第七章 矩阵函数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 矩阵函数
在定义了矩阵范数之后，便可以度量线性空间中矩阵的大小和矩阵间的接近程度，进而引入极限的概念，并基于此建立矩阵分析理论。本章将介绍矩阵序列和矩阵级数的定义和收敛性判断，并给出矩阵函数的定义和计算方法。
§7.1 矩阵序列与极限
本章中数域F 均指R (或C )，所讨论矩阵均为方阵，非方阵的情况按照相应的范数也可类似定义。
我们把n n ⨯阶矩阵序列12k ，，，，A A A ，简记为{}k A ，其中
()
()()
11121()()()21
222()()()12=k k k n
k k k n k k k k n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
A ，1,2,k = 显然，一个n n ⨯阶矩阵序列{}k A ()n n k ⨯∈A C 中各矩阵的所有对应位置构成n n
⨯个数列{}()
k ij a ，其中()(,1,2,,)k ij a C i j n ∈= 。
定义1 设矩阵序列{}k A (1,2,...k =)，其中()
()C k n n k ij a ⨯=∈A ，若n n ⨯个数列(){}(,1,2,...,)k ij a i j n =都收敛，即存在数ij a ∈C ，使得
()
lim ,,1,2,...,k ij ij k a a i j n →∞
== 则称矩阵序列{}k A 是收敛的，并把矩阵()C n n ij a ⨯=∈A 称为{}k A 的极限，或称矩阵序列{}k A 收敛于A ，简记为
lim k k →∞
=A A 或()k k →→∞A A
若这n n ⨯个数列()
{}(,1,2,...,)k ij a i j n =中至少有一个不收敛，
则称矩阵序列{}k A 是发散的。
例1 讨论22⨯阶矩阵序列{}k A 和{}k B 的敛散性，其中
1sin (1)(1)1k k k
k k k
k
⎡
⎤+⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，1
(0.5)2+1021k k k k k e k ⎡
⎤
⎢⎥
⎢
⎥=⎢
⎥
⎢⎥⎣
-⎦
B 1,2,k = 。
解 因为1lim(1)k k e k →∞+=，(1)lim =0k
k k →∞-，sin lim =0k k k →∞，故有0lim 01k k e →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
A ，即矩阵序列{}k A 是收敛的。又因为数列k
e k
⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的极限不存在，故矩阵序列{}k B 是发散的。
若把向量看做是特殊的矩阵序列，则向量序列收敛的定义类似可得。 由定义1可知，一个矩阵序列的收敛等价于n n ⨯个数列的收敛，但用初等分析的方法来研究未免有些繁琐，因此可以借助矩阵范数将矩阵序列的敛散性与一个数列的敛散问题等价。
定理 1 n n ⨯阶矩阵序列{}k A 收敛于矩阵n n ⨯∈A C 的充要条件是
lim 0k k →∞
-=A A
，其中范数⋅为任一种矩阵范数。
证明 由矩阵范数的等价性可知，必存在实数210k k ≥>，使得对于任意的矩阵n n ⨯∈B C 都有
1
1
12m m k k ≤≤B
B B
故有
1
1
12k k k m m k k -≤-≤-A A
A A A A
即可通过矩阵的1m 范数来进行定理证明。
必要性。 设lim k k →∞
=A A ，由定义1可知，对于每一个,i j 都有()
lim k ij
ij k a a →∞
=，即 ()
lim ||0,,1,2,...,k ij ij k a a i j n →∞
-== 于是
()
11lim ||0n
n
k ij ij k i j a a →∞
==-=∑∑ 即
1
lim 0k m k →∞
-=A A
故有对于矩阵的任意范数⋅都有lim 0k k →∞
-=A A 充分性。 因为lim 0k k →∞
-=A A ，则有1
()
11
lim lim ||0n n
k k ij ij m k k i j a a →∞→∞
==-=-=∑∑A A
。因此，对于每一个,i j 都有
()
lim ||0k ij ij k a a →∞
-= 此即
()
lim ,,1,2,...,k ij ij k a a i j n →∞
== 于是
lim k k →∞
=A A
根据矩阵范数的等价性可知，定理1对于任何一种矩阵范数都成立。 定理2若矩阵序列{}k A 收敛，则其极限是唯一的。
证明 假设矩阵序列收敛极限不唯一。不妨设n n ⨯阶矩阵序列{}k A 收敛于矩阵n n ij a ⨯=∈()C A ，同时收敛于矩阵n n ij b ⨯=∈()C B ，且A B ≠。则至少存在一组
,i j ，使得ij ij a b ≠，其中,1,2,...,i j n =。即对于数列{}()
k ij a 来说有
()lim =k ij ij k a a →∞
且()
lim =k ij ij k a b →∞
这与收敛数列极限的唯一性相悖，故假设不成立，得证矩阵序列收敛极限唯一。
由于矩阵序列{}k A 收敛的充分必要条件是各元素组成的数列收敛，而数列的极限是唯一的，因此矩阵序列的极限也是唯一的。
定理3若矩阵序列{}k A 收敛，则此矩阵序列有界。即存在正数M ，使得对一切k
都有k M ≤A 。
证明 设序列{}k A 收敛于A ，即k lim ||||0k →∞
-=A A ，亦即对00ε∀>，存在
0N >，使得k N >时，有