数学-南京外国语学校仙林分校2013-2014学年高一上学期期中测试数学试题
江苏省南京外国语学校仙林分校高一数学上学期期中测试
南京外国语学校仙林分校中学部2012—2013学年第一学期高一年级期中测试数试题命题人 审题人 第一部分（满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 1． 若[)2,5A =，集合(]3,7B =，A B I 则= ． 2． 函数1()f x x=，{1,2,3}x ∈的值域为 ． 3． 函数()(1)3f x k x =-+在R 上是减函数，则k 的范围是 ． 4． 函数3()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 ．5． 已知)(x f y =在),(+∞-∞上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的范围是_ 6． 若函数(),(3)5,(5)9f x px q f f =+==，则(1)f 的值为 ．7． 函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 ． 8． 关于x 的方程26xm -=有实根，则m 的取值范围是二、解答题 (本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)9． 用函数单调性的定义证明函数22y x x =+在[0,)x ∈+∞是单调递增函数．10．求值或估算：（1）333212log 2log 92-+； （2）若7782.06lg ≈，求 2.778210．11．AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式.12．已知函数2()log 3,[1,4]f x x x =+∈ （1）求函数()f x 的值域；（2）若22()()[()]g x f x f x =-，求()g x 的最小值以及相应的x 的值．第二部分（满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 13．集合{}2|420A x kx x =++=是只含一个元素的集合，则实数_________k =． 14．已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则yx2log= ． 15．若函数2x b y x -=+在(,4)(2)a b b +>-上的值域为1(3,)2-，则ba = ．16．定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)()f x f x +=，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =，)2(f b =，(2.1)c f =，则c b a ,,按从小到大的顺序排列为___________17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n 个格点，则称函数()x f 为n 阶格点函数.下列函数：①2x y =；②x y ln =；③12-=xy ；④xx y 1+=．其中为一阶格点函数的序号为18．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．四、解答题 (本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f （1）当a 为何值时，)(x f 为奇函数；（2）求证：)(x f 为R 上的增函数．20．对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数． （1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]；（2）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．中学部2012—2013学年第一学期高一年级期中测试数学学科答卷纸第一部分（满分100分）一、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. _____2. __3. ___4. ___5. 6. 7. 8.二、解答题：本大题共4小题，共60分.9.（本小题满分14分）姓名____________________ ————————线————————————————――――10．（本小题满分16分）11（本小题满分14分）12（本小题满分16分）第二部分（满分60分）三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13. _______ 14. _____ 15. ___16. 17. 18.四、解答题：本大题共2小题，共30分.19.（本小题满分14分）20.（本小题满分16分）——————————封—————————————线————————————————――――――――南外仙林分校中学部2012—2013学年度第一学期高一年级期中测试 数 学 学 科 试 题命题人： 审题人： 第一部分（满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 1． 若[)2,5A =，集合(]3,7B =，A B I 则= （3，5） ． 2． 函数1()f x x =，{1,2,3}x ∈的值域为11{1,,}23． 3． 函数()(1)3f x k x =-+在R 上是减函数，则k 的范围是1k <． 4． 函数3()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 0 ．5． 已知)(x f y =在),(+∞-∞上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的范围是_ a<1 6． 若函数(),(3)5,(5)9f x px q f f =+==，则(1)f 的值为 -1 ．7． 函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 5 ． 8． 关于x 的方程26xm -=有实根，则m 的取值范围是(6,)-+∞二、解答题 (本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)9．用函数单调性的定义证明函数22y x x =+在[0,)x ∈+∞是单调递增函数． 证明略10．求值或估算：（1）333212log 2log 92-+； （2）若7782.06lg ≈，求 2.778210． 答案：（1）2； （2）令 2.778210m =，则lg 2.7782lg6lg600m =≈+=，故 2.778210约为600．11．AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式.答案：22,012t y t ≤≤=⎨⎪+<≤⎪⎩12．已知函数2()log 3,[1,4]f x x x =+∈（1）求函数()f x 的值域；（2）若22()()[()]g x f x f x =-，求()g x 的最小值以及相应的x 的值． 答案：（1）[3,5]；（2）最小值-19，2x =．第二部分（满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 13．集合{}2|420A x kx x =++=是只含一个元素的集合，则实数k = 0或2 ． 14．已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则yx2log= -4 ． 15．若函数2x b y x -=+在(,4)(2)a b b +>-上的值域为1(3,)2-，则ba = 1 . 16．定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)()f x f x +=，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =，)2(f b =，(2.1)c f =，则c b a ,,按从小到大的顺序排列为___a,b,c___17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n 个格点，则称函数()x f 为n 阶格点函数.下列函数：①2x y =；②x y ln =；③12-=xy ；④xx y 1+=．其中为一阶格点函数的序号为 ② 18． 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．略解：由题意得22,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， 且)2()(2x f x f =，由)(x f是单增，())f x t f +≥在]2,[+∈t t x 恒成立，得x t x 2≥+在]2,[+∈t t x 恒成立，得2≥t ．四、解答题 (本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f （1）当a 为何值时，)(x f 为奇函数；（2）求证：)(x f 为R 上的增函数． 略解：（1）法一：由(0)0f =得1a =，再由定义域为R ，()()f x f x -=-证明． 法二：直接令()()f x f x -=-求出1a =，以上各步可逆，故1a =．（2）化函数为2()21x f x a =-+，再由单调性定义证明．20．对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数． （1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]；（2）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．解：（1）3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=ab b a a b 33解得⎩⎨⎧=-=11b a ，所求的区间为[-1，1]（2）取,10,121==x x 则)(107647)(21x f x f =<=，即)(x f 不是),0(+∞上的减函数．取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=，即)(x f 不是),0(+∞上的增函数，所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数． （3）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f 的值域为[b a ,]，即⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a ，b a ,∴为方程2++=x k x 的两个实数根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不等的实根．当2-≤k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k ．当2->k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆k k k f 2120)(0，无解．故k 的范围是：249-≤<-k ．11。
江苏省南京外国语学校仙林分校高一数学上学期期中测试试题苏教版
高一年级期中测试数试题命题人 审题人 第一部分（满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 1． 若[)2,5A =，集合(]3,7B =，A B 则= ．2． 函数1()f x x=，{1,2,3}x ∈的值域为 ． 3． 函数()(1)3f x k x =-+在R 上是减函数，则k 的范围是 ． 4． 函数3()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 ．5． 已知)(x f y =在),(+∞-∞上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的范围是_ 6． 若函数(),(3)5,(5)9f x px q f f =+==，则(1)f 的值为 ．7． 函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 ．8． 关于x 的方程26xm -=有实根，则m 的取值范围是二、解答题 (本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)9． 用函数单调性的定义证明函数22y x x =+在[0,)x ∈+∞是单调递增函数．10．求值或估算：（1）333212log 2log 92-+； （2）若7782.06lg ≈，求 2.778210．11．AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式.12．已知函数2()log 3,[1,4]f x x x =+∈ （1）求函数()f x 的值域；（2）若22()()[()]g x f x f x =-，求()g x 的最小值以及相应的x 的值．第二部分（满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 13．集合{}2|420A x kx x =++=是只含一个元素的集合，则实数_________k =． 14．已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则yx2log= ． 15．若函数2x b y x -=+在(,4)(2)a b b +>-上的值域为1(3,)2-，则ba = ．16．定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)()f x f x +=，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =，)2(f b =，(2.1)c f =，则c b a ,,按从小到大的顺序排列为___________17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n 个格点，则称函数()x f 为n 阶格点函数.下列函数：①2x y =；②x y ln =；③12-=xy ；④xx y 1+=．其中为一阶格点函数的序号为18．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．四、解答题 (本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f （1）当a 为何值时，)(x f 为奇函数；（2）求证：)(x f 为R 上的增函数．20．对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数． （1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]；（2）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．中学部2012—2013学年第一学期高一年级期中测试数学学科答卷纸第一部分（满分100分）一、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. _____2. __3. ___4. ___5. 6. 7. 8.二、解答题：本大题共4小题，共60分.9.（本小题满分14分）姓名____________________ ———————————线————————————————――――10．（本小题满分16分）11（本小题满分14分）12（本小题满分16分）第二部分（满分60分）三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13. _______ 14. _____ 15. ___16. 17. 18.四、解答题：本大题共2小题，共30分.19.（本小题满分14分）20.（本小题满分16分）——密——————————封—————————————线————————————————――――――――南外仙林分校中学部2012—2013学年度第一学期高一年级期中测试 数 学 学 科 试 题命题人： 审题人： 第一部分（满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 1． 若[)2,5A =，集合(]3,7B =，A B 则= （3，5） ．2． 函数1()f x x =，{1,2,3}x ∈的值域为11{1,,}23． 3． 函数()(1)3f x k x =-+在R 上是减函数，则k 的范围是1k <． 4． 函数3()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 0 ．5． 已知)(x f y =在),(+∞-∞上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的范围是_ a<1 6． 若函数(),(3)5,(5)9f x px q f f =+==，则(1)f 的值为 -1 ．7． 函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 5 ． 8． 关于x 的方程26xm -=有实根，则m 的取值范围是(6,)-+∞二、解答题 (本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)9．用函数单调性的定义证明函数22y x x =+在[0,)x ∈+∞是单调递增函数． 证明略10．求值或估算：（1）333212log 2log 92-+； （2）若7782.06lg ≈，求 2.778210． 答案：（1）2； （2）令 2.778210m =，则lg 2.7782lg6lg600m =≈+=，故 2.778210约为600．11．AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式.答案：22,012t y t ≤≤=⎨⎪+<≤⎪⎩12．已知函数2()log 3,[1,4]f x x x =+∈（1）求函数()f x 的值域；（2）若22()()[()]g x f x f x =-，求()g x 的最小值以及相应的x 的值． 答案：（1）[3,5]；（2）最小值-19，2x =．第二部分（满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 13．集合{}2|420A x kx x =++=是只含一个元素的集合，则实数k = 0或2 ． 14．已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则yx2log= -4 ． 15．若函数2x b y x -=+在(,4)(2)a b b +>-上的值域为1(3,)2-，则ba = 1 . 16．定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)()f x f x +=，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =，)2(f b =，(2.1)c f =，则c b a ,,按从小到大的顺序排列为___a,b,c___17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n 个格点，则称函数()x f 为n 阶格点函数.下列函数：①2x y =；②x y ln =；③12-=xy ；④xx y 1+=．其中为一阶格点函数的序号为 ② 18． 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．略解：由题意得22,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， 且)2()(2x f x f =，由)(x f是单增，())f x t f +≥在]2,[+∈t t x 恒成立，得x t x 2≥+在]2,[+∈t t x 恒成立，得2≥t ．四、解答题 (本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f（1）当a 为何值时，)(x f 为奇函数；（2）求证：)(x f 为R 上的增函数． 略解：（1）法一：由(0)0f =得1a =，再由定义域为R ，()()f x f x -=-证明． 法二：直接令()()f x f x -=-求出1a =，以上各步可逆，故1a =． （2）化函数为2()21x f x a =-+，再由单调性定义证明．20．对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数． （1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]；（2）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．解：（1）3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=ab b a a b 33解得⎩⎨⎧=-=11b a ，所求的区间为[-1，1]（2）取,10,121==x x 则)(107647)(21x f x f =<=，即)(x f 不是),0(+∞上的减函数．取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=，即)(x f 不是),0(+∞上的增函数，所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数． （3）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f 的值域为[b a ,]，即⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a ，b a ,∴为方程2++=x k x 的两个实数根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不等的实根．当2-≤k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k ．当2->k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆k k k f 2120)(0，无解．故k 的范围是：249-≤<-k ．。
江苏省南京外国语学校仙林分校2013-2014学年高二上学期期中测试数学
中学部2013— 2014学年度第一学期高二年级期中测试数学学科试题命题人：审题人：第一卷一、填空题：（本大题共8小题，每题5分，共40分。
请将答案填在答卷上）21. 抛物线y 4x 的焦点坐标为▲ .2.'X 2”是X 1 ”的 ▲ 条件.（填充分不必要”、必要不充分”、充要”既不充分也不必要”中的某一个） 3.在平面直角坐标系中，若点（a, 1）在直线2x y 1 0的上方（不含边界），贝U 实数a 的取值范围是 ▲.4.已知函数f （x ） 2x 1，贝U f （x ）在区间［0,2］上的平均变化率为▲ .2 25.双曲线—乂 1的渐近线方程为▲4 16x y 3x y 1，则目标函数z = 2x + y 的最大值为▲s 时的速度为v （t ） t 3，则t 2时物体的加速度6.设变量x , y 满足约束条件7.—物体做加速直线运动，假设t&不等式＜12x x a 在区间[1,1] 上恒成立，则实数 a 的取值范围是 —▲、解答题: （本大题共4道题，满分 60分。
答题应有必要的步骤和推理过程）9.（本题满分 14分）已知p :2x R，不等式x mx20恒成q点在x轴上.若命题p q为真命题，求实数m的取值范围.210. (本题满分14分)已知函数f(x) x .(1)若曲线f(x)的一条切线的斜率是 2,求切点坐标; (2 )求f (x)在点(1, f( 1))处的切线方程.11. (本题满分16分)2 2已知一个圆经过直线 I ： 2x y 4 0与圆C : x y 2x 4y 1 0的两个交点，并且面积有最小值，求此圆的方程.12. (本题满分16分)如图，F 是中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线I : x = 4是椭圆C 的 右准线，F 到直线I 的距离等于3.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 点P 是椭圆C 上动点，PM 丄I ，垂足为M .是否存在点P ,使得△ FPM 为等腰 三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.第二卷一、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分。
江苏省南京外国语学校(仙林分校)高一数学上学期期中试题(含解析)
2015-2016学年江苏省南京外国语学校（仙林分校）高一（上）期中数学试卷（第一部分满分40分）一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置上）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．已知U=[0，1]，A=（0，1]，则∁U A= ．3．已知m＞0，化简÷（2）的结果为．4．函数的定义域为．5．若函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，则实数a= ．6．函数f（x）=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点．7．已知函数y=x（m∈N*）的图象与坐标轴无交点，则m的值是．8．已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ．二、解答题（本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．（1）若a=5，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．10．计算：（1）；（2）．11．已知函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域；（3）证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，并写出f（x）的单调区间．12．已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．（第二部分满分30分）三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置上）13．已知A={x|x≤﹣2}，B={x|x＜m}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．14．已知函数y=lg（x2﹣x+k）的定义域为R，则k的取值范围是．15．已知函数f（x）=．若，则实数m的值等于．16．已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，若f（1）＜f（lnx），则x的取值范围是．17．已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为．18．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．四、解答题（本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？20．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=﹣x2+ax．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为单调递减函数；①直接写出a的范围（不必证明）；②若对任意实数m，f（m﹣1）+f（m2+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．2015-2016学年江苏省南京外国语学校（仙林分校）高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析（第一部分满分40分）一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置上）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】利用交集的性质求解．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．2．已知U=[0，1]，A=（0，1]，则∁U A= {0} ．【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】找出全集U中不属于A的部分，即可求出A的补集．【解答】解：∵U=[0，1]，A=（0，1]，∴∁U A={0}．故答案为：{0}．【点评】本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．已知m＞0，化简÷（2）的结果为2m ．【考点】有理数指数幂的运算性质．【专题】常规题型．【分析】由分数指数幂的运算性质进行化简【解答】解：因为4÷（2）=4××=2m，故答案为； 2m【点评】利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式转化为分数指数幂，在根据分数指数幂的运算性质进行运算．4．函数的定义域为（1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞1，故函数的定义域是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题．5．若函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，则实数a= 5 ．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，确定对称轴，可得出a的值．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，∴x=5为函数的对称轴，∵函数f（x）=x2﹣2ax∴x=a为函数的对称轴，∴a=5故答案为：5【点评】本题考察了函数的对称轴，与单调区间的关系，属于容易题．6．函数f（x）=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（1，3）．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】根据所有的指数函数过（0，1）点，函数f（x）=a x﹣1+2当指数x﹣1=0即x=1时，y=3，得到函数的图象过（1，3）【解答】解：根据指数函数过（0，1）点，∴函数f（x）=a x﹣1+2当指数x﹣1=0即x=1时，y=3∴函数的图象过（1，3）故答案为：（1，3）．【点评】本题考查指数函数的图象和性质，本题解题的关键是知道指数函数过一个定点，与底数是什么没有关系．7．已知函数y=x（m∈N*）的图象与坐标轴无交点，则m的值是1，2 ．【考点】幂函数的图像．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的性质判断出幂函数的指数小于0；【解答】解：∵幂函数y=x（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无交点，∴m2﹣m﹣3＜0解得＜m＜，又m∈N*∴m=1，2，故答案为：1，2．【点评】本题考查幂函数的性质与幂指数的取值范围有关、由幂函数的解析式画幂函数的图象，属于基础题8．已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．二、解答题（本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．（1）若a=5，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【专题】集合．【分析】（1）利用交集的定义求解．（2）利用并集的性质求解．【解答】解：（1）∵a=5，A={x|a﹣1≤x≤a+1}={x|4≤x≤6}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．∴A∩B={x|4≤x≤5}．（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，∴，解得0≤a≤4．【点评】本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意集合的性质的合理运用．10．计算：（1）；（2）．【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用分数指数幂的性质和运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：（1）=（2）=2+4lg2+3lg5+lg5=2+4lg2+4lg5=2+4=6．【点评】本题考查分数指数幂和对数式的化简求值，是基础题，解题时要注意指数和对数的性质及运算法则的合理运用．11．已知函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域；（3）证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，并写出f（x）的单调区间．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】法一：（1）由函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），知，由此能求出a，b．（2）由f（x）==1+，知2x﹣1＞﹣1，且2x﹣1≠0，知，或，由此能求出f（x）的值域．（3）在（0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，利用定义法能证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，再由函数f（x）是奇函数，能求出f（x）的单调减区间．法二：（1）由f（x）是奇函数，知，由此能求出a，b．（2）由y=f（x）=，知＞0，由此能求出f（x）的值域．（3）在（0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，利用定义法能证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，再由函数f（x）是奇函数，能求出f（x）的单调减区间．【解答】解法一：（1）：函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），∴，即，解得a=1，b=﹣1．经检验f（x）为奇函数，故a=1，b=﹣1．（2）∵a=1，b=﹣1．∴f（x）==1+，∵2x＞0，∴2x﹣1＞﹣1，且2x﹣1≠0，∴，或，∴f（x）＜﹣1，或f（x）＞1．∴f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（3）在（0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）==，∵0＜x1＜x2，∴，，，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是递减，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．解法二：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，得（ab+1）•22x+2（a+b）•2x+ab+1=0，∴，得，或，…又∵f（1）=3，∴，即2a﹣3b=5，∴a=1，b=﹣1．…（2）∵a=1，b=﹣1，∴y=f（x）=，∴，∵2x＞0，∴，解得y＜﹣1，或y＞1．∴f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（3）在（0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）==，∵0＜x1＜x2，∴，，，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是递减，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查函数的值域的求法，考查函数的单调性的判断．解题时要认真审题，注意待定系数法、分离常数法、定义法和等价转化思想、函数奇偶性的合理运用．12．已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）当x＜0时，有﹣x＞0，由f（x）为偶函数，求得此时f（x）=f（﹣x）的解析式，从而得到函数f（x）在R上的解析式．（2）由题意得m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立，而在1≤x≤2时，求得（x﹣2）min=﹣1，由此可得m的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，∴f（x）=．（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．（第二部分满分30分）三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置上）13．已知A={x|x≤﹣2}，B={x|x＜m}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】直接利用B⊆A，推出m的关系式，求解即可．【解答】解：因为A={x|x≤﹣2}，B={x|x＜m}，B⊆A，所以m≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查集合的包含关系，集合中变量范围的求法，考查计算能力．14．已知函数y=lg（x2﹣x+k）的定义域为R，则k的取值范围是（，+∞），．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】依题意，令g（x）=x2﹣x+k，利用g（x）＞0恒成立即可求得实数k的取值范围【解答】解：∵y=lg（x2﹣x+k）的定义域为R，令g（x）=x2﹣x+k，则g（x）＞0恒成立，∵g（x）的二次项系数为1＞0，∴△=1﹣4k＜0，解得k＞，∴k的取值范围是（，+∞），故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查对数函数的定义域，考查△的应用，属于中档题15．已知函数f（x）=．若，则实数m的值等于﹣6 ．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意可知f（）=3，从而可得f（m）=﹣3，继而可求得实数m的值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（）=2×=3，又f（m）+f（）=0，∴f（m）=﹣3，∴m+3=﹣3．∴m=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查函数的值，理解分段函数的意义是关键，考查理解与运算能力，属于基础题．16．已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，若f（1）＜f（lnx），则x的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）是R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，f（lnx）＞f（1），可得|lnx|＜1，利用绝对值不等式的解法、对数函数的单调性即可得出答案．【解答】解：∵函数f（x）是R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，f（lnx）＞f（1），∴|lnx|＜1，∴﹣1＜lnx＜1，解得x∈．∴x的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、绝对值不等式的解法、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为[﹣0]∪{} ．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】f（x）=，令f（x）=1可得 x=﹣4，或x=0，或 x=4．当﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得a的取值范围，当a＞0时，应有2a+1=4，由此求得a的值，综合可得a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4|x|+1是偶函数，图象关于y轴对称．且f（x）=，令f（x）=1可得 x=﹣4，或x=0，或 x=4．若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，∴a＜2a+1，解得a＞﹣1．当﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得﹣≤a≤0．当a＞0时，应有2a+1=4，解得 a=．综上可得，a的取值范围为[﹣0]∪{}，故答案为[﹣0]∪{}．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．【解答】解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，所以解得：，又t∈[0，1]，所以实数t的取值范围．故答案为：．【点评】本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．四、解答题（本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【考点】根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用．【专题】综合题．【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R（x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…∵，∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（2）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．20．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=﹣x2+ax．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为单调递减函数；①直接写出a的范围（不必证明）；②若对任意实数m，f（m﹣1）+f（m2+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，由已知表达式可求f（﹣x），根据奇函数性质可求f （x）；（2）①借助二次函数图象的特征及奇函数性质可求a的范围；②利用奇函数性质及单调递减性质可去掉不等式中的符号“f”，进而可转化为函数最值问题处理．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，又因为f（x）为奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x2+2x）=x2﹣2x，所以f（x）=．（2）①当a≤0时，对称轴，所以f（x）=﹣x2+ax在[0，+∞）上单调递减，由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以a≤0时，f（x）在R上为单调递减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）递增，在（，+∞）上递减，不合题意，所以函数f（x）为单调减函数时，a的范围为a≤0．②f（m﹣1）+f（m2+t）＜0，∴f（m﹣1）＜﹣f（m2+t），又f（x）是奇函数，∴f（m﹣1）＜f（﹣t﹣m2），又因为f（x）为R上的单调递减函数，所以m﹣1＞﹣t﹣m2恒成立，所以恒成立，所以．即实数t的范围为：（，+∞）．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力．。
外国语学校2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题与答案
一．判断题（每小题1分，共5分，在相应的括号内打勾或打叉） 1. 空集是任何集合的真子集（ ▲ ） 2. =∙N M a a log log N M a a log log +（ ▲ ）3. 若0=b ，则函数b x k x f ++=)12()(在R 上必为奇函数 （ ▲ ） 4．已知()x f 是偶函数，且()54=f ，那么()()44-+f f =10 （ ▲ ） 5．已知函数()x f ，若在[]b a ,上有()()0<b f a f ，则()x f y =在()b a ,内必有零点（ ▲ ）二．单项选择题（每小题5分，共25分）1. 已知集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则A B 为（ ▲ ） A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{1,2,3,4}2. 下列函数与y x =表示同一函数的是（ ▲ ）A. y =y =2y =D. 2x y x=3. 设0x 是方程ln 5x x +=的解，则0x 属于区间（ ▲ ）. A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 4.已知函数()x f y =，则直线a x =与函数()x f y =的图像的交点个数为（ ▲ ）A. 可能有不止一个交点B. 至多有一个交点C.至少有一个交点D.有且必有一个交点5.函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（ ▲ ）.三．填空题（每小题5分，共50分）1.设函数()g x 2x 3=+，则(3)g 的值为 ▲ ．2.函数f(x)= 2(1)xx x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，则[](2)f f -= ▲ ．3.写出一个函数，使其在定义域R 内既是奇函数又是减函数 ▲4.函数()f x 与函数2,x y x R =∈互为反函数，则函数)(x f 的值域为 ▲5.设A {x |2x 3}=<<，B {x |x a}=<，若B A ⊆，则a 的取值范围是 ▲ ．6.已知幂函数()f x 的图象经过点1(3,)3，则2log (4)f = ▲ ．7.比较大小：将0.90.820.8,log 0.8, 1.2a b c ===三数从小到大依次排列．．．．．．．．为 ▲ ． 8．函数2)(lg 1)(x x f -=的定义域是 ▲9. 函数11(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过的定点为 ▲ ．10.已知f (x)为R 上的奇函数, 当x 0> 时,f (x)x(x 1)=+,则当x 0<时,f (x)的表达式为 ▲ ．四．解答题（第1题10分，其余每题均为12分，共70分．）（请在答题卷内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）．1.（本小题满分10分） （1）计算：()142110.2541216--⎛⎫⎛⎫⨯--÷-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）计算：11(lg9lg 2)229416()100ln log 8log 9--+++⋅（）（2.（本小题满分12分）已知函数()1f x x =-.（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）在右边所给的网格中建立平面直角坐标系，并画出该函数的图象；（网格见答卷）（要求：坐标轴的标识以及刻度需写明，函数图像需准确无误。
2022-2023学年江苏省南京外国语学校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知A ＝{﹣1，0，1，3，5}，B ＝{x |2x ﹣3＜0}，A ∩∁R B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，1，3}C ．{﹣1，0，1}D ．{3，5}2．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ＜0}，B ＝{2，m }，且A ∩B 有4个子集，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，4） B ．（0，2）∪（2，4） C ．（0，2）D ．（﹣∞，2）∪（4，+∞）3．荀子曰：“故不积硅步，无以至千里：不积小流，无以成江海”，此名言中的“不积硅步”一定是“至千里”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列四组函数中，f （x ）与g （x ）不是同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2 B ．f （x ）＝x 2+1与g （t ）＝t 2+1 C ．f(x)=|x|x 与g （x ）={1，x ＞0−1，x ＜0D ．f(x)=√(x −1)(x +1)与g(x)=√(x −1)⋅√(x +1) 5．若x ＞0，y ＞0，且x +y ＝18，则√xy 的最大值为（ ） A ．9B ．18C ．36D ．816．高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：a ↑b =a ⋅a ⋯⋯a ︸b 个a=a b ，a ↑↑b =a ↑a ↑a ↑⋯↑a ︸b 个a（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T 约为1082，则下列各数中与4↑↑3T最接近的是（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）A ．1061B ．1064C ．1071D ．10747．已知a ＞1，b ＞1，且lga ＝1﹣2lgb ，则log a 2+log b 4的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．9lg 2D ．8lg 28．已知函数y 1＝m （x ﹣2m ）（x +m +3），y 2＝x ﹣1，若它们同时满足：①∀x ∈R ，y 1与y 2中至少有一个小于0；②∃x ∈{x |x ＜﹣4}，y 1•y 2＜0，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣∞，0）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣4，﹣2）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
精品解析：江苏省南京外国语学校仙林分校中学部2017--2018第一学期高二上学期期中测试数学试卷(解析版)
，解得
，即该圆的标准方程为
2
； 故填
.
二、解答题（本大题共 4 小题，每小题 13 分，共 52 分）
9.(1) 已知双曲线 ：
的离心率
，求实数 的取值范围．
(2) 过抛物线
的焦点 作倾斜角为 的直线交抛物线于 ， 两点，若线段 的长为 8，求 的
值．
【答案】 (1)
(2)
【解析】
试题分析： (1)利用双曲线的几何要素间的等量关系和离心率公式进行求解；
(2) 联立直线和抛物线的标准方
程，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系和两点间的距离公式进行求解
.
试题解析： (1)
，
∴
(2) 过焦点 的直线方程为
，
∴
∴
∴ ∴ 【方法点睛】本题第二问考查过抛物线的焦点的弦问题；在求过抛物线的焦点的弦的长度或焦半径时，利 用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离）可起到事半功倍的效果，如：过抛物
因为
，所以
，所小值为 0；故填 0.
3.已知
，
，则以 为直径的圆的方程为 ___________．
【答案】 【解析】
单调递减，在区间
因为
，
，所以以 为直径的圆的圆心为
.
，半径为
4.函数 【答案】 【解析】
的单调增区间为 ____________ ．
，即该圆的方程为
南外仙林分校中学部 2017-2018 学年第一学期高二年级期中测试 数学试题
第Ⅰ卷 (100 分 ) 一、填空题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）
1.抛物线
的准线方程为 ________．
南京南外仙林学校数学高一上期中知识点总结(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：11811]若35225a b ==，则11a b+=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．22．(0分)[ID ：11810]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：11774]若函数()(1)(0x xf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：11756]函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．5．(0分)[ID ：11795]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |－2≤x ＜4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}6．(0分)[ID ：11792]函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．7．(0分)[ID ：11789]设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ）A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =8．(0分)[ID ：11764]已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞， C ．[1,1)-D ．(3,1]--9．(0分)[ID ：11748]已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．(0分)[ID ：11740]三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>11．(0分)[ID ：11730]已知()()2,11,1xx f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7812．(0分)[ID ：11823]已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．013．(0分)[ID ：11781]函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．14．(0分)[ID ：11760]设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞15．(0分)[ID ：11754]若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题16．(0分)[ID ：11924]给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c ；（2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.17．(0分)[ID ：11920]已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．18．(0分)[ID ：11895]若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________.19．(0分)[ID ：11875]已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则a 的取值范围是________．20．(0分)[ID ：11872]已知()21f x x -=，则()f x = ____.21．(0分)[ID ：11861]已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m 的取值范围为______．22．(0分)[ID ：11850]已知函数f(x)=log a (2x −a)在区间[12,23]，上恒有f (x )>0则实数a 的取值范围是_____.23．(0分)[ID ：11839]用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．24．(0分)[ID ：11838]若集合(){}22210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的最小值是____.25．(0分)[ID ：11835]甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）．三、解答题26．(0分)[ID ：12016]已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x ∈R ），且(0)1f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[1,5]-上是单调函数，求实数t 的取值范围； （3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有一个零点，求实数m 的取值范围． 27．(0分)[ID ：11986]已知函数()1ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.28．(0分)[ID ：11983]2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.29．(0分)[ID ：11969]2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？30．(0分)[ID ：11934]近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足6P =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．D8．D9．B10．B11．C12．B13．A14．D15．B二、填空题16．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确17．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实18．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握19．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时20．【解析】【分析】利用换元法求函数解析式【详解】令则代入可得到即【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式考查基本代换求解能力21．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没22．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间1223上恒有f（x）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】23．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题24．-2【解析】【分析】根据题意可知集合只有一个元素从而时满足条件而时可得到求出找到最小的即可【详解】只有2个子集；只有一个元素；时满足条件；②时；解得或2；综上满足条件的实数的最小值为﹣2故答案为﹣225．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.5．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.6．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 7．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在yg x 上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.8．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.10．B解析：B【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．11．C解析：C【解析】【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论．【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C .【点睛】 本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．12．B解析：B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.13．A解析：A【解析】【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A.【详解】 因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D;因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A.【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 14．D解析：D【解析】【分析】【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--，故选D. 15．B解析：B【解析】【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】 ()f x 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin ln sin ln x ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =±本题正确选项：B【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题16．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确解析：（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确.【详解】解：（1）当0c 时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c ，所以0c 是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确；（4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确.故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.17．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解.【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >， 综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 18．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案.【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是()32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.19．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围【详解】()()g x f x b =-有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a >故答案为：()(),01,-∞⋃+∞【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．20．【解析】【分析】利用换元法求函数解析式【详解】令则代入可得到即【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式考查基本代换求解能力解析：()21?x + 【解析】【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】令 1t x -=则 t 1,x =+代入 ()21f x x -= 可得到()()21f t t =+ ,即()()21f x x =+.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本代换求解能力. 21．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没 解析：{|2m m >或2}3m <-【解析】【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围.【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值， 则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >. 当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-.故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.22．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】解析：(13,1)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[12,23]上恒有f （x ）＞0，即{0<a <10<2x −a <1 ，或{a >12x −a >1，分别解不等式组，可得答案． 【详解】 若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[12,23]上恒有f （x ）＞0， 则{0<a <10<2x −a <1 ，或{a >12x −a >1 当{0<a <10<2x −a <1 时，解得13＜a ＜1，当{a >12x −a >1 时，不等式无解. 综上实数a 的取值范围是（13，1） 故答案为（13，1）．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．23．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6考点：分段函数的最值问题24．-2【解析】【分析】根据题意可知集合只有一个元素从而时满足条件而时可得到求出找到最小的即可【详解】只有2个子集；只有一个元素；时满足条件；②时；解得或2；综上满足条件的实数的最小值为﹣2故答案为﹣2 解析：-2【解析】【分析】根据题意可知，集合A 只有一个元素，从而2k =-时，满足条件，而2k ≠-时，可得到()24420k k ∆=-+=，求出k ，找到最小的k 即可.【详解】 A 只有2个子集；A ∴只有一个元素；2k ①∴=-时，14A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足条件； ②2k ≠-时，()24420k k ∆=-+=； 解得1k =-或2；综上，满足条件的实数k 的最小值为﹣2.故答案为﹣2.【点睛】考查子集的概念，描述法和列举法表示集合的定义，以及一元二次方程实根个数和判别式∆的关系.25．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数 解析：③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x≥0）的函数关系是：，，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面， 命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．三、解答题26．（1）2()1f x x x =-+；（2）39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）{}0[1,4)⋃．【解析】试题分析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，列出方程，求得,,a b c 的值，即可求解函数的解析式；（2）由()g x ，根据函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，列出不等式组，即可求解实数t 的取值范围；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点，分类讨论即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，故220a a b =⎧⎨+=⎩， 又由(0)1f =得1c =，解得1a =，1b =-，1c =，所以2()1f x x x =-+；（2）因为22221(21)()()2(21)1124t t g x f x tx x t x ++⎛⎫=-=-++=-+- ⎪⎝⎭， 又函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，故2111t +≤-或2151t +≥， 解得32t ≤-或92t ≥，故实数t 的取值范围是39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； （3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，(1,2)x ∈-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点， ①(1)0h -=，则4m =，代入原方程得1x =-或3，不合题意；②若(2)0h =，则1m =，代入原方程得0x =或2，满足题意，故1m =成立； ③若0∆=，则0m =，代入原方程得1x =，满足题意，故0m =成立；④若4m ≠且1m ≠且0m ≠时，由(1)40{(2)10h m h m -=->=-<得14m <<， 综上，实数m 的取值范围是{}0[1,4)⋃．考点：函数的解析式；函数的单调性及其应用．27．（1）[1,0]- ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论．试题解析：（1）令101x x+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0-（2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.28．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+， 当20x 时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.29．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【解析】【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+.所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增，所以()()105400f x f ≤=（万元）.综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题. 30．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.【解析】(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益()50f =167024+⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元,所以()f x =()1612024x +-+=126,4x -+依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩,解得4080x ≤≤,故()f x =()12640804x x -+≤≤,令t =,则t ⎡∈⎣,所以y =21264t -++=21(444t --+.当t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.。
2017—2018学年度江苏省南京外国语学校仙林分校中学部第二学期高一年级期中测试数学(解析版)
〔1〕设正项等比数列 的公比为 ，假设 ，那么 ，不符合题意；那么 ∴ ， 解得：
∴ 〔2〕 ①
②
① ②得：
∴
点睛：一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
19．〔1〕从第三年开始获利；〔2〕见解析
点睛：考查根本不等式： ， ， ，以及一元二次不等式的解法，解题的关键是构造出关于 的不等式.
13．8
【解析】分析：利用两角和的正弦函数公式和 即可得出 ， ，从而得出 ，再利用正弦定理求出 ，代入面积公式即可得出三角形的面积.
详解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
由正弦定理得： ，即 ，∴ ，
点睛：此题主要考查了一元二次不等式的解法，以及根本不等式求最值和应用题中利润最大化的问题，在日常生活中我们常常会遇到如何使本钱最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题，属于中档题．
20．〔1〕 ；〔2〕见解析
【解析】分析：〔1〕求出数列的首项和公比，即可求数列 的通项公式；〔2〕①求出数列的前几项，根据等差数列的性质建立方程即可求出 ；②讨论 的取值，根据 的关系进行求解即可．
3．
【解析】由余弦定理可得： .
4．6
【解析】分析：在正方体 中，根据异面直线的定义列举出与面 的对角线 异面的所有的棱，由此能求出结果．
详解：如图，
在正方体 中，与面 的对角线 异面的棱有： ， ， ， ， ， ，共 条，故答案为6．
点睛：此题考查正方体中与面对角线异面的棱的条数的判断，是根底题，解题时要认真审题，注意正方体的性质的合理运用
江苏省南京外国语学校高一年级(上)阶段性调研数学测试(缺解析)
3x + 5 江苏省南京外国语学校高一年级（上）阶段性调研数学测试（缺解析）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分.） 1. 已知集合A = 0,1, 2, 3 ， B = 2, 3, 4, 5 ，则 A B 中元素的个数为 .函数 y的定义域为 .已知函数 f x x2 mx 1 是偶函数，则 m .假如指数函数 f x a 1x 是 R 上的单调增函数，则实数 a 的取值范畴是 .5. 设集合A y y2 x , x R , Bx x 2 1 0，则 AB .已知集合Ax 2xa 0，且1 A ，则实数 a 的取值范畴是.已知函数 f x a2 x4 n a 0且a 1 的图像恒过定点 P m, 2 ，则 mn.已知二次函数 f x 满足 f 2 x f 2x ，且 f x在0, 2上是增函数，若 f a f 0则实数 a 的取值范畴是 . 9. 已知 f x 是奇函数，g x 是偶函数，且 f1g 12 ， f 1 g1 4 ，则 g 1.x2 4x, x4f x2x , x 4取值范畴是 .，若函数 yf x在区间上a, a1单调递增，则实数 a 的已知 f x 2x ， g x 是一次函数，同时点2, 2在函数fg x的图象上，点2, 5在函数 gf x的图象上，则 g x 的解析式为 .若函数 f x x2 ax a 在区间0, 2上的最大值为 1，则实数 a .设 P x0 , y0是函数f x图象上任意一点，且 y 2 x 2 ，则f x的解析式能够是.（填序号）① f x x 1 x② f x ex 1 （ e 2.718 ，是一个重要常数）③ f x x 4x④ yx2已知函数 f x ex 1 ， g x x2 4x 3 ，若存在实数 a 使得 f a g b ，则实数b 的取值范畴为.二、解答题（本大题共 5 小题，共 44 分，解承诺写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15. 设函数 f x ax b, x 0 ，且 f 2 3 ， f 1f 1 .求 f x的解析式；画出 f x的图象，写出函数的单调增区间.16. 已知 f xxxax a .（1）若 a 2 ，试证明 f x 在, 2内单调递增；（2）若 a 0 ，且 x , 0，请直截了当写出 f x的值域.x2 2x, x 0 17. 已知函数 f x 0, x 0x2 mx, x 0求实数 m 的值；是奇函数.若函数 f x 在区间1, a 2上单调递增，求实数 a 的取值范畴.已知函数 f x ax2 bx c a 0,b R,c R .（1）若函数 f x的最小值是 f 1 0 ，且 c 1 ，且 f 2的值；（2）若 a 1, c 0 ，且f x 1 在区间(0,1] 上恒成立，试求b 的取值范畴.已知定义域为 R 的函数 f x（1）求 a, b 的值；2xb2x1a是奇函数.（2）解关于t 的不等式 f t 2 2t f 2t 2 1 0 .。
数学-南京外国语学校仙林分校2012-2013学年高一下学期期中测试数学试题
南京外国语学校仙林分校中学部2012-2013学年度第二学期高一年级期中测试数学学科试题命题人： 审核人：第Ⅰ卷一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B ＝________．2．已知(1,2)a = ,(2,3)b x =-且a ∥b ,则x = ．3．若,3tan =α则=-+ααααcos sin 2cos 2sin ___________.4．不等式102x x -≥+的解集为 ． 5．在∆ABC 中，已知334=a ，4=b ，︒=30A ，则B sin ＝ . 6．已知α为第四象限的角，且4sin(),tan 25παα+=则=______． 7．已知{}n a 为等差数列，3177,10,n a a a S =+=为其前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 等于 ．8．设,(0,)x y ∈+∞，且()1xy x y -+=，则x y +的取值范围是______． 二、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分） 9．（1）解不等式：0622≥+--x x ；（2）已知不等式01222>-+-k x x 对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．10．数列{}n b ()*∈Nn 是递增的等比数列，且4,53131==+b b b b.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若3log 2+=n n b a ,求证数列{}n a 是等差数列;11．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足32sin 0a b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且a c >，7b =，求AB → ·AC →的值．12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.第Ⅱ卷一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13．若等比数列{a n }中，2,173-=-=a a ，则5a ＝____.14．函数)12lg(2)(2--=x x x x f 的定义域为 ．15．已知函数)(x f 为奇函数，0)()2(=++x f x f ，当20<<x 时x x x f -=22)(，则=)11(f ．16. 已知2b 是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是______.17．已知43sin()sin ,0352ππααα++=--<<，则cos α= .18．把数列{}12+n 中各项划分为：（3），（5，7）, (9,11,13) , (15,17,19,21) , (23) , (25,27)，(29,31,33) , (35,37,39,41),照此下去，第100个括号里各数的和为 . 二、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）19．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB为边向外作正三角形ABC ，问：B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出面积的最大值.20．已知数列,))(2,(,21,}{*11上在直线点中x y N n a a n a a n n n =∈-=+ （Ⅰ）计算;,,432的值a a a（Ⅱ）令}{:,11n n n n b a a b 数列求证--=+是等比数列；（Ⅲ）设n S 、n T 分别为数列}{n a 、}{n b 的前λ是否存在实数项和,n ，使得数列}{nT S nn λ+为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由. 中学部2012-2013学年度第二学期高一年级期中测试ACBO数学学科试题命题人：时新生 审核人：梁长法第Ⅰ卷一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B ＝________．{}2,42．已知(1,2)a = ,(2,3)b x =- 且a ∥b ,则x = 43- ．3．若,3tan =α则=-+ααααcos sin 2cos 2sin ______1_____.4．不等式102x x -≥+的解集为 2|{-<x x 或)1x ≥ ．5．在∆ABC 中，已知334=a ，4=b ，︒=30A ，则B sin ＝ 23.6．已知α为第四象限的角，且4sin(),tan 25παα+=则=______．43-7．已知{}n a 为等差数列，3177,10,n a a a S =+=为其前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 等于 6 ．8．设,(0,)x y ∈+∞，且()1xy x y -+=，则x y +的取值范围是______．[222,)++∞ 二、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分） 9．（1）解不等式：0622≥+--x x（2）已知不等式01222>-+-k x x 对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 解：（1）]23,2[-；………………7分（2）2>k 或2-<k ………………15分10．数列{}n b ()*∈Nn 是递增的等比数列，且4,53131==+b b b b.（1）求数列{}n b 的通项公式;（2）若3log 2+=n n b a ,求证数列{}n a 是等差数列; 解:(Ⅰ)由 ⎩⎨⎧=+=543131b b b b ,注意到n n b b >+1得 4,131==b b .……4分∴43122==b b b 得22=b .∴4,2,1321===b b b∴等比数列.{}n b 的公比为212=b b ,1112--==∴n n n q b b ……7分 (Ⅱ).23132log 3log 122+=+-=+=+=-n n b a n n n ……11分∵()[][]12211=+-++=-+n n a a n n ……13分∴数列{}n a 是首相为3,公差为1的等差数列. ……15分11．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足32sin 0a b A -=． （1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且a c >，7b =，求AB → ·AC →的值．解：（1）因为32sin 0a b A -=， 所以3sin 2sin sin 0A B A -=，因为sin 0A ≠，所以23sin =B . ………………………………………5分 又B 为锐角， 则3B π=. …………………………………… 7分（2）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为7b =，根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，……………………………8分整理，得2()37a c ac +-=．由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =． ……………………………… 10分于是2227497cos 21447b c a A bc +-+-===， …………………… 13分 所以7cos cos 27114AB AC AB AC A cb A ===⨯⨯= ． …………… 15分12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由. 解:（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，， ………………4分即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，.故221n n a n S n =-=，. ………………7分（2）由（1）知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -⨯=+++-+，…….整理得431m t =+-， ………………9分 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5. ………………11分 当2t =时，7m =； 当3t =时，5m =； 当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ………………15分第Ⅱ卷一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13．若等比数列{a n }中，2,173-=-=a a ，则5a ＝____.2-14．函数)12lg(2)(2--=x x x x f 的定义域为 ．]2,1()1,21(⋃．15．已知函数)(x f 为奇函数，0)()2(=++x f x f ，当20<<x 时x x x f -=22)(，则=)11(f -1．16. 已知2b 是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是______.⎥⎦⎤ ⎝⎛-451，.17．已知43sin()sin ,0352ππααα++=--<<，则cos α=10433- . 18．把数列{}12+n 中各项划分为：（3），（5，7）, (9,11,13) , (15,17,19,21) , (23) , (25,27)，(29,31,33) , (35,37,39,41),照此下去，第100个括号里各数的和为 1992 . 二、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）19．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB为边向外作正三角形ABC ，问：B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出面积的最大值.解：设∠AOB=θ，OACB AOB ABC S S S ∆∆=+，设AB=x ，则222222cos 12212cos 54cos x OB OA OB OA θθθ=+-=+-⨯⨯=-………………6分OACB AOB ABC S S S ∆∆=+=112sin 2θ⨯⨯ +01sin 602x x=sin θ +3(54cos )4θ-=53sin 3cos 4θθ+-=532sin()43πθ+- ………………12分∴当sin()1,3πθ-=即0150θ=时，OACB S 的面积取得最大值，并且最大值是5324+. ………………15分ACBO20．已知数列,))(2,(,21,}{*11上在直线点中x y N n a a n a a n n n =∈-=+ （Ⅰ）计算;,,432的值a a a（Ⅱ）令}{:,11n n n n b a a b 数列求证--=+是等比数列；（Ⅲ）设n S 、n T 分别为数列}{n a 、}{n b 的前λ是否存在实数项和,n ，使得数列}{nT S nn λ+为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由. 解：解：（Ⅰ）由题意，.43,12,21,221211==-==-+a a a a n a a n n … 2分 同理,1635,81143==a a …………………………………… 3分 （Ⅱ）因为,21n a a n n =-+所以,211211111121--=--++=--=++++++n n n n n n a n a n a a a b ……… 5分21,211)2(1111111==--=---=--=++++++n n n n n n n n n b b b a n n a a a a b ………… 6分又431121-=--=a a b ， 所以数列{}n b 是以43-为首项，21为公比的等比数列. 7分（Ⅲ）由（2）得，.23)21(3211)211(43,)21(3)21(43111-⨯=--⨯-=⨯-=⨯-=++-n n n n n n T b 又,)21(32,)21(31111nn n n n n a n b n a ⨯+-=⨯+-=--=++所以所以.23323211)211(21322)1(2n n n n n n n n S -+-=--⨯⨯+-+=……… 12分由题意，记.,}{.1为常数只要为等差数列要使数列n n n nn n c c c nT S c -+=+λ.211)233(23]23)21(3[)23323(12nn n n n n T S c nn n n n n -⨯-+-=-⨯+-+-=+=+λλλ ,1211)233(2411--⨯-+-=--n n c n n λ则).1211211()233(2111----⨯-+=---n n c c n n n n λ…………………… 14分 故当.}{,21,21为等差数列即数列为常数时nT S c c n n n n λλ+=-=-…… 15分。
数学---江苏省南京外国语学校仙林分校2016-2017学年高一(上)期中试卷(中学部)
江苏省南京外国语学校仙林分校2016-2017学年高一（上）期中数学试卷（中学部）一、填空题（每小题3分，共42分）1．（3分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x＞0}，则A∩B=．2．（3分）函数f（x）=的定义域为．3．（3分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（x）=．4．（3分）已知a+a﹣1=3，则a2+a﹣2=．5．（3分）已知，则f[f（10）]=．6．（3分）函数f（x）=3|x﹣1|的单调递增区间是．7．（3分）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是．8．（3分）已知y=x2+4ax﹣2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围是．9．（3分）化简：（lg2）2+lg2•lg5+lg5=．10．（3分）函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是．11．（3分）设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），若x0所在的区间是（k，k+1）（k∈Z），则k=．12．（3分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=．13．（3分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．14．（3分）已知函数f（x）=．若a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+2）c的取值范围是．二、解答题（58分）15．（8分）已知全集U=R，集合A={x|1＜x≤8}，B={x|2＜x＜9}，C={x|x≥a}．（1）求A∩B，A∪B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．16．（8分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时的解析式为f（x）=﹣x2+4x﹣3．（1）求这个函数在R上的解析式；（2）作出f（x）的图象，并根据图象直接写出函数f（x）的单调区间．17．（10分）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的关系：厂里的固定成本为2.8万元，每生产1百台的生产成本为1万元，每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元）（总成本=固定成本+生产成本）．如果销售收入R（x）=，且该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？18．（10分）已知函数f（x）=log22x﹣m log2x+2，其中m∈R．（1）当m=3时，求方程f（x）=0的解；（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最小值．19．（10分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式，并说明函数的单调性；（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．20．（12分）已知函数g（x）=x+﹣2．（1）证明：函数g（x）在[，+∞）上是增函数；（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．参考答案一、填空题（每小题3分，共42分）1．{1}2．（2，+∞）3．4．75．26．（1，+∞）．7．a＜c＜b8．（﹣∞，﹣2]9．110．（﹣1，﹣1）11．012．e﹣（x+1）13．14．（27，81）二、解答题（58分）15.解：（1）全集U=R，集合A={x|1＜x≤8}，B={x|2＜x＜9}，∴A∩B={x|2＜x≤8}，A∪B={x|1＜x＜9}．（2）∵集合A={x|1＜x≤8}，C={x|x≥a}，A∩C≠∅，∴a≤8，∴a的取值范围为（﹣∞，8]．16．解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）2+4（﹣x）﹣3]=x2+4x+3，即x＜0时，f（x）=x2+4x+3．当x=0时，由f（﹣x）=﹣f（x）得：f（0）=0，所以，f（x）=．（2）作出f（x）的图象（如图所示）数形结合可得函数f（x）的减区间：（﹣∞，﹣2）、（2，+∞）；增区间为[﹣2，0）、（0，2]．17．解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．（2）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．答：当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．18．解：（1）令t=log2x，则当m=3时，方程f（x）=0可化为：t2﹣3t+2=0，解得：t=1或t=2 所以x=2或x=4；（2）令t=log2x，x∈[1，2]，则t∈[0，1]，y=t2﹣mt+2，其图象开口朝上，且以直线x=为对称轴；①当＜0，即m=0时，则t=0，即x=1时，f（x）min=2；②当0≤≤1，即0≤m≤2时，则t=m，即x=2m时，f（x）min=+2；③当＞1，即m＞2时，则t=1，即m=2时，f（x）min=3﹣m；综上f（x）min=19．解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，解得b=﹣1，从而有f（x）=，经检验，符合题意．因为f（x）=1﹣，所以由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为增函数．（2）因为f（x）在R上是奇函数，从而不等式f（2x+1）+f（x）＜0可化为f（2x+1）＜﹣f（x），即f（2x+1）＜f（﹣x），又因f（x）是R上的增函数，由上式推得1+2x＜﹣x，解得x．所以不等式的解集为（﹣）．20．解：（1）设≤x1＜x2，∵g（x1）﹣g（x2）=，∵≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，2＜x1x2，即x1x2﹣2＞0．∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以函数g（x）在[，+∞）上是增函数．解：（2）g（2x）﹣k•2x≥0，可化为2x+﹣2≥k•2x，化为1+2•﹣2•≥k，令t=，则k≤2t2﹣2t+1，因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]，记h（t）=2t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）max=5，所以k的取值范围是（﹣∞，5]．。
【精编】2016-2017年江苏省南京外国语学校高一(上)数学期中试卷带解析答案
2016-2017学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷一、填空题（42分）1．（3分）设全集A={x|x≤2x+1≤5}，B={x|0＜x≤3}，则A∩B=．2．（3分）=．3．（3分）若有意义，则a的取值范围是．4．（3分）已知log a b+log b a=（a＞b＞1），则=．5．（3分）若集合{x|ax2+x+1=0}有且只有一个元素，则a的取值集合为．6．（3分）已知函数f（x）=|lgx|，若a≠b，且f（a）=f（b），则ab=．7．（3分）已知f（x）=，是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．8．（3分）已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a ﹣b=．9．（3分）已知a﹣a﹣1=2，则=．10．（3分）已知函数是偶函数，则a=．11．（3分）已知函数，若函数的值域为R，则常数a的取值范围是．12．（3分）若函数y=log a（1﹣3ax）（a＞0，a≠1）在区间（0，2）上是单调增函数，则常数a的取值范围是．13．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣2，则f（log6）=．14．（3分）函数f（x）=的定义域为R （常数a＞0，a≠1），则实数k的取值范围为．二、解答题15．（8分）设集合A={x|2＜x＜4}，B={x|a＜x＜3a}．（1）若A∩B≠∅，求实数a的范围．（2）若A∪B={x|2＜x＜6}，求实数a的值．16．（8分）函数f（x）=x2+x﹣2a，若y=f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，求a的取值范围．17．（8分）已知f（x）=，x∈R．（1）求证：对一切实数x，f（x）=f（1﹣x）恒为定值．（2）计算：f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）．18．（12分）画出函数y=|2x﹣2|的图象，并利用图象回答：（1）函数y=|2x﹣2|的值域与单调增区间；（2）k为何值时，方程|2x﹣2|=k无解？有一解？有两解？19．（12分）对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）=log a （x﹣3a），与f2（x）=log a（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．（1）若f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？20．（10分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．（1）求f（x），g（x）；（2）若对于任意实数t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（42分）1．（3分）设全集A={x|x≤2x+1≤5}，B={x|0＜x≤3}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【解答】解：由x≤2x+1≤5，解得﹣1≤x≤2，即A={x|﹣1≤x≤2}，∵B={x|0＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．（3分）=4．【解答】解：根据对数的运算律知：．故答案为：4．3．（3分）若有意义，则a的取值范围是≤a＜2或2＜a＜3．【解答】解：要使有有意义，则，即，即≤a＜2或2＜a＜3，故答案为：≤a＜2或2＜a＜34．（3分）已知log a b+log b a=（a＞b＞1），则=1．【解答】解：∵log a b+log b a=（a＞b＞1），∴log a b+=，设t=log a b，∵a＞b＞1，∴0＜t＜1，则条件等价为t+﹣=0，即t2﹣t+1=0，2t2﹣5t+2=0，解得t=2（舍）或t=，即log a b=，即b==，则=，故答案为：15．（3分）若集合{x|ax2+x+1=0}有且只有一个元素，则a的取值集合为．【解答】解：当a=0时，A={﹣1}；当a≠0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式△=1﹣4a=0得a=．综上，当a=0或a=时，集合A只有一个元素．故答案为：．6．（3分）已知函数f（x）=|lgx|，若a≠b，且f（a）=f（b），则ab=1．【解答】解：∵f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|．不妨设0＜a＜b，则由题意可得0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb，lga+lgb=0，∴lg（ab）=0，∴ab=1，故答案为：1．7．（3分）已知f（x）=，是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是[，）．【解答】解：因为函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，所以，解得≤a＜，所以a的取值范围是[，）．故答案为：[，）．8．（3分）已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a ﹣b=2．【解答】解：由f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，得（ax+b）2+4（ax+b）+3=x2+10x+24，即a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24．比较系数得求得a=﹣1，b=﹣7，或a=1，b=3，则5a﹣b=2．故答案为29．（3分）已知a﹣a﹣1=2，则=．【解答】解：∵a﹣a﹣1=2，∴a2+a﹣2=6，∴a3+a﹣3=（a+a﹣1）（a2+a﹣2﹣1）a4﹣a﹣4=（a+a﹣1）（a﹣a﹣1）（a2+a﹣2）∴原式==故答为：10．（3分）已知函数是偶函数，则a=0．【解答】解：∵函数是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），则=，即x2+2ax+3=x2﹣2ax+3，∴2a=﹣2a，可得a=0，故答案为：0．11．（3分）已知函数，若函数的值域为R，则常数a的取值范围是a或a．【解答】解：设g（x）=x2﹣2ax+3，由f（x）=log（x2﹣2ax+3）的值域为R，根据对数函数的图象性质得出：g（x）=x2﹣2ax+3可以取所有的正值，图象不能够在x轴下方∴△=4a2﹣12≥0，即a或a故答案为：a或a12．（3分）若函数y=log a（1﹣3ax）（a＞0，a≠1）在区间（0，2）上是单调增函数，则常数a的取值范围是（0，] ．【解答】解：∵由a＞0，a≠1，∴函数h（x）=1﹣3ax在区间（0，2）上是单调减函数，而y=log a h（x）=log a（1﹣3ax）在区间（0，2）上是单调增函数，∴0＜a＜1，且h（x）=1﹣3ax在区间（0，2）上大于等于零，故有，解得0＜a≤，故答案为：（0，]．13．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣2，则f（log6）=．【解答】解：∵﹣3＜log6＜﹣2，又∵f（x+2）=f（x），∴f（log6）=f（log6+2）=f（log），∵﹣1＜log＜0，∴0＜log2＜1，又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（log）=﹣f（log 2）=﹣（﹣2）=﹣（﹣2）=，故答案为：．14．（3分）函数f（x）=的定义域为R （常数a＞0，a≠1），则实数k的取值范围为k＜4，且k≠3．【解答】解：由a x+4a﹣x﹣k＞0，得：k＜a x+4a﹣x，而a x+4a﹣x≥2=4，故k＜4，且k≠3，故答案为：k＜4，且k≠3．二、解答题15．（8分）设集合A={x|2＜x＜4}，B={x|a＜x＜3a}．（1）若A∩B≠∅，求实数a的范围．（2）若A∪B={x|2＜x＜6}，求实数a的值．【解答】解：（1）∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|a＜x＜3a}，A∩B≠∅，∴或或，解得＜a＜4．∴实数a的范围是（，4）．（2）∵集合A={x|2＜x＜4}，B={a＜x＜3a}，A∪B={x|2＜x＜6}，∴，解得a=2．16．（8分）函数f（x）=x2+x﹣2a，若y=f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2+x﹣2a的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，若y=f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，则y=f（x）在区间[﹣，1）内有零点，即，即，解得：a∈[﹣，1）17．（8分）已知f（x）=，x∈R．（1）求证：对一切实数x，f（x）=f（1﹣x）恒为定值．（2）计算：f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）．【解答】证明：（1）∵f（x）=，x∈R．∴对一切实数x，f（x）+f（1﹣x）=+==+=1，∴对一切实数x，f（x）+f（1﹣x）恒为定值1．解：（2）∵f（x）+f（1﹣x）=1，∴f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）=[f（﹣6）+f（7）]+[f（﹣5）+f（6）]+[f（﹣4）+f（5）]+[f（﹣3）+f（4）] +[f（﹣2）+f（3）]+[f（﹣1）+f（2）]+[f（0）+f（1）]=1+1+1+1+1+1+1=7．18．（12分）画出函数y=|2x﹣2|的图象，并利用图象回答：（1）函数y=|2x﹣2|的值域与单调增区间；（2）k为何值时，方程|2x﹣2|=k无解？有一解？有两解？【解答】解：（1）函数y=|2x﹣2|的图象如下图所示：由图可得：函数y=|2x﹣2|的值域为：[0，+∞）；单调增区间为：[1，+∞）；（2）由图可得：k＜0时，方程|2x﹣2|=k无解；k=0，或k≥2时，有一解；0＜k＜2时，有两解．19．（12分）对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）=log a （x﹣3a），与f2（x）=log a（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．（1）若f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？【解答】解：（1）要使f1（x）与f2（x）有意义，则有，要使f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于：，所以0＜a＜1．（2）f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，⇔|f1（x）﹣f（x2）|≤1⇔|loga（x﹣3a）﹣|≤1⇔|loga[（x﹣3a）（x ﹣a）]|≤1⇔a≤（x﹣2a）2﹣a2对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．设h（x）=（x﹣2a）2﹣a2，x∈[a+2，a+3]，且其对称轴x=2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，⇔⇔⇔⇔，所以当，时，f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的．20．（10分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．（1）求f（x），g（x）；（2）若对于任意实数t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）、g（x）分别是奇函数、偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），令x取﹣x，代入f（x）+g（x）=3x ①，f（﹣x）+g（﹣x）=3﹣x，即﹣f（x）+g（x）=3﹣x ②，由①②解得，f（x）=，g（x）=；（2）由（1）可得，不等式f（2t）+ag（t）＜0为：不等式+a•＜0，化简得，（3t﹣3﹣t）+a＜0，即a＜﹣3t+3﹣t，∵任意实数t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，且函数y=﹣3t+3﹣t在[0，1]上递减，∴y≥，即a＜则实数a的取值范围是（﹣∞，）；（3）由（1）可得，不等式af（m）+g（2m）＜0为：a•+＜0，∵m∈[﹣2，﹣1]，∴，则化简得，a＞==，令t=3﹣m﹣3m，∵m∈[﹣2，﹣1]，∴t∈[，]，则a＞，∴存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立等价于：存在t∈[，]，使得不等式a＞成立，∵=，当且仅当，即t=时取等号，∴函数y=在[，]递增，则函数y=的最小值是，即a＞，故实数a的取值范围是（，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
江苏南京外国语学校2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷(精编含解析)
南京外国语学校2018—2019 学年度第一学期期中高一年级数学试题（A 卷）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分．请把答案写在答．卷．纸．相．应．位．置．上．）1.已知集合 A = {-1, 2, 3, 6}, B = {x | -2 < x < 3} ，则 A B = （）Ç【答案】{-1,2}【解析】【分析】直接利用交集的定义解答.【详解】因为A = {-1, 2, 3, 6}, B = {x | -2 < x < 3} ，所以 A B = {-1,2}。
Ç故答案为：{-1,2}【点睛】本题主要考查交集的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.幂函数 y 的图象是_____（填序号）．①.②. ③. ④.【答案】③【解析】【分析】利用幂函数的图像和性质解答.【详解】因为,在(0,+∞)单调递增,比y=x 增长的慢则选③.12y x =故答案为：③【点睛】本题主要考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3.把函数y ＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是________．【答案】()213y x =-+【解析】【分析】直接根据函数图象的“平移法则”求解即可.【详解】把函数y ＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3，故答案为.()213y x =-+【点睛】本题主要考查函数图象的“平移法则”：上加下减，左加右减，属于简单题.4.偶函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (-1) = （）【答案】3【解析】【分析】由偶函数可得f(-1)=f(1),由f(x)关于x=2对称可得f(1)=f(3)，即可得解.【详解】由偶函数可得f(-1)=f(1),由f(x)关于x=2对称可得f(1)=f(3)则f(-1)=f(3)=3.故答案为：3【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5.集合U = R ， A = (-1, 2) ， B = {x | y = ln (1 - x )} ，则图中阴影部分所代表的集合为_____（结果用区间的形式表示）．【答案】[1,2)【解析】【分析】先化简集合B,再求得即可得解.U A B Çð【详解】由题得B=(-∞,1)，图像中阴影部分为.[)1,2U A B Ç=ð故答案为：[1,2)【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的化简运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6.若函数 的单调递增区间是[3, +∞) ，则 a 的值为_____．()2f x x a =+【答案】-6【解析】【分析】先求出函数的单调区间，再得到，解之即得解.32a -=【详解】由题得y=f(x)在函数在单调递减,在单调递增,则.,2a æùç-¥-úçúèû,2a éö÷-+¥ê÷êëø362a a -=Þ=-故答案为：-6【点睛】本题主要考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.7.已知函数，如果以，为端点的线段的中点在 y 轴()(),0,1x f x a aa =¹＞()()11,P x f x ()()22,Q x f x 上，那 =__________()()12f x f x 【答案】1【解析】【分析】由题得再求的值.120,x x +=12()()f x f x【详解】由题得,所以.120,x x +=1212012()()1x x x x f x f x a aa a +=×===故答案为：1【点睛】本题主要考查指数的运算，考查指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.函数 f ( x ) = 3x - 7 + ln x 的零点位于区间 (n , n + 1) (n ∈ N ) 内，则 n= _________【答案】2【解析】【分析】先判断函数y=f(x)的单调性，再根据函数的零点定理求解.【详解】由题得函数在(0,+∞)单调递增,f(2)=-1+ln2<0,f(3)=2+ln3>0则零点在(2,3)之间,所以n=2.故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的单调性和零点定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9.若关于 x 的方程 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．2420x x a ---=【答案】[-6,-2)【解析】【分析】转化成f(x)=与有交点, 再利用二次函数的图像求解.242x x --y a =【详解】由题得，令f(x)=,242x x a --=()242,1,4x x x --Î所以，()()[)2242266,2f x x x x =--=--Î--所以[)6,2a Î--故答案为：[-6,-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.10.若函数是奇函数，则使成立的 x 的取值范围为_____．()2=21x x a f x -+()13f x >【答案】(1,+∞)【解析】【分析】先求出a 的值，再解不等式得解.()13f x ＞【详解】由题得. 经检验，a=1时，符合题意.()100111a f a -==Þ=+所以即,所以.211213x x ->+224x ´>1222,12,1x x x +>\+>\>故答案为：(1,+∞)11.某商品在近 30 天内每件的销售价格 P （单位：元）与销售时间 t （单位：天）的函数关系为， t ∈ N ，且该商品的日销售量Q （单位:件）与销售时间 t （单位：天）的函数20025{100,2530t t P t t +=-+££ 关系为Q = -t + 40 (0 ≤ t ≤ 30, t ∈ N ) ，则这种商品的日销售量金额最大的一天是 30 天中的第_____天．【答案】25【解析】【分析】分情况讨论即可获得日销售金额y 关于时间t 的函数关系式，根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值最终取较大者分析即可获得问题解答．【详解】由题意得：y=．()()()()()()**2040025100402530t t t t N t t t t N ì+-Îïíï-+-££Îî＜＜，，当0＜t ＜25，t ∈N *时，y=（t +20）（40 t ）= t 2+20t +800= （t 10）2+900．∴t=10（天）时，y max =900（元），当25≤t ≤30，t ∈N *时，y=（ t +100）（40 t ）=t 2 140t +4000=（t 70）2 900，而y=（t 70）2 900，在t ∈[25，30]时，函数递减．∴t=25（天）时，y max =1125（元）．∵1125＞900，∴第25天日销售额最大为1125元．【点睛】本题考查分段函数的应，考查分类讨论的思想、二次函数求最值得方法以及问题转化的能力，属于中档题．12.已知函数且关于 x 的方程有且只有一个实根，且实数 a 的取230(){log 0xx f x xx £= ()0f x x a ++=值范围是_____.【答案】a≤-1【解析】【分析】关于x 的方程f （x ）+x+a=0有且只有一个实根⇔y=f （x ）与y= x -a 的图象只有一个交点，结合图象即可求得．【详解】关于x 的方程f （x ）+x+a=0有且只有一个实根⇔y=f （x ）与y= x -a 的图象只有一个交点，画出函数的图象如右图，观察函数的图象可知当-a ≥1时，y=f （x ）与y= x-a 的图象只有一个交点，即有a ≤-1．故答案为：a≤-1【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象性质，但要注意函数的图象的分界点，考查利用图象综合解决方程根的个数问题．13.已知f(x)＝满足对任意x 1≠x 2都有 >0成立，那么a 的取值范围是(2)1,1{,1x a x x a x -+<³1212()()f x f x x x --____________．【答案】 3[,2)2【解析】∵ >0，∴ f(x)是增函数，∴ 解得 ≤a＜2.()()1212f x f x x x --20{121a a q a->>-+£32点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单[,]a b 调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.14.已知函数，若 f ( f ( x )) 的最小值与 f ( x ) 的最小值相等，则实数 b 的取值范围是__．2()f x x bx =+【答案】(][),02,-¥È+¥【解析】【分析】首先这个函数f （x ）的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值．y=f （f （x ））它的图象只能是函数f （x ）上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数y 必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要f （x ）的最小值小于﹣.2b 【详解】由于f （x ）=x 2+bx +2，x ∈R ．则当x= 时，f （x ）min = ，2b 24b 又函数y=f （f （x ））的最小值与函数y=f （x ）的最小值相等，则函数y 必须要能够取到最小值，即﹣≤ ，24b 2b 得到b ≤0或b ≥2，所以b 的取值范围为{b |b ≥2或b ≤0}．故答案为：][(),02,-¥È+¥【点睛】本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 58 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答 案写在答题纸的指定区域内）15.已知幂函数 的图象经过点 (2,8)．21()()m m f x x m N ++*=Î⑴ 试确定 m 的值 ；⑵ 求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数 a 的取值范围．【答案】(1)m=1;(2) 32a <【解析】【分析】(1)由题得=，解方程即得m 的值.(2)根据函数的单调性得到，解不等式即得解.2128m m ++=3221a a ->-【详解】(1)由题得 或m=-2(舍).21281m m m ++=Þ=(2)由题得 ,在R 上单调递增,由f(2-a)>f(a-1)可得.()3f x x =()f x 3212a a a ->-Þ<【点睛】本题主要考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.已知 f ( x ) =.243x x -+⑴ 作出函数 f ( x ) 的图象；⑵ 写出函数 f ( x ) 的单调递增区间．⑶ 写出集合 M = {m | 使方程f ( x ) = m 有四个不相等的实根}.【答案】(1)见解析;(2)(1,2)和(3,+∞):(3)M={m|0<m<1}【解析】【分析】⑴由题得，再画出函数的图像.(2)根据函数的图像写出函数的单调递增区间.2243,0()43,0x x x f x x x x ì-+-£ï=í-+>ïî(3)利用数形结合得到m 的取值范围.【详解】(1) 由题得，再画出函数的图像如图所示，2243,0()43,0x x x f x x x xì-+-£ï=í-+>ïî(2)由函数的图像得函数的单调递增区间为(1,2)和(3,+∞).(3)由图象可得m ∈(0,1)时，方程f ( x ) = m 有四个不相等的实根.则M={m|0<m<1}.【点睛】本题主要考查函数图像的作法，考查函数的图像和性质，考查利用数形结合解决函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.17.设全集U = R ，集合{}21{|()2},y|lg()[0,)2x A x B y x a =³==+=+¥.⑴ 求；U C A B È⑵ 求实数 a 的值．【答案】(1)(-1,+∞)(2)1【解析】【分析】(1)先求出 ，最后求(2)由题得，再求a (](),1,1,U A A =-¥-=-+¥再求ð().U A B Èð[)21,x a +Î+¥的值.【详解】(1) 则.(](),1,1,,U A A =-¥-=-+¥ð()()1,U A B È=-+¥ð(2) 则a=1.()[)[)220,1,,lg x a x a +=+¥Þ+Î+¥【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，考查对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.已知函数（且）.()log (3)a f x ax =-0a >1a ¹（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；[0,2]x Î()f x a （2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求a ()f x [1,2]出的值；如果不存在，请说明理由.a 【答案】（1）；（2）不存在实数，使在上为减函数且最大值为.3(0,1)(1,2Èa ()f x [1,2]1【解析】试题分析：（1）由为减函数得要使函数在上恒有意义只需恒成立即3y ax =-()f x [0,2]30ax ->即可；（2）由，得，而时，在上320a ->max ()(1)log (3)1a f x f a ==-=32a =32a =3y ax =-[1,2]需恒大于零不成立，故不存在符合题意的的值.a试题解析：（1）由于为减函数，3y ax =-所以要使函数在上恒有意义，()f x [0,2]就是要求恒成立，30ax ->只需，320a ->∴且，302a <<1a ¹因此的取值范围是.a 3(0,1)(1,2È（2）由于为减函数，要使在为减函数且最大值为1，则，且3y ax =-()f x [1,2]1a >，max ()(1)log (3)1a f x f a ==-=∴.32a =又在上需恒大于零，3y ax =-[1,2]∴，320a ->∴，这与矛盾，32a <32a =故不存在实数，使在上为减函数且最大值为1.a ()f x [1,2]考点：1、对数函数的定义域；2、复合函数的单调性及不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性及不等式恒成立问题，属于难题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.本题（2）就是考虑对数函数及一次函数单调性®®®®的同时兼顾函数的定义域后，在根据不等式恒成立解答的.19.已知函数 （ x ∈ R ,且 e 为自然对数的底数）．()x x f x e e -=-⑴ 判断函数 f ( x ) 的单调性与奇偶性；⑵是否存在实数 t ，使不等式对一切的 x ∈ R 都成立？若存在，求出 t 的值，若 22()()0f x t f x t -+-³不存在说明理由．【答案】(1)证明见解析;(2)存在, 12t =【解析】【分析】(1)利用函数奇偶性和单调性的定义证明函数的奇偶性和单调性.(2)由函数的奇偶性和单调性得到对一切的x ∈R 都成立,再利用判别式得解.220x x t t +--³【详解】函数定义域为R,关于原点对称, ,()x x f x ee --=-则,则f(x)是奇函数.()()0f x f x -+=以下证明f(x)在R 上单调递增:任取x 1,x 2∈R,令x 1<x 2 , ()()()121212121212110x x x x x x x x x x e e f x f x e e e e e e e e æö-ç÷-=-+=-+<ç÷èø所以函数单调递增.(2)存在,证明: 等价成,则对一切的()()()2222f x t f x t f t x -³--=-2x t t x -³-220x x t t +--³x ∈R 都成立,则可得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南京外国语学校仙林分校中学部2013-2014学年第一学期
高一年级期中测试
数学学科试题
命题人： 审核人：
第Ⅰ卷
一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知[]0,1U =，10,
2A ⎡⎫
=⎪⎢⎣⎭，则=U A ð ▲ ． 2．已知函数()()22log 1,0,
,0,
x x f x x x ⎧-⎪=⎨>⎪⎩…则()3f -的值是 ▲ ．
3．函数()lg 4y x =-的定义域为 ▲ ．
4．已知关于x 的函数()32x
y t =-是R 上的减函数，则实数t 的取值范围是 ▲ ．
5．三个数0.7
3
a =，3log 0.7
b =，3
0.7c =，将其按从小．．
到大．．
的顺序排列为 ▲ ． 6．已知1
1a a
--=，则22a a -+= ▲ ．
7．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ,C 的坐标分别为()0,4，()2,0，()6,4，则()()0f
f = ▲ ．
8．集合(){},|A x y y a =
=，()(){},|101x
B x y y b b b ==+>≠且，若A B 有且
仅有一个子集，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题（本大题共4小题，共60分） 9．（本题满分14分） 已知集合3|
1,2A x x x ⎧
⎫
=∈⎨⎬+⎩⎭
N …，集合{}2,6B =，全集{}0,1,2,3,4,5,6U =. (1)求集合A ，并写出集合A 的所有子集； (2)求集合()U A B ð.
10．（本题满分14分）
第7题图
2 B
C
A
y x
1 O 3 4 5 6 1
2
3 4
计算：(1)()130
2
4
0.040.316-
--+； (2)2log 33
lg 252lg 224
++．
11．（本题满分16分）
已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()3
2
210f x ax ax bx a =-++>，
(1)求函数()y f x =的解析式； (2)若函数()()1f x g x x
-=在区间[]2,3上有最大值4，最小值1，求a ，b 的值．
12．（本题满分16分）
设函数()()0p
f x x p x
=+
>． (1)若4p =，判断()f x 在区间()0,2的单调性，并用函数单调性定义加以证明；
(2)若()f x 在区间()0,2上为单调减函数，求实数p 的取值范围；
(3)若8p =，方程()3f x a =-在()0,2x ∈内有实数根，求实数a 的取值范围．
第Ⅱ卷
一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13．已知()223f x x =+，则()f x = ▲ ． 14．已知关于x 的函数()()1201x
f x a
a -=+<<，则它的图象恒过定点 ▲ ．
15．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是减函数，且()30f -=，则使得()()0x f x f x +-<⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围是 ▲ ．
16．设0x 是方程8lg x x -=的解，且()()0,1Z x k k k ∈+∈，则k = ▲ ． 17．已知二次函数()f x 满足条件()01f =，且有()()12f x f x x +-=.在区间[]1,2-上，()y f x =的图象恒在2y x m =+的图象下方，则实数m 的取值范围为 ▲ ．
18．已知函数()()2
243,0,
3log 1,0,x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨--<⎪⎩
…若互不相同的实数1x ，2x ，3x 满足
()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为 ▲ ．
二、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）
19．（本题满分14分）
如图，有一块矩形空地ABCD ，要在这块空地上建一片四边形绿地EFGH ，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，若()2=AB a a >，2BC =，AE AH CF CG ===，设
AE x =，绿地面积为y ．
(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)当AE 为何值时，绿地面积最大．
H
D
G
C F
B
E
A
20. （本题满分16分）
设函数()f x 为定义域D 上的单调函数，若存在区间[],a b D ⊆，使得当[],x a b ∈时，
()f x 的取值范围恰为[],a b ，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[],a b 为()f x 的等域
区间.
(1)已知()12
f x x =是[)0,+∞上的正函数，求()f x 的等域区间； (2)试探究函数()1+x
f x x
=-
是否为R 上的正函数，简述你的理由； (3)试探究是否存在实数m ，使得函数()2
g x x m =+是(),0-∞上的正函数？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由.
高一年级期中测试数学学科试题答卷纸(第Ⅰ卷)
一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．____________ ； 2．____________ ； 3．____________ ； 4．____________；
5．____________ ； 6．____________ ； 7．____________ ； 8．____________.
二、解答题（本大题共4小题，共60分）
9．（本题满分14分）
10．（本题满分14分）
11．（本题满分16分）
班级_______学号_____姓名____________________ ————————————密——————————封—————————————线————————————————
12．（本题满分16分）
高一年级期中测试数学学科试题答卷纸(第Ⅱ卷) 一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）：
13．_____ _______ ；14．________ ____ ；15．_____ _______；16．_____ _______ ；17．________ ____ ；18．______ ______.
二、解答题（本大题共2小题，共30分）
19．（本题满分14分）20．（本题满分16分）。