2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及评分标准(高一年级)(word)

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准

（高一年级）

说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）

1．已知数列}{n a 是等差数列，2a 和2014a 是方程01652

=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2015

项的和为 1209 ．

2．已知b a ,是常数，函数3)1ln()(23

+++

+=x x b ax x f 在)0,(-∞上的最大值为10,则)

(x f 在),0(+∞上的最小值为 －4 ．

3．若对于任意实数x ，a x a x 2|1|||≤+-+恒成立，则实数a 的最小值为

3

1

．

4．设∈-==n n b a n n n (15,2N *)，},,,{},,,{201521201521a b b b a a a S =，则集合S 中的元素的个数为 504 ．

5．△ABC 中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若C a c a sin =-，则2

sin 2sin B

C A +-的值为 1 ．

6．设多项式)(x f 满足322)1()(2++-=++x x x f x f ，则=+++)9()2()1(f f f －186 ． 7．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，︒=∠90BAC ，CAP ∠为锐角，2||=AP ，2=⋅AC AP ，

1=⋅AB AP ．当||AP AC AB ++取得最小值时，2

7tan =

∠CAP ．

8． ︒

+

︒10sin 1

10sin 82

的值为 6 ．

9．函数638)(++-=x x x f 的最小值为

10

．

10．使得21+p 和2

1

2+p 都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．

二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．） 11．定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：

①1)2(=f ；②当1>x 时，0)(>x f ；③)()()(y f x f y

x

f -=．

（1）试判断函数)(x f 的单调性；

（2）若2)3()(≤-+t f t f ，试求t 的取值范围．

解 （1）设210x x <<，则112>x x ，故0)(1

2>x x

f ，即0)()(12>-x f x f ，所以21()()f x f x >，

故)(x f 在),0(+∞上是单调增函数． ………………………………………（5分）

（2）因为)2()4()2

4

()2(f f f f -==，所以2)2(2)4(==f f ，从而

)4()3()(f t f t f ≤-+． ………………………………………（10分）

即)3

4

()(-≤t f t f ，于是

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

-≤>->.3

4,03,0t t t t ………………………………………（15分）

解得 43≤

12．已知正实数c b a ,,满足222c b a =+，求)1)(1(b c

a c ++的最小值．

解 设ααcos ,sin ⋅=⋅=c b c a ，)2

,0(π

α∈，则

α

αααααcos sin 1

cos sin 1)sin 11)(cos 11()1)(1(+++=++=++=b c a c u ． …………………（5分）

令ααcos sin +=x ，则)4

sin(2π

α+=x ，21≤

又21cos sin 2-=x αα，所以12

12

1

112-+=-++=x x x u ． ………………………………（15分）

当2=x 时，u ＝)1)(1(b c a c ++取得最小值2231

22

1+=-+

．…………………（20分） 13．设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足*1,N n n T a n =-∈． （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）设22

221n n T T T S +++= ，求证：3

1

2111-<<-

++n n n a S a ． 解 （1）易知2

1

11==a T ，1,0≠≠n n a T ，且由n n n n a T a T -=-=++1,111，得 n n n n n a a T T a --==+++11111，即n

n n a a a -=

-++11111，即111111=---+n n a a ． ……………（5分） 所以112

111111111

+=-+-=-+-=-n n n a a n ，故

1

111+=+-=n n

n a n ． ………………………………………（10分）

（2）由（1）得1

1

21+==n a a a T n n ．

一方面，2

22)1(1

3121++++=n S n 2

12121)2)(1(14313211-=+-=++++⋅+⋅>+n a n n n ；……………（15分） 另一方面，

4

1)1(1

4131

4

1

21

222-

++

+-+

-

<

n S n 3

213

2

)

2

3

)(21(127

251

25231

+

-=

+++

+⋅+

⋅=

n n n ．

又3

131212132321

3

21-=-++=+-<+

-

+n a n n n n ． 所以 3

1

2

1

11-<<-

++n n n a S a ． ………………………………………（20分）