推荐-新人教版高中数学 2.2.4 向量共线定理教案必修四

高中数学 2.2.4 向量共线定理教案 新人教版必修4

教学目标：

1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；

2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.

教学重点：

共线向量定理的应用.

教学难点：

共线向量定理的应用.

教学方法：

问题探究式学习.

教学过程：

一、问题情境

问题1 上一节中蚂蚁自西向东3秒钟的位移对应的向量为3a ，记b ＝3a ，b 与a 共线吗？

a

（给出线性表示：如果b λ=a (a ≠0)，则称向量b 可以用非零向量a 线性表示）

二、学生活动

问题2 对于向量a 和b ，如果有一个实数λ，使得b λ=a ，那么a 与b 共线吗？ （可以引导学生从λ的不同取值来探讨）

（若有向量a 和b ，实数λ，使b λ=a ，则由实数与向量积的定义知：a 与b 为共线向量） 问题3 如果向量a 和b 共线，是否存在一个实数λ，使b λ=a ？

（若a ≠0，a 与b 共线且|b |:|a |μ=，则当a 与b 同向时b μ=a ；当a 与b 反向时b

μa ，

从而向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b λ=a .） 三、构建教学

1．整理归纳向量共线定理．

如果有一个实数λ，使b λ=a (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b λ= a.

2．对定理的理解与证明

问题4 为什么要求a 是非零的？b 可以为0吗？

若a ＝0，则a , b 总共线，而b ≠0时，则不存在实数λ，使b λ=a 成立；而b ＝ a ＝0时，不管λ取什么值，b λ=a 总成立，λ不唯一.

问题5：结合问题2，3的探求，能不能完善定理证明（可以让学生大胆尝试证明，对证明的程序和方法老师要及时给予指导）？

四、教学运用

1. 例题.

例1 如图，E D ,分别为ABC ∆的边AB

和AC 中点，求证：→--BC 与→--DE 共线，并将→--DE 用→--BC 线性表示.

例2 判断下列各题中的向量是否共线：

（1）a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110

e 2； （2）a ＝ e 1＋e 2，b ＝2 e 1－2 e 2，且1e ，2e 共线．

例3 如图2－2－11，ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，

−→−AC λ=)1(-≠−→−λCB 求证：λ

λ++=−→

−−→−−→−1OB OA OC . 例题提高：上例所证的结论λ

λ++=−→−−→−−→−1OB OA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量−→−OC 可以用,−→−OA −→−OB 表

示，那么两个不共线的向量,−→−OA −→−OB 可以表示平面内任一向量吗？

2．练习．

（1）已知向量a ＝2e 1－2e 2，b ＝－3（e 2－e 1），求证：a 与b 是共线向量．

（2）已知4MP =e 12+e 2,2PQ =e 1＋

e 2，求证：M ，P ，Q 三点共线．