开成幂级数
高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
高等数学第五节 函数幂级数展开
f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解 由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至 于 数 ⑥ 是 否 f(x)以 ex为 和 ,收 函 敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中 项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收 敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解
高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式
n
n!
绝对收敛,
因此级数 1 zn 在整个复平面上是绝对收敛的.
n0 n! ez
1 xn ex
n0 n!
定义 ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
当 x 0 时， z 为纯虚数 yi ，
( z )
e yi 1 yi 1 ( yi)2 1 ( yi)3 1 ( yi)n
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
un
u2 n
vn2
,
vn
u2 n
vn2
(
n 1, 2,
)
则级数 un 、 vn 绝对收敛，
n1
n1
从而级数 (un vni) 绝对收敛.
n1
复数项级数 1 z 1 z2 1 zn (z x yi) ,
2!
n!
1
x2 y2 1
x2 y2
2
2!
1
x2 y2
2!
3!
n!
1 yi 1 y2 1 y3i 1 y4 1 y5i 2 3! 4! 5!
(1 1 y2 1 y4 ) (y 1 y3 1 y5 )i
高等数学重要公式(必记)
高等数学重要公式（必记）一、导数公式：二、基本积分表：三、三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-C ax a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：四、三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结函数值sinsincoscossinsincos和差公式：sin(x±y)=sinxcosy±cosxsinycos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny倍角公式：sin2x=2sinxcosxcos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x 半角公式：sinx/2=±√(1-cosx)/2cosx/2=±√(1+cosx)/2万能公式：tanx=±sinx/√(1-sin^2x)=±√(1-cos^2x)/cosx反三角函数公式：arcsin(sin x)=x。
-π/2≤x≤π/2arccos(cos x)=x。
0≤x≤πarctan(tan x)=x。
-π/2<x<π/2研究资料分享以下是高等数学知识点总结：导数公式：tanx的导数为secx，ctanx的导数为-cscx，secx的导数为secx·tanx，cscx的导数为-cscx·cotx，ax的导数为axlna，loga x的导数为1/(xlna)，arcsinx的导数为1/√(1-x^2)，arccosx的导数为-1/√(1-x^2)，arctanx的导数为1/(1+x^2)，arccotx的导数为-1/(1+x^2)。
基本积分表：三角函数的有理式积分：∫tanxdx=-ln|cosx|+C，∫cotxdx=ln|sinx|+C，∫secxdx=ln|secx+tanx|+C，∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C，∫dx/x√(a^2+x^2)=ln|x+√(a^2+x^2)|+C，∫dx/x√(x^2-a^2)=ln|x+√(x^2-a^2)|+C，∫dx/(a+x)=ln|a+x|-C，∫dx/(a-x)=ln|a-x|+C。
其他函数的积分：∫adx=x+C，∫shxdx=chx+C，∫chxdx=shx+C，∫dx/(x^2-a^2)=1/2a·ln|(x-a)/(x+a)|+C，∫sin^2xdx=∫(1-cos2x)/2 dx=x/2-sinxcosx/2+C，∫cscxdx=-ln|cscx-cotx|+C，∫secx·tanxdx=secx+C，∫cscx·cotxdx=-cscx+C。
高等数学11-4函数展开成幂级数
1,
R 1,
牛顿二项式展开式
(1 x )
1 x
( 1) 2!
x
2
( 1)( n 1) n!
的取值有关
( 1 ,1 );
x
n
注意:
在 x 1 处收敛性与
1
收敛域为
. x (1,1)
1 1
i
R n ( x ) f ( x ) s n 1 ( x ), lim s n 1 ( x ) f ( x )
n
lim R n ( x ) lim [ f ( x ) s n 1 ( x )] 0 ;
n n
充分性
n
f ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
n
( f (x) =它的泰勒级数 证明
f (x)
f (x) 的泰勒公式中的余项趋于0)
,
必要性 设 f ( x )能展开为泰勒级数
i0
n
f
(i)
( x0 )
i!
( x x 0 ) R n ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
n0
f
(n)
( x0 )
n!
f
(n)
( x x 0 ) 称为 f ( x ) 在点 x 0 的泰勒级数.
n
n0
(0)
x 称为 f ( x ) 的麦克劳林级数.
n
n!
问题
f ( x)
高等数学2017年最新课件函数转换成幂级数
（i） 求f(x)的各阶导数。 （ii） 求f(x)的各阶导数在x=0（x=x0)处的值。 （iii） 写出f(x)所对应的幂级数：
(n) f ( 0) 2 f ( 0) n f ( 0 ) f ( 0 ) x x x 2! n!
并求出其收敛半径R。
（iv）在（ R,R）内考察： 若为零，则在（ R,R）内有
lim Rn ( x )是否为零。
n
f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x x 2! n!
注: 直接法的缺点：计算量大，余项的研究往往很困难。
所以
1 1 n 1 f ( x) 2 （ 1）( n 2 n )( x 1) n x 4 x 3 n 0 2 2 1 x 3
则Pn(x)的项可无限增加而得一幂级数：
f (n) ( x0 ) ( x x 0 ) n ( 3) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) n!
幂级数（3）称为函数f(x)的泰勒级数。
问题： 1）此级数是否收敛？ 2）若收敛，和函数是否为f(x)?
1 例7 将f ( x ) 2 展开成x 1的幂级数 x 4x 3
1 1 解 因为f ( x ) 2 x 4 x 3 ( x 1)( x 3)
1 1 2(1 x ) 2( 3 x )
1 1 x 1 x 1 4(1 ) 8(1 ) 2 4
2 间接法： （理论依据：展开式的唯一性） （i）利用一些已知函数的幂级数展开式。 （ii）利用幂级数的运算（四则，逐项求导，逐项积分）。 （iii）变量代换。
高等数学下册必背公式
高等数学公式空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u KK K KK K K K K K K K K K K K KK KK K K K K K K ⋅×==⋅×=×=⋅==×=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=−+−+−== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+−=−+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===−=−=−+++++==++=+++==−+−+−cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A K K多元函数微分法及应用z y z x y x y x y x y x F F yzF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx xudu y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x zdz −=∂∂−=∂∂=⋅−∂∂−∂∂=−==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==Δ+Δ=≈Δ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y −=−=−=−+−+−==⎪⎩⎪⎨⎧====−′+−′+−′′−=′−=′−⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线KK ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
11-3(2) 函数展开成幂级数
河海大学理学院《高等数学》
一、泰勒级数
f ( x)
n 0 n a ( x x ) n 0
问题 1.如果能展开, an是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
河海大学理学院《高等数学》
定理 如果函数 f (x) 在 U ( x0 ) 内具有任 意阶导数, 且在 U ( x0 ) 内能展开成 ( x x0 )
x
河海大学理学院《高等数学》
余和:
1 1 1 1 rn (1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n! 1 5 10 5 , 欲使 rn 10 , 只要 n n!
ix
河海大学理学院《高等数学》
的幂级数,即 f ( x)
则其系数 1 ( n) a n f ( x0 ) n! 且展开式是唯一的.
n 0
a n ( x x0 )
n
( n 0,1,2,)
河海大学理学院《高等数学》
定义 如果 f (x) 在点x0处任意阶可导, 则幂级数
f
( n)
n 0
( x0 ) ( x x0 )n 称为 f (x) n!
河海大学理学院《高等数学》
x 例 将f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x x2 d ex 1 例 展开 ( ) 为 x 的幂级数. dx x 1 例 将f ( x ) 2 展开成( x 1)的幂级数.
x 3x 2 n 1 1 ( n) n2 求f (1), 并求 ( 1) 的和 . 2 n 3 2 n 1
大学高等数学公式(全)
高等数学公式（学会考试必过）寄语补考的考生：补考的时候请先端正好自己，答题时不求文笔优美，但求字迹工整，这样阅卷老师的心情也会舒畅些。
不会的题目千万不要空着，做了肯定比没做好。
即使你答不对题，但你做题了,说明你还有上进心，起码表明了你对这个科目还是很重视的，有诚心的，让老师也有个笔下留情的理由。
不过，不管怎么说，还是要好好学习，振兴中华。
导数公式：ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高数-函数展开成幂级数
2!
n!
x (, )
• ln(1 x) x 1 x2 1 x3 1 x4 (1)n xn1
234
n 1
x (1, 1]
• sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
f (x) =
f
x0 +
f ' x0 ( x - x0 ) +
f
(0) 2!
(x
-
x0
)2
+
+
f
(n) ( x0 n!
)
(x
-
x0
)n
+
(R＜x x0＜R)
否则，第三步求出的幂级数虽然在其收敛区间上收敛，
但它的和并不是函数f(x).
例 1. 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
将所给函数展开成 幂级数.
例3.将函数
展开成 x的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn ( 1 x 1 ) 1 x
把x 换成x2 , 得
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n
x2n (1
x
1)
例 4. 试求函数 f ( x) cosx 的幂级数展开式.
解: 因为 (sinx) cosx , 而
sinx x 1 x3 1 x5 (1)n x 2n1
3! 5!
(2n 1)!
( x ) .
所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得
cosx
1
1 x2 2!
1 x4 4!
《高等数学》第五节 函数展开成幂级数
(12) n 1 1 当x 1时，它成交错级数 (1) 收敛； 2n 1 n 1
收敛区间为 [-1,1]
1 当x -1时，它成交错级数 (1) 收敛. 2n 1 n1
n
例4
x 解：利用例1的展开式(6)，将x换成 有： 3 n 1 x n (-1) ( ) n! 3 n0
x
| x|
e| x| lim | x |n 1 0，即： lim Rn 0 n ( n 1)! n
得到展开式： 2 n x x x e 1 x ( x ) (6) 2! n!
间接展开法
利用一些已知的函数展开式、
幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积 分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级 数.
f ( n 1) ( ) n 1 R ( x ) ( x x ) (在x0与x之间) (4) 其中： n 0 (n 1)！
公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)
称为拉格朗日余项.
定理2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内
具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰
(-1 x 1)
将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：
1 2 1 3 n 1 x ln(1 x) x x x (1) 2 3 n (1 x 1) (11)
2 n 1 1 3 1 5 x arctan x x x x (1) n 1 3 5 2n 1 n
1 2 n 1 1 q q q 1 q (-1 q 1) 分别令q=−x、−x2有： (8)
1 1 x x 2 (1) n 1 x n 1 1 x (-1 x 1) 1 1 x
11-4函数展开成幂级数
高等数学（ 高等数学（下）
河海大学理学院
一、Taylor级数
∞ n −1
x 上节例题 ∑ ( −1) = ln(1 + x ) ( −1 < x ≤ 1) n n =1 研究的是给定一个幂级数，如何求它的和函数. 研究的是给定一个幂级数，如何求它的和函数.
反过来，给定一个函数，能否展成幂级数？ 反过来，给定一个函数，能否展成幂级数？ ∞ 是否存在幂级数在其收 f ( x) = ∑an ( x − x0 )n 即:是否存在幂级数在其收 敛域内以f(x)为和函数 为和函数. 敛域内以 为和函数 n=0 问题: 如果能展开 如果能展开, 是什么? 问题 1.如果能展开 an 是什么 2.展开式是否唯一 展开式是否唯一? 展开式是否唯一 3.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
1 1 1⋅ 3 2 1⋅ 3⋅ 5 3 )! n (2n−1 ! n x − x +L+ (−1) x +L =1− x + 2 2⋅ 4 2⋅ 4⋅ 6 (2n)!! 1+ x (−1,1] 2.间接法 2.间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量 代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 代换 四则运算 恒等变形 逐项求导 逐 项积分等方法 求展开式. 等方法,求展开式 项积分等方法 求展开式
高等数学（ 高等数学（下）
n
假设 f(x) 能展成幂级数 , 即 f ( x) = ∑an ( x − x0 )
n=0
∞
n
因为幂级数在收敛域内无穷次可微 , 所以 f(x)能 能 展成幂级数的必要条件是具有任意阶导数 .
同济-高等数学-第三版(10.4) 第四节 函数展开为幂级数
n0
内的和函数为 f( x )，即
f x lim S n x lim
n n n k 0
n0
k a k x x 0 , I U x 0, .
记: Rn( x )= f( x )- S n( x )，I = U( x 0 , )，则有
将函数展开为幂级数就是求收敛于该函数的泰勒级 数。求函数的泰勒展开式通常有两种方法： 一种是直接根据泰勒级数的收敛定理展开，通常称
这种方法为直接法。
另一种是利用已知函数的泰勒展开式 写出给定函数的泰勒展开式，通常称这 种方法为间接法。
例：将函数 f( x )= sin 2x 展开成 x 的幂级数。 用直接法求 f( x )的马克劳林展开式
考虑选择幂函数数列{( x - x 0 )n }作 为基础函数列去表示一般函数。 于是函数幂级数展开式的一般 形式为 f x a n x x 0 n.
n0
函数展开为幂级数应解决三个方面的问题：
• 函数 f( x )满足什么条件方可展开为幂级数；
• 如何确定函数幂级数展开式的系数 a n； • 所得幂级数展开式的收敛性，即所得幂级数展开式是 否收敛于原先的函数 f( x ). (1) 分析函数展开为幂级数的条件
由归纳法可求得
f ( 2k- 1 )( x )= 2 2k -2 sin[ 2 x +( 2k - 2 ) /2 ]
= 2 2k -2 sin[ 2 x +( k - 1 ) ]=( -1 )( k-1 ) 2 2k -2 sin 2 x， f ( 2k )( x )= 2 2k -1 sin[ 2 x +( 2k - 1 ) /2 ] = 2 2k -1 sin[ 2 x + k - /2 ] =( - 1 ) =( - 1 )
高等数学C课件
1 2 n n 1 x x ( 1) x , x (1,1) 1 x x dx ln(1 x ) 0 1 x
1 2 1 3 n 1 x x x x ( 1) , x (1,1] 2 3 n
n
注
利用间接展开法时,要注意区间端点的收敛性.
问题
用怎样的多项式去逼近给定的函数 误差又如何呢
上页 下页 返回
§8.4 函数的幂级数展开
定理 1（泰勒中值定理） 如果函数 y f ( x) 在包含 x0 的 某个开区间 (a, b) 内具有直到 n 1阶导数， x 为该区间内 的任一点，则 f ( x) 可以表示为
f ' ( x0 ) f '' ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) f ( x) 在点 x0 处的 n 阶泰勒公式 n! f ( n1) ( ) 其中， Rn ( x) ． ( x x0 ) n1 （ 介于 x 和 x0 之间） (n 1)!
1 4 x 2n 1 2 x ( 1) n cos x 1 x 4! ( 2n)! 2!
x ( ,)
上页 下页 返回
§8.4 函数的幂级数展开
例6 将 f ( x ) ln(1 x )展开为x的幂级数. 1 , 而 解 [ln(1 x )] 1 x
上页 下页 返回
§8.4 函数的幂级数展开
二、泰勒级数
问题 对已知函数 f ( x)，能否确定一个幂级数，
在其收敛域内以 f ( x) 为和函数．
若存在这样的幂级数，称函数 f ( x) 可以展成幂级数．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a1 f (0)
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
f
( n)
( x ) n ! an ;
1 f ( n ) (0) an n !
显然结论成立 .
目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成幂级数
m( m 1) 2 n m(m 1) (m n 1) n 2 x (1 x) 1 1 m xx x x x ( 1 x 1 ) 2! n! 1 x
m1
目录 上页 下页 返回 结束
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 以唯一性为依托，将所给函数展开成 幂级数. 例4 将函数
n
目录 上页 下页 返回 结束
例1 将函数
展开成 x 的幂级数.
解 f ( n ) ( x) e x , f ( n ) (0) 1 (n 0 ,1,), 故得级数 1 n 1 2 1 3 1 x x 3! x x n! 2! 1 1 R lim 其收敛半径为 n n ! ( n 1) ! 对任何有限数 x , 其余项满足
m 1 (m 1) (m n 1) n 1 F ( x) m 1 x x 1 (n 1) ! (1 x) F ( x) mF ( x), F (0) 1 推导 x F ( x) x m 0 F ( x) d x 0 1 x d x ln F ( x) ln F (0) m ln(1 x)
解 展开成 x 的幂级数.
因为 1 2 n n 1 x x (1) x ( 1 x 1 ) 1 x
把 x 换成 x 2 , 得 1 2 4 n 2n 1 x x ( 1 ) x 2 1 x
( 1 x 1 )
(
2 n ( x 1 ) ( x 1 ) x 1 n (1) 1 2 n 2 2 2
x 1 1 2 x 1 2 ) x 1 1 4
1 8
n
(1)
n 0
1 2
n2
1 2
2n 3
( x 1) n
( 1 x 3 )
例5 将函数
展开成 x 的幂级数.
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1 有 定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 域为 利用此题可得
目录 上页 下页 返回 结束
例6 将
展成
的幂级数.
解
π sin x sin π ( x ) 4 4
目录 上页 下页 返回 结束
1 解 f ( x) (1) n x n ( 1 x 1 ) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 x n ( 1 ) ln(1 x) (1) n x n d x x n 1 , 1 1 x x 1 1 n 0 n 0 n 1 0
(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的 二项式定理.
目录 上页 下页 返回 结束
1 ,1 , 对应 m 1 的二项展开式分别为 2 2
1 2 1 1 3 3 1 3 5 4 x 1 x 1 x x x 2 4 2 246 2 4 6 8 ( 1 x 1) 1 3 2 1 3 5 3 1 3 5 7 4 1 1 x x x 1 x 2 4 2 246 2 4 6 8 1 x ( 1 x 1) 1 n n 2 3 ( 1 ) x 1 x x x ( 1 x 1) 1 x
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式 1 2 1 n x e 1 x x x , 2! n!
x ( , )
f ( n ) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) , m(m 1) 2 于是得 级数 1 mx x 2! m(m 1) (m n 1) n x n! an n 1 由于 R lim 1 lim n an 1 n m n
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
目录 上页 下页 返回 结束
定理1
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim Rn ( x) 0 . 证明
1 x 3 1 x 5 (1) n 1 1 x 2n 1 sin x x 3 ! 5! ( 2n 1) !
目录 上页 下页 返回 结束
例3 将函数
为任意常数 .
展开成 x 的幂级数, 其中m
解 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式
由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn ( x) 是否为 0.
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
若函数
该邻域内有 :
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
f ( x ) 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
n
x U ( x0 )
目录 上页 下页 返回 结束
定理2 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一 的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
a0 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 π 1 π 2 1 π 3 1 ( x ) ( x ) ( x ) 2 4 2! 4 3! 4
目录 上页 下页 返回 结束
例7
将
展成 x－1 的幂级数.
ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 解 2 x 4 x 3 ( x 1)( x 3)
x 1 2 x 1 4
( ) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) 其中 Rn ( x) (n 1) ! 称为 拉格朗日余项 . f
目录 上页 下页 返回 结束
( n 1)
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n! 为f (x) 的 泰勒级数 .
π cos( x π ) sin( x ) 4 4
π π π sin π cos( x ) cos sin( x ) 4 4 4 4
1 2
1 π 3 1 π 5 π ( x ) ( x ) ( x ) 3! 4 5! 4 4
e n n 1 x x e (n 1)! ( 在0与x 之间) 1 2 1 3 1 n x 故 e 1 x x x x , 2! 3! n!
目录 上页 下页 返回 结束
例2 将
解 f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x)
f
(n)
n 2k 0, (0) (1) k , n 2 k 1
目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 函数 数” 有何不同 ? 提示: 后者必需证明 lim Rn ( x) 0, 前者无此要求.
n
处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰 勒级
2. 如何求
的幂级数 ?
1 1 1 1 n 1 提示: y cos 2 x (1) 2 2 2 2 n 0 ( 2n) !
F ( x) (1 x) m
推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得
m(m 1) 2 x (1 x) 1 m x 2! m(m 1) (m n 1) n x n!
m
称为 二项展开式 .
说明：
(1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 .
n 1 4 (1) n x 2n , 2 n 1 ( 2n) !
x ( , )
f ( n ) ( x0 ) f ( x) ( x x0 ) n , x U ( x0 ) n! n 0
令 S n 1 ( x)
k 0
n
n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n 1 1 1 ( 1 ) ln(1 x) x x 2 x 3 x 4 x n 1 2 3 n 1 4 x (1, 1]