电磁学第8章习题
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2 qH ab 1 mH H 2 2 1 qO2 ab mO2 O2 2
2 2
两式相除，得：
H O
q H mO 2 qO 2 m H
1 16 2 1
8
13
二、填空题：
3.14 把一个均匀带电量+Q 的球形肥皂泡由半径r1 吹胀到r2 ，则半径为R（r1< R < r2）的高斯球面上任一 点的场强大小E由 Q/4πε0R2 变为 0 ；电势 U 由 Q/4πε0 R ，变为 Q/4πε0 r2 （选无穷远处为 电势零点）。 +Q 分析：肥皂泡半径为r1时，高斯球面上任 r1 ● Q 一点的场强大小： R
E
Q
电势 ： U
4 0 R 2
4 0 R Q
肥皂泡半径胀到 r2时，高斯球 面上任一点的场强为0 ；电势为：
r2
R
14
+Q
U
4 0 r2
3.15 一半径为 R 的均匀带电球面，其电荷面密度 为σ。若规定无穷远处为电势零点，则该球面上的电 势U = Rσ/ε0 。
分析： 半径为R 的均匀带电球面上的电势为 Q U 4 0 R
4.4 108 (J/m3 )
2 W 4 R （ 2） E hwe
4 (6.4 106 )2 10 103 4.4 108 3.6 106 6.3 104 (kW h)
8
习
一、选择题：
题 集
3.8 一“无限大”带负电荷的平面，若设平面所在处 为电势零点，取x 轴垂直带电平面，原点在带电平面处， 画出其周围空间各点电势U 随距离平面的位置坐标x 变 化的关系曲线为： σ 分析： “无限大”均匀带负电 荷平面的电场分布，如右图： 场强大小为： E 2 0 电势分布：
σ
●
4R 4 0 R R
2
R
0
15
3.16 真空中一均匀带电细圆环，其电荷线密度为 λ。 则其圆心处的电场强度 E0 = 0 ；电势U0 = λ / 2ε 0 。（选无穷远处电势为零） 分析： 由场强叠加原理，均匀带电细圆 λ o ● 环圆心处的电场强度：
E0
dE 0
Ab q0U b q0
4 0 rAb 40 0.1 102 (1.8 105 ) q q0 1.0 109
4 0 r
q
2.0 10 (C)
7
18
3.20 图示为某静电场的等势面图，在图中画出该 电场的电力线。 分析：因为电力线方向总是沿着 电势降落的方向，且电力线与等 E 势面处处正交。 所以该电场的电 力线如图所示：
0
U
x
0
x E dx Ex
x < 0 处，E < 0， U < 0; x > 0 处，E < 0， U > 0. 电势分布图线应是C项。
0
U
●
-a
o +a
11
x
3.11 一带电可作为点电荷处理的条件是 [ C ] （A）电荷必须呈球形分布。 （B）带电体的线度很小。 （C）带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。 （D）电量很小。 分析：是C项。 3.12 关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中， 哪一种是正确的？ [ C ] （A）在电场中，场强为零的点，电势必为零。 （B）在电场中，电势为零的点，电场强度必为零。 （C）在电势不变的空间，场强处处为零。 （D）在场强不变的空间，电势处处相等。 分析： 举反例说明。
L
电场中沿任何闭合路径绕行一周，电场力作功为零 该定理表明，静电场是 保守力（有势） 场。 3.18 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等
于零，即
L
E dl 0, 这表明静电场中的电力
。
线 不可能闭合
17
3.19 在点电荷q 的电场中，把一个电量 q0 为： -1.0×10-9 C的电荷，从无限远处（设无限远处是电势 为零）移到离该点电荷距离0.1cm处，克服电场力作功 1.8×10-5 J，则该点电荷的电量 q = -2.0×10-7 C 。 q q0 分析：由电场强力做功计算式 q0 ● ● ● Aab q0Uab q0 (Ua Ub ) b ∞ r =0.1cm 当将q0 从∞ →b 点时，有 Ab q0Ub q0 (U Ub ) q0 (0 Ub )
习题
3.1 两个同心球面，半径分别为10cm和30cm，小球均 匀带有正电荷1×10-8C，大球匀带有正电荷1.5×10-8C。 求离球心分别为（1）20cm，（2）50cm的各点的电势。 R2 q2 解：由电势叠加原理可得 q1 q2 q1 （ 1） 1 P1 4 0 r 4 0 R2 R1 r ● 8 9 9 10 1 10 2 20 10 r 8 9 9 10 1.5 10 2 900V P2 ● 30 10 q1 q2 （ 2） 2
由场强积分可求出x 处的电势为
x
2 2 ( R x x) 2 0
Edx 2 0
x
(1
x )dx 2 2 1/ 2 (R x )
5பைடு நூலகம்
3.5 用电势梯度法求上面题中x＞0各点的电场强度。 解： 已知沿 x 轴有
x a a ln 2 2 4 0 x a a
o
U
x
U
x< 0 处，E > 0， U > 0; x> 0 处，E < 0， U > 0. 电势分布图线应是
x
0
E dx Ex
o
x
9
3.9 在点电荷＋q 的电场中，若取图中P点处为电势 零点，则M点的电势为 [ ]D q q ; ; （B） （A）
4 0 a q ; （C） 4 0 a
3.21 在静电场中，电势不变的区域，场强必定 为 零 。 分析： 由场强与电势梯度的关系，
0V 10V 20V 30V
E gradU U 知，U = 常数 时，必有 E 0
19
3.22 两个同心的球面，半径分别为R1，R2（R1＜R2）， 分别带有总电量q1，q2。设电荷均匀分布在球面上， 求两球面的电势及二者之间的电势差。不管q1大小大 小如何，只要是正电荷，内球电势总高于外球；只要 是负电荷，内球电势总低于外球。试说明其原因。 q2 q1 q2 解：内球电势： 1 4 0 R1 4 0 R2 q1 R2 q1 q2 R1 外球电势： 2 4 R 4 R 0 1 0 2 q1 U12 1 2 (1 1 ) 两球的电势差： 40 R2 R1 R2 由于 ( 1 1 ) 0, 所以U12的正负由q1的正负决定。 R R 当q1＞0时，U12＞0，总有内球电势高于外球。当q1＜0 时，U12＜0，总有内球电势低于外球。这是由于两球面 的电势差由两球面间的电场分布决定，而这电场又只是 20 与q1有关的缘故。
又因电荷对圆心对称分布，均匀带电细圆环上各电荷 元在圆心处的电场强度相互抵消，所以： 由电势叠加原理得圆心处的电势： dq 1 dq U0 4 0 R L 4 0 R Q 2 R 4 0 R 4 0 R 2 0
E0 0
16
3.17 静电场的环路定理的数学表示式为： 单位正电荷在静 。 E dl 0 ，该式的物理意义是：
8 0 a q . （D） 8 0 a
+q
●
分析：由电势定义
UM
+ E dr a a M a q dr 2 2 a 4 r 0 q q a 1 ( ) 2a 4 0 r 8 0 r
P
P
M
●
因此，正确答案是D 项。
10
3.10 电荷面密度为+σ和-σ的两块“无限大”均匀带电 的平行平板，放在与平面相垂直的x 轴上的+a和- a 位 置上，设坐标原点o 处电势为零，则在- a ＜x＜+ a 区 域的电势分布曲线为 [ ] C σ σ 分析： 两“无限大”均匀带电 + 平面之间的电场分布，如右图： E x ● 其大小表示为： E -a o +a 电势分布（原点o 处电势为零）：
12
3.13 一个静止的氢离子( H＋) 在电场中被加速而获 得的速率为一静止的氧离子( O-2) 在同一电场中且通过 相同的路径被加速所获速率的： [B ] （A）2 倍。（B） 2 2倍。（C） 4 2 倍。（D）4 倍。 分析：由已知，静止的氢离子与静止的氧离子在同一电 场中且通过相同的路径被加速，所获速率分别满足：
2q 0 4 0 r 4 0 r 4 0 r q
3q 4 0
q
3q (1 1 2) 2 0a 3a
所求外力做的功为 A A Q( 0 )
Q 0
3qQ 2 0 a
7
3.7 地球表面上空晴天时的电场强度约为100V/m。 （1）此电场的能量密度多大？ （2）假设地球表面以上10km范围内的电场强度都是 这一数值，那么在此范围内所储存的电场能共是多少 kW· h？ 2 12 2 0E 8 . 85 10 ( 100 ) 解： （ 1） e 2 2
4 0 r 8 ( 1 1 . 5 ) 10 9 109 450V 2 50 10
1
3.2 两均匀带电球壳同心放置，半径分别为R1和R2（R1 ＜R2），已知内外球之间的电势差为 U12，求两球壳间 的电场分布。 解： 设内球的带电量为q，则
U12
R2
4 0 r q (1 1 ) 40 R1 R2
R1
1
Edr
R
R2
q
2
q
R1
R2
U12
由此得两球壳间的电场分布为：
4 0 r 2 方向沿径向。
E
q
U 12 R1 R2 2 r R2 R1
2
3.3 一均匀带电细杆，长为 l ＝15cm，线电荷密度 λ＝2.0×10-7C/m。求： （1）细杆延长线上与杆的一端相距 a = 5.0cm 处电势； （2）细杆中垂线上与细杆相距 b = 5.0cm 处电势。 解： （1）沿杆取 x 轴，杆的x轴反向端点取作原点，由 电势叠加原理，可得所给点的电势为 l dx ln a l 1 0 4 0 ( l a x ) 4 0 a 3 9 7 5 . 0 15 . 0 2 . 5 10 (V) 9 10 2.0 10 ln 5.0 （2）利用3.5题的结果，可得 2 2 b l /4 l/2 2 ln 4 0 b2 l 2 / 4 l / 2
2 2 5 15 / 4 15 / 2 9 10 2.0 10 l n 2 2 3 5 15 / 4 15 / 2 4.3 10 (V) 3 9 7
3.4 半径为R的圆盘均匀带电，面电荷 密度为σ。 求此圆盘轴线上的电势分布 （1）利用原书例3.4 的结果用电势叠加法； （2）利用原书第1章例1.6 的结果用场强积分法。 解： （1）半径为r，宽度为dr的带电圆环在圆盘轴线上 离盘心x处的电势为 2rdr d 4 0 r 2 x 2 由电势叠加原理，整个电圆在 x 处的电势 R 2 2 2 r d r ( x R x) d 0 2 0 4 0 r 2 x 2 （2）整个带电圆盘在x 轴上的电场分布式为 x E [1 ] 2 2 1 / 2 2 0 (R x ) 4
在 x 轴上
2
2
Ez 0 Ey 0, z dy a E Ex x 20 x x 2 a 2
6
3.6 一边长为工的正三角形，其三个顶点上各放置q， －q和－2q的点电荷，求此三角形重心上的电势。将一电 量为＋Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力要做多 少功？ 解：重心上的电势为
2 2
两式相除，得：
H O
q H mO 2 qO 2 m H
1 16 2 1
8
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二、填空题：
3.14 把一个均匀带电量+Q 的球形肥皂泡由半径r1 吹胀到r2 ，则半径为R（r1< R < r2）的高斯球面上任一 点的场强大小E由 Q/4πε0R2 变为 0 ；电势 U 由 Q/4πε0 R ，变为 Q/4πε0 r2 （选无穷远处为 电势零点）。 +Q 分析：肥皂泡半径为r1时，高斯球面上任 r1 ● Q 一点的场强大小： R
E
Q
电势 ： U
4 0 R 2
4 0 R Q
肥皂泡半径胀到 r2时，高斯球 面上任一点的场强为0 ；电势为：
r2
R
14
+Q
U
4 0 r2
3.15 一半径为 R 的均匀带电球面，其电荷面密度 为σ。若规定无穷远处为电势零点，则该球面上的电 势U = Rσ/ε0 。
分析： 半径为R 的均匀带电球面上的电势为 Q U 4 0 R
4.4 108 (J/m3 )
2 W 4 R （ 2） E hwe
4 (6.4 106 )2 10 103 4.4 108 3.6 106 6.3 104 (kW h)
8
习
一、选择题：
题 集
3.8 一“无限大”带负电荷的平面，若设平面所在处 为电势零点，取x 轴垂直带电平面，原点在带电平面处， 画出其周围空间各点电势U 随距离平面的位置坐标x 变 化的关系曲线为： σ 分析： “无限大”均匀带负电 荷平面的电场分布，如右图： 场强大小为： E 2 0 电势分布：
σ
●
4R 4 0 R R
2
R
0
15
3.16 真空中一均匀带电细圆环，其电荷线密度为 λ。 则其圆心处的电场强度 E0 = 0 ；电势U0 = λ / 2ε 0 。（选无穷远处电势为零） 分析： 由场强叠加原理，均匀带电细圆 λ o ● 环圆心处的电场强度：
E0
dE 0
Ab q0U b q0
4 0 rAb 40 0.1 102 (1.8 105 ) q q0 1.0 109
4 0 r
q
2.0 10 (C)
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3.20 图示为某静电场的等势面图，在图中画出该 电场的电力线。 分析：因为电力线方向总是沿着 电势降落的方向，且电力线与等 E 势面处处正交。 所以该电场的电 力线如图所示：
0
U
x
0
x E dx Ex
x < 0 处，E < 0， U < 0; x > 0 处，E < 0， U > 0. 电势分布图线应是C项。
0
U
●
-a
o +a
11
x
3.11 一带电可作为点电荷处理的条件是 [ C ] （A）电荷必须呈球形分布。 （B）带电体的线度很小。 （C）带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。 （D）电量很小。 分析：是C项。 3.12 关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中， 哪一种是正确的？ [ C ] （A）在电场中，场强为零的点，电势必为零。 （B）在电场中，电势为零的点，电场强度必为零。 （C）在电势不变的空间，场强处处为零。 （D）在场强不变的空间，电势处处相等。 分析： 举反例说明。
L
电场中沿任何闭合路径绕行一周，电场力作功为零 该定理表明，静电场是 保守力（有势） 场。 3.18 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等
于零，即
L
E dl 0, 这表明静电场中的电力
。
线 不可能闭合
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3.19 在点电荷q 的电场中，把一个电量 q0 为： -1.0×10-9 C的电荷，从无限远处（设无限远处是电势 为零）移到离该点电荷距离0.1cm处，克服电场力作功 1.8×10-5 J，则该点电荷的电量 q = -2.0×10-7 C 。 q q0 分析：由电场强力做功计算式 q0 ● ● ● Aab q0Uab q0 (Ua Ub ) b ∞ r =0.1cm 当将q0 从∞ →b 点时，有 Ab q0Ub q0 (U Ub ) q0 (0 Ub )
习题
3.1 两个同心球面，半径分别为10cm和30cm，小球均 匀带有正电荷1×10-8C，大球匀带有正电荷1.5×10-8C。 求离球心分别为（1）20cm，（2）50cm的各点的电势。 R2 q2 解：由电势叠加原理可得 q1 q2 q1 （ 1） 1 P1 4 0 r 4 0 R2 R1 r ● 8 9 9 10 1 10 2 20 10 r 8 9 9 10 1.5 10 2 900V P2 ● 30 10 q1 q2 （ 2） 2
由场强积分可求出x 处的电势为
x
2 2 ( R x x) 2 0
Edx 2 0
x
(1
x )dx 2 2 1/ 2 (R x )
5பைடு நூலகம்
3.5 用电势梯度法求上面题中x＞0各点的电场强度。 解： 已知沿 x 轴有
x a a ln 2 2 4 0 x a a
o
U
x
U
x< 0 处，E > 0， U > 0; x> 0 处，E < 0， U > 0. 电势分布图线应是
x
0
E dx Ex
o
x
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3.9 在点电荷＋q 的电场中，若取图中P点处为电势 零点，则M点的电势为 [ ]D q q ; ; （B） （A）
4 0 a q ; （C） 4 0 a
3.21 在静电场中，电势不变的区域，场强必定 为 零 。 分析： 由场强与电势梯度的关系，
0V 10V 20V 30V
E gradU U 知，U = 常数 时，必有 E 0
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3.22 两个同心的球面，半径分别为R1，R2（R1＜R2）， 分别带有总电量q1，q2。设电荷均匀分布在球面上， 求两球面的电势及二者之间的电势差。不管q1大小大 小如何，只要是正电荷，内球电势总高于外球；只要 是负电荷，内球电势总低于外球。试说明其原因。 q2 q1 q2 解：内球电势： 1 4 0 R1 4 0 R2 q1 R2 q1 q2 R1 外球电势： 2 4 R 4 R 0 1 0 2 q1 U12 1 2 (1 1 ) 两球的电势差： 40 R2 R1 R2 由于 ( 1 1 ) 0, 所以U12的正负由q1的正负决定。 R R 当q1＞0时，U12＞0，总有内球电势高于外球。当q1＜0 时，U12＜0，总有内球电势低于外球。这是由于两球面 的电势差由两球面间的电场分布决定，而这电场又只是 20 与q1有关的缘故。
又因电荷对圆心对称分布，均匀带电细圆环上各电荷 元在圆心处的电场强度相互抵消，所以： 由电势叠加原理得圆心处的电势： dq 1 dq U0 4 0 R L 4 0 R Q 2 R 4 0 R 4 0 R 2 0
E0 0
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3.17 静电场的环路定理的数学表示式为： 单位正电荷在静 。 E dl 0 ，该式的物理意义是：
8 0 a q . （D） 8 0 a
+q
●
分析：由电势定义
UM
+ E dr a a M a q dr 2 2 a 4 r 0 q q a 1 ( ) 2a 4 0 r 8 0 r
P
P
M
●
因此，正确答案是D 项。
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3.10 电荷面密度为+σ和-σ的两块“无限大”均匀带电 的平行平板，放在与平面相垂直的x 轴上的+a和- a 位 置上，设坐标原点o 处电势为零，则在- a ＜x＜+ a 区 域的电势分布曲线为 [ ] C σ σ 分析： 两“无限大”均匀带电 + 平面之间的电场分布，如右图： E x ● 其大小表示为： E -a o +a 电势分布（原点o 处电势为零）：
12
3.13 一个静止的氢离子( H＋) 在电场中被加速而获 得的速率为一静止的氧离子( O-2) 在同一电场中且通过 相同的路径被加速所获速率的： [B ] （A）2 倍。（B） 2 2倍。（C） 4 2 倍。（D）4 倍。 分析：由已知，静止的氢离子与静止的氧离子在同一电 场中且通过相同的路径被加速，所获速率分别满足：
2q 0 4 0 r 4 0 r 4 0 r q
3q 4 0
q
3q (1 1 2) 2 0a 3a
所求外力做的功为 A A Q( 0 )
Q 0
3qQ 2 0 a
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3.7 地球表面上空晴天时的电场强度约为100V/m。 （1）此电场的能量密度多大？ （2）假设地球表面以上10km范围内的电场强度都是 这一数值，那么在此范围内所储存的电场能共是多少 kW· h？ 2 12 2 0E 8 . 85 10 ( 100 ) 解： （ 1） e 2 2
4 0 r 8 ( 1 1 . 5 ) 10 9 109 450V 2 50 10
1
3.2 两均匀带电球壳同心放置，半径分别为R1和R2（R1 ＜R2），已知内外球之间的电势差为 U12，求两球壳间 的电场分布。 解： 设内球的带电量为q，则
U12
R2
4 0 r q (1 1 ) 40 R1 R2
R1
1
Edr
R
R2
q
2
q
R1
R2
U12
由此得两球壳间的电场分布为：
4 0 r 2 方向沿径向。
E
q
U 12 R1 R2 2 r R2 R1
2
3.3 一均匀带电细杆，长为 l ＝15cm，线电荷密度 λ＝2.0×10-7C/m。求： （1）细杆延长线上与杆的一端相距 a = 5.0cm 处电势； （2）细杆中垂线上与细杆相距 b = 5.0cm 处电势。 解： （1）沿杆取 x 轴，杆的x轴反向端点取作原点，由 电势叠加原理，可得所给点的电势为 l dx ln a l 1 0 4 0 ( l a x ) 4 0 a 3 9 7 5 . 0 15 . 0 2 . 5 10 (V) 9 10 2.0 10 ln 5.0 （2）利用3.5题的结果，可得 2 2 b l /4 l/2 2 ln 4 0 b2 l 2 / 4 l / 2
2 2 5 15 / 4 15 / 2 9 10 2.0 10 l n 2 2 3 5 15 / 4 15 / 2 4.3 10 (V) 3 9 7
3.4 半径为R的圆盘均匀带电，面电荷 密度为σ。 求此圆盘轴线上的电势分布 （1）利用原书例3.4 的结果用电势叠加法； （2）利用原书第1章例1.6 的结果用场强积分法。 解： （1）半径为r，宽度为dr的带电圆环在圆盘轴线上 离盘心x处的电势为 2rdr d 4 0 r 2 x 2 由电势叠加原理，整个电圆在 x 处的电势 R 2 2 2 r d r ( x R x) d 0 2 0 4 0 r 2 x 2 （2）整个带电圆盘在x 轴上的电场分布式为 x E [1 ] 2 2 1 / 2 2 0 (R x ) 4
在 x 轴上
2
2
Ez 0 Ey 0, z dy a E Ex x 20 x x 2 a 2
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3.6 一边长为工的正三角形，其三个顶点上各放置q， －q和－2q的点电荷，求此三角形重心上的电势。将一电 量为＋Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力要做多 少功？ 解：重心上的电势为