计算方法第4章-多项式插值方法
计算方法第四章 插值法
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
计算方法-4插值方法
( xi x j ) 0
i 1 j 0
n
i 1
9
4.2 拉格朗日（Lagerange）插值多项式
4.2.1 基本插值多项式 观察一个两点的插值情况：
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
可以构造函数P1(x)为
x x1 x x0 P ( x) y0 y1 1 x0 x1 x1 x0
P3’ (x1)=L2’ (x1)+Q’(x1)=m1
可得
22
( x1 x2 ) 2 x1 x0 x2 y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x1 x0 ) y2 A( x1 x0 )( x1 x2 ) m1 ( x2 x0 )( x2 x1 )
10
4.2.1 基本插值多项式
如果令：
x x1 x x0 l0 ( x ) ,l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
P ( x ) y0l0 ( x ) y1l1 ( x ) 1
则
显然，l0(x)和l1(x)是满足插值条件的一次插值多项式
l0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0 l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
15
4.2.3 插值余项
在节点处
Ln ( x j ) f ( x j ) j 0,1,..., n
在其它点上，均是近似值。记
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x )
称Rn(x)为插值多项式的余项。
16
定理：设f(n)(x)在[a,b]上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在 节点， a≤x0<x1<…<xn≤b， Ln(x) 是满足插值条件处 ， Ln(xj) 是=yj(j=0,1,2,…,n)的n次多项式，则对任意x 属于[a,b]，插值余项
数值计算方法第2版 第4章 插值法
则
l ( x ) 1 ( k i ) , k i l ( x ) 0 ( k i ) , i 、 k 0 , 1 , , n k i
lk (x)称为关于节点xi( i=0,1,…,n)的n次插值基函数。
基函数的特点
1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
例
造数学用表。平方根表
给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性 插值求115的平方根。 x 100 121
其系数行列式
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 2 n a a x a x a x n n yn 0 1 n 2 n
1 x 0 x 02
x 0n
2 n 1 x x x 1 1 ( x x 0 V ( x , x , , x ) 1 i j) 0 1 n 0 j i n
1 xn
x n2 x nn
,a , ,a 0 1 n ，因此P(x)存在且唯一。 方程组有唯一解 a
唯一性说明不论用那种方法构造的插值多 项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互 相恒等的。 推论 当f(x)是次数不超过n的多项式时， 其n次插值多项式就是f(x)本身。
计算方法4_插值方法
习题44.1 给出概率积分dx ex f xx⎰-=22)(π的数据表：试用二次插值计算)472.0(f .4.3 设j x 为互异节点(n j ,,1,0 =),求证(1)),,1,0()(0n k x x l xnj kj kj=≡∑=(2) ),,1,0(0)()(0n k x l x xnj j kj=≡-∑=4.4 若1)(57++=x x x f ，则=]2,,2,2[710 f ，=]2,,2,2[810 f 。
4.5 若n n y 2=,求n y 2∆和n y 4∆.4.6 设)5,4,3,2,1,0(=i x i 为互异节点，)(x l i 为对应的5次Lagrange 插值基函数，则∑==+++523)()12(i i i i ix l x x x___________________。
4.7 证明两点三次Hermite 插值余项是),(,)())((!41)(1212)4(3++∈--=k k k k x x x x x x fx R ξξ4.8 设ji j nji j i x x x x x l --=∏≠=1)(是Lagrange 基函数，则⎩⎨⎧=)(j i x l 。
4.9求一个次数不超过4次的多项式)(x P ，使它满足,1)2(,1)1()1(,0)0()0(=='=='=P P P P P ，并写出其余项表达式。
4.10 求一个四次插值多项式)(x H ，使0=x 时，2)0(',1)0(-=-=H H ；而1=x 时，20)1(",10)1(',0)1(===H H H ，并写出插值余项的表达式。
4.11 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S (x )4.12 已知实验数据试用最小二乘法求经验直线x a a y 10+=。
4.13利用最小二乘法求一个形如2210)(x a x a a x y ++=的经验公式，使它与下列数据拟合：4.14 用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使与下列数据相拟合。
第四章插值法
P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
使之满足
P2 ( xi ) yi , i 0, 1, 2
计算机科学与工程系 19
令
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( x x j )
j 0 j k n
计算机科学与工程系 27
4.2.3 拉格朗日插值多项式
由lk (xk) = 1，得：
1 ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
计算机科学与工程系 25
10
11
4.2.3 拉格朗日插值多项式
插值公式
设连续函数y = f（x）在[a, b]上给定n + 1个不同结 点： x0, x1, …, xn 分别取函数值 y0, y1, …, yn 其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2,…, n 构造一个次数不超过n的插值多项式
因此
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) P2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
因此有
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
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两点
多项式插值就是直线
， 经过这两点的
称给定
为线性插值多项式。称
为关于点
的线性插值基函数，其在节点处满足：
6
4.2.1 线性插值与二次插值 假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式
几何上
是通过三点
可以用基函数的方法求的表源自式，是二次函数，的抛物线.
7
4.2.2 拉格朗日插值多项式
求n+1个次数 满足
且次数不超过n 的多项式，其所给出形式的系数为
称
为牛顿（Newton）均差插值多项式.
系数 就是均差表4-1中主对角线上的各阶均差， 它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.
25
4.3.2 Newton均差插值多项式 （*）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与
拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点（给3.出7）的
式求 x 的近似值。
解 (1) 选取节点x=2,3,4
xf 一 二 三
kk
(x k)
阶 均
阶 均
阶 均
31
32
4.4 分段低次插值
4.4.1 Runge现象 在次数 增加时逼近 的精度是否也增加?
问题：根据区间 上给出的节点做出的插值多项式
事实上，对于有些函数，插值多项式次数很高时会在某些区 间内产生较大的误差。例如著名的Runge现象。
分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.
35
4.4.2 分段低次插值
例如分段线性插值。 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来
第四讲 多项式插值
( i = 0, 1,L , n)
插值条件的意义？ 插值条件的意义？
多项式插值的几何意义 求经过n+1个点的 次多项式曲线 个点的n次多项式曲线 求经过 个点的 次多项式曲线y=P(x), 用来近似未知或复杂函数
P(x) ≈ f(x)
x x00
xx1 1
x2 x2
x
x3
x xn 4
例如， 时求一个一次多项式P1(x)，直线使其经过已知的两 例如，n=1时求一个一次多项式 时求一个一次多项式 ， 点 ( x 0 , y0 ) , ( x 1 , y 1 )
R n ( x ) = f ( x ) − Ln ( x )
可以证明
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x) = ( x − x0 ) L ( x − xn ) (n + 1)!
其中， 其中，
ξ ∈ ( x0 , xn )
利用插值余项估计插值误差（截断误差） 利用插值余项估计插值误差（截断误差） 若 f
f ( x) = x , x ∈ [144,225]
估计利用L 近似f(175)产生的截断误差 估计利用 2(175)近似 近似 产生的截断误差 解：
3 −5 Q f ′′′( x) = x 2 8 3 3 ′′′( x) = 2 ∴ f ≤ = 1.51×10 −6 = M , x ∈ [144,225] 8 x x 8 ×144 2 × 144 M ∴ R2 (175) ≤ (175 − 144)(175 − 169)(175 − 225) ≈ 0.00234 3!
假定某地区某天的气温变化记录如下： 假定某地区某天的气温变化记录如下： 时 刻 温 度 时 刻 温 度 0 15 13 31 1 14 14 32 2 14 15 31 3 14 16 29 4 14 17 27 5 15 18 25 6 16 19 24 7 8 9 10 11 12
多项式插值计算方法
多项式插值计算方法引言：在数学和计算机科学中，插值是一种常见的数值计算方法，用于通过已知的数据点来估计未知的数据点。
多项式插值是插值方法中的一种，通过构造一个多项式函数来逼近数据点，从而实现插值的目的。
本文将介绍多项式插值的基本概念、计算方法和应用领域。
一、多项式插值的基本概念多项式插值是指通过已知的n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，构造一个n次多项式函数P(x)来逼近这些数据点。
通过将P(x)代入已知的数据点，可以满足P(xi) = yi，即多项式函数经过已知数据点。
二、多项式插值的计算方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的多项式插值计算方法。
通过构造一个满足已知数据点的n次多项式函数P(x)，可以使用拉格朗日插值公式来计算多项式的系数。
具体步骤如下：- 构造插值多项式P(x) = L1(x)y1 + L2(x)y2 + ... + Ln(x)yn，其中Li(x)为拉格朗日基函数。
- 拉格朗日基函数的计算公式为Li(x) = Π(j=1 to n, j ≠ i)(x-xj)/(xi-xj)，即除了第i个数据点外，其他数据点的插值基函数的乘积。
- 将已知数据点代入插值多项式，可以得到相应的系数，进而得到插值多项式P(x)。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的多项式插值计算方法。
通过构造一个满足已知数据点的n次多项式函数P(x)，可以使用牛顿插值公式来计算多项式的系数。
具体步骤如下：- 构造插值多项式P(x) = c0 + c1(x-x0) + c2(x-x0)(x-x1) + ... + cn(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)，其中ci为差商。
- 差商的计算公式为ci = f[x0, x1, ..., xi]/(xi-x0)(xi-x1)...(xi-xi-1)，即已知数据点的函数值的差商。
- 使用差商递推公式可以计算出所有的差商，进而得到插值多项式P(x)。
多项式插值
三次样条插值 (spline,csape)
interp1，interp2, griddata
Lagrange插值
• 方法介绍 对给定的n个插值点 x1 , x2 ,, xn 及对应的函 数值 y1 , y2 ,, yn ，利用n-1次Lagrange插值多项 式，则对插值区间内任意x的函数值y可通过 下式求的：
• 算例： >> years=1950:10:1990; >> service=10:10:30; >> wage = [150.697 199.592 187.625 179.323 195.072 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505 153.706 426.730 249.633 120.281 598.243]; >> w = interp2(service,years,wage,15,1975) w= 190.6288
>> x=[0.3:0.005:0.35];y=hermite(x0,y0,y1,x); >> plot(x,y) >> y2=sin(x); hold on >> plot(x,y2,'--r')
Runge现象和分段插值
• 问题的提出：根据区间[a,b]上给出的节点做 插值多项式p(x)的近似值，一般总认为p(x)的 次数越高则逼近f(x)的精度就越好，但事实并 非如此。 1 f ( x) • 反例： 1 x2 在区间[-5,5]上的各阶导数存在，但在此 区间上取n个节点所构成的Lagrange插值多项 式在全区间内并非都收敛。 • 取n=10,用Lagrange插值法进行插值计算。
《数值计算方法》---多项式插值实验报告
1
2
3
4
5
6
y
0
0.6931
1.0986
1.3863
1.6094
1.7918
2根据下面的数据点，分别求牛顿前插多项式和牛顿后插多项式，并计算x=1.55时y的值。
x
1
2
3
4
5
6
y
0
0.6931
1.0986
1.3863
1.6094
1.79ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8
3根据下面的数据点，求埃尔米特插值多项式，并计算x=1.44时y的值。
《数值计算方法》---多项式插值实验报告
实验名称：多项式插值
实验目的：
1、熟悉Matlab的编程。
2、学会求解拉格朗日插值、牛顿插值及埃尔米特插值多项式并估计函数在某点处的值。
实验设备与环境：计算机，Windows系统，Matlab等。
实验内容：
1.根据下面的数据点，分别求拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，并计算x=1.5时y的值。
x
1
1.2
1.4
1.6
1.8
y
1
1.0954
1.1832
1.2649
1.3416
y’
0.5000
0.4564
0.4226
0.3953
0.3727
f =
10850.7*(t - 1.0)^2*(t - 1.4)^2*(t - 1.6)^2*(t - 1.8)^2*(9.58473*t - 10.4063) - 10850.7*(t - 1.0)^2*(t - 1.2)^2*(t - 1.4)^2*(t - 1.8)^2*(10.1455*t - 17.4978) + 24414.1*(t - 1.0)^2*(t - 1.2)^2*(t - 1.6)^2*(t - 1.8)^2*(0.4226*t + 0.59156) - 678.168*(27.5773*t - 50.9807)*(t - 1.0)^2*(t - 1.2)^2*(t - 1.4)^2*(t - 1.6)^2 + 678.168*(t - 1.2)^2*(t - 1.4)^2*(t - 1.6)^2*(t - 1.8)^2*(21.3333*t - 20.3333)
第4章 插值和拟合
第4章 插值和拟合多项式插值
n x 因此，若以 i i 0 为插值节点，对函数f(x)=1构造插值多项式，
y0=y1==yn=1代入式(4.2.6)，得到插值基函数的另一个性质
lk( n ) ( x ) 1 因此插值基函数(4.2.4)是单位正交基。
插值函数，式(4.1.1)称为插值条件。
第4章 插值和拟合多项式插值 插值函数除代数多项式外，常用的还有三角多项式。插值条 件除(4.1.1)式外，还可以 (如Hermit插值 )加上导数条件。本课 程只介绍代数多项式插值。 函数插值是数值计算的基本工具，如本课程后面的数值微分、 数值积分、微分方程的数值解法等都要用到函数插值。插值 法在工程实际和许多学科的理论分析中有广泛的应用。 函数插值的基本问题有：存在唯一性、构造方法、截断误差 和收敛性，以及数值计算的稳定性等。
( n 1 ) f ( )n x R ( x ) f ( x ) L ( x ) ( x x ) n n i ( n 1 )! i 0
(4.2.9)
第4章 插值和拟合多项式插值 证 如果x是一个插值节点xi，定理命题显然为真，等式(4.2.9)
两边都是0。
如果x xi(i=0,1,,n) ，记 构造以t为自变量的辅助函数
代入式(4.2.6)，得
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 L ( x ) 1 l ( x ) 5 l ( x ) ( 1 ) l ( x ) x 3 x 1 2 0 1 2
第4章 插值和拟合多项式插值
4.2.2 插值的余项(误差分析)
由定义4.1.1定义的插值多项式在插值节点与被插函数严格相等，
第4章_插值与拟合-牛顿法
第4章 插值与拟合
4.3 差商与牛顿插值公式
Lagrange 插值多项式的基函数：
l j ( x)
( x x0 )(x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
4.3.3 牛顿插值余项
若将 x xi , (i 0,1,, n) 视为一个节点,则由一阶均差定义 有
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 )
同理,由二阶均差定义 有
f ( x0 ) f ( x) f [ x, x0 ] f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0x ,0x1 ]( xx x1 )
j 1 k 0
n
j 1
2.差商的性质
性质1：差商与函数值的关系 f(x) 关于 x0 , x1 ,, xk 1 , xk 的 k 阶差商是 f(x) 在这些点上 函数值的线性组合,即
1 f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f ( x j ) j 0 i 0 x j xi
(i j k )
为 f ( x) 关于节点 xi , x j , xk 的二阶差商
最后一个节点－倒 数第二个节点
称
缺倒数第二个节点
缺最后一个节点
f [ x0 , x1,, xk 1, xk ]
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk xk 1
第4章 插值与逼近
i =0 j −1
(4-8)
则可将 n 次插值多项式写成如下形式：
pn (x) = ∑ a jϕ j ( x)
n
= a 0 + a1 ( x − x0 ) + L + a n ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 )
j =0
(4-9)
其中待定系数 a0 , a1 , L, an 由插值条件
(1 − 2)(1 − 3) ( x − 1)( x − 2)
1 = ( x − 2)( x − 3) , 2
l1 ( x) =
( x − 1)( x − 3)
(2 − 1)(2 − 3)
= −( x − 1)( x − 3) ,
(
) (
)
(
)
于是
4.2.2 Newton插值公式
在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节 点个数。插值节点个数发生变化后，所有的Lagrange插值基函 数都会发生变化，从而整个Lagrange插值多项式的结构发生变 化，这在计算实践中是不方便的。为了克服Lagrange插值多项 式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有“承袭性”，我 们引进Newton插值公式。
xk − x j
i≠ j≠k
为f(x) 关于xi, xj, xk的二阶均差（差商）。
f [ x0 , x1 , L, xk ] =
xk − xk −1
称 (4-12)
f [ x0 , L , xk − 2 , xk ] − f [ x0 , x1 , L, xk −1 ]
《计算方法》第四章 插值方法
Ln ( x） f ( xk ) l k ( x)
k 0
n
n
其中,
l k ( x)
j 0 j k
x xj x k x j (k 0,1,...n) .
20
构造插值多项式的方法：
(1) (2) 先求插值基函数. 构造插值多项式.
以下的问题：如何分析插值的余项？
21
例题 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x f (x) -1 0 1 2 -2 -2 1 2
Return
13
§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
1. 构造线性插值基函数的方法:
n=1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1(x) = a0 + a1 x 使得
L1 ( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
由 l k ( xk ) 1, 得:
1 A ( xk x0 ) ( xk xk 1 ) ( xk xk 1 ) ( xk xn )
l k ( x)
k = 0, 1 ,⋯, n .
( x x0 )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xn ) ， ( x k x0 )( xk xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xn )
18
一般情形
希望找到 li (x)，i = 0, …, n 使得 li (xj) = ij ；然后令
Ln ( x ） f ( x k ) l k ( x )，则显然有 Pn(xi) = yi 。
k 0 n
多项式插值计算方法
多项式插值计算方法一、引言多项式插值是数值分析中常用的一种方法，它可以通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而在数据点之间进行插值。
多项式插值方法在实际应用中具有广泛的用途，例如图像处理、数据拟合、信号处理等领域。
本文将介绍多项式插值的基本原理和几种常用的计算方法。
二、基本原理多项式插值的基本原理是通过已知的数据点来构造一个多项式函数，使得该函数经过这些数据点。
假设已知的数据点为(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中xi和yi分别表示自变量和因变量的取值。
我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(xi) = yi。
根据插值定理，只要选取足够多的数据点，就可以找到一个唯一的多项式函数满足插值条件。
三、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的多项式插值方法。
它基于拉格朗日插值多项式的思想，通过构造一个n次多项式来实现插值。
具体步骤如下：1. 根据已知的n+1个数据点，构造拉格朗日插值多项式的基函数Li(x)，其中i表示第i个数据点。
2. 将基函数Li(x)与对应的因变量yi相乘，得到Li(x)*yi。
3. 将所有的Li(x)*yi相加，得到最终的插值多项式P(x)。
4. 将自变量x代入插值多项式P(x)中，即可得到对应的插值结果。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算量较小。
但当数据点较多时，计算复杂度会增加，同时在边界处的插值结果可能会出现较大误差。
四、牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的多项式插值方法。
它基于差商的概念，通过构造一个n次多项式来实现插值。
具体步骤如下：1. 根据已知的n+1个数据点，计算差商表。
2. 根据差商表的值，构造牛顿插值多项式。
3. 将自变量x代入插值多项式中，即可得到对应的插值结果。
牛顿插值法的优点是计算效率高，尤其适用于数据点较多的情况。
但在插值区间较大时，插值结果可能会出现振荡现象。
五、埃尔米特插值法埃尔米特插值法是一种基于导数信息的多项式插值方法。
多项式插值计算方法
多项式插值计算方法引言：多项式插值是数值分析中常用的一种方法，用于通过已知数据点构造一个多项式函数，以逼近或插值这些数据点。
本文将介绍多项式插值的基本概念、插值多项式的计算方法以及应用场景。
一、多项式插值的基本概念在实际问题中，我们经常需要通过有限个数据点来近似或还原一个函数。
多项式插值是一种常见的数值方法，通过构造一个多项式函数来逼近或插值已知的数据点。
多项式插值的基本思想是：假设我们有n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中xi为已知的节点，yi为对应的函数值。
我们希望找到一个次数不超过n的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
这个多项式P(x)就是我们要求解的插值多项式。
二、拉格朗日插值多项式的计算方法拉格朗日插值多项式是多项式插值的一种常用方法。
它的基本思想是构造n次多项式，使得多项式在每个节点上都满足插值条件。
具体计算步骤如下：1. 根据已知的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，构造n 次拉格朗日基函数：Li(x) = Π[j=0, j≠i]^(n) (x-xj) / (xi-xj)，其中i=0,1,...,n。
2. 构造拉格朗日插值多项式：P(x) = Σ[i=0]^(n) yi * Li(x)，其中i=0,1,...,n。
三、牛顿插值多项式的计算方法牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。
它的基本思想是通过差商来递推计算插值多项式的系数。
具体计算步骤如下：1. 根据已知的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，计算差商表：f[x0] = y0，f[x1] = (y1-y0) / (x1-x0)，f[x2] = (f[x2]-f[x1]) / (x2-x1)，...f[xn] = (f[xn]-f[xn-1]) / (xn-xn-1)。
2. 构造牛顿插值多项式：P(x) = f[x0] + Σ[i=1]^(n) f[x0, x1, ..., xi] * Π[j=0]^(i-1) (x-xj)，其中i=1,2,...,n。
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1, i j li ( x j ) 0, i j
6
4.2.1
线性插值与二次插值
假定插值节点为 x0 ， x1 ，x2 ，要求二次插值多项式
L2 ( x ),
L2 ( x j ) y j
( j 0, 1, 2 ).
几何上 L2 ( x ) 是通过三点 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 的抛物线. 可以用基函数的方法求 L2 ( x ) 的表达式，
为 f ( x)的 n 阶均差
（均差也称为差商）.
16
4.3
4.3.1
表2 1 xk x0 x1 x2 x3 x4
Newton插值多项式
均差的定义和性质
利用如下均差表来计算均差：
f ( xk ) （1st）均差 （2nd）均差 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x 2 , x3 ] f [ x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 2 , x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ] （3rd）均差 （4th）均差
Rn ( x ) x k xik li ( x ) 0,
i 0 k k x l ( x ) x , k 0,1, ii i 0 n n
, n.
特别地，当k=1时
l ( x ) 1.
i 0 i
12
n
例4.1：已知函数
x y -1 1.25 0 0.75 1 1.25
第四章 多项式插值方法
4.1 4.2 4.3 4.4 引言 Lagrange插值多项式 Newton插值多项式 分段低次插值
1
4.1
引言
x0 , x1 , xn (a x0 xn b) 上取
定义 4.1 设 y= f(x) 在区间[a,b]上连续，在[a,b]内n+1
个互不相同的点
这性质又称为均差关于自变量的对称性。
（2） 若 Pn ( x) 为n 次多项式，则其k 阶均差函数Pn [ x0 ,, xk 1 , x] 当 k n时为n k 次多项式，当k n时恒为零。
19
4.3
4.3.2
Newton插值多项式
Newton均差插值多项式
根据均差定义，把 x 看成 [a , b] 上一点， 可得
求L2 ( x )
解：
P3 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l2 ( x ) y2
( x x1 )( x x2 ) 1 而l0 ( x ) x( x 1) ( x0 x1 )( x0 x2 ) 2 ( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x 1)( x 1) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) 1 l2 ( x ) x( x 1) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 2
17
例
给出 f ( x )的如下函数表，
由此计算 f ( x ) 关于点0,2,4,8的三阶均差 f [0, 2, 4, .8]
xk f ( xk )
解
0 10
2 -3
4 -39
8 9
根据给定函数表造出均差表
xk
0 2 4
f ( xk )
10 -3 -39
一阶均差 二阶均差 三阶均差
-6.5 -18 -2.875
函数时，相应的插值法称为分段插值。其中三角插值 主要用于处理周期函数。本章仅介绍最基本的多项式
插值。
定理 4.1 惟一。
4
在 n+1 个互异点
x0 , x1 ,
,上满足插 xn
值条件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式Pn(x) 存在且
证明： 记实系数多项式
Pn ( x ) ak x kFra bibliotek144.3
Newton插值多项式
缺点？
问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优
优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。
缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化， 整个公式也将发生变化. 问题：如何改进？
15
4.3
4.3.1
Newton插值多项式
均差的定义和性质
f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
称给定 L1 ( x )
为线性插值多项式。称 x x0 x x1 l0 ( x ) , l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
为关于点 x0 , x1 的线性插值基函数，其在节点处满足：
n次拉格朗日插值多项式可表示为
Ln ( x ) yi
i 0 n
i ( x ) i ( xi )
10
4.2.2
插值余项与误差估计
误差估计定理
( n1) f ( x) 在[a,b]存在， 定理4.2 设f(x)的n+1阶导数 则对任何 x [a,b]，插值余项满足
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ), x [a, b] (n 1)!
i 0 i 0 ji j0 n n n
x xj xi x j
( 4 5)
9
它称为n次拉格朗日插值多项式。
引进 n+1 次与n次多项式函数为
n1( x ) ( x x j )
j 0
n
(4.2.10)
i ( x) n1 ( x) / ( x xi )
13
L2 ( x ) f ( x0 )l0 ( x ) f ( x1 )l1 ( x ) f ( x2 )l2 ( x ) 1.25l0 ( x ) 0.75l1 ( x ) 1.25l2 ( x)
5 5 x ( x 1) 0.75( x 1)( x 1) x ( x 1) 8 8 3 1 2 x 4 2
值 得
。如果存在一性态较好的简单函数 P(x)，使 y yn 0 , y1 ,
P( xi ) yi
(i 0,1,
n)
(4 1)
则称P(x)为f (x)的插值函数。这时，我们称[a,b]为插值 x0 , x1 , xn 区间， 称 为插值节（结）点，称（ 4-1）为 插值条件，f (x)为被插函数。求插值函数P(x)的方法称
其中 ( x ) (a, b).
注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式
M n 1 Rn ( x) n1( x ) ( n 1)!
11
（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使 n1 ( x) 尽可能小，以减小误差。
若 f ( x)=x k (k n), 那么f ( n1) ( x) 0,
k 0 n
(4 2)
即有
1 1 1
x0 x1 xn
n a0 y0 x0 n x1 a1 y1 n x n a n yn
(4 2)
因
A Vn ( x0 , x1 ,
(x
ji j0
n
i
xj )
li ( x )
ji j 0
n
(x xj ) ( xi x j )
( i 0,1,
, n)
称为n次拉格朗日（Lagrange）插值基函数 或称为拉格朗日基本插值多项式。(据之，我们可构造 多项式
Ln ( x ) yi li ( x ) yi
7
4.2.2
拉格朗日插值多项式
求的n+1个次数 满足
n 次的插值多项式 li ( x) (i 0,1,, n)
n} (4 4)
1 i j li ( x j ) ij i , j {0,1, 0 i j
解
(a x0
n
xn b)
x0 ,, xi 1 , xi 1 , xn 为li ( x) 的零点
xn ) ( xi x j ) 0
i 1 j 0
n
i 1
所以，解存在且惟一，这说明由式 (4-2) 表示的 Pn(x)存在且惟一，证毕。
5
4.2
Lagrange插值多项式
4.2.1 线性插值与二次插值 设给定函数 y f ( x ) 两点 ( x0 , y0 ),( x1 , y1 ) ， 经过这两点的 多项式插值就是直线
其中 N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 )
f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
, xn ]( x x0 ) , xn ]n1 ( x )
8
9
12
5
0.984375
18
均差的性质：
(1) f [ x0 , x1 , , x k ]
i 0 k
f ( xi )
(x
j i j 0
k
(4 12)
i
xj)
由此知，均差与节点的 排列顺序无关，即有 f [ x0 , x1 , , x k ] f [ xi0 , xi1 , , xik ] (i0 , i1 , ik 为 0， 1， k 的任一排列）