抽象函数的性质问题解析

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抽象函数问题解法

抽象函数问题解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。

它与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等函数性质联系在一起，具有很强的抽象性。

这类问题主要考查数学思想方法的运用能力，以及对数学语言以及符号的阅读理解能力。

本文结合具体问题分类剖析这类问题的求解策略。

一、利用函数性质的解题思想函数性质是反映函数特征的主要途径，充分利用题设条件中已表明或隐含的函数性质，选择适当的方法解决抽象函数问题。

1.利用对称性，数形结合例1：已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。

策略：由f（2+x）= f（2-x）可知是函数图像关于直线x=2对称。

又f（x）=0四个根按由小到大的顺序可设为x1、x2、x3、x4，则x1+x4=2×2=4，x2+x3=2×2=4，∴x1+x2+x3+x4=8。

2. 利用奇偶性分析函数特征例2：已知函数f（x）=ax+bsinx+3，且f（-3）=7，求f（3）的值。

策略：注意到g（x）=ax+bsinx=f（x）-3是奇函数，可得g（-3）= -g（3），即f（-3）-3= -[f（3）-3]，f（3）=6-f（-3）= -1。

3. 利用单调性等价转化例3：已知奇函数f（x）在定义域（－１，1）上是减函数，试求满足不等式f（１－a）+f（1-a2）4.利用周期性研究函数特征例4：已知f（x）是定义在正整数集上的函数，对任意正整数x 都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），且f（1）=2002，求f（2002）。

分析：根据x的任意性，判断函数的周期。

略解：由f（x）=f（x-1）+f（x+1），可得：f（x+3）=-f（x）。

∴f（x+6）=-f（x+3）=[-f（x）]=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，∴f（2002）=f（333×6+4）=f（４）＝f（３＋１）＝－f（１）＝－２００２。

重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

抽象函数性质的万能结论

有关抽象函数性质问题的万能结论知识准备：1.奇函数与偶函数已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀ 若都有)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数；若都有)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数.则类似的我们可以对周期性和对称性做形式类似的定义 2. 函数的对称性已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀若都有)()(x a f x a f -=+，则函数)(x f 关于a x =对称；若都有)()(x a f x a f --=+，则函数)(x f 关于），（0a 对称. 3. 函数的周期性已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀若都有)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，周期为T ；若都有)()(x f T x f -=+，则函数)(x f 为周期函数，周期为2T.由于上面三种定义的形式高度统一，所以我们可以把这三种性质用一个定义来表示：已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀ 满足①)()( f f =，②)()( f f -=，①中括号里面的式子相加是常数a 2则具有对称性，关于a x =对称；②中括号里面的式子相加是常数a 2则具有对称性，关于()0,a 对称；①中括号里面的式子相减是常数T 则具有对周期性，周期为T ；②中括号里面的式子相减是常数T 则具有对周期性，周期为2T 。

4.对称性和周期性的关系只要一个函数具有两个对称性则一定是周期函数，对称性相同则周期为两倍的两对称之间的距离，对称性不同则周期为四倍的两对称之间的距离例如：（1）若函数)(x f 同时关于a x =和bx=对称，则函数)(x f 周期为b a -2（2）若函数)(x f 同时关于a x =和)0,(b 对称，则函数)(x f 周期为b a -4 典型例题：1.已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)()23(x f x f -=+且函数)43(-=x f y 是奇函数，给出下面4个命题，真命题的序号是______________①)(x f 为周期函数；②)(x f 关于)043(，-对称；③)(x f 为偶函数；④)(x f 在R上单调【解析】因为)()23(x f x f -=+3，①正确，④一定错误，周期函数不可能具有单调性；又)43(-=x f y 是奇函数，即)43()43(--=--x f x f ，则函数)(x f y =关于)043(，-对称，②正确；判断③的对错是个难点，此时可以联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=--(2))()23((1))43()43(x f x f x f x f将（1）式中的x 代换为43+x 得)()23(x f x f -=--，然后减去（2）式得0)23--(-)23(=+x f x f)(x f 关于0=x 对称，即为偶函数.2.（09全国I 理11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数【说明】这是一道得分率很低的题目，但用上面的结论后会很简单，所以看答案之前不妨自己试探着做做.【解析】(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。

10 第二章微专题抽象函数的性质

THANKS
(3)如果f (x＋a)＋f (x)＝c(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
ห้องสมุดไป่ตู้
微专题抽象函数的性质
类型三抽象函数的奇偶性和对称性
【例3】已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，y＝f (x＋3)为偶函数．若
f (x)在(0，3)内单调递减，则下面结论正确的是( )
D．c>b>a
A
解析：因为∀x1，x2∈(－∞，0]且x1≠x2时，有f
x1 －f
x1－x2
x2 >0，
所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递增．
由f (x)为偶函数，得函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减．
因为0<sin 3<1，1<ln 3<2，21.5＞2，f
ln
1 3
＝f (－ln 3)＝f (ln 3)，
所以f (sin 3)>f (ln 3)>f (21.5)，即a>b>c.
微专题抽象函数的性质
思维建模比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用函数单调性比较大小．
微专题抽象函数的性质
类型二抽象函数的周期性【例2】(2022·新高考全国Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f
22
所以∑ f k ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3.故选A．
k=1
微专题抽象函数的性质
思维建模
抽象函数的周期
(1)如果f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.

借助抽象函数模型，解决函数性质问题

则有 f(
-f(
1)
=-2,
4)
=f(
2)
=0,
1)+
f(
2)
+f(
3)
+f(
4)
=0。
f(
所以 f(
1)+f (
2)+ … +f (
9
0)=2
2×
[
]
1)
+f(
2)
+f(
3)
+f(
4)
+f(
1)+f(
2)
f(
=2。
故选择答案:
C。
点评:
涉及此类比较复杂且有明显规律
的函数值之间的连续和、
-2<m <6,
m|-2<
故所求不等式的解集为 {
x|x < -2 或
。
m <6}
点评:
在涉及抽象函数的单调性的判定
定及相关的应用问题时,赋值法思维是一种
与应用中,
特别是在解决与抽象函数的单调

常见的思维技巧。其实,涉及抽象函数中特
创新意识与创新应用问题可以很好地考
可得a1·a2·…·an-1<n。
an <n
an ,
得 a1 =1,
于是 1+a2 =a2,
此时无解,
不存在满
足条件的“
创新集”
A;
当 n=3 时,有 a1a2 <3,故只能 a1 =1,
求得 a3 =3,

抽象函数的性质问题解析(数学)

抽象函数的性质问题解析抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

1、定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。

解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。

所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。

2、值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。

材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。

解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。

总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。

3、对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。

材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（）A 、直线0=y 对称B 直线0=x 对称C 直线1=y 对称D 直线1=x 对称解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ，所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。

抽象函数的性质研究

抽象函数的性质研究抽象函数是计算机科学中的一个重要概念，它是一种没有具体实现的函数。

抽象函数仅仅定义了函数的输入和输出，而不涉及具体的算法或实现细节。

通过研究抽象函数的性质，我们可以更好地理解函数的本质和功能。

首先，抽象函数具有多态性。

多态性是指抽象函数可以被不同类型的对象调用，并且可以根据对象的类型自动选择相应的实现。

例如，在面向对象编程中，我们可以定义一个名为"draw"的抽象函数，然后在不同的子类中实现该函数，以实现不同的绘制方法。

通过使用多态性，我们可以在运行时根据对象的类型来选择适当的绘制方法，从而实现了抽象函数的多态性。

其次，抽象函数具有封装性。

封装性是指抽象函数的实现细节被隐藏起来，只暴露给外部的接口和方法。

这样做的好处是可以隐藏实现的复杂性，使得使用抽象函数的其他对象可以更加简单地调用和使用。

通过封装性，抽象函数的使用者只需关注函数的输入和输出，而不需要了解具体的实现细节，从而提高了代码的可读性和可维护性。

再次，抽象函数具有可替换性。

可替换性是指抽象函数可以被任意一种满足函数输入和输出规范的实现所替代。

这意味着我们可以通过不同的实现来改变抽象函数的行为，而不需要修改调用抽象函数的代码。

这种可替换性对于代码的扩展和维护非常有帮助，因为我们可以根据需求来选择不同的实现，而无需修改其他相关的代码。

此外，抽象函数还具有可重用性。

可重用性是指抽象函数可以在不同的上下文中被多次使用。

因为抽象函数通常是对其中一具体功能的概括和提炼，所以它们可以在不同的场景中被反复使用，以实现相似的功能需求。

通过抽象函数的可重用性，我们可以大大减少代码的重复编写，提高代码的效率和可维护性。

总结起来，抽象函数具有多态性、封装性、可替换性和可重用性等性质。

这些性质使得抽象函数在软件开发中起到重要的作用，具有较高的灵活性和可扩展性。

通过深入研究和理解抽象函数的性质，我们可以更好地设计和开发软件，提高其质量和可维护性。

从抽象函数形式看函数性质

从抽象函数形式看函数性质—— 抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现㈠周期性定义：任意I ，I ∈x 是定义域，都有=()(+T)，T f x f x 是非零常数。

则 ()f x 是周期函数，其周期是T 。

推广：①I ，∀∈x 都有),22(+)=(-T T f x f x 则()f x 是以T 为周期的周期函数。

②I ，∀∈x 都有()=()++f x A f x B ，A ，B 是常数，则()f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。

下面给出证明：令,+=∴=-∴+=-+x A X x X A x B X A B 。

()()()∴=+-∴f X f X B A f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。

另可发现规律：括号内两项之差为定值T ，周期T=定值。

③若存在非零常数T ，使()()0+-=f x T f x ，则()f x 是周期的周期函数。

联想：()()0++=f x T f x 是不是周期函数呢？事实上，若()（）+=-f x T f x 成立，则()（）+=-f x T f x ()()⎡⎤⎣⎦=---=-f x T f x T ， ()∴f x 是以2T 为周期的周期函数。

证明：11()=(),()1()()+==-∴-f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

1(),()()⑤若+=-∴f x T f x f x 是以2T 为周期的周期函数。

11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

证明：11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

㈡对称性①偶函数()f x 关于y 轴0=x 对称，()()。

-=f x f x②结论1：()f x 的图象关于=x a 对称()()⇔+=-f a x f a x证明：⇐对,0∀x 不妨令,00>x 在（,0）a 右侧0x 处，取+0,=x a x 对应纵坐标()10=+y f a x 。

抽象函数的性质及应用

抽象函数的性质及应用抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的想象力以及灵活运用函数知识的能力.一抽象函数的单调性例1已知偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则满足f(2x-1)≤f(x)的x的取值范围是 ()A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.∪[1,+∞)D.答案D根据题意,偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得≤x≤1,即x的取值范围是.故选D.解析：根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得x的取值范围.例2若a=,b=,c=log2,定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(a), f(b), f(c)的大小顺序为 ()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(c)>f(a)答案B根据题意,函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(x)在[0,+∞)上为减函数,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在(-∞,0]上为减函数,所以函数f(x)在R上为减函数,因为c=log2<0,a==,b=,所以a>b>0>c,故f(c)>f(b)>f(a).故选B.解析：根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在[0,+∞)上为减函数,结合函数的奇偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得a>b>0>c,再结合函数的单调性分析可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2)为偶函数,且f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,若f(a)≤f(3a+1),则实数a 的取值范围是 ()A. B.[-2,-1]C. D.答案A因为函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,所以函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,则f(a)≤f(3a+1)⇒|a-2|≥|3a-1|,解得-≤a≤.即实数a的取值范围是.故选A.二抽象函数的周期性例3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, f=f,当x∈时, f(x)=log2(-3x+1),则f(2 020)= ()A.4B.log27C.2D.-2答案D根据题意, f(x)满足f=f,即f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,则f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),又f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-log2(3+1)=-2,故选D.解析：根据题意,分析可得f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,进而可得f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案.例4已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x+2)=f(-x),f(x+1)=f(x)·f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,则f(2 019)+f(2020)= ()A.B.2C.D.4答案A根据题意, f(x+1)=f(x)·f(x+2),则有f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),变形可得f(x+2)=f(x)·f(x+2)·f(x+3),又f(x)>0,所以f(x)·f(x+3)=1,所以f(x+3)=,故f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(2 019)=f(3+336×6)=f(3), f(2 020)=f(4+336×6)=f(4),故f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4).由f(x+3)=,令x=1可得f(4)==;由f(x+1)=f(x)·f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0可得f(1)=f(0)·f(2)=4且f(0)=f(2), f(x)>0,则f(0)=f(2)=2,则f(3)==,故f(3)+f(4)=+=.故选A.解析：根据题意,由f(x+1)=f(x)·f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),进而可得f(x+3)=,则有f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且f(x)在[0,1]上单调递增,若a=f(log23),b=f(),c=f(2 020),则 ()A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a答案D因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为f(-x)=-f(x),且函数定义域关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,所以f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),令x=x-1,则f(x)=-f(x-2)①,令x=x-2,则f(x-2)=-f(x-4)②,由①②得, f(x)=f(x-4),即函数f(x)是周期为4的周期函数.又因为f(x)在[0,1]上单调递增,所以函数f(x)的大致图象如图所示,又log23∈(1,2),∈(3,4),所以a>0,b<0,又f(2 020)=f(505×4)=f(0)=0,所以c=0,故b<c<a.故选D.三抽象函数的零点问题例5若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),当x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 ()A.5B.6C.7D.8答案B因为f(x)=f(2-x)以及函数为偶函数,所以函数f(x)是周期为2的周期函数.根据x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,且函数f(x)是周期为2的周期函数,也是偶函数,作出f(x)在区间[-5,5]上的图象,再作出函数g(x)=的图象,如图所示,可得函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为6.故选B.解析：根据条件可判断出函数f(x)为周期是2的周期函数,再结合奇偶性,周期性和解析式作出图象,通过数形结合转化求解即可.例6若偶函数f(x)的图象关于x=对称,当x∈时, f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-log20|x|在[-20,20]上的零点个数是 ()A.18B.26C.28D.30答案B解析令h(x)=log20|x|,则h(x)为偶函数且x≠0,因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数且x≠0,由g(x)=f(x)-log20|x|=0,得f(x)=log20|x|,当x>0时,h(x)=log20x,因为偶函数f(x)的图象关于x=对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),则f(3+x)=f[3-(3+x)]=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函数,所以x=(k∈Z)为f(x)图象的对称轴,又因为当x∈时, f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),当x∈[0,20]时, f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示,可知f(x)与h(x)在[0,20]上有13个交点,即g(x)在[0,20]上有13个零点,又因为g(x)是偶函数,所以g(x)在[-20,20]上共有26个零点.故选B.解析：令h(x)=log20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出[0,20]上的图象即可判断出总零点个数.例7已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,函数g(x)=f(x)-log a x(a>1)恰有3个零点,则a的取值范围是 ()A.(1,3)B.(3,5)C.(1,5)D.(5,9)答案D f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),所以函数关于x=1对称, f(x)=-f(x-2),所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,所以函数f(x)的图象如图所示,当a>1时,函数g(x)=f(x)-log a x恰有3个零点,就是方程f(x)=log a x解的个数为3,即y=f(x)的图象与y=log a x的图象有3个交点,结合图象得解得a∈(5,9).故选D.解析：利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求解即可.变式训练：1.函数f(x)满足3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),且f(1)= ,则f(2020)=()A.B.-C.-D.答案C令x=n,y=1,得3f(n)·f(1)=f(n+1)+f(n-1),即f(n)=f(n+1)+f(n-1),∴f(n+1)=f(n+2)+f(n),∴f(n+2)=-f(n-1),∴f(n)=-f(n-3)=f(n-6)∴函数f(x)是周期函数,周期T=6,故f(2 020)=f(6×336+4)=f(4).又3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,得3f(1)·f(0)=f(1)+f(1)=,∴f(0)=,令x=y=1,得3[f(1)]2=f(2)+f(0),则f(2)=-,令x=2,y=1,得3f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,令x=3,y=1,得3f(3)·f(1)=f(4)+f(2),解得f(4)=-,∴f(2 020)=-.故选C.2.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,对任意的实数x, f(x)-f(-x)=0恒成立,当x∈[-1,0]时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,则a的取值范围为 ()A.[3,5]B.[2,4]C.(3,5)D.(2,4)答案D∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),又函数定义域为R,∴f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图象如图所示,∵g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,且y=log a(|x|+1)是过(0,0)的偶函数,∴y=f(x)和y=log a(|x|+1)的图象在(0,+∞)上只有2个交点,∴解得2<a<4.故选D.。

浅谈抽象函数的性质

抽象函数是数学家和计算机科学家研究计算机程序中的概念的一种重要的方法。

它的定义是：一种数学模型，用于表示一组输入和输出，不涉及具体的实现细节。

抽象函数具有以下性质：第一，抽象函数可以表达复杂的逻辑关系。

抽象函数可以帮助更好地描述一组输入和输出之间的关系，而不必涉及实现细节。

例如，有一个函数f（x），它表达的逻辑关系是：如果x是一个正数，则f（x）=x+1，如果x是一个负数，则f（x）=x-1。

这个函数可以用抽象函数来表达，而不必知道具体的实现细节。

第二，抽象函数可以分解复杂的逻辑关系。

抽象函数可以将一个复杂的逻辑关系分解成若干个简单的逻辑关系，以便更容易理解。

例如，有一个函数g（x），它表示的逻辑关系是：如果x是一个正数，则g（x）=x+1，如果x是一个负数，则g（x）=x-2，如果x是0，则g（x）=x+3。

这个函数可以用两个抽象函数来表达，即g1（x）=x+1，g2（x）=x-2，这样就可以将复杂的逻辑关系分解成两个简单的逻辑关系，这样就更容易理解。

第三，抽象函数可以抽象出实现细节中的重要特征。

一个函数的实现可能会有很多细节，抽象函数可以抽取出实现细节中的重要特征，从而使得程序的运行更加高效。

例如，有一个函数h （x），它表示的逻辑关系是：如果x是一个正数，则h（x）=x+1，如果x是一个负数，则h （x）=2*x，如果x是一个零，则h（x）=x+2。

这个函数可以用一个抽象函数h（x）=x+1来表达，这样就能抽取出实现细节中的重要特征，使得程序的运行更加高效。

第四，抽象函数可以提高程序的可读性和可维护性。

由于抽象函数可以抽象出程序的重要特征，把复杂的逻辑关系分解成若干个简单的逻辑关系，从而使程序更容易理解，也更容易维护。

以上就是关于抽象函数的性质的介绍，抽象函数是一种强有力的工具，它可以更好地描述一组输入和输出之间的关系，分解复杂的逻辑关系，抽取实现细节中的重要特征，提高程序的可读性和可维护性，为程序的运行提供更好的性能。

抽象函数和复合函数的应用解析版-高中数学

抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

抽象函数问题及解法

抽象函数问题及解法原创/O客本文谈及的抽象函数问题是高考的必考内容，是高中函数与大学函数的衔接内容。

打开窗子说亮话，是高中教材没有，高考要考，大学不教但要经常用的内容。

如果一个关于函数f(x)的题目，已知f(x)的性质及f(x)满足的关系式，求证f(x)的其他性质，题目做完了，我们还不知道f(x)的具体的解析式，这就是抽象函数问题.一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数.解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法.（1）函数性质法.函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此. 我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题.（2）特殊化法.特殊化法又叫特取法. 为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换. 如在研究函数性质时，一般将x换成-x或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入.（3）模型函数法.模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题. 另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法. 一般地，抽象函数类型有以下几种：①满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) （ⅰ）的函数f(x)是线性型抽象函数. 其模型函数为正比例函数f(x)=kx (k≠0).事实上，f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y).令x=y=0，得f(0)=0，故f(x)的图象必过原点.令y=-x，得0=f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.命题（ⅰ）可以推广为f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是常数），其模型函数为一次函数f(x)=kx-b(k ≠0).②满足关系式f(x+y)=f(x) f(y) （ⅱ）的函数f(x)是指数型抽象函数. 其模型函数为指数函数f(x)=a x(a>0，a≠1）.事实上，f(x+y)=a x+y=a x·a y=f(x) f(y).令x=y=0，得f(0)=1，故曲线f(x)必过点(0，1).命题（ⅱ）等价于f(x-y)=f(x) f(y).③满足关系式f(xy)=f(x)+f(y) (x，y∈R+) （ⅲ）的函数f(x)是对数型抽象函数. 其模型函数为对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1）.令x=y=1，得f(1)=0，故曲线f(x)必过点(1，0).命题（ⅲ）等价于f( xy)=f(x)-f(y) (x，y∈R+) .④满足关系式f(xy)=f(x) f(y)的函数f(x)是幂型抽象函数. 其模型函数为幂函数f(x)=x n.⑤满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) 1- f (x) f(y)的函数f(x)是正切型抽象函数. 其模型函数为正切函数f(x)=tan x.需要指出的是，不是每种抽象函数都可以找到在中学阶段所熟知的函数作模型函数. 抽象函数的种类还有很多，这里罗列的仅是常见的，尤其是类型①、②、③最常见.我们就上述方法的应用，先进行例说，再分类例说.例如（2008·重庆），若定义域在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是（）A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数这是线性型抽象函数问题. 联想模型函数f(x)=kx-1(k≠0），易知选C.如果此题改为解答题，题设条件不变，“判断并证明函数g(x)=f(x)+1的奇偶性”.那么我们首先联想模型函数，窥测解题方向，构建解题思路. 猜测g(x)是奇函数. 于是心中有“底”. 目标就是需要证明g(-x)+g(x)=0，即f(-x)+f(x)+2=0. 又抽象函数奇偶性问题，一般要先用赋值法确定f(0)的值，再用x，-x进行代换，进而得到g(-x)与g(x)的关系式.于是解答如下.g(x)是奇函数. 证明如下：令x1=x2=0，有f(0)=f(0)+f(0)+1，得f(0)=-1.再令x1=x，x2=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)+1，即f(-x)+f(x)+2=0，从而g(-x)+g(x)= f(-x)+f(x)+2=0，所以函数g(x)是奇函数.1. 与单调性相关的问题例1已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=-2. 求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.解析联想模型函数f(x)=kx(k≠0)，猜想“f(x)是奇函数，且为减函数”.设m<n，则f(n)-f(m)=f((n-m)+m)-f(m)=f(n-m)+f(m)-f(m)=f(n-m).因为当x>0时，f(x)<0，而n-m>0，所以f(n-m)<0，即f(n)<f(m)，所以f(x)是减函数.根据最值定理，f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)，最小值为f(3).因为f(1)=-2，所以f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4，f(3)=f(2)+f(1)=-6.又令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0，再令x=1，y=-1，得0=f(0)=f(1)+f(-1)，故f(-1)=2，f(-3)=f(-2)+f(-1)=3f(-1)=6.所以f(x)在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.点评我们可以举出具有这种性质的一个函数y=-2x（x∈[-3，3]）.此外，我们还可以用奇偶性来证明单调性和求f(-3)的值. 由0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，得f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.因此f(n)-f(m)=f(n)+f(-m)=f(n-m)<0，f(-3)=-f(3)=6.注意这两种证明抽象函数单调性的技巧，为创造条件利用关系式，前者是作自变量变换n=n-m +m ；后者是用奇偶性巧妙地实现了“-”向“+”的转化.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，对任意m ，n ，均有f (m +n )=f (m )+f (n )-1，且f (-12)=0，当x >-12时，f (x )>0. 求证f (x )是单调递增函数，并举出具有这种性质的一个函数. 解设m >n ，则m -n >0，m -n -12>-12，所以f (m )-f (n )=f (n +m -n )-f (n )=[f (n )+f (m -n )-1]-f (n )=f (m -n )+f (-12)-1=f (m -n -12)>0，即f (m )>f (n ). 从而f (x )为单调递增函数. 具有这种性质的一个函数是y =2x +1.例3 已知函数f (x )的定义域是(0，+∞），且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )>0.（1）求f (1)，并证明f (x )在定义域上是增函数；（2）如果f (13)=-1，求满足f (x )-f (1x -2)≥2的x 的取值范围. 解（1）令x =y =1，则f (1)=f (1)+f (1)，得f (1)=0.设0<m <n ，则f (n ) - f (m )= f (n m ·m ) - f (m )= [f (n m )+f (m )] - f (m )= f (n m )>0 (因为n m>1). 即f (m )<f (n). 所以f (x )在(0，+∞）上是增函数.（2）由f (1)=0， f (1)=f (1x ·x )=f (1x )+f (x )，得f (1x)=-f (x ). 有f (13)=-f (3)=-1，得f (3)=1，故2=f (3)+f (3)=f (9)，有f (x )-f (1x -2)=f (x )+f (x -2)=f (x (x -2))，所以原不等式可化为f (x (x -2))≥f (9)，于是从而所求x 的取值范围是[1+10，+∞）.点评题（2）实质上是解抽象函数不等式. 一般地，先把不等式中的常数项化成某个函数值（如这里的2=f (9))，以便利用单调性“脱去”函数符号，转化成一般不等式. 特别注意抽象函数定义域. 不等式组的前两个不等式是定义域要求（这里也是单调区间的要求，因为只有同一个单调区间，才能“脱去”函数符号），第三个是单调性的逆用.此外，我们可以写出满足题设条件的一个函数y =log 3x .2. 与奇偶性相关的问题例4（2002·北京）已知f (x )是定义域在R 上不恒为0的函数，且对任意a ，b ∈R 都满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ). 求f (0)和f (1)，判断并证明f (x )的奇偶性.解令a =b =0，则f (0·0）=0，即f (0)=0.令a =b =1，则f (1)=2 f (1)，即f (1)=0.x >0，x -2>0，解得x ≥1+10.x (x -2)≥9.f (x )为奇函数，证明如下.令a =-1，b =x ，则f (-x )=-f (x )+xf (-1)，又f (1)=f ((-1)·(-1))=-f (-1)-f (-1)，即f (-1)=0，从而f (-x )=-f (x ).所以f (x )为奇函数.点评当然，也可以只令a =-1，推得f (-b )=-f (b )而得结论.例5（2009·全国）函数f (x )的定义域为R . 若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数，则（）A. f (x )是偶函数B. f (x )是奇函数C. f (x )=f (x +2)D. f (x +3)是奇函数解析由f (x +1)是奇函数，知f (-x +1)=-f (x +1)， ①由f (x -1)是奇函数，知f (-x -1)=-f (x -1)， ②在①中，用x -1代换x ，得f (2-x )= -f (x )，在②中，用x +1代换x ，得f (-2-x )=-f (x )，所以f (2-x )= f (-2-x )，再用-2-x 代换x ，得f (4+x )=f (x )，知4为f (x )的周期.于是由②，f (-x -1+4)=-f (x -1+4)，即f (-x +3)=-f (x +3)，所以f (x +3)是奇函数，可知选D.点评我们还可以构造模型函数f (x )=cosπx 2来解此选择题，可知选 D. 事实上f (x +3)=sin πx 2. 还有，由f (x +1)是奇函数，可令h (x )=f (x +1)，则h (-x )=-h (x )，即f (-x +1)=-f (x +1).此外，对上述变量代换法可以用换元法帮助理解. 例如，令t =x +1，则x =t -1，代入①式得f (2-t )=-f (t )，即f (2-x )=-f (x ). 注意这里的代换和换元的前提是，不能改变函数f (x )的定义域.例6（2014•全国）已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是 .解析实际上是解抽象不等式f (|x -1|)>f (2).因为f (x )是偶函数，所以f (x -1)= f (|x -1|)，因为f (2)=0，f (x -1)>0，所以f (|x -1|)>f (2).又f (x )在[0，+∞)上单调递减， |x -1|，2∈[0，+∞)，所以|x -1|<2，解得-2<x -1<2，即-1<x <3综上可知，x 的取值范围是(-1，3).例7（2015•全国）设函数f ´(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ´(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A. (-∞，-1)∪(0，1)B. (-1，0)∪(1，+∞)C. (-∞，-1)∪(-1，0)D. (0，1)∪(1，+∞)解析因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (-x )=-f (x ) ①，对等式两边求导，注意左边用复合函数求导法则，得[f (-x )]´=[ -f (x )]´ ，f ´(-x )•(-x )´=-f ´(x )，即f ´(-x ) =f ´(x ) ②.因为当x >0时，xf ´(x )< f (x )，故当x <0时，则-x >0，-xf ´(-x )< f (-x )，将①，②代入得-xf ´(x )<- f (x )，即xf ´(x )> f (x ) (x <0).由f (x )>0，知xf ´(x )>0，得f ´(x )<0 (x <0)，因此，f (x )在(-∞，0)上是减函数，又f (-1)=0，所以x <0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (-1)，解得x <-1.由奇偶性与单调性的关系知，f (x )在(0，+∞)上也是减函数，又f (1)=-f (-1)=0，所以x >0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (1)，解得0<x <1.综上可知，选A.评注（1）这里，我们由f (-x )=-f (x )，推得f ´(-x ) =f ´(x ). 这表明奇函数的导函数是偶函数. 同理可得，偶函数的导函数是奇函数.（2）另法. 我们可以构造辅助函数来解此题. 令g (x )=f (x )x ，得g ´(x )=xf ´(x )-f (x )x 2.当x >0时，g ´(x )<0，知g (x )单调递减. 由f (-1)=-f (1)及f (-1)=0，知g (1)=0，所以由不等式f (x )>0，即g (x )>g (1),解得0<x <1. 可证g (-x )=g (x )，g (x )是偶函数，知g (x )在(-∞，0)上是单调递增. 当x <0时，同理，由g (x )<g (-1)解得x <-1. 一般地，题目条件出现“xf ´(x )-f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数g (x )=f(x )x；出现“xf ´(x )+f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数 h (x )=xf (x ).（3）为加深对此题的理解，我们可以举出这类函数的一个特例：它的图象如图1.3. 与周期性相关的问题例8（2001·全国）设f (x )是定义域在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12 ]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，且f (1)=a >0. 求f (12)，f (14)，并证明f (x )是周期函数.解由题设得a =f (1)=f (12+12)=f (12)f (12)，即f (12)=21a . 21a = f (12)=f (14+14)=f (14)f (14)，即f (14)=41a . 因为f (x )是偶函数，所以f (-x )= f (x )，又f (x )图象关于直线x =1对称，得f (1+x )=f (1-x )，用x +1代换x ，得f (2+x )=f (-x )，于是f (2+x )=f (x )，所以f (x )是周期函数.例9 设函数f (x )定义在R 上，且对任意的x 有f (x )=f (x +1)-f (x +2)，求证f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.解因为f (x )=f (x +1)-f (x +2)，所以f (x +1)= f (x +2)-f (x +3)，两式相加，得f (x )= -f (x +3)，即f (x +3)= - f (x ).因此，f (x +6)=f ((x +3)+3)=-f (x +3)=-(-f (x ))=f (x ).所以，f (x )是周期函数，它的一个周期是6.点评对于由关系式f (x +3)= - f (x )，推得f (x +6)=f (x ). 这个我们可以这样理解，“自变量每增加3，函数值反号一次”. 我们增加6，反号两次，不就“负负得正”了吗. 类似的还有f (x +2)=-x +1，x >0， 0， x =0， -x -1， x <0. f (x )= 图1±1f(x )，可得f (x +4)=f (x )等. 例10（2011·上海）设g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，若函数f (x )=x +g (x )在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，求f (x )在区间[-10，10]上的值域.解由g (x +1)=g (x )，知g (x +n )=g (x )，n ∈Z .所以f (x +n )=x +n + g (x +n )=x +g (x )+n =f (x )+n ，n ∈Z .因为x ∈[3，4]时，f (x )∈[-2，5]，故当x ∈[-10，-9]时，x +13∈[3，4]，有f (x +13)∈[-2，5]，即f (x )+13∈[-2，5]，所以f (x )∈[-15，-8].当x ∈[-9，-8]时，x +12∈[3，4]，同理，f (x )∈[-14，-7].……当x ∈[9，10]时，x -6∈[3，4]，从而f (x -6)∈[-2，5]，即f (x )-6∈[-2，5]，所以f (x )∈[4，11].综上，当x ∈[-10，10]时，有f (x )∈[-15，-8]∪[-14，-7]∪…∪[4，11]=[-15，11].所以f (x )值域为[-15，11].4. f (x )=af (x +b )的问题关于已知f (x )所满足的方程求f (x )的解析式问题，我们在7.3节讲述过. 我们现在来研究函数f (x )满足关系式f (x )=af (x +b )，求解与f (x )相关的问题.例11（2010·广东）已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=kf (x +2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0，2]上有表达式f (x )=x (x -2).（1）求f (-1)，f (2. 5)的值；（2）写出f (x )在[-3，3]上的表达式，并讨论f (x )在[-3，3]上的单调性.解析（1）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，故f (1)=-1，f (12)=-34. 又x ∈R 时，f (x )=kf (x +2)（k <0），所以f (-1)=kf (-1+2)=kf (1)=-k ; f (2. 5)=f (2+12)=1k f (12)=-34k. （2）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，设-2≤x <0，则0≤x +2<2，有f (x +2)=(x +2)(x +2-2)=x (x +2)，所以f (x )=kf (x +2)=k x (x +2).设-3≤x <-2，则-1≤x +2<0，有f (x +2) =k (x +2)(x +4)，所以f (x )=kf (x +2)=k 2(x +2)(x +4). 设2<x ≤3, 则0<x -2≤1，又f (x -2)=kf (x )，所以f (x )=1k f (x -2)=1k(x -2)(x -4).因为k <0，由二次函数性质知，f (x )在[-3，-1]，[1，3]上为增函数；在[-1，1]上为减函k 2(x +2)(x +4)，-3≤x <-2， k x (x +2)， -2≤x <0， x (x -2)， 0≤x ≤2， 1k (x -2)(x -4)， 2<x ≤3. 综上所述，f (x )=数. （图2）例12（2003·上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T )=Tf (x )成立.（1）函数f (x )=x 是否属于集合M ，说明理由；（2）设函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，证明：f (x )=a x ∈M . 解（1）对于非零常数T ，f (x +T )=Tf (x )=Tx ，因为对任意x ∈R ，x +T = Tx 不能恒成立，所以f (x )=x M .（2）因为函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T .于是对于f (x )=a x 有f (x +T )=a x +T = a T ·a x = T ·a x = Tf (x )，所以f (x )=a x ∈M .所以方程组有解，消去y 得a x =x ， y =a x ， y =x。

抽象函数题型全归纳及答案

抽象函数题型全归纳及答案抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域.例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域.解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域.例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____. 解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域.解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域. 例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集.例题4：函数的定义域是，求的定义域.解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f (x )的定义域.解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f (x )的定义域是［1，4］【巩固2】已知函数的定义域是，求函数的定义域. 解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__.解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力.例题5：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解析：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=-2. 凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法.例题6：已知3311()f x x xx +=+，求()f x 解析：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥，∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数.例题7：已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解析：设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例题8：已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例题9： ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x . 解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例题10：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解析：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈【巩固4】设函数f x ()存在反函数，g x fx h x ()()()=-1，与g x ()的图象关于直线x y +=0对称，则函数h x ()=A. -f x ()B. --f x ()C. --fx 1() D. ---fx 1()解析：要求y h x =()的解析式，实质上就是求y h x =()图象上任一点P x y ()00，的横、纵坐标之间的关系. 点P x y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，适合y f x =-1()，即-=-x g y 00().又g x fx ()()=-1，∴-=-⇒-=-⇒=---x fy y f x y f x 0100000()()()，即h x f x ()()=--，选B.【巩固5】设对满足的所有实数x ，函数满足，求f(x)的解析式.解析：在中以代换其中x ，得：再在(1)中以代换x ，得化简得：评析：如果把x 和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键.通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值.其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化.或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解.例题11：已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f (3)，f (9)的值. 解析：取，得因为，所以又取，得例题12：定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值.解析：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=，又由f x f x ()[()]+=--44()()(8)(4)()f x f x f x f x f x =-=-∴+=-+=，f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000【巩固6】已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______.解析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1【巩固7】已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，f ()11997=，求f (2001)的值.解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是f x f x f x ()()()+=+-211，f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()()()()()+=++-+=++--+-=-412121111111所以f x f x f x ()()()+=-+=814，故f x ()是以8为周期的周期函数，从而f f f (2001)()()=⨯+==8250111997 四、值域问题例题13：设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，总成立，且存在，使得，求函数的值域.解析：令，得，即有或.若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有.由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段.【巩固8】已知函数f x ()对任意实数x y ，有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.解析：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0 ，∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111，∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0 ，得f ()00= ，∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，五、求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用.例题14：已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围.解析： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a .（1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立. （2）当32<<a 时，2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<-<⎧⎪-<-=-⇔-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩（3）当25<<a 时，2(2)(4)f a f a -<-222021(4)041224a f a a a a a <-<⎧⎪=-⇔<-<⇒<<⎨⎪-<-⎩综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， . 例题15：f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.解析：： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos对x R ∈恒成立⇔m x m m x x x 2222311254-≤--≥+=--+⎧⎨⎪⎩⎪sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立，223115214m m m m ⎧-≤-⎪∴≤≤⎨--≥⎪⎩，【巩固9】已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式f k x f k x (sin )(sin )-≥-22恒成立，求k 的值.解析：由单调性，脱去函数记号，得k x k x k xk x k k x 222222221111412-≤-≤-⎧⎨⎪⎩⎪⇔≤+-+≥-⎧⎨⎪⎩⎪sin sin sin sin ()(sin )(2)由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成立，则有k x k k x k 2222111412941≤+=-+≥-=⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⇒=-(sin )(sin )min max【巩固10】已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集.解析：设x x R 12、∈且x x 12<，则x x 210->，∴->f x x ()212，即f x x ()2120-->2211211121()[()]()()2()()()f x f x x x f x x f x f x f x f x ∴=-+=-+->∴>，故f x ()为增函数，又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=，22(1)3(22)3(1)22113f f a a f a a a ∴=∴--<=--<∴-<<，，，即因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13.六、单调性问题例题16：设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x 、y ，有，求证：在R 上为增函数.证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而，所以又当时，，所以对任意，恒有设，则∴，∴在R 上为增函数例题17：已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函是减函数，并证明你的结论.证明：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12. 又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数.【巩固11】如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5解析：画出满足题意的示意图1，易知选B.七、奇偶性问题例题18：已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性. 解析：取得：，所以又取得：，所以再取则，即因为为非零函数，所以为偶函数. 【巩固12】若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，求证：函数y f x =()是偶函数.证明：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，0000()()y f x y f x ∴-=--∴=-，又y f x 00=()，∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数.八、周期性问题几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,1. ，则是以为周期的周期函数；2. ，则是以为周期的周期函数；()y f x =x a ()()f x f x a =+()y f x =T a =()()f x a f x +=-()x f 2T a =3. ，则是以为周期的周期函数；4. ，则是以为周期的周期函数；5. ，则是以为周期的周期函数.6. ，则是以为周期的周期函数.7. ，则是以为周期的周期函数.8. 函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；10.函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；11.函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；例题19：设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期.解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数，且周期为T.证明： f x f x f x ()()()()=+-+121∴+=+-+f x f x f x ()()()()1232()()12+得f x f x ()()()=-+33()()1f x a f x +=±()x f 2T a =()()f x a f x a +=-()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=+()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=-+()x f 4T a =1()()1()f x f x a f x ++=-()x f 4T a =()y f x =()()f a x f a x +=-0a >()f x 4T a =()f x 2T a =()y f x =()x R ∈x a =x b =()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y ()0,B b y ()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y x b =()a b <()f x ()4b a -由（3）得f x f x ()()()+=-+364由（3）和（4）得f x f x ()()=+6.上式对任意x R ∈都成立，因此f x ()是周期函数，且周期为6.例题20：设函数f x ()的定义域为R ，且对任意的x ，y 有f x y f x y f x f y ()()()()++-=⋅2，并存在正实数c ，使f c ()20=.试问f x ()是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y x =cos 满足题设条件，且cosπ20=，猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数. f x c c f x c c f x c f c f x c f x f x c f x c f x [()][()]()()()()()()()++++-=+=∴+=-∴+=-+=222222202故f x ()是周期函数，2c 是它的一个周期.【巩固13】设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称.对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅.证明f (x )是周期函数. 证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称,故f x f x x R ()()=-∈2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，∴-=-∈f x f x x R ()()2，,将上式中-x 以x 代换，得f x f x x R ()()=+∈2，这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数,且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期.证明： f x ()关于直线x a =对称.∴=-∈f x f a x x R ()()2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，,∴-=-∈f x f a x x R ()()2，将上式中-x 以x 代换，得f x f a x x R ()()=+∈2，∴f x ()是R 上的周期函数,且2a 是它的一个周期思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称.证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称()(2)()(2)(2)(2)f x f a x x R f x f b x x R f a x f b x x R ∴=-∈=-∈∴-=-∈，，，，，将上式的-x 以x 代换得f a x f b x x R ()()22+=+∈，∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222，∴f x ()是R 上的周期函数,且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？我们得到思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称.证明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.，证明： f x ()关于x =1对称,∴=-∈f x f x x R ()()2，又由f x ()是奇函数知()()(2)()f x f x x R f x f x x R -=-∈∴-=--∈，，，将上式的-x 以x 代换，得(2)()f x f x x R +=-∈，(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x R ∴+=++=-+=--=∈，∴f x ()是R 上的周期函数,且4是它的一个周期f x ()是奇函数的实质是f x ()的图象关于原点（0，0）中心对称，又f x ()的图象关于直线x =1对称，可得f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.由此进行一般化推广，我们得到思考四：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0中心对称，且其图象关于直线x b b a =≠()对称.证明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于点M a ()，0对称，∴-=-∈f a x f x x R ()()2，f x ()关于直线x b =对称，()(2)(2)(2)f x f b x x R f b x f a x x R ∴=-∈∴-=--∈，，，将上式中的-x 以x 代换，得(2)(2)[4()][2(24)][2(24)][2(2)][2(2)]()f b x f a x x Rf x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，，∴f x ()是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期由上我们发现，定义在R 上的函数f x ()，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f x ()是R 上的周期函数.进一步我们想到，定义在R 上的函数f x ()，其图象如果有两个对称中心，那么f x ()是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称.证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于M a N b ()()，，，00对称(2)()(2)()(2)(2)f a x f x x R f b x f x x R f a x f b x x R∴-=-∈-=-∈∴-=-∈，，，，将上式中的-x 以x 代换，得(2)(2)[2()][2(2)][2(2)]()f a x f b x x R f x b a f b x a f a x a f x x R+=+∈∴+-=+-=+-=∈，， ∴f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期九、对称性问题（1）对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;⑨正弦型函数既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异.⒁绝对值函数：这里主要说的是和两类.前者显然是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称. ⒂形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点.（2）抽像函数的对称性1、函数图像本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称①的图像关于直线对称② 的图像关于直线对称. 特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.sin()y A x ωϕ=+(||)y f x =|()|y f x =y x x |ln |y x =|sin |y x =(0,)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+d x c =-a y c =x (,)d a c c-)(x f y =)(x f y =a x =⇔)()(x a f x a f -=+⇔)2()(x a f x f -=⇔)2()(x a f x f +=-)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =22)()(b a x b x a x +=-++=)(x f y =y ()()f x f x =-（2）中心对称①的图像关于点对称.② 的图像关于点对称. 特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.（3）对称性与周期性之间的联系①若函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期；特别地：若是偶函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数；②若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期； ③若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；且函数为周期函数，周期.特别地：若是奇函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数.2、两个函数图像的对称性（互对称问题）（1）函数与图像关于直线对称.（2）函数与图像关于直线对称)(x f y =),(b a ⇔b x a f x a f 2)()(=-++⇔b x a f x f 2)2()(=-+⇔b x a f x f 2)2()(=++-c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =),2(c b a +)(x f y =(0,0)()()0f x f x +-=()f x x a =x b =()a b ≠()f x b a -()f x 2T b a =-)(x f y =x a =()f x 2a ()f x (,0)a (,0)b ()a b ≠()f x b a -()f x 2T b a =-()f x x a =(,0)b ()a b ≠()f x b a -2b a -()f x 4T b a =-)(x f y =x a =()f x a 4)(x a f y +=)(x a f y -=0=x )(x f y =)2(x a f y -=a x =（3）函数与图像关于直线对称（4）函数与图像关于直线对称即直线对称（5）函数与图像关于轴对称. （6）函数与图像关于轴对称.（7）函数与图像关于直线成轴对称.（8）函数与图像关于直线成轴对称.（9）函数与的图像关于直线对称.（10）函数与的图像关于直线对称.（11）函数有反函数，则和的图像关于直线对称.（12）函数与的图像关于点成中心对称.特别地，函数与图像关于原点对称.例题21：函数满足，求值. 解析：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称.根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称.所以将上式中的x 用代换，得评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数对一切实数x 都满足，则函数的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形.十、综合问题1) 比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解.)(x f y -=)2(x a f y +=a x -=)(x a f y +=)(x b f y -=0)()(=--+x b x a 2a b x -=)(x f y =)(x f y -=x )(x f y =)(x f y -=y )(x f y =()a x f a y -=-x y a +=)(x f y =()x a f y a -=+x y a -=()y f x =()1y f x -=y x =()y f x =()1y f x -=--y x =-()y f x =()y f a x =+()1y f a x -=+y x a =+)(x f y =)2(2x a f b y --=),(b a )(x f y =)(x f y --=例题22：已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______.解析： x x 1200<>，且||||x x 12<，∴<-<⇒-<<001221x x x x又x <0时，f x ()是增函数，∴-<f x f x ()()21f x ()是偶函数，∴-=f x f x ()()11，故f x f x ()()->-122) 讨论方程根的问题例题23：已知函数f x ()对一切实数x 都满足f x f x ()()11+=-，并且f x ()=0有三个实根，则这三个实根之和是_______.分析：由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴.又f x ()=0有三个实根，由对称性知x 11=必是方程的一个根，其余两根x x 23，关于直线x =1对称，所以x x 23212+=⨯=，故x x x 1233++=.3) 研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解.例题24：若函数y f x =+()2是偶函数，则y f x =()的图象关于直线_______对称解析：y f x =()的图象右移个单位左移个单位22y f x =+()2的图象，而y f x =+()2是偶函数，对称轴是x =0，故y f x =()的对称轴是x =2.例题25：若函数f x ()的图象过点（0，1），则f x ()+4的反函数图象必过定点__ 解析：f x ()的图象过点（0，1），从而f x ()+4的图象过点()-41，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，f x ()+4的反函数的图象必过定点()14，-.【巩固14】定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n ，总有，且当x >0时，0<f (x )<1.（1）判断f (x )的单调性；（2）设，，若，试确定a 的取值范围. 解析：（1）在中，令，得，因为，所以.在中，令因为当时，，所以当时而，所以又当x =0时，，所以，综上可知，对于任意，均有. 设，则所以，∴在R 上为减函数.（2）由于函数y =f (x )在R 上为减函数，所以即有，又，由单调性，有由，所以直线与圆面无公共点. 因此有，解得. 【巩固15】设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠.（1）证明f ()01=；（2）证明：f x ()在R 上是增函数；（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c ，，满足的条件.解析：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅，∴=f ()00或f ()01=.若f ()00=，当m ≠0时，有f m f m f ()()()+=⋅00，与当m n ≠时，f m f n ()()≠矛盾，∴=f ()01.（2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，因为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f f x f x ()()()011=⋅-12211111()0()()()()()()f x f x f x x f x f x f x R f x ∴=>=-⋅>∴-，，在上为增函数。

抽象函数及其导函数的性质探究及应用

核心考点抽象函数及其导函数的性质探究及应用孙志鹏(山东省济南第七中学)㊀㊀由于近年高考数学真题以及模拟试题中出现了一类比较新颖的数学问题,即侧重考查抽象函数及其导函数性质的灵活运用,所以学生有必要认真探究有关抽象函数及其导函数的常用性质,以便在选择题或填空题中直接运用,同时也有利于提高解题的准确性,进而提升数学核心素养．１㊀性质探究问题１㊀已知函数f(x)是奇函数(或偶函数),试探究其导函数fᶄ(x)的奇偶性．探究１㊀若f(x)是奇函数,则f(－x)＝－f(x),两边求导可得－fᶄ(－x)＝－fᶄ(x),化简得fᶄ(－x)＝fᶄ(x),所以fᶄ(x)是偶函数．若f(x)是偶函数,则f(－x)＝f(x),两边求导可得－fᶄ(－x)＝fᶄ(x),化简得fᶄ(－x)＝－fᶄ(x),所以fᶄ(x)是奇函数．结论１㊀若f(x)是奇函数,则其导函数fᶄ(x)是偶函数;若f(x)是偶函数,则其导函数fᶄ(x)是奇函数．问题２㊀已知函数f(x)的图像关于点(a,０)对称(或关于直线x＝a对称),试探究其导函数fᶄ(x)图像的对称性．探究２㊀若f(x)的图像关于点(a,０)对称,则f(a＋x)＋f(a－x)＝０,两边求导可得fᶄ(a＋x)－fᶄ(a－x)＝０,即fᶄ(a＋x)＝fᶄ(a－x),所以fᶄ(x)的图像关于直线x＝a对称．若f(x)的图像关于直线x＝a对称,则f(a＋x)＝f(a－x),两边求导得fᶄ(a＋x)＝－fᶄ(a－x),所以fᶄ(a＋x)＋fᶄ(a－x)＝０,故fᶄ(x)的图像关于点(a,０)对称．结论２㊀若f(x)的图像关于点(a,０)对称,则其导函数fᶄ(x)的图像关于直线x＝a对称;若f(x)的图像关于直线x＝a对称,则其导函数fᶄ(x)的图像关于点(a,０)对称．问题３㊀已知fᶄ(x)是奇函数(或偶函数),试探究函数f(x)的奇偶性．探究３㊀若fᶄ(x)是奇函数,则因为[f(x)＋C]ᶄ＝fᶄ(x)(其中C为常数),所以f(x)＋C是偶函数,则f(－x)＋C＝f(x)＋C,即f(－x)＝f(x),故函数f(x)是偶函数．若fᶄ(x)是偶函数,则因为[f(x)＋C]ᶄ＝fᶄ(x) (其中C为常数),所以f(x)＋C是奇函数,故f(－x)＋C＝－f(x)－C,即f(－x)＋f(x)＝－２C,所以函数f(x)的图像关于点(０,－C)对称,显然只有当C＝０时,才能保证函数f(x)是奇函数,其他情况下不能得到函数f(x)是奇函数．结论３㊀若fᶄ(x)是奇函数,则函数f(x)是偶函数;若fᶄ(x)是偶函数,则函数f(x)的图像关于点(０,t)对称(其中t为常数),但f(x)不一定是奇函数．问题４㊀已知函数fᶄ(x＋a)是奇函数,即fᶄ(x)的图像关于点(a,０)对称(或函数fᶄ(x＋a)是偶函数,即fᶄ(x)的图像关于直线x＝a对称),试探究函数f(x)图像的对称性．探究４㊀若函数fᶄ(x＋a)是奇函数,则因为[f(x＋a)＋C]ᶄ＝fᶄ(x＋a)(其中C为常数),所以f(x＋a)＋C是偶函数,则f(－x＋a)＋C＝f(x＋a)＋C,即f(－x＋a)＝f(x＋a),故函数f(x)的图像关于直线x＝a对称．若函数fᶄ(x＋a)是偶函数,则因为[f(x＋a)＋C]ᶄ＝fᶄ(x＋a)(其中C为常数),所以f(x＋a)＋C是奇函数,则f(－x＋a)＋C＝－f(x＋a)－C,即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝－２C,故函数f(x)的图像关于点(a,－C)对称,所以只有当C＝０时,才能保３４核心考点证函数f (x )的图像关于点(a ,０)对称,其他情况下不能得到函数f (x )的图像关于点(a ,０)对称．结论４㊀若f ᶄ(x )的图像关于点(a ,０)对称,则函数f (x )的图像关于直线x ＝a 对称;若f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝a 对称,则函数f (x )的图像关于点(a ,t )对称(其中t 为常数),但不一定关于点(a ,０)对称．２㊀应用举例例１㊀已知函数f (x )的定义域为R ,且满足f (x －１)为奇函数,f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２,f ᶄ(－１)＝２,则ð２５i ＝１fᶄ(２i －１)＝(㊀㊀)．A．１３㊀㊀B ．１６㊀㊀C ．２５㊀㊀D．５１因为f (x －１)为奇函数,所以f (x )的图像关于点(－１,０)对称,故根据前述结论２可知f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝－１对称．因为f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２,所以f ᶄ(x )的图像关于点(１,１)对称．于是,函数f ᶄ(x )是以４ˑ|１－(－１)|＝８为周期的函数．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝１,化简可得fᶄ(１)＝１．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝３,可得fᶄ(－１)＋f ᶄ(３)＝２,又f ᶄ(－１)＝２,所以f ᶄ(３)＝０．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝５,可得fᶄ(－３)＋f ᶄ(５)＝２,所以f ᶄ(－３＋８)＋f ᶄ(５)＝２,化简可得f ᶄ(５)＝１．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝７,可得fᶄ(－５)＋f ᶄ(７)＝２,所以fᶄ(－５＋８)＋f ᶄ(７)＝２,即f ᶄ(３)＋f ᶄ(７)＝２,又f ᶄ(３)＝０,所以f ᶄ(７)＝２．因为f ᶄ(x )是以８为周期的函数,所以数列{f ᶄ(n )}的周期为８,故数列{fᶄ(２n －１)}的周期为４．因此,有ð２５i ＝１fᶄ(２i －１)＝６[f ᶄ(１)＋f ᶄ(３)＋f ᶄ(５)＋fᶄ(７)]＋f ᶄ(１)＝６(１＋０＋１＋２)＋１＝２５,故选C ．求解本题的关键在于以下两点:一是通过分析f ᶄ(x )的周期性,可知数列{fᶄ(２n －１)}的周期性;二是对已知等式f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２赋值,求得f ᶄ(１),f ᶄ(３),f ᶄ(５),fᶄ(７)的值．例２㊀设定义在R 上的函数f (x )和g (x )的导函数分别是f ᶄ(x )和g ᶄ(x ),已知f (x )＝g (３－x )－１,fᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x ),且f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝１对称,那么下述结论不一定正确的是(㊀㊀)．A ．f (x )＋f (２－x )＝０B ．fᶄ(２)＝０C ．g (１－x )＝g (１＋x )D ．gᶄ(x )＋g ᶄ(２－x )＝０因为f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝１对称,所以根据前述结论４可知f (x )的图像不一定关于点(１,０)对称,即不一定有f (x )＋f (２－x )＝０成立,故选项A 不一定正确．因为f (x )＝g (３－x )－１,所以两边求导得fᶄ(x )＝－g ᶄ(３－x ),令x ＝２,得f ᶄ(２)＝－g ᶄ(１)．因为f ᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x ),所以令x ＝１,得f ᶄ(２)＝gᶄ(１)．于是,可知f ᶄ(２)＋f ᶄ(２)＝－g ᶄ(１)＋g ᶄ(１)＝０,即f ᶄ(２)＝０,故选项B 一定正确．因为f ᶄ(x )＝－g ᶄ(３－x ),所以f ᶄ(x ＋１)＝－g ᶄ(２－x ),又因为f ᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x ),所以gᶄ(x )＝－g ᶄ(２－x ),即g ᶄ(x )＋g ᶄ(２－x )＝０,故选项D 一定正确．因为g ᶄ(x )＋g ᶄ(２－x )＝０,所以g ᶄ(x )的图像关于点(１,０)对称,所以根据前述结论４可知函数g (x )的图像关于直线x ＝１对称,即g (１－x )＝g (１＋x ),故选项C 一定正确．综上,选A．本题具有一定的难度,其中选项B ,C ,D 分析的切入点是对等式f (x )＝g (３－x )－１两边求导,使之能够与题设条件f ᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x )紧密联系起来,从而帮助我们顺利解决目标问题．对抽象函数及其导函数的常用性质(主要是奇偶性㊁对称性)进行深入探究,不仅能够帮助我们厘清其中存在的辩证关系,而且能够明白其中的具体缘由．显然,理解㊁掌握了上述关于抽象函数及其导函数性质的常用结论,有助于迅速求解相关选择题和填空题,既大大节约了分析㊁思考的时间,也避免了一些错误的产生,真可谓高效解题．(完)４４。

抽象函数性质的应用

配套精练
配套精练
1．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)
＋f(7)＝
( B)
A．－1
B．0
C．1
D．4
【解析】由题意知f(－x)＝－f(x)且f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝f(1)＋f(0)＋ f(－1)＝0．
变式 (2)(2023·肇庆二检)已知定义在R上的两个函数f(x)和g(x)，f(x)＋g(1－x)＝
3，g(x)＋f(x－3)＝3．若y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(0)＝__3___，g(1)＋ g(2)＋g(3)＋…＋g(1 000)＝___0__．
【解析】由g(x)＋f(x－3)＝3可得g(1－x)＋f(－2－x)＝3．又f(x)＋g(1－x)＝3，所以 f(x)＝f(－2－x)．令x＝0，得f(0)＝f(－2)．因为y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，所以g(1－x)＋g(1＋x)＝0．又f(x)＋g(1－x)＝3，所以f(x)－g(1＋x)＝3．因为g(x)＋f(x－3)＝3，所以g(1＋x)＋f(x－2)＝3，所以f(x)＋f(x－2)＝6．令x＝0，得 f(0)＋f(－2)＝6，则f(0)＝3．因为f(x)－g(1＋x)＝3，所以f(x－3)－g(x－2)＝3，又g(x) ＋f(x－3)＝3，所以g(x)＝－g(x－2)，g(x－2)＝－g(x－4)，则g(x)＝g(x－4)，4是g(x) 的一个周期．因为g(3)＝－g(1)，g(4)＝－g(2)，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0．因为g(x)的周期是 4，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(1 000)＝0．
根据奇函数的对称性可知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－f(－2)＝2，f(0)＝

抽象函数专题讲解

三. 对数函数模型：f(x•y)=f(x)+f(y) 例4：已知函数f ( x)满足f ( xy) f ( x) f ( y ), ( x 0)
1.求证：f (1) f (1) 0; 2.求证：f ( x) f ( x); 3.若f ( x)在(0,)上是增函数，解不等式
任取x1, x2且x1 x2 , 设x2 x1 x, x 0
f ( x2 ) f ( x1 ) f (x x1 ) f ( x1 ) [ f ( x1 ) f (x x1 )] f ( x1 ) f (x)
则根据题意有 f (x) 0, f ( x1 ) f ( x2 )
y=ax(a>0且同上 y=xɑ(ɑ>0)
. f(xy)=f(x)f(y)
温故知新
(1)令x=…,-2,-1,0,1,2,…等特殊值求抽象函数的函数值； (2)令x=x2,y=x1或y= 抽象函数的单调性；
1 x1
,且x1<x2,判断
(3)令y=-x,判断抽象函数的奇偶性；
1 x x (4)用x= 2 + 2 或 x 换为x等来解答抽象
二. 指数函数模型:f(x+y)=f(x)•f(y)
例3: 已知f ( x) 对一切x，y, 满足
时f ( x) 1 0 f ( x) 1; 求证: (1) x 0时，
(2) f ( x)在R上为减函数
f (0) 0，f ( x y) f ( x) f ( y)且当x 0
抽象函数的性质研究
关于抽象函数
概念题型特点解题思路抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如类比法、赋值法添、拆项等）。

抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习

()±()
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)

f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(

A.f(0)=0
解析:法一

B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()

f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,

所以 f( )= .
答案:(1)

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抽象函数的性质问题解析
抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

1、定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域。

解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21
(+=x
f y 而言，有1124x
-≤
+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。

所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与
21+x 的范围等同。

2、值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。

材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。

解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。

总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。

3、对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。

材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（）
A 、直线0=y 对称
B 直线0=x 对称
C 直线1=y 对称
D 直线1=x 对称
解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ，
所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。

解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的图象；由函数)(x f y =的图象关于y 轴对称得到函数)(x f y -=的图象，再向右平移1个单位，得到)1()]1([x f x f y -=--=的图象。

如图所示，选D 。

解法三（特值代入法）：由已知可得点))1(,0(-f P 在函数)1(-=x f y 的图象上，点))1(,2(-f Q 在函数)1(x f y -=的图象上，又点P 、Q 关于直线1=x 对称，选D 。

总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。

如：函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的自对称轴为2
b a x +=
；函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的互对称轴为x b x a -=+，即2a b x -= 4、周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。

材料四：设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1=x 对称。

证明)(x f y =是周期函数。

证明：由)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，得)()2(x f x f -=+，
又)(x f y =是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-
∴)()2(x f x f -=+，则)()]([)2()]2(2[)4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+
由周期函数的定义可知4是它的一个周期。

总结：一般地，)()(x f T x f -=+,)
(1)(x f T x f ±=+均可断定函数的周期为2T 。

5、奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。

材料五：已知)(x f y =是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,，都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅。

判断)(x f y =的奇偶性，并证明你的结论。

解析：令1==b a ，则)1(1)1(1)11(f f f ⋅+⋅=⋅，得0)1(=f ；
令1-==b a ，则)1()1()1()1()]1()1[(-⋅-+-⋅-=-⋅-f f f ，得0)1(=-f ；
令1-=a ，x b =得)1()()1(])1[(-⋅+⋅-=⋅-f x x f x f ，得)()(x f x f -=-
因此函数)(x f y =为奇函数。

总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。

6、单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。

材料六：设)(x f y =是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的]1,1[,-∈b a ，当0≠+b a 时，都有：0)()(>++b
a b f a f 。

若b a >，试比较)(a f 与)(b f 的大小。

解析：)]([)
()()()()()()(b a b a b f a f b f a f b f a f -+∙-+-+=-+=-， b a >，∴0>-b a ，又0)()(>++b
a b f a f ， ∴0)()(>-b f a f ，即)()(b f a f >。

总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到
1)()(12>x f x f （或1)
()(12<x f x f ）来判断。

抽象函数的单调性，一般不用导数判断。

7、可解性：由抽象式求解析式问题——视)(x f 为未知数，构造方程（组）。

材料七：设函数)(x f 满足x x
x f x f +=-+1)1(
)(……①)10(≠≠x x 且，求)(x f 。

解析：以x x 1-代x ，得x
x x f x x f 12)11()1(-=--+-，……② 以11--x 代x ，得1
2)()11(--=+--x x x f x f ，……③ ①+③-②得：x x x x x x f 12121)(2----++= 所以)
1(21)(23---=x x x x x f )10(≠≠x x 且总结：在所给的抽象式中紧紧围绕)(x f ，将其余的式子替换成)(x f ，构造一个或几个方程，然后设法求解。

8、凹凸性：解决函数的凹凸性问题——捕捉图象信息，数形结合。

材料八：如图所示，)(x f i )4,3,2,1(=i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的1x 和2x ，任意]1,0[∈λ，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+<-+恒成立”的只有（）
A 、)(1x f
B 、)(2x f
C 、)(3x f
D 、)(4x f 解析：令21=λ，则不等式变为2
)()()2(2121x f x f x x f +<+，可知函数)(x f i 是一个凹函数，故只有)(1x f 正确，选A 。

总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。

总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。

因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良好的效果。