计算方法第4章-多项式插值方法

f [ x , x0 ,
, xn 1 ] f [ x0 , x1 ,
, xn ] , x百度文库 ]( x xn ).
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f [ x , x0 , x1 ,
4.3.2 Newton均差插值多项式 只要把后一式代入前一式，就得到
f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , f [ x, x0 , N n ( x ) Rn ( x ),
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4.3
Newton插值多项式
缺点？
问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优
优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。
缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化， 整个公式也将发生变化. 问题：如何改进？
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4.3
4.3.1
Newton插值多项式
均差的定义和性质
f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
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例
给出 f ( x )的如下函数表，
由此计算 f ( x ) 关于点0,2,4,8的三阶均差 f [0, 2, 4, .8]
xk f ( xk )
解
0 10
2 -3
4 -39
8 9
根据给定函数表造出均差表
xk
0 2 4
f ( xk )
10 -3 -39
一阶均差 二阶均差 三阶均差
-6.5 -18 -2.875
xn ) ( xi x j ) 0
i 1 j 0
n
i 1
所以，解存在且惟一，这说明由式 (4-2) 表示的 Pn(x)存在且惟一，证毕。
5
4.2
Lagrange插值多项式
4.2.1 线性插值与二次插值 设给定函数 y f ( x ) 两点 ( x0 , y0 ),( x1 , y1 ) ， 经过这两点的 多项式插值就是直线
l0 ( x ), l1 ( x ), l 2 ( x ) 是二次函数，
l0 ( x0 ) 1,
l1 ( x1 ) 1,
l0 ( x j ) 0,
l1 ( x j ) 0,
( j 1,2);
( j 0,2);
l 2 ( x2 ) 1,
l 2 ( x j ) 0,
( j 0,1).
第四章 多项式插值方法
4.1 4.2 4.3 4.4 引言 Lagrange插值多项式 Newton插值多项式 分段低次插值
1
4.1
引言
x0 , x1 , xn (a x0 xn b) 上取
定义 4.1 设 y= f(x) 在区间[a,b]上连续，在[a,b]内n+1
个互不相同的点
值 得
。如果存在一性态较好的简单函数 P(x)，使 y yn 0 , y1 ,
P( xi ) yi
(i 0,1,
n)
(4 1)
则称P(x)为f (x)的插值函数。这时，我们称[a,b]为插值 x0 , x1 , xn 区间， 称 为插值节（结）点，称（ 4-1）为 插值条件，f (x)为被插函数。求插值函数P(x)的方法称
f ( x ) f ( x0 ) f [ x , x0 ]( x x0 ),
f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 , x1 ]( x x1 ), f [ x , x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x2 )
定义：称 的一阶均差.
为函数 f ( x)关于点 x0 , x1
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] x2 x0
称为 f ( x) 关于点 x0 , x1 , x2 的二阶均差. 一般地，称
f [ x0 , x1 , xn ] f [ x1 , , xn1 , xn ] f [ x0 , x1 xn x0 , x n 1 ]
这性质又称为均差关于自变量的对称性。
（2） 若 Pn ( x) 为n 次多项式，则其k 阶均差函数Pn [ x0 ,, xk 1 , x] 当 k n时为n k 次多项式，当k n时恒为零。
19
4.3
4.3.2
Newton插值多项式
Newton均差插值多项式
根据均差定义，把 x 看成 [a , b] 上一点， 可得
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L2 ( x ) f ( x0 )l0 ( x ) f ( x1 )l1 ( x ) f ( x2 )l2 ( x ) 1.25l0 ( x ) 0.75l1 ( x ) 1.25l2 ( x)
5 5 x ( x 1) 0.75( x 1)( x 1) x ( x 1) 8 8 3 1 2 x 4 2
为 f ( x)的 n 阶均差
（均差也称为差商）.
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4.3
4.3.1
表2 1 xk x0 x1 x2 x3 x4
Newton插值多项式
均差的定义和性质
利用如下均差表来计算均差：
f ( xk ) （1st）均差 （2nd）均差 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x 2 , x3 ] f [ x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 2 , x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ] （3rd）均差 （4th）均差
n次拉格朗日插值多项式可表示为
Ln ( x ) yi
i 0 n
i ( x ) i ( xi )
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4.2.2
插值余项与误差估计
误差估计定理
( n1) f ( x) 在[a,b]存在， 定理4.2 设f(x)的n+1阶导数 则对任何 x [a,b]，插值余项满足
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ), x [a, b] (n 1)!
8
9
12
5
0.984375
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均差的性质：
(1) f [ x0 , x1 , , x k ]
i 0 k
f ( xi )
(x
j i j 0
k
(4 12)
i
xj)
由此知，均差与节点的 排列顺序无关，即有 f [ x0 , x1 , , x k ] f [ xi0 , xi1 , , xik ] (i0 , i1 , ik 为 0， 1， k 的任一排列）
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4.2.2
拉格朗日插值多项式
求的n+1个次数 满足
n 次的插值多项式 li ( x) (i 0,1,, n)
n} (4 4)
1 i j li ( x j ) ij i , j {0,1, 0 i j
解
(a x0
n
xn b)
x0 ,, xi 1 , xi 1 , xn 为li ( x) 的零点
k 0 n
(4 2)
即有
1 1 1
x0 x1 xn
n a0 y0 x0 n x1 a1 y1 n x n a n yn
(4 2)
因
A Vn ( x0 , x1 ,
函数时，相应的插值法称为分段插值。其中三角插值 主要用于处理周期函数。本章仅介绍最基本的多项式
插值。
定理 4.1 惟一。
4
在 n+1 个互异点
x0 , x1 ,
,上满足插 xn
值条件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式Pn(x) 存在且
证明： 记实系数多项式
Pn ( x ) ak x k
x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
称给定 L1 ( x )
为线性插值多项式。称 x x0 x x1 l0 ( x ) , l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
为关于点 x0 , x1 的线性插值基函数，其在节点处满足：
i 0 i 0 ji j0 n n n
x xj xi x j
( 4 5)
9
它称为n次拉格朗日插值多项式。
引进 n+1 次与n次多项式函数为
n1( x ) ( x x j )
j 0
n
(4.2.10)
i ( x) n1 ( x) / ( x xi )
(x
ji j0
n
i
xj )
li ( x )
ji j 0
n
(x xj ) ( xi x j )
( i 0,1,
, n)
称为n次拉格朗日（Lagrange）插值基函数 或称为拉格朗日基本插值多项式。(据之，我们可构造 多项式
Ln ( x ) yi li ( x ) yi
其中 N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 )
f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
, xn ]( x x0 ) , xn ]n1 ( x )
为插值法。
2
从几何上看，插值法就是确定一个简单曲线
为y=P(x) ，使其通过给定的 n+1个点
( xi , yi ), i 0,1,
, n ， 并用它近似已知曲线 y=f (x).
3
特别地，当P(x)为次数不超过n次的代数多项式时，
相应的插值法称为多项式插值；当P(x)为三角多项式
时，相应的插值法称为三角插值；当P(x)为分段解析
求L2 ( x )
解：
P3 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l2 ( x ) y2
( x x1 )( x x2 ) 1 而l0 ( x ) x( x 1) ( x0 x1 )( x0 x2 ) 2 ( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x 1)( x 1) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) 1 l2 ( x ) x( x 1) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 2
其中 ( x ) (a, b).
注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式
M n 1 Rn ( x) n1( x ) ( n 1)!
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（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使 n1 ( x) 尽可能小，以减小误差。
若 f ( x)=x k (k n), 那么f ( n1) ( x) 0,
li ( x)中含有因式 ( x x j )而此因式已为n次多项式，故应有
li ( x) Ai ( x x j )
j i j 0 n
j i j 0
Ai为待定系数
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再由 1 li ( xi ) Ai ( xi x j ) 得 Ai
ji j 0
n
1
Rn ( x ) x k xik li ( x ) 0,
i 0 k k x l ( x ) x , k 0,1, ii i 0 n n
, n.
特别地，当k=1时
l ( x ) 1.
i 0 i
12
n
例4.1：已知函数
x y -1 1.25 0 0.75 1 1.25
1, i j li ( x j ) 0, i j
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4.2.1
线性插值与二次插值
假定插值节点为 x0 ， x1 ，x2 ，要求二次插值多项式
L2 ( x ),
L2 ( x j ) y j
( j 0, 1, 2 ).
几何上 L2 ( x ) 是通过三点 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 的抛物线. 可以用基函数的方法求 L2 ( x ) 的表达式，