观测器设计

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§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性 对于基于全维状态观测器的输出动态反馈系统，状态反馈 控制律的设计和观测器的设计可独立地得分开进行. 分离定理为闭环控制系统的设计提供了很大的方便。 考察闭环系统(6.2.10)的传递函数。由
⎡B⎤ ⎡ I n T ⎢ ⎥=⎢ ⎣ B ⎦ ⎣− I n
−1
0 ⎤ ⎡B⎤ ⎡ B⎤ ⎥ ⎢B⎥ = ⎢ 0 ⎥ I n ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ In 0 ⎤ [ C 0] T = [ C 0] ⎢ I I ⎥ = [ C 0] ⎣ n n⎦
(6.2.12)
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§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性 和(6.2.11)可得，闭环系统(6.2.10)的传递函数为 −1 ⎛ BK ⎡ A ⎤ ⎞ ⎡B⎤ Gc ( s ) = [C 0] ⎜ sI 2 n − ⎢ ⎥ ⎟ ⎢B⎥ ⎣GC A − GC + BK ⎦ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝
n
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§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性 系统(6.2.7)直接状态反馈 u = Kx + v 的闭环传递函数为 −1 (6.2.14) Gk ( s) = C ( sI n − A − BK ) B Gc ( s ) = Gk ( s ). 结论：全维状态观测器的引入, 并不改变原系统直接状态 反馈的闭环传递函数。 s −1 例1 设开环系统的传递函数Go ( s ) = 2 , 试作全维状态 s 观测器，并构造输出动态反馈，使观测器极点 −10 ± j , 1 . GC ( s ) = 闭环传函为 s +1
(6.2.11)
因为矩阵的特征值在非奇异线性变换下不变, 显然, 闭环 系统(6.2.10)的特征值为 λi ( A + BK ) ∪ λ j ( A − GC ), i, j = 1, 2 n.
⎡ A + BK =⎢ ⎣ 0
BK ⎤ ⎥ A − GC ⎦
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§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性 定理6.3(特征根分离定理) 基于全维状态观测器的输出 动态反馈的闭环系统的特征值具有分离性，即为系统直 接状态反馈的闭环系统的特征值集合与其全维状态观测 器的特征值集合的并集。 特征根分离定理的意义： 特征根分离定理说明, 状态观测器的引入, 不影响由状态 反馈阵 K 所配置的系统特征值λi ( A + BK ), i = 1, 2 n. 状态反馈的引入，也不影响已设计好的状态观测器的特 征值 λ j ( A − GC ), j = 1, 2 n.
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§6.1 观测器的定义
图6.1
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§6.1 观测器的定义
观测器的形式： 对于线性定常系统 (6.1.1) x 为 n 维状态变量，u 为 p 维输入变量，y 为 q 维 A 输出变量， , B, C 分别为 n × n, n × p, q × n 实常阵。 其观测器也是一个线性系统, 状态空间描述一般可表示为
t →∞
(
)
为性能指标综合得到的观测器，称为状态观测器。 ˆ 输出 x (t ) 渐近等价于原系统状态的一个函数 Kx (t ) 的观测器，即满足 (6.1.4) ˆ lim x ( t ) − Kx ( t ) = 0
t →∞
(
)
的观测器，称为函数观测器。
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§6.1 观测器的定义
状态观测器的类型： 状态观测器, 按其结构可分为全维观测器和降维观测器. 维数等同于原系统的状态观测器, 称为全维观测器; 维数小于原系统的状态观测器, 称为降维观测器。 降维观测器在结构上要比全维观测器简单。
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§6.2-1 全维状态观测器的设计 问题：如何确定矩阵 G 呢？ 若 ( A, C ) 能观, 一定存在 G 使 A − GC的特征值可任意配置. 能观是(6.2.6)成为系统(6.2.1)的全维观测器的充分条件， 不是必要条件。 定义6.1 称系统(6.2.1)或矩阵 ( A, C ) 是可检测的, 若存在 矩阵 G, 使得 A − GC 的特征根全在左半平面。 T T ( A, C ) 可检测的充分必要条件是 ( A , C ) 引理6.1 矩阵对 能稳。
闭环系统是扩维的系统,维数为2n.
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§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性 考察闭环系统(6.2.10)的特征根分布. 为此, 引入非奇异 线性变换
ˆ ⎡ x⎤ ⎡ x⎤ ⎢z⎥ = T ⎢z⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ˆ⎦ ⎡In 0 ⎤ ⎡ In −1 T =⎢ ⎥ , T = ⎢− I ⎣ In In ⎦ ⎣ n
−1
⎛ ⎡ sI n 0 ⎤ ⎡ A + BK BK ⎤ ⎞ ⎡ B ⎤ = [ C 0] ⎜ ⎢ ⎥−⎢ 0 ⎥⎟ ⎢0⎥ A − GC ⎦ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎣ 0 sI n ⎦ ⎣ ⎡( sI n − A − BK )−1 ⎤ ⎡B⎤ * ⎥ = [ C 0] ⎢ −1 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ( sI n − A + GC ) ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎣ ⎦ −1 (6.2.13) = C ( sI − A − BK ) B
§6.1 观测器的定义
状态反馈可改变系统的性能, 从而使之有很好的优越性。 实际中由于技术或经济上的原因, 系统的全部状态不能 够直接获取. 如何来解决状态反馈性能上的优越性和物理上的不可实 现性所形成的矛盾呢？ 途径之一就是通过重构系统的状态, 并且利用这个重构 状态代替系统的真实状态来实现所要求的状态反馈, 此 即状态重构问题, 也称观测器设计问题. 观测器设计问题不仅有理论意义, 而且有应用价值。
z (t ) − x(t )=e Ft ( z (0) − x(0)) lim ( z ( t ) − x ( t ) ) = 0 成立。也就是说，若 A − GC
n →∞
的特征值具有负实部，则
z = ( A − G C ) z + G y + B u , z (0 ) = z0 (6.2.6) 为系统(6.2.1)的一个全维观测器。
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§6.1 观测器的定义
观测器设计问题，就是重新构造一个系统，利用原系统中 可以直接量测到的输出向量和输入向量作为它的输入信号， ˆ 并使其输出信号 x(t ) 在一定提法下等价于原系统的状态 ˆ x(t ), 通常 x(t ) 为 x(t ) 的重构状态或估计状态，称这个 重新构造的系统为观测器。 观测器设计问题含义的直观说明如图6.1所示
n
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§6.2-1 全维状态观测器的设计 全维状态观测器的结构图如图6.2所示
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图6.2 全维状态观测器
§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性 线性定常系统
(6.2.7) x = Ax + Bu , y = Cx x 为 n 维状态变量, u 为 p 维输入变量, y为 q 维输出变量. ( A, B ) 能控, ( A, C ) 能观。 全维状态观测器为
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§6.2-1 全维状态观测器的设计 引理6.2 矩阵对 ( A, C可检测的充要条件是不能观部分 ) 的特征根全部在半平面。 定理6.1 系统(6.2.1)存在形如(6.2.6)的全维状态观测器 的充分必要条件是 ( A, C ) 可检测。 定理6.2 若系统(6.2.1)能控能检测, 则对任意的 x0 , z0 及输入 u, 系统(6.2.2)成为系统(6.2.1)的全维状态观测器 的充分必要条件是 (1) F = A − GC , (2) H = B, (3) Re λi ( F ) < 0, i = 1, 2
det( sI − A + GC ) = ( s + 10) 2 + 1
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§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性
det( sI − A + GC ) = s 2 + (G2 − G1 ) s − G2 = s 2 + 20 s + 101 得 G1 = −121, G2 = −101 ⎡ −121 122 ⎤ A − GC = ⎢ −101 101⎥ ⎣ ⎦ (2) 设计状态反馈控制律 K . 令 K = [ K1 K 2 ] det( sI − ( A + BK )) = s 2 − K 2 s − K1
ˆ x=z
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§6.2-1 全维状态观测器的设计
z 为 n 维观测器状态变量，F , G , H 分别为 n × n, n × q, n × p 待定实常阵。
观测器状态和系统状态应满足
lim( z (t ) − x(t )) = 0 t →∞ 考虑 ( z (t ) − x (t )), 对其求导有
x = Ax + Bu ,
y = Cx
z = Fz + Gy + Hu (6.1.2) ˆ x = Mz + Ny ˆ z 为观测器系统的状态变量, x 为输出变量. F , G , H , M , N
分别为相应维数的实常阵。
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§6.1 观测器的定义
观测器的类型： 观测器按功能可分为状态观测器和函数观测器。 ˆ 输出 x (t ) 渐近等价于原系统状态 x (t ) 的观测器，即以 (6.1.3) ˆ lim x ( t ) − x ( t ) = 0
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§6.2 全维状态观测器
§6.2-1 全维状态观测器的设计 线性定常系统
x = Ax + Bu , x(0) = x0 , t ≥ 0 y = Cx
(6.2.1) x 为 n 维状态变量, u 为 p 维输入变量, y 为 q 维输出变量. 条件： x 不能直接量测， 输出 y 和输入 u 是可以利用的。 假定全维状态观测器的形式为 z = Fz + Gy + Hu, z (0) = z0 (6.2.2)
综合(1),(2)得系统的全维状态观测器及动态输出反馈为
⎡ −121 122 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ −121⎤ z=⎢ ⎥ z + ⎢1 ⎥ u + ⎢ −101⎥ y ⎣ −101 101⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ u = [1 0] z + v
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§6.3 降维状态观测器
i
(6.2.3)
( z − x) = z − x = Fz + Gy + Hu − Ax − Bu = F ( z − x) + ( F + GC − A) x + ( H − B )u (6.2.4)
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§6.2-1 全维状态观测器的设计 若 (1) H பைடு நூலகம் B, (2) F = A − GC , (3) Re λi ( F ) < 0, i = 1, 2 n (6.2.5) 则有
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§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性 解：传递函数 Go ( s ) 的最小实现为
⎡0 1 ⎤ ⎡0⎤ A=⎢ ⎥ , B = ⎢1 ⎥ , C = [ −1 1] ⎣0 0⎦ ⎣ ⎦
(1) 设计全维状态观测器。取 ⎡ G1 ⎤ ⎡ G1 1 − G1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡ G1 ⎤ G = ⎢ ⎥ , A − GC = ⎢ ⎥ − ⎢G ⎥ [ −1 1] = ⎢G G2 ⎦ −G2 ⎥ 0 0⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎣ ⎣ 2 ⎦ 由观测器极点为 −10 ± j 知
由状态反馈不改变系统的零点知, 闭环传函应为 s −1 GC ( s ) = ( s + 1)( s − 1)
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§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性
s 2 − K 2 s − K1 = ( s + 1)( s − 1) = s 2 − 1
K 2 = 0, K1 = 1, K = [1 0]
0⎤ In ⎥ ⎦
则有
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§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性
BK ⎡ A ⎤ T ⎢ ⎥T ⎣GC A − GC + BK ⎦ 0⎤⎡ A BK ⎡ In ⎤ ⎡ In =⎢ − I n I n ⎥ ⎢GC A − GC + BK ⎥ ⎢ I n ⎦⎣ ⎣ ⎦⎣
−1
0⎤ In ⎥ ⎦
z = (A − G C )z + G y + Bu A − GC 的特征根全在左半平面。
对系统(6.2.7)作反馈
(6.2.8)
u = Kz + v
(6.2.9)
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§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性 闭环系统为
⎡ x⎤ ⎡ A ⎢ z ⎥ = ⎢GC ⎣ ⎦ ⎣ y = [C
⎤ ⎡ x⎤ ⎡ B⎤ ⎥ ⎢ z ⎥ + ⎢ B⎥ v A − GC + BK ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (6.2.10) ⎡ x⎤ 0] ⎢ ⎥ ⎣z⎦ BK