刚体的定轴转动1

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物理学
第五版
4-1 刚体的定轴转动
描述刚体定轴转动的物理量 标量描述 角坐标
θ = θ (t )
O
z
ω
θ
沿逆时针方向转动 θ > 0 逆时针方 沿顺时针方向转动θ < 0 顺时针方 角位移 ∆θ = θ (t + ∆t ) − θ (t )
r P’(t+dt) .
dθ .P(t)
x
∆θ dθ = 角速度矢量 ω = lim ∆t → 0 ∆t dt dω 角加速度 α = dt
(3) 电动机转动的角加速度为 ) 电动机转动的角加速度为
dω ωm −t /τ −t / 2 −2 α= = e = 540πe rad ⋅ s dt τ
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4-2 刚体定轴转动定律
一
力矩
转动中心
v M
描述力对刚体的转动作用 v F 对转轴 z 的力矩 v v
z
v M = r ×F M = Fr sin θ = Fd
2
ω
v
dθ
ds
v v
v r
v v 2v a = r α e t + rω e n
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4-1 刚体的定轴转动
v = rω
对轴
z
ω
v
v dθ r
ds
v v v = rω e t
对点
v et v v
y
r r = ω × r0
x
0
r γ r0
r v = ω r 0 sin γ = ω r
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4-1 刚体的定轴转动
刚体定轴转动的运动学两类问题： 刚体定轴转动的运动学两类问题：
θ → ω → α
用求导的方法 积分加初始条件
α →ω →θ
例2 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直 其横截面通过中心的轴转动．开始时， 其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的 角速度 ω 0 = 0 ，经300 s 后，其转速达到 18 000 r·min-1 ．转子的角加速度与时间成正 问在这段时间内，转子转过多少转？ 比．问在这段时间内，转子转过多少转？
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4-1 刚体的定轴转动
dθ π 2 = t 由 ω = d t 150 θ t π 2 得 ∫ dθ = ∫0 t d t 0 150 π 3 θ = t rad 450
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N= = (300) = 3 ×10 2π 2π × 450
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θ
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4-1 刚体的定轴转动
解 (1) 将 t=6 s 代入 ω = ωm (1 − e )
−t /τ
)
ω = 0.95ωm = 513 r ⋅ s
−1
(2) 电动机在 s内转过的圈数为 ) 电动机在6 内转过的圈数为
1 6 1 6 −t /τ N= ∫0 ωdt = 2π ∫0 ωm (1 − e )dt 2π 3 = 2.21×10 r
1
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4-1 刚体的定轴转动
平动： 平动：刚体内任 意一条给定的直线， 意一条给定的直线， 在运动中始终保持它 的方向不变 特点： 特点： 1、所有点的 所有点的 运动轨迹都完全相同 2、各点位移都相同，运动状态一样，如： 、各点位移都相同，运动状态一样， v v 等都相同． v、a 等都相同．
4
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4-1 刚体的定轴转动
刚体的一般运动可看作： 刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
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4-1 刚体的定轴转动
刚体的平面运动 刚体的平面运动
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4-1 刚体的定轴转动
mo2-1-1[1].swf
一 刚体定轴转动描述
定轴转动的特点 定轴转动的特点 (1) 每一质点均在垂直于转轴的平面内作圆 ) 周运动，圆面为转动平面； 周运动，圆面为转动平面；圆心为转动中心 (2) 各点的轨迹是半径大小不一的圆，同一 ) 各点的轨迹是半径大小不一的圆， 时间内，各点的路程不同。 时间内，各点的路程不同。 (3) 各点的半径扫过的角度相同，即角 ) 各点的半径扫过的角度相同， v v相同 位移相同， 位移相同，从而 ∆θ , ω , α
M= F ⊥d1 + F d3 − F2d2 1 3
r z F1
d1 r r O r1 r 2 r r3 d 2 r r F3 F2
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d3
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4-2 刚体定轴转动定律
的力矩互相抵消． （4）作用力和反作用力的力矩互相抵消． ）作用力和反作用力的力矩互相抵消
v v M ij = − M ji
r M
r M
P P
r F
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o
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4-2 刚体定轴转动定律
（3）合力矩等于各分力矩的矢量和 ）
v v v v M = M1 + M 2 + M3 + L
如规定转轴的oz方向为 如规定转轴的 方向为 正方向， r 正方向，按力矩定 r r 义 M = r ×F ，与转轴 同向为正，反向为负。 同向为正，反向为负。 例:右图中
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4-1 刚体的定轴转动
转动：如果刚体在运动时， 转动：如果刚体在运动时，各个质点在 运动中都绕同一直线作圆周运动，这种 运动中都绕同一直线作圆周运动， 运动便叫做转动。 运动便叫做转动。 转轴：质点转动所围绕的直线。 转轴：质点转动所围绕的直线。 定轴转动：转轴固定不动 定轴转动： 非定轴转动： 非定轴转动：转轴可以运动
x = x 0 + v 0 t + at
2 2 0
θ = θ 0 + ω 0t + αt
1 2
2
v = v + 2a( x − x0 ) ω = ω + 2α (θ − θ 0 )
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4-1 刚体的定轴转动
三 角量与线量的关系
ds = rdθ
v = rω
a t = rα a n = rω
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4-1 刚体的定轴转动
在高速旋转的微型电动机里， 例3 在高速旋转的微型电动机里，有一 圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的 转轴旋转．开始起动时，角速度为零． 转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动 后其转速随时间变化关系为： 后其转速随时间变化关系为： = ωm (1 − e − t /τ ) ω −1 式中 ωm = 540 r ⋅ s ，τ = 2.0 s 求： ． 时电动机的转速． )起动后， (1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 ) = 时电动机的转速 时间内转过的圈数． ) 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 = 时间内转过的圈数 随时间变化的规律． 随时间变化的规律．
O
z
v M
v Ft
v F
Ft = mat = mrα
M = rF sin θ
v r
θ m v Fn
M = rFt = mr α
2
M = mr α
2
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4-2 刚体定轴转动定律
（1）单个质点 ）单个质点m
r v 质量元受外 （2）刚体 质量元受外力 F j ，内力 f j ）
M = mr α
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4-1 刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下， 刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体． 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组． 不变的特殊质点组．) ⑴ 说明： 刚体是理想模型 说明： 刚体模型是为简化问题引进的． ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的． 考虑物体大小、形状， 考虑物体大小、形状，忽略形变 刚体的运动形式：平动、转动． 刚体的运动形式：平动、转动．
2
M ej + M ij = ∆m r α
2 j j
z
O
v rj ∆m j
r fj
v Fj
外力矩
内力矩
∑M
j
ej
+ ∑ M ij = ∑ ∆ m r α
2 j j j
Q Mij = −M ji
∴∑ Mij = 0
j
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4-2 刚体定轴转动定律
∑M
j
ej
= ( ∑ ∆ m j r )α
2 j
角位移.
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4-1 刚体的定轴转动
定轴转动的矢量描述
r 角位移 dθ = dθk r
大小： 时间转过的角度 大小：dt时间转过的角度 方向: 右手螺旋方向 方向
O
z
ω
θ
r P’(t+dt) .
dθ .
P(t)
dθ dθ r 角速度矢量 ω = = k dt dt dθ 大小： 大小： ω = dt r
v rj
v Mij
O
v Mji
d
v ri
j r r fji i
r r r r = ri × fij + rj × f ji
r r r = ( ri − rj ) × fij r r = rij × fij
v v M ij + M ji
fij
=0
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4-2 刚体定轴转动定律
二 转动定律
（1）单个质点 m ） 与转轴刚性连接
2
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4-1 刚体的定轴转动
3、刚体中任意一点的运动都可代替整个刚 体的运动，通常以质心 质心的运动来代表整个 体的运动，通常以质心的运动来代表整个 刚体的平动。 刚体的平动。
r r 质心运动定理： 质心运动定理： F = ma c
不管物体的质量如何分布、外力作用在 不管物体的质量如何分布、 什么地方， 什么地方，质心的运动就象物体的全部质量 都集中于此， 都集中于此，而且所有的外力都作用于其上 的一个质点的运动一样。 的一个质点的运动一样。 刚体平动 质点运动
4-2 刚体定轴转动定律
三 转动惯量
J = ∑ ∆m r
j
2 j j
ω
ω <0
10
v
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4-1 刚体的定轴转动
二 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度 α =常量 常量 刚体做匀变速转动 匀变速转动． 时，刚体做匀变速转动．
质点匀变速直线运动 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动 刚体绕
v = v 0 + at
ω = ω 0 + αt
1 2 2
2 2 0
方向: 方向 右手螺旋方向
r
x
r ω
角速度方~
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dω 角加速度 α = dt dω r = k dt v
v
4-1 刚体的定轴转动
ω
v
在定轴转动中，角 在定轴转动中， 位移、 位移、角速度和角 加速度的方向沿转 轴方向。可以用正 轴方向。可以用正、 来表示. 负来表示.
ω
ω >0
z v
z
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零， 力矩为零，故 F 对转 轴的力矩 r v v M z = r × F⊥
v 其中 Fz 对转轴的 v
v v v F = Fz + F⊥
z
v k
O
v F
v r
v F z
θ
v F⊥
M z = rF⊥ sin θ
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4-2 刚体定轴转动定律
（2）力矩方向与转动效应的关系：右手螺旋 ）力矩方向与转动效应的关系： 力矩方向： 力矩方向：沿转轴 转动效应： 转动效应：顺时针或逆时针 r 可以用标量表示 F o
r
r r ω = 2πk r r r r r r r v = ω × r = ( 2πk ) × (3i + 4 j + 5k ) r r r r r r = 2πk × 3i + 2πk × 4 j + ( 2πk ) × 5k
r r r r = 6πj − 8πi = −25.1i + 18.8 j
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4-1 刚体的定轴转动
dω 解 令 α = ct，即 = ct ，积分 dt 1 2 ω t d ω = c ∫ td t 得 ω = ct ∫0 0 2 −1 −1 当 t =300 s 时 ω = 18 000r ⋅ min = 600π rad⋅ s
2ω 2 × 600 π π −3 c= 2 = = rad ⋅ s 2 t 300 75 1 2 π 2 t ω = ct = 2 150
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4-1 刚体的定轴转动
一刚体绕轴（ 轴 每分钟60转 例1 一刚体绕轴（z轴）每分钟 转，ω r 轴正方向， r 沿z轴正方向，刚体上一点 的位矢为 i 轴正方向 r 刚体上一点P的位矢为 r r r = 3i + 4 j + 5k(m ) r r k ) 则P点的速度为 ( 点的速度为 j 解 ω = 2πn = 2π × 60 / 60 = 2π (rad/s )
z
O
定义转动惯量
J = ∑ ∆m r
j
v rj ∆m j
v Fej
2 j j
v Fij
转动定律 M = Jα 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比. 成正比， 转动惯量成反比 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比
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v F
v r
d
O’
*θ
P
d : 力臂
r 注意： 注意： F
在垂直于转轴的平面内。 在垂直于转轴的平面内。
r r 力的作用点相对于转动中心的位矢
r 方向：右手螺旋，沿转轴． M 方向：右手螺旋，沿转轴．
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4-2 刚体定轴转动定律
讨论
v 不在转动平面内， （1）若力 F 不在转动平面内，把力分 ）