第三章 函数知识点

思维导图

一．函数的概念

1、函数的概念

（1）函数的定义

设集合A是一个非空_____集，按照某种确定的对应法则f对A中任意的实数x，都有___________的实数值y与它对应，则称这种对应法则为集合A 上的一个函数，记作________，其中x为________，y为________．（2）函数的三要素：_______、_______、（_______）.

（3）相同函数的判断方法：①____________；②____________

2、函数的定义域：

（1）定义域的定义：________________________叫做函数的定义域．（2）确定函数定义域的常见方法：

①若)

(x

f是整式，则定义域为________

②若)

(x

f是分式，则定义域为________

例:求函数

x

y

1

1

1

+

=

的定义域。

③若)

(x

f是偶次根式，则定义域为________

例1:求函数

()

2

1

4

3

2

-

+

-

-

=

x

x

x

y的定义域。

例2:求函数()0

21

1

2+

+

-

=x

x

y的定义域。

④若)

(x

f是偶次根式，则定义域为________

⑤对数函数y＝log a x的真数________

⑥指数y＝a x、对数式y＝log a x的底为________

⑦若)

(x

f为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定

⑧函数y ＝[f(x)]0的定义域为__________

⑨如果函数由一些基本函数通过有限次四则运算结合而成的，那么其定义域为这些基本函数定义域的_______．书写函数定义域时，要写成集合或_______的形式．

⑩实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 （3）求抽象函数（复合函数）的定义域

例1:已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域

例2:已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域

3、函数的值域 :

(1)值域的定义：____________________________叫做函数的值域． （2）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）

（3）确定函数值域的常见方法（配方法）：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如2

()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方

法。

例：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

4．函数的表示方法

(1)函数的表示方法有________，________，________. （2）求函数解析式的常见方法：

①换元法

例：已知34)13(+=+x x f , 求)(x f 的解析式.

例：若x

x

x

f -=1)1

(,求)(x f .

例：已知23,f x =- 求)(x f .

②解方程组法

例：设函数)(x f 满足)(x f +2 f （x

1）= x （x ≠0），求)(x f 函

数解析式.

一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数

,x y ，

总有2

()()(21),f x f x y x y y

+=+++求()f x 。（令x=0，y=2x ）

③待定系数法

例：已知)(x f 是一次函数，并且34)]([+=x x f f 求)(x f 解：设b kx x f +=)(，则

34)()()]([2+=++=++=+=x b kb x k b b kx k b x kf x f f

则⎩⎨

⎧=+=3

42

b kb k ，解得⎩⎨

⎧==12b k 或⎩

⎨⎧-=-=32

b k 故所求一次函数解析式12)(+=x x f 或32)(--=x x f

3．常见函数的定义域

(1)整式函数y ＝f(x)的定义域为________． (2)分式函数y ＝f(x)

g(x)的定义域为___________．

(3)函数y ＝2n

f(x)(n ∈N ＋)的定义域为___________．

(4)函数y ＝

2n+1

f(x) (n ∈N ＋)的定义域为___________．

(5)指数函数y ＝a x (a>0且a ≠1)的定义域为___________． (6)对数函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)的定义域为________． (7)函数y ＝[f(x)]0的定义域为__________．

(8)如果函数由一些基本函数通过有限次四则运算结合而成的，那么其定义域为这些基本函数定义域的_______．书写函数定义域时，要写成集合或_______的形式．

5、分段函数

(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。

(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集； 分段函数是一个函数，而不是几个函数； 写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。

6、复合函数

如果)(),(),(),(A x x g u M u u f y ∈=∈=则),(),()]([A x x F x g f y ∈== 称为f 、g 的复合函数。

7、函数图象问题

（1）熟悉各种基本初等函数的图象 如：0=y ，)(为常数c c y =，x y =，x y 1=

，x

y 1-=，2

x y = （2）图象变换

平移：个单位长度向右平移)0()(>=a a x f y )(a x f y -= 个单位长度向上平移)0()(>=b b x f y b x f y +=)( 对称：轴对称关于x x f y )(=)(-x f y = 轴对称关于y )(x f y =)(x f y -= 关于原点对称)(x f y =)(-x f y -= 翻折：)(,)(x f y x f y ==

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增减函数和单调区间

一般地，对于函数y ＝f(x)在给定区间上任意两个________的值x 1，x 2，设Δx ＝________，Δy ＝___________，当Δy

Δx >0时，那么就说，函数y

＝f(x)在这个区间上是________；当Δy

Δx ><0时，那么就说，函数y ＝f(x)

在这个区间上是________． （2）图象的特点