2019-2020年人教统编《金版新学案》高三数学一轮复习5-3平面向量的数量积课件(文)全国.重庆专版课件

• (2)数量积的几何意义
• 数量投影积|ba|c·obs等θ 于a的长度|a|与b在a的方向上 的
(1)平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、也可 以为零．
(2)向量 a 在 b 方向上的投影是一个实数， 当 0≤θ＜2π时，非零向量 a 在 b 方向上的投影是一个 正数； 当π2＜θ≤π 时，非零向量 a 在 b 方向上的投影是一个 负数； 当 θ＝2π时，非零向量 a 在 b 方向上的投影为零．
• 5．数量积的坐标表示
• (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1xa2＋·by＝1y2 .
• 6．平面向量应用举例
• (1)平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹 角问题，而平面向量的运算，特别是数量 积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角， 因此可以用向量方法解决部分几何问题．
• (2)物理学中的力、速度、位移都是矢量， 它们的分解、合成与向量的加减法相似， 故可以用向量的知识来解决某些物理问 题．
•
常见的向量夹角θ的三种形式：
• 2．平面向量的数量积
• (1)数量积的定义
• 已知两个 非零 向量a与b，我们把|a数||b量|cos θ
叫做a与b的数量积(a或·b 内积a)·，b＝记|a||作b|cos θ，
即
.
|a|cos θ
• 其中θ是a与b的夹角，
叫做向量a在
b方向上的投影．
0
• 规定：零向量与任何向量的数量积为 .
• 3．平面向量数量积的性质
• 设a，b是两个非零向量，e是单位向量，
则有： a·e＝|a|cos θ
• (1)e·a＝ a·b＝0 角)．
(θ为a，e的夹
|a||b|
• (2)a⊥b⇔
.－|a||b|
• (3)当a与b同向时，a·b＝ ；
• 当a与b反向|a||b时| ，a·b＝ ， • 特别地，a·a＝a2＝|a|2.
第三节 平面向量的数量积
1．向量的夹角 (1)已知两个 非零 向量 a 和 b，作O→A＝a， O→B＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
(2)向量夹角 θ 的范围是 [0，π] ，a 与 b 同向时，夹 角 θ＝ 0 ；a 与 b 反向时，夹角 θ＝π .
(3)如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直， 记作 a⊥b .
又∵|a|＝1，∴|b|＝
|a|2－12＝
2 2.
1
设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝
2
＝ 2
22，
1·2
∴θ＝45°.
(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，
∴|a－b|＝
2 2.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，
•
1．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－
3b)·(2a＋b)＝61.
• (1)求a与b的夹角θ；
• (2)求|a＋b|；
【解析】 (1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 得 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. ∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式，求得 a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝23π.
|·cos C ＝cos 60°＋cos 120°＋cos 60° ＝12－12＋12＝12.
已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12， 求：(1)a 与 b 的夹角； (2)a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值．
【解析】 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，∴|a|2－|b|2＝12，
D．－78
• 【解析】 a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3) ＝(26，－78)．
• 【答案】 A
3．已知 a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则 a 在 b 上的投影 为
A. 13
13 B. 5
()
65 C. 5
D. 65
【解析】
|a|cos
θ＝
|a||aa|·|bb|＝
2×(－4)＋3×7 (－4)2＋72
∴|a＋b|＝ 210，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 α，
1
则
cos
α＝(a|a－－bb)|·|(aa＋＋bb|)＝
2 22×
＝ 10
5 5.
2
由夹角公式 cos θ＝|aa·|(·a|a＋＋bb)|知，只要用同一个量|a| 表示出 a·b 和|a＋b|即可．本题也可用坐标法表示向量， 或利用加法的几何意义解答．
• 已知等边三角形ABC的边长为1，求：
• 【思路点拨】 利用向量数量积的定义、 运算律及模的求法求解，注意两向量夹角 的定义．
【解析】 (1)A→B·A→C＋A→B·B→C＋A→C·B→C
＝|A→B||A→C|·cos A＋|A→B ||B→C |·cos(180°－B)＋|A→C ||B→C
• (4)|a·b|≤ .
• 4．平面向量数量积的运算律 • (1)a·b＝ b·a . • (2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (λ∈R)． • (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
• 向量的数量积不满足结合律：一般地， (a·b)c≠a(b·c)．
• 同样，由a·b＝b·c不能得出a＝c，由a·b＝ 0不能推出a＝0，或b＝0.
＝
13 ＝ 65
65 5.
【答案】 C
4．三角形 ABC 中 AP 为 BC 边上的中线，|A→B|＝3， A→P·B→C＝－2，则|AC→| ＝________.
5．在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝1，点 P 在 AM 上且满足A→P＝2P→M，则P→A·(P→B＋P→C)等于________．
• (3)平面向量作为一种重要的数学工具，经 常与函数、不等式、三角函数、解三角形、 解析几何等知识相结合进行考查．
• 1．(2009年全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则<a，b>＝
()
• A．150°
B．120°
• C．60°
D．30°
• 【解析】 ∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2 ＋2a·b＋b2.
• 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，
• 即2|a||b|cos<a，b>＝－|b|2.
• ∴cos<a，b>＝－ ，∴<a，b>＝120°.
• 2．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)， 则a·(b·c)等于
•( )
• A．(26，－78)
B．(－28，－42)
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• C．－52