高中数学三角函数及解三角形

fx＝m·n
数量积运算 辅助―角―→公式
得fx
对称性 周―期 ―→性
求出ω
―f―和α2―差＝―公－―式―43→
数
二 cosα ．
学
轮
复 习
(2) y＝fx 图―象―变→换 y＝gx 整―体―思→想 gx的递增区间 .
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专题三 三角函数及解三角形
规范解答·分步得分
解：f(x)＝m·n＝cosωxsinωx＋ 3cos(ωx＋π)cosωx
第一部分
专题强化突破
专题三 三角函数及解三角形
专题规范答题示例
专题三 三角函数及解三角形
典题例析
例 1 (12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝
3，cosA＝ 36，B＝A＋π2．
数
二
(1)求b的值；
学
轮
复 习
(2)求△ABC的面积．
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专题三 三角函数及解三角形
＝cosωxsinωx－ 3cosωxcosωx
二
＝sin22ωx－ 3cos22ωx＋1＝sin(2ωx－π3)－ 23.3分
轮ห้องสมุดไป่ตู้
复 习
∵f(x)相邻两条对称轴之间的距离为π2，
∴T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x－π3)－ 23.4分
数 学
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专题三 三角函数及解三角形
(1)f(α2)＝sin(α－π3)－ 23＝－ 43，∴sin(α－π3)＝ 43，
学
复
习
由正弦定理可得
3cosC＋sinC＝ s3isniBnA，
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专题三 三角函数及解三角形
∴ 3cosCsinB＋sinBsinC＝ 3sinA
⇒ 3cosCsinB＋sinBsinC＝ 3sin(B＋C)
⇒ 3cosCsinB＋sinBsinC
＝ 3sinBcosC＋ 3cosBsinC，
二
(1)若f(α2)＝－ 43，α∈(0，π2)，求cosα的值；
数 学
轮
复 习
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然
后向左平移
π 6
个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递增区
间．
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专题三 三角函数及解三角形
[思路探究]
(1)
二 轮
∴sinBsinC＝ 3sinCcosB，
复
习
∵sinC≠0，∴sinB＝ 3cosB，
∴tanB＝ 3，又0＜B＜π，∴B＝π3．
数 学
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专题三 三角函数及解三角形
(2)由余弦定理可得2accosB＝a2＋c2－b2＝(a＋c)2－2ac－b2，
整理得3ac＝(a＋c)2－b2，
即3ac＝175－49.∴ac＝42，
二 轮 复
即a2＋b2－ab＝3.②
习
联立①②，解得a＝1，b＝2．
数 学
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专题三 三角函数及解三角形
(理)已知a，b，c分别为△ABC三个内角的对边，且 3cosC＋sinC＝ b3a．
(1)求B的大小；
(2)若a＋c＝5 7，b＝7，求A→B·B→C的值．
数
二 轮
[解析] (1)∵ 3cosC＋sinC＝ b3a，
所以4(1＋cosC)－2(2cos2C－1)＝7，
二 轮 复 习
即(2cosC－1)2＝0，所以cosC＝12．
因为0＜C＜π，所以C＝π3，
于是tanC＝tanπ3＝ 3．
数 学
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(2)由sinB＝2sinA，得b＝2a.①
又c＝ 3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosπ3，
二
轮 复 习
去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sinC，利用S＝
学
1
2
absinC计算，同样得分．
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跟踪训练
(文)(2019·天津五区县联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，
二 轮
b，c，且8sin2A＋2 B－2cos2C＝7．
数 学
复 习
(1)求tanC的值；
(2)若c＝ 3，sinB＝2sinA，求a的值．
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[解析] (1)在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，
所以A＋2 B＝π2－C2，则sinA＋2 B＝cosC2．
由8sin2A＋2 B－2cos2C＝7，得8cos2C2－2cos2C＝7，
又因为B＝A＋π2为钝角，所以b＞c，即c＝ 3，
习
所以S△ABC＝12acsinB＝3
2
2 .
8分 数
10分 学
12分
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构建答题模板
第一步找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．
第二步定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施 数
二 轮
边角之间的转化．
∴A→B·B→C＝－B→A·B→C
二
轮 复 习
＝－|B→A||B→C|·cosB
＝－ac·cosB
＝－21．
数 学
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典题例析
例 2 (12分)已知m＝(cosωx， 3 cos(ωx＋π))，n＝(sinωx，cosωx)，其
中ω＞0，f(x)＝m·n，且f(x)相邻两条对称轴之间的距离为π2．
又因为B＝A＋π2，所以sinB＝sin(A＋π2)＝cosA＝ 36，
二
轮
复 习
由正弦定理，得b＝assiinnAB＝3×336＝3 2.
3
1分
3分
数
学
5分
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(2)由余弦定理，得cosA＝b2＋2cb2c－a2＝ 36⇒c2－4 3c＋9＝0⇒c＝ 3或3 3，
二 轮 复
学
复
习
第三步求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果．
第四步再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.
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专题三 三角函数及解三角形
[评分细则](1)第(1)问：没求sinA而直接求出sinB的值，不扣分；写出正弦定
理，但b计算错误，得1分．
(2)第(2)问：写出余弦定理，但c计算错误，得1分；求出c的两个值，但没舍 数
∵α∈(0，π2)，sin(α－π3)＝ 43>0，
∴α－π3∈(0，π6)，
二 轮 复 习
∴cos(α－π3)＝
13 4.
∴cosα＝cos(α－π3＋π3)＝cos(α－π3)cosπ3－sin(α－π3)sinπ3
[思路探究] (1) 利用同角公式、诱导公式 ―→ 求得sinA，sinB ―→ 利用正弦定理求b ．
(2)方法一： 余弦定理求边c ―→ S＝12acsinB
数
学
二 轮 复 习
方法二： 用和角正弦公式求sinC ―→ S＝12absinC .
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规范解答·分步得分
解：(1)在△ABC中，由题意知，sinA＝ 1－cos2A＝ 33，