待定系数法求二次函数解析式练习题
中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式(含答案)
中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式（含答案）一、单选题（共有3道小题）1.函数20y ax a =≠,（）的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（ ）A.±2B.－2C.2D.32.二次函数()21,0y ax bx a =+-≠的图象经过点(1，1)，则1a b ++ 的值是（ ）A.-3B.-1C.2D.33.若抛物线2＝＋＋y x ax b 与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1＝x ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A ．(－3，－6)B ．(－3，0)C ．(－3，－5)D ．(－3，－1)二、填空题（共有11道小题）4.已知二次函数2y ax =. 若当1x =-时，2y =，那么a =______ 5.已知二次函数m x x y ++=2的图象过点（1，3），则m 的值为 6.二次函数2ax y =的图象过（2，1），则二次函数的表达式为____________. 7.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-4,0），则该抛物线的关系式是 .8.若二次函数的图象开口向下，且经过（2,﹣3）点.符合条件的一个二次函数的解析式为 .9.若抛物线c bx ax y ++=2的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为 .10.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、（3,0），则该抛物线的关系式是 .11.将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A(0，3)，则所得新抛物线的表达式为 12.如图，已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线1x =，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式为13.一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.这个函数解析式为 .(写出一个即可) 14.已知抛物线()k m x a y +-=21与()k m x a y ++=22关于y 轴对称，我们称1y 与2y 互为“和谐抛物线”．请写出抛物线7642++-=x x y 的“和谐抛物线” ．三、解答题（共有9道小题）15.某二次函数图象如图，试计算其表达式。
根据待定系数法求二次函数的解析式练习题
根据待定系数法求二次函数的解析式练习题题目1：已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 通过点 $M(1,3)$，且具有唯一根，求解析式。
解析：由已知条件可得方程 $3=a+b+c$。
同时，二次函数通过点 $M(1,3)$，代入点的坐标得到方程$3=a+b+c$。
由此，我们可以得到一个等式 $a+b+c=3$。
因为二次函数具有唯一根，所以其判别式 $D=b^2-4ac=0$。
代入未知数得到方程 $b^2-4ac=0$。
将以上两个等式带入二次函数的解析式 $y=ax^2+bx+c$ 中，得到方程组：$$\begin{cases}a+b+c=3 \\b^2-4ac=0\end{cases}$$解方程组，可以得到解析式。
题目2：已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 通过点 $M(-1,2)$ 和点 $N(2,-1)$，求解析式。
解析：由已知条件可得方程组：$$\begin{cases}2=a-b+c \\-1=4a+2b+c\end{cases}$$解方程组，可以得到解析式。
题目3：已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 满足以下条件：1. 顶点在点 $A(1,1)$ 上；2. 过点 $B(-2,10)$ 和点 $C(3,7)$。
求解析式。
解析：由已知条件可得方程组：$$\begin{cases}1=a+b+c \\10=4a-2b+c \\7=9a+3b+c\end{cases}$$解方程组，可以得到解析式。
以上是根据待定系数法求解二次函数解析式的练习题，通过解方程组可以得到具体的解析式。
22.1.5用待定系数法求二次函数解析式同步测试含答案.doc
《22.1.5 用待定系数法求二次函数解析式》一、选择题：1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（）A．y=x2+6x+3 B．y=﹣3x2﹣2x+3 C．y=2x2+8x+3 D．y=﹣x2+2x+32．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=3 D．x=﹣33．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（）A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣34．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣35．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣1 ﹣﹣2 ﹣…A．y=x2﹣x﹣B．y=x2+x﹣C．y=﹣x2﹣x+D．y=﹣x2+x+6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣x2D．y=x27．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A ．y=x 2﹣x ﹣2B ．y=﹣x 2﹣x+2C ．y=﹣x 2﹣x+1D ．y=﹣x 2+x+28．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点M （，a ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：9．若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为______．10．与抛物线y=x 2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为______．11．若抛物线y=x 2﹣4x+c 的顶点在x 轴上，则c 的值是______．12．已知二次函数y=a （x+1）2﹣b （a ≠0）有最小值1，则a______b ．13．抛物线y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______．14．二次函数y=x 2﹣2x ﹣3的图象关于原点O （0，0）对称的图象的解析式是______．15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式______．16．抛物线y=ax 2+bx+c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是______．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为______．18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为______．三、解答题：19．求出符合条件的二次函数解析式：（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．《22.1.5 用待定系数法求二次函数解析式》参考答案与试题解析一、选择题：1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（）A．y=x2+6x+3 B．y=﹣3x2﹣2x+3 C．y=2x2+8x+3 D．y=﹣x2+2x+3【解答】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，把（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）代入得解得，所以二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，故选：D．2．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=3 D．x=﹣3【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入可得，解得，则二次函数解析式为y=5x2﹣10x+4=5（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1．故选：B．3．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（）A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3【解答】解：把（3，0）与（2，﹣3）代入抛物线解析式得：，由直线x=1为对称轴，得到﹣=1，即b=﹣2a，代入方程组得：，解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，故选B4．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B、D选项，将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1=（0﹣2）2+1=5，故A选项错误，代入C中，得（x﹣2）2﹣3=（0﹣2）2﹣3=1，故C选项正确．故选：C．5．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣1 ﹣﹣2 ﹣…A．y=x2﹣x﹣B．y=x2+x﹣C．y=﹣x2﹣x+D．y=﹣x2+x+【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣）和（2，﹣），∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把（﹣1，﹣1）代入得4a﹣2=﹣1，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣x﹣．故选A．6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣x2D．y=x2【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a即得a=﹣，那么y=﹣x2．故选：C．7．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误；B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确．故选D．8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：从图象得出，二次函数的对称轴在一，四象限，且开口向上，∴a＞0，﹣＞0，因此b＜0，∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，∴c＜0，∴a＞0，＞0，则点M（，a）在第一象限．故选：A．二、填空题：9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为y=﹣x2+4x﹣3 ．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，a=﹣1，函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，展开得y=﹣x2+4x﹣3．故答案为y=﹣x2+4x﹣3．10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为y=（x﹣3）2+1 ．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+1，因为抛物线y=a（x﹣3）2+1与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，所以a=，所以所求抛物线解析式为y=（x﹣3）2+1．故答案为y=（x﹣3）2+1．11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 4 ．【解答】解：∵y=x2﹣4x+c=（x﹣2）2+c﹣4，∴其顶点坐标为（2，c﹣4），∵顶点在x轴上，∴c﹣4=0，解得c=4，故答案为：4．12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a ＞b．【解答】解：∵二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值，∴抛物线开口方向向上，即a＞0；又最小值为1，即﹣b=1，∴b=﹣1，∴a＞b．故答案是：＞．13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3 ．【解答】解：据题意得解得∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是y=﹣x2﹣2x+3 ．【解答】解：可先从抛物线y=x2﹣2x﹣3上找三个点（0，﹣3），（1，﹣4），（﹣1，0）．它们关于原点对称的点是（0，3），（﹣1，4），（1，0）．可设新函数的解析式为y=ax2+bx+c，则c=3，a﹣b+c=4，a+b+c=0．解得a=﹣1，b=﹣2，c=3．故所求解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式y=（x﹣2）2﹣1 ．【解答】解：因为开口向上，所以a＞0∵对称轴为直线x=2，∴﹣=2∵y轴的交点坐标为（0，3），∴c=3．答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是①③④．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．【解答】解：根据图表，当x=﹣2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣=，根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大．所以①③④正确，②错．故答案为：①③④．17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵顶点C到x轴的距离为2，∴C点坐标为（1，2）或（1，﹣2），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把C（1，2）代入得a×3×（﹣3）=2，解得a=﹣，所以此时抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x ﹣4）=﹣x2+x+；把C（1，﹣2）代入得a×3×（﹣3）=﹣2，解得a=，所以此时抛物线解析式为y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣x﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．故答案为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为y=﹣x2+x或y=x2+x．．【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时，把（0，0）、（1，0）、（﹣，﹣）代入得，解方程组得，则二次函数的解析式为y=﹣x2+x；当图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0）时，把得，解方程组得，则二次函数的解析式为y=x2+x．所以该二次函数解析式为y=﹣x2+x或y=x2+x．三、解答题：19．求出符合条件的二次函数解析式：（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得，所以二次函数解析式为y=﹣2x2+x+3；（2）二次函数解析式为y=a（x+3）2+6，把（﹣2，10）代入得a×（﹣2+3）2+6=10，解得a=4，所以二次函数解析式为y=4（x+3）2+6；（3）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把（0，9）代入得a×1×（﹣3）=9，解得a=﹣3，所以二次函数解析式为y=﹣3（x+1）（x﹣3）=﹣3x2+6x+9．20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），把（0，3）代入得a×3×（﹣5）=3，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣5）=﹣x2+x+3．21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．【解答】解：∵二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），把（0，﹣2）代入得a•1•（﹣5）=﹣2，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣x﹣2．22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0），∴设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）．将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0﹣2）（0+1），解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）（x+1），即y=x2﹣x﹣2；（2）如图．由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2，则C（0，﹣2）．设OP=x，则PA=PC=x+1，在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=．23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵m＞0，∴x=﹣=﹣＜0，∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）解：设抛物线与x 轴交点为A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣m ＜0，x 1•x 2=﹣m 2＜0，∴x 1与x 2异号，又∵=＞0，∴OA ＞OB ，由（1）知：抛物线的对称轴在y 轴的左侧， ∴x 1＜0，x 2＞0，∴OA=|x 1|=﹣x 1 ，OB=x 2，代入得： =， =，从而，解得m=2， 经检验m=2是原方程的根，∴抛物线的解析式为y=x 2+2x ﹣3；（3）解：当x=0时，y=﹣m 2∴点C （0，﹣ m 2），∵△ABC 是直角三角形，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴（x 1﹣x 2）2=x 12+（﹣m 2）2+x 22+（﹣m 2）2 ∴﹣2x 1•x 2=m 4∴﹣2（﹣m 2）=m 4，解得m=，∴S △ABC =×AB •OC=|x 1﹣x 2|•=×2m ×m 2=．。
二次函数专题(一)-待定系数求解析式
二次函数专题(一):待定系数求解析式一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣82．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣23．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；=1，求点B的坐标．（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？二次函数专题(一):待定系数求解析式参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8 C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣8【分析】顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，﹣8）故二次函数的解析式为y=2（x﹣1）2﹣8故选D．【点评】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．2．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得2=a（0+2）2﹣2解得：a=1故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，故选D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时注意选择顶点式还是选择一般式．3．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2【分析】首先由OC=2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC=2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y=ax2+bx+c，把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，得到：，解得：，则函数解析式是：y=﹣x2+x+2；同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y=x2﹣x﹣2．故这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2或y=x2﹣x﹣2．故选C．【点评】求函数解析式的方法就是待定系数法，转化为解方程组的问题，这是求解析式常用的方法．二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为±6．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），因为抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，∴顶点的纵坐标为零，即y===0，解得b=±6．【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．【分析】根据与x轴的另一交点到原点的距离为4，分这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0）两种情况，利用待定系数法求函数解析式解答即可．【解答】解：∵图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，∴这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0），设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，①当这个交点坐标为（﹣4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=x2+2x，②当这个交点坐标为（4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=﹣x2+x，综上所述，二次函数解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．故答案为：y=x2+2x或y=﹣x2+x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，注意另一个交点要分两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+5．【分析】根据图象可得抛物线经过的三个点的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可．【解答】解：根据题意得，抛物线经过点（0，5），（﹣4，2），（2，4），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．故答案为：y=﹣x2﹣x+5．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求函数解析式是常用的方法之一，根据图形找出图象经过的三个点的坐标是解题的关键．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．【分析】（1）把（﹣2，0）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；（2）利用表中数据求解．【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S=1，求点B的坐标．△OAB【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式；（2）把（1）中解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标及对称轴；（3）设B（t，t2﹣2t），根据三角形面积公式得到×2×|t2﹣2t|=1，则t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，然后分别解两个方程求出t，从而可得到B点坐标．【解答】解：（1）抛物线解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x；（2）因为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x=1；（3）设B（t，t2﹣2t），因为S=1，△OAB所以×2×|t2﹣2t|=1，所以t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，解方程t2﹣2t=1得t1=1+，t2=1﹣，则B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；解方程t2﹣2t=﹣1得t1=t2=1，则B点坐标为（1，﹣1），所以B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．【分析】（1）此题知道顶点坐标，适合用二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k来解答．（2）求出与坐标轴的交点坐标，结合已知的顶点坐标，描点、连线．【解答】解：（1）已知二次函数的顶点P（1，﹣4）可设解析式为y=a（x﹣1）2﹣4把A（0，﹣3）代入上式，得﹣3=a﹣4，即a=1∴解析式为y=（x﹣1）2﹣4化为一般式为y=x2﹣2x﹣3（2）当y=0时，原式化为：x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=﹣1，x2=3∴与x轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）当x=0时，y=﹣3．因此与y轴交点坐标为：（0，﹣3）．如右图：【点评】解答此题要熟悉①二次函数的解析式：（1）一般式y=ax2+bx+c，（a，b，c为常数且a≠0）（2）顶点式y=a（x﹣h）2+k，（h，k）为顶点坐标，（3）交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．②描点法作图．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？【分析】（1）由OC与OD的长，求出MD的长，确定出M坐标，设y=a（x﹣2）2+6，把C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）由抛物线解析式设出P坐标，过点P做x轴的垂线，交x轴于点E，利用表示出的点P的坐标确定出线段PE、DE的长，用梯形OCPE的面积减去直角三角形OCD的面积和直角三角形PDE的面积，进而得出S与x的函数解析式，利用二次函数性质求出S最大值时x的值即可．【解答】解：（1）∵OC=4，OD=2，∴DM=6，∴点M（2，6），设y=a（x﹣2）2+6，代入（0，4）得：a=﹣，∴该抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+6；（2）设点P（x，﹣（x﹣2）2+6），即（x，﹣x2+2x+4），x＞0，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，则PE=﹣x2+2x+4，DE=x﹣2，S=x（﹣x2+2x+4+4）﹣×2×4﹣（x﹣2）（﹣x2+2x+4），即S=﹣x2+4x=﹣（x﹣4）2+8，∴当x=4时，S有最大值为8．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。
部编数学九年级上册待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】2023考点题型精讲 解析版含答案
22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。
专题1：用待定系数法求二次函数解析式
专题1：用待定系数法求二次函数解析式一、【经典例题】1.（1）如果一个二次函数的图象经过（－1,-11）（2,8）（0,-8）三点，求出这个二次函数的解析式.（2）如果一个二次函数的顶点为(2,1)且经过点（0,3），求出这个二次函数的解析式.（3）已知二次函数的图象与x 轴交于A （—2,0）,B （6,0）两点，与y 轴交于点C （0,- 4）求二次函数解析式.2.如图,已知抛物线的对称轴为直线x=-1,且经过A （1,0），B （0，-3）两点.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=-1上,是否存在点M,使它到点A 的距离与到点B 的距离之和最小,如果存在求出点M 的坐标,如果不存在请说明理由.()20y ax bx c a =++≠3．如图，抛物线的开口向下，与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ．已知C （0，4），顶点D 的横坐标为﹣，B （1，0）．求抛物线的解析式；二、【练习】1．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）A ．y ＝2x 2+x+2B ．y ＝x 2+3x+2C ．y ＝x 2﹣2x+3D ．y ＝x 2﹣3x+2 2．二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，-3），（3，0）．（1）求b 、c 的值； （2）求该二次函数图象的顶点及坐标和对称轴．3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点A 在x 轴的正半轴上，BC 与y 轴交于点D ，点C 的坐标为（﹣3，4）．（1）点A 的坐标为 ；（2）求过点A 、O 、C 的抛物线解析式，并求它的顶点坐标；4．(如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于点B ，点C ，经过B 、C 两点的抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线2x =．求A 点的坐标及该抛物线的函数表达式.5.如图，ABCD中，A（﹣1，0），B（0，2），BC＝3，求经过B、C、D的抛物线的解析式．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y＝x2+bx﹣2过点C．求抛物线的解析式．。
二次函数待定系数法求函数解析式
二次函数待定系数法求函数解析式精心整理专题训练：求二次函数的解析式一、已知三点求解析式1.经过三点（-1，-22），（1，-8），（2，8）的二次函数为抛物线，其开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,-14)。
解析式为y = 2x^2 - 4x - 16.2.经过三点（0，0），（-1，-1），（1，9）的二次函数为抛物线，解析式为y = 4x^2 - 4x。
3.经过三点（-1，-6），（1，-2），（2，3）的二次函数为抛物线，其开口方向向上，对称轴为x=0，顶点坐标为(0,-1)。
解析式为y = x^2 - x - 5.4.经过三点（1，a），（2，b），（3，4）的二次函数为抛物线，解析式为y = -3x^2 + 18x - 15.5.经过两点（-1，10），（2，7）且3a+2b=16的二次函数为抛物线，解析式为y = -x^2 + 4x +6.6.经过两点（a，b）和（12，b）且顶点纵坐标为3的二次函数为抛物线，解析式为y = -1/36(x-a)^2 + b + 3.7.经过两点（-3，c）和（0，3）的二次函数为抛物线，其顶点为M(－3，c+1)，对称轴为x=－3，解析式为y = -x^2 + 6x + c。
8.经过三点A（-1，0），B（0，-1），C（1，2）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - x - 1.9.经过三点（-1，-2），（0，-1），（1，0）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - x - 2.10.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3，解析式为y = -1/2x^2 + 3.11.经过点A（-1，4），（1，4）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - 4.12.经过三点（1，0），（-1，0），（0，-3）的二次函数为抛物线，其顶点为(0,-3)且对称轴为y=-3，解析式为y = -x^2 - 3.13.经过三点（-1，3），（3，-1），（4，3）的二次函数为抛物线，其开口方向向下，对称轴为x=3，顶点坐标为(3,2)。
中考数学高频考点专题练习-待定系数法求二次函数解析式
中考数学高频考点专题练习-待定系数法求二次函数解析式一、解答题1．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线2y x bx c=++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线AC的函数解析式为y=(1)求该抛物线的函数关系式与B点坐标；(2)已知点D (m，0)是线段OA上的一个动点，过点作x轴的垂线l分别与直线AC和抛物线交于E、F两点，当m为何值时，△CEF恰好是以EF为底边的等腰三角形？(3)在(2)问条件下，当△CEF恰好是以EF为底边的等腰三角形时，若P是直线AC上的一个动点，设P的横坐标为x，①连接FP，求12PF PA+最小值；①若①APF不小于45°，请直接写出x的取值范围.2．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2＋2mx的顶点为A，直线l：y＝x－1与x轴交于点B．(1)如图，已知点A的坐标为（2，4），抛物线与直线l在第一象限交于点C．①求抛物线的解析及点C的坐标；①点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D，交抛物线于点E，设点M的横坐标t．当EM＞BD时，求t的取值范围；①S 关于m 的函数关系式；①S 的最小值及S 取最小值时m 的值．3．如图，对称轴为x =﹣1的抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．(1)求点B 的坐标．(2)已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．①求抛物线的解析式．①若点P 在抛物线上，且S△POC =4S△BOC ，求点P 的坐标．①设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ①x 轴交抛物线于点D ，请直接写出线段QD 长度的最大值和对应的点Q 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点()4,0B ，点()3,A m 在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan OAB ∠的值．5．如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（2）若直线y ＝kx 23+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值； （3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值43m ，求m 的值． 6．如图，已知直线334y x =+交x 轴负半轴于点A ，交y 轴于点C ，抛物线238y x bx c =-++经过点A 、C ，与x 轴的另一交点为B ．()1求抛物线的解析式；()2设抛物线上任一动点P 的横坐标为m ．①若点P 在第二象限抛物线上运动，过P 作PN x ⊥轴于点N 交直线AC 于点M ，当直线AC 把线段PN 分成2：3两部分时，求m 的值；①连接CP ，以点P 为直角顶点作等腰直角三角形CPQ ，当点Q 落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点P 的坐标．7．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点，直线1x =是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若,PD m PCD =△的面积为S ．①求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；①当S 取得最大值时，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P 的8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B(4，0)，C(8，0)，D(8，8)．抛物线y=ax 2+bx 过A ，C 两点．(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点P 作PE①AB 交AC 于点E ，过点E 作EF 上AD 交AD 于点F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，线段EG 最长?9．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y ＝a （x 2+x ﹣1）的图象交于点A （1，a ）和点B （﹣1，﹣a ）． （1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足的条件以及x 的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B -．(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线沿x 轴向右平移t 个单位长度，使它经过点(0,1)，求出t 的值．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ﹣3与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，D 为抛物线顶点．(2)如图1，连接AD ，交y 轴于点E ，点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，连接PD 交x 轴于F ，连接EF 、AP ，若S △ADP ＝3S △DEF ，求点P 的坐标．(3)点Q 是抛物线对称轴上一动点，连接OQ 、AQ ，设①AOQ 外接圆圆心为H ，当sin①OQA 的值最大时，请求出点H 的坐标．12．已知一个抛物线经过点()3,0，()1,0-和()2,6-．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；13．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线AB 相交于A （﹣1，0），B （3，2），与x 轴交于另一点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在y 上是否存在一点E ，使四边形ABCE 为矩形，若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以C 为圆心，1为半径作①C ，D 为①O 上一动点，求DA 的最小值． 14．若抛物线的顶点坐标是（1，16），并且抛物线与轴两交点间的距离为8，（1）试求该抛物线的关系式； （2）求出这条抛物线上纵坐标为12的点的坐标．15．如图，已知抛物线与x 轴交于A （﹣1，0）、B （5，0）两点，与y 轴交于点C （0，5）．(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C 、B 不重合），过点D 作DF ①x 轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD 、CD ．设点D 的横坐标为m ，①BCD 的面积为S ．①求S 关于m 的函数关系式及自变量m 的取值范围；①当m 为何值时，S 有最大值，并求这个最大值；①直线BC 能否把①BDF 分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D 的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，已知直线y x c =-+交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A -，与直线y x c =-+交于B C 、两点，点P 为抛物线上的动点，过点P 作PE x ⊥轴，交直线BC 于点F ，垂足为E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于抛物线对称轴右侧时，点Q 为抛物线对称轴左侧一个动点，过点Q 作QD x ⊥轴，垂足为点D ．若四边形DEPQ 为正方形时求点P 的坐标；（3）P Q 、关于抛物线对称轴对称，若PQF △是以点P 为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点P 的横坐标． 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时①CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.参考答案：1．（1）232333y x =B (1, 0).（2）当m= -1时，△CEF 恰好是以EF 为底边的等腰三角形.（3）①12PF PA +433313x --<≤ 2．(1)①24y x x =-+；C 313+113+；①1＜t ＜13(2)①S ＝2111222m m -+；①当m ＝12时，取最小值，最小值为383．(1)点B 的坐标为(1,0)(2)①223y x x =+-；①(4,21)或()4,5-；①QD 有最大值94，点Q 的坐标为3(2-，9)2-．4．（1）24y x x =-+，它的对称轴为：2x =；（2）25．（1）()21233y x =--+；（2）1222,,3k k ==；（3）95.4m =-或 6．(1)233 384y x x =--+；(1)①43m =-或3m =-；①P 点坐标为()4,0-或210,33⎛⎫- ⎪⎝⎭或()2,0或410,33⎛⎫- ⎪⎝⎭7．(1)223y x x =-++ (2)①213(04)42S m m m =-+<≤；①S 有最大值为94，此时3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，(637,1867)-+-或(47,227)-+8．(1)点A 的坐标为(4，8)．抛物线的解析式为：y=一12x 2+4x ．（2）线段EG 最长为2．9．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标（0，0）；（2）a ＜0且x ≤﹣12；（3）a ＝23 10．(1)243y x x =++(2)t 的值为222211．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3(2)P （6，2）(3)H （﹣122H （﹣12212．(1)2246y x x =--(2)顶点坐标为()1,8-；对称轴为直线1x =13．(1)y ＝12-x 2+32x +2 (2)存在，E （0，﹣2）(3)DA14．1）或（2）（-1，12）（3，12）15．(1)245y x x =-++ (2)①()25250522s m m m =-+<<；①当52m =时，S 有最大值，最大值为1258； ①能，点D 的坐标为26539⎛⎫ ⎪⎝⎭，或33524⎛⎫ ⎪⎝⎭，16．（1）223y x x =-++；（2）四边形DEPQ 为正方形时点P 的坐标为)2和()22-；（3）点P 的横坐标为2或1- 17．（1）2--23y x x =+；顶点D 的坐标为（-1，4）（2）M 点坐标为（-1，4）（3）当点P 的坐标为315(,)24-时，①CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8。
用待定系数法求二次函数解析式专题限时训练卷
用待定系数法求二次函数解析式专题限时训练卷一．选择题（共10小题）1．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1B．y=−12（x﹣2）2﹣1C．y＝（x﹣2）2﹣1D．y=12（x﹣2）2﹣12．一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=12x2−2x+3相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（）A．y=12(x−2)2+1B．y=12(x+2)2−1C．y=12(x+2)2+1D．y=12(x−2)2−13．关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．04．已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝﹣2（x+1）2C．y＝2（x﹣1）2D．y＝﹣2（x﹣1）2 5．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 6．与y＝2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y＝1+12x2B．y＝（2x+1）2C．y＝（x﹣1）2D．y＝2x27．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣38．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞09．若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c的值为（）A．1B．﹣1C．2D．410．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则c的值为（）A．﹣1B．2C．﹣3D．﹣2二．填空题（共2小题）11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．12．写出一个经过原点且开口向上的抛物线的解析式：．三．解答题（共3小题）13．已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=−14x2+bx+c经过点A、C．（1）求抛物线解析式及顶点M坐标；（2）P为抛物线第一象限内一点，使得△P AC面积最大，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）当m≤x≤m+1时，（1）中二次函数有最大值为﹣2，求m的值．15．如图，抛物线y＝mx2﹣2mx+4经过点A，B，C，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差；（3）若点P的坐标为（2，2），连接AP，并将线段AP向上平移a（a≥0）个单位得到线段A1P1，若线段A1P1与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围．。
用待定系数法求二次函数解析式专题练习
用待定系数法求二次函数解析式专项练习类型一：已知顶点和另外一点用顶点式1.已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二 次函数的关系式。
2. 已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式3. 已知抛物线对称轴是直线x ＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
4. 已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。
5. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，。
求这条抛物线的解析式。
6.已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且顶点在x 轴上．(1)求二次函数的解析式。
7.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式．8.已知一个二次函数对称轴x=8,函数最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式9.二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,1625求二次函数解析式． 类型二：已知图像上任意三点用一般式1. 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．2. 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。
3. 已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。
求这个二次函数的解析式。
4. 已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．求解析式5.已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）求二次函数的关系式 类型三：已知图像与x 轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式1. 已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.求它的 解析式。
2. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．3. 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=－3，x 2=1，且与y 轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。
中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式(含答案)
中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式（含答案）一、单选题（共有3道小题）1.函数20y ax a =≠,（）的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（ ）A.±2B.－2C.2D.32.二次函数()21,0y ax bx a =+-≠的图象经过点(1，1)，则1a b ++ 的值是（） A.-3 B.-1 C.2 D.3 3.若抛物线2＝＋＋y x ax b 与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1＝x ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A ．(－3，－6) B ．(－3，0) C ．(－3，－5) D ．(－3，－1)二、填空题（共有11道小题）4.已知二次函数2y ax =. 若当1x =-时，2y =，那么a =______5.已知二次函数m x x y ++=2的图象过点（1，3），则m 的值为6.二次函数2ax y =的图象过（2，1），则二次函数的表达式为____________.7.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-4,0），则该抛物线的关系式是 .8.若二次函数的图象开口向下，且经过（2,﹣3）点.符合条件的一个二次函数的解析式为 .9.若抛物线c bx ax y ++=2的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为 .10.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、（3,0），则该抛物线的关系式是 .11.将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A(0，3)，则所得新抛物线的表达式为12.如图，已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线1x =，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式为13.一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.这个函数解析式为 .(写出一个即可)14.已知抛物线()k m x a y +-=21与()k m x a y ++=22关于y 轴对称，我们称1y 与2y 互为“和谐抛物线”．请写出抛物线7642++-=x x y 的“和谐抛物线” ．三、解答题（共有9道小题）15.某二次函数图象如图，试计算其表达式。
数学人教版九年级上册待定系数法求二次函数的解析式课后练习
待定系数法求二次函数的解析式课后练习
类型1：已知抛物线上任意的三个点的坐标或三对,x y 的值，求解析式
例1.已知二次函数的图象经过(1,0),(2,5),(1,4)--三点，求这个函数的解析式；
类型2：已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和另一个点的坐标，求解析式
例2．已知抛物线与x 轴的交点是(2,0),(1,0)A B -，且经过点(2,8)C ，求该抛物线的解析式。
类型3：已知抛物线的顶点坐标和某一个点的坐标，求解析式
例3．已知一个二次函数的图像过点(1,5)，它的顶点坐标是(2,3)求这个二次函数的关系式.
类型4：已知抛物线的对称轴，和某两个点的坐标，求解析式
例4：已知抛物线的对称轴是1x =-,且过(2,0),(0,4)，求此抛物线的解析式。
类型5：已知一个抛物线的解析式，求平移后的函数解析式
例5：抛物线2
2y x =-向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到抛物线2y ax bx c =++，求抛物线的解析式；。
20待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习(基础)
待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2016•厦门校级模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G2.二次函数y =x2 + 2x - 5 有( )A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-63.把抛物线y=3x2 先向上平移2 个单位再向右平移3 个单位，所得的抛物线是（）A. y=3(x－3)2+2B.y=3(x+3)2+2C.y=3(x－3)2－2D. y=3(x+3)2－24.如图所示，已知抛物线 y＝x2 +bx +c 的对称轴为x＝2，点A，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5.将函数y =x2 +x 的图象向右平移 a(a＞0)个单位，得到函数y =x2 - 3x + 2 的图象，则 a 的值为( )A．1 B．2 C．3 D．46.若二次函数y =ax2 +bx +c 的x 与y 的部分对应值如下表：x-7 -6 -5 -4 -3 -2Y-27 -13 -3 353则当x＝1 时，y 的值为 ( )A．5 B．-3 C．-13 D．-27二、填空题7.抛物线y =-x2 +bx +c 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为．第7 题第10 题8．（2016•河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是．9.已知抛物线y =-x2 + 2x + 2 ．该抛物线的对称轴是，顶点坐标；10.如图所示已知二次函数y =x2+bx +c 的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x 的取值范围是．11．已知二次函数y =ax2 +bx +c(a≠0)中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表：x …-32-1 -1212132…y …-54-2 -94-2 -5474…则该二次函数的解析式为．12.已知抛物线y =ax2 +bx +c 的顶点坐标为(3，-2)，且与 x 轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为．三、解答题13.根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式． (1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与 x 轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14.如图，已知直线 y＝-2x+2 分别与 x 轴、y 轴交于点 A，B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 ABC，∠BAC＝90°，求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式．15．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．【答案与解析】一、选择题 1. 【答案】C ．【解析】∵F （2，2），G （4，2）， ∴F 和 G 点为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线 x=3， ∴H （3，1）点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为 y=a （x ﹣3）2+1， 把 E （0，10）代入得 9a +1=10，解得 a=1，∴抛物线的解析式为 y=（x ﹣3）2+1．2. 【答案】C ；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即 y = x 2 + 2x - 5 = x 2 + 2x +1- 6 = (x +1)2- 6 ，∵ a ＝1＞0，∴ x ＝-1 时， y 最小 = -6 ．3. 【答案】A ；4. 【答案】D ；【解析】∵ 点 A ，B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，∴ 点 A 与点 B 关于对称轴 x ＝2 对称， 又∵ A(0，3)， ∴ AB ＝4，y B ＝y A ＝3，∴ 点B 的坐标为(4，3)． 5.【答案】B ；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移， y = x 2+ x 的顶点坐标是⎛ - 1 , -1 ⎫ ， y = x 2- 3x + 2⎝⎭的顶点坐标是⎛ 3 , - 1 ⎫，∴ 移动的距离 a = 3 - ⎛ - 1 ⎫ = 2 ． ⎝ ⎭ ⎝ ⎭6.【答案】D ；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将 x ＝1 代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当 x ＝-4 和 x ＝-2 时，函数值均为 3，由此可知对称轴为 x ＝-3，再由对称性可知 x ＝1 的函数值必和 x ＝-7 的函数值相等，而 x ＝-7 时 y ＝-27． ∴ x ＝1 时，y ＝-27．二、填空题7．【答案】 y = -x 2+ 2x + 3 ；【解析】由图象知抛物线与 x 轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则 y = -(x +1)(x - 3) ． 8.【答案】（1，4）．【解析】∵A （0，3），B （2，3）是抛物线 y=﹣x 2+bx +c 上两点，⎪ ⎩ ⎪ ⎩解得：b=2，c=3，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．9．【答案】(1)x＝1；(1，3)；b ⎛ b 4ac -b2 ⎫【解析】代入对称轴公式x =-2a 和顶点公式 -2a,4a⎪即可.⎝⎭10.【答案】x ≥1 ；2【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入y =x2 +bx +c 中得 b＝-1，∴对称轴为x =1，在对称轴的右侧，即x ≥1时，y 随 x 的增大而增大.2 21.【答案】y =x2 +x - 2 ；【解析】此题以表格的形式给出 x、y 的一些对应值．要认真分析表格中的每一对 x、y 值，从中选出较简单的三对 x 、y 的值即为 (-1 ，-2) ，(0 ，-2) ，(1 ，0) ，再设一般式y =ax2 +bx +c ，用待定系数法求解．设二次函数解析式为y =ax2 +bx +c (a≠0)，⎧a -b +c =-2,由表知⎨c =-2,⎪a +b +c = 0.⎧a = 1,解得⎨b =1,⎪c =-2.∴二次函数解析式为y =x2 +x - 2 ．12．【答案】y =1(x - 3)2 - 2 ；2【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．三、解答题13.【答案与解析】(1)∵ 顶点是(1，2)，∴ 设y =a(x -1)2 + 2 (a≠0)．又∵过点(2，3)，∴a(2 -1)2 + 2 = 3 ，∴a＝1．∴ y = (x -1)2 + 2 ，即y =x2 - 2x + 3 ．∴代入得：，设所求抛物线的解析式为y =ax2 +bx +c(a ≠ 0) ，⎧a =5 ,则有⎨9a + 3b +c = 1，解得⎪⎨b =-，⎧⎪a +b +c = 0,⎪ 617⎪c = 2,⎩⎪6⎪c = 2.⎪⎩⎪⎩⎪⎩(2)设二次函数解析式为y =ax2 +bx +c (a≠0)．⎧a +b +c =-1,由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得⎨c = 1,⎪a -b +c =13,⎧a = 5,解得⎨b =-7,⎪c = 1.故所求的函数解析式为y = 5x2 - 7x +1 ．(3)由抛物线与 x 轴交于点(1，0)，(3，0)，∴设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵过点(0，-3)，∴ a(0-1)(0-3)＝-3，∴a＝-1，∴ y＝-(x-1)(x-3)，即y =-x2 + 4x - 3 ．14.【答案与解析】过 C 点作CD⊥x 轴于 D．在y＝-2x+2 中，分别令 y＝0，x＝0，得点 A 的坐标为(1，0)，点 B 的坐标为(0，2)．由 AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，∴ AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，∴ C 点的坐标为(3，1)．∴ 所求抛物线的解析式为y =5x2 -17x + 2 ．6 615.【答案与解析】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，。
《用待定系数法求二次函数的解析式》同步练习（含答案）
用待定系数法求二次函数的解析式同步练习题基础题知识点1利用“三点式”求二次函数解析式1．已知二次函数y＝－12x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点，则这个二次函数的解析式为______________________．2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：x －7 －6 －5 －4 －3 －2y －27 －13 －3 3 5 3则此二次函数的解析式为____________________．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．4．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标．知识点2 利用“顶点式”求二次函数解析式5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－86．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y 轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式．知识点3 利用“交点式”求二次函数解析式 7．如图所示，抛物线的函数表达式是( )A ．y ＝12x 2－x ＋4B ．y ＝－12x 2－x ＋4C ．y ＝12x 2＋x ＋4D ．y ＝－12x 2＋x ＋48．已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，则该二次函数的解析式为_______________．9．已知二次函数经过点A(2，4)，B(－1，0)，且在x 轴上截得的线段长为2，求该函数的解析式．中档题10．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A ．y ＝x 2－x －2B ．y ＝－12x 2－12x ＋2C ．y ＝－12x 2－12x ＋1D ．y ＝－x 2＋x ＋211．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点是(－1，－3)，则b ，c 的值分别是( )A ．b ＝2，c ＝4B ．b ＝2，c ＝－4C ．b ＝－2，c ＝4D ．b ＝－2，c ＝－412．二次函数的图象如图所示，则其解析式为________________．13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线所对应的函数关系式为________________．14．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为___________________________________．15．如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y 轴交于点B(0，3)，与x 轴交于C ，D 两点．点P 是x 轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当PA ＋PB 的值最小时，求点P 的坐标．16．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．综合题17．设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．参考答案基础题1.y ＝－12x 2＋4x －6 2.y ＝－2x 2－12x －133.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝6，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－3x ＋1.4.(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3.∴二次函数解析式是y ＝x 2－2x －3.(2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－4)． 5.D6.依题意，设y ＝a(x －h)2＋k.将顶点坐标(4，－1)和与y 轴交点(0，3)代入，得3＝a(0－4)2－1.解得a ＝14.∴这条抛物线的解析式为y ＝14(x －4)2－1.7.D 8.y ＝x 2－x －29.∵B(－1，0)且在x 轴上截得的线段长为2，∴与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)或(－3，0)．设该函数解析式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，把A(2，4)，B(－1，0)，(1，0)代入得a(2＋1)(2－1)＝4，解得a ＝43.所以y ＝43(x＋1)(x －1)．同理，把A(2，4)，B(－1，0)，(－3，0)代入，可以求得y ＝415(x ＋1)(x ＋3)．∴函数的解析式为y ＝43(x ＋1)(x －1)或y ＝415(x ＋1)(x ＋3)．中档题10.D 11.D 12.y ＝－x 2＋2x ＋3 13.y ＝x 2－2x －3 14.y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋215.(1)∵抛物线顶点坐标为(1，4)，∴设y ＝a(x －1)2＋4.∵抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，－3)，连接AE 交x 轴于点P.设AE 解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7，b ＝－3.∴y AE ＝7x －3.∵当y ＝0时，x＝37，∴点P 的坐标为(37，0)． 16.(1)∵A(1，0)，B(3，0)，∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)(x －3)．∵抛物线过(0，－3)，∴－3＝a(－1)×(－3)．解得a ＝－1.∴y ＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3.∵y ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)．(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y ＝－x 2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y ＝－x 上． 综合题17．(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画函数图象图略．(2)①三个图象都过点(1，0)和点(－1，4)；②图象总交x轴于点(1，0)；③k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；④函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(x－3)]的图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；等等．(其他正确结论也行)(3)将函数y2＝(x－1)2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3＝(x＋3)2－2，∴当x ＝－3时，函数y3取最小值，等于－2.。
用待定系数法求二次函数的解析式
用待定系数法求二次函数的解析式一、一般式： .已知图像上三点或三对 x 、y 的值，通常选择一般式.1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
2.二次函数y= ax2+bx+c，x=－2时y=－6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。
3．二次函数图像过（-1，3）、（1，3）、（2，6），求解析式。
4.二次函数图像过（-1，-1）、（0，-2）、（1，1），求解析式。
5.二次函数图象过（0，0），（1，-2），（2，3），求解析式。
二、顶点式：. .已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.1.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。
2.二次函数y= ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。
3.已知抛物线顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。
4.已知抛物线顶点坐标为（4，—8），且经点（6，—4），求其解析式。
5．抛物线的最大值为3，且过（0，2）和（3，-1）；三、交点式：已知图像与轴的交点横坐标、，通常选交点式1.已知二次函数的图象与x轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。
2.已知抛物线y=a x2+b x+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，求解析式。
3.二次函数图像过（-2，0）、（1，0）、（2，8），求解析式。
4.已知抛物线y=ax2+bx+c经过（1，0）（5，0），（4，3），求解析式。
5．抛物线y=-2x2+bx+c与x轴相交于（-1，0）、（3，0）；四、用适当方法求解解析式1.抛物线与x轴交于A（2，0）、B（6，0），且顶点到y轴的距离为2，求其解析式。
2.求形状与抛物线y=-x2相同，对称轴是x=-2，且过（0，3）的抛物线解析式。
3.二次函数y=ax2+bx+c图象顶点纵坐标为-2，且x≤-1时，y随x 的增大而减少；x≥-1时，y随x的增大而增大，且经过（1，0），求这个二次函数的解析式。
2020中考复习《二次函数》—待定系数法求二次函数解析式(有答案)
2020中考复习《二次函数》—待定系数法求二次函数解析式姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是(−1,3)，且过点(0,5)，那么二次函数y=ax2+bx+c的解析式为()A. y=−2x2+4x+5B. y=2x2+4x+5C. y=−2x2+4x−1D. y=2x2+4x+32.二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1,1)，则该二次函数的解析式为()A. y=2x2−1B. y=2x2+3C. y=−2x2−1D. y=−2x2+33.一个二次函数的图象经过点A(0,0)，B(−1,−11)，C(1,9)三点，则这个二次函数的关系式是()A. y=−10x2+xB. y=−10x2+19xC. y=10x2+xD. y=−x2+10x4.二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过(−2,8)，下列点中在该函数的图象上的是()A. (2,8)B. (1,3)C. (−1,3)D. (2,6)5.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为()A. ℎ=−316t2 B. ℎ=−316t2+tC. ℎ=−18t2+t+1 D. ℎ=−18t2+2t+16.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式是A. y=2x2+xB. y=3x2+3xC. y=x2−2xD. y=x2+2x7.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱距离是4m，则抛物线的函数关系式为()A. y=254x2 B. y=−254x2 C. y=−425x2 D. y=425x2二、填空题8.如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y=x2−4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为______________．9.试写出一个图象开口向上，且经过点(0,1)的二次函数解析式：________．10.与抛物线y=2x2−4x的形状相同，开口方向也相同，且顶点坐标为(1,3)的抛物线解析式是____．11.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点分别为A(1,0)，B(−4,0)，则该抛物线所对应的函数表达式为___________________．12.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则当x=3时，y=______．x…−3−2−101…y…73113…13.一个二次函数的解析式的二次项系数为1，一次项系数为0，这个二次函数的图象与y轴的交点坐标是(0,1)，这个二次函数的解析式是_________．14.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在抛物线y=ax2上，C，D在x轴上，AB的中点E在y轴上，AB=4AD.已知矩形ABCD的周长为10，若将抛物线的顶点平移到点C，则点E________(填“在”或“不在”)抛物线上．三、解答题15.二次函数y=ax2+2x+c的图象经过(−1,0)，(3,0)两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)求该二次函数图象与y轴交点的坐标．16.如图，二次函数y=ax2+bx−3a经过点A(−1,0)，C(0,3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．(1)求此二次函数表达式；(2)连接DC，BC，DB，求证：△BCD是直角三角形．17.已知，如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0, 5)，且经过点(1, 8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴．(3)求△ABC的面积S△ABC．18.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B点，与y轴交于C点，顶点为D，其中点A，C的坐标分别是(−1,0)，(0,3)．(1)求抛物线的表达式与顶点D的坐标．(2)连结BD，过点O作OE⊥BD于点E，求OE的长．19.甲，乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x−4)2+ℎ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．(1)若a=−1．24①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为12m5的Q处时，乙刚好打到球，求a的值．20.设抛物线y=mx2−2mx+3(m≠0)与x轴交于点A(a,0)和B(b,0)．(1)若a=−1，求m，b的值；(2)若2m+n=3，求证：抛物线的顶点在直线y=mx+n上；(3)抛物线上有两点P(x1,p)和Q(x2,q)，若x1<1<x2，且x1+x2>2，试比较p与q的大小。
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
2. 过顶点和一普通点的二次函数解析式的确定
由于抛物线 y a ( x h) 2 k 顶点坐标是 (h，k ) ， 反之，已知顶点坐标为 (h，k ) ，则可设函数解析式为 y a ( x h) 2 k 。 【例题】已知某抛物线的顶点坐标 (3， 且过点 4) (1， ，求它的函数解析式。 8) 解：∵顶点坐标是 (3， 4) ∴可设函数解析式为 y a( x 3) 2 4 又过点 (1 8) ， 2 ∴ 8 a(1 3) 4 解得 a 1 ∴函数解析式为 y ( x 3) 2 4 即 y x 2 6 x 13
问题：此球能否投中？
1 2 解法二：前面解法相同，得y x 4 （0≤x≤8） 4 9 设篮球高度能达到篮圈中心3米高， 1 2 令y x 4 4=3， 9 解之，得x1 =1 （不合题意，舍去），x2 =7
即篮球与小明的水平距离没有达到8米，此球不能投中。
20 Q 抛物线经过点 0， 9 20 2 a0 4 4 9
20 当x 8时，y 9
此球没有达到篮圈中心距离地面3 米的高度，不能投中。
20 条件：小明球出手时离地面高 米， 9 小明与篮圈中心的水平距离为8米，
球出手后水平距离为4米时最高4米，
篮圈中心距离地面3米。
3.如图， 已知抛物线y=ax² +bx+3 （a≠0） 与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交 于点C． (1) 求抛物线的解析式；
y=-x²2x+3 （2）在（1）中抛物线 的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC的周长 最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在， 请说明理由.
2.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高
人教新版九年级数学上册22-1-4-2 用待定系数法求二次函数的解析式 同步练习【含答案】
22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质*第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式一、选择题1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则其函数解析式是( )A.y=x 2-4x+5B.y=-x 2-4x+5C.y=x 2+4x+5D.y=-x 2+4x+52.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ,当x ＝1时,y ＝2;当x ＝－1时,y ＝4,则a ,b 的值是( )A.a ＝3,b ＝－1B.a ＝3,b ＝1C.a ＝－3,b ＝1D.a ＝－3,b ＝－13.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝3x 2完全相同,顶点坐标是(－2,4),则该抛物线的解析式为( )A.y ＝－3(x ＋2)2＋4B.y ＝3(x ＋2)2＋4C.y ＝－(2x ＋1)2＋4D.y ＝－3(2x －1)2＋44.已知抛物线的对称轴为直线x ＝3,y 的最大值为－5,且与y ＝x 2的图象开口大小相同,则这条抛12物线的解析式为( )A.y ＝－(x ＋3)2＋512B.y ＝－(x －3)2－512C.y ＝(x ＋3)2＋512D.y ＝(x －3)2－5125.已知某抛物线的顶点坐标为M (－2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为( )A.y ＝(x －2)2＋1B.y ＝(x ＋2)2＋114C.y ＝(x ＋2)2＋1D.y ＝－(x ＋2)2＋1146.某抛物线与x 轴交点的横坐标为－2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为( )A.y ＝2x 2－2x －4B.y ＝－2x 2＋2x －4C.y ＝2x 2＋2x －4D.y ＝x 2＋x －27.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是( )A.y ＝－x 2＋x ＋2B.y ＝－x 2－x ＋21212C.y ＝－x 2－x ＋11212D.y ＝x 2－x －28.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x ＝－1,则这个二次函数的解析式为( )A.y ＝－x 2＋2x ＋3B.y ＝x 2＋2x ＋3C.y ＝－x 2－2x －3D.y ＝－x 2－2x ＋39.当k 取任意实数时,抛物线y ＝3(x －k －1)2＋k 2＋2的顶点所在的函数图象的解析式是( )A.y ＝x 2＋2B.y ＝x 2－2x ＋1C.y ＝x 2－2x ＋3D.y ＝x 2＋2x －3二、填空题10.已知A (0,3),B (2,3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点,则该抛物线的解析式是 . 11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(－2,0)三点,则这个二次函数的解析式是 .12.已知抛物线与x 轴交点的横坐标分别为3,1,与y 轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为 .13.已知抛物线y=4x 2+mx-48,当x>-2时,y 随x 的增大而增大;当x<-2时,y 随x 的增大而减小.则当x=3时,y= .14.二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表:x-1013y -1353下列结论:①ac<0;②当x>1时,y 随x 的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax 2+(b-1)x+c=0的一个根.其中正确的结论有 .(填写序号)15.如果将二次函数y ＝－6(x －1)2的图象沿x 轴对折,得到的函数图象的解析式是 ;如果沿y 轴对折,得到的函数图象的解析式是 .16.如图,抛物线的顶点M 在y 轴上,抛物线与直线y ＝x ＋1相交于A ,B 两点,且点A 在x 轴上,点B 的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式为 .三、解答题17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A (0,4),B (1,0),C (5,0),求该抛物线的解析式和顶点E 的坐标.18.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表: x…－2－1012…y …0－2－204…求该二次函数的解析式.19.已知抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与抛物线y ＝4x 2－2x ＋5的形状相同,且抛物线y ＝a (x －h )2＋k 经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.20.已知二次函数图象的对称轴是直线x ＝－3,图象经过点(1,6),且与y 轴的交点坐标为.(0,52)(1)求这个二次函数的解析式.(2)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?21.如图,抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1,0),B(－3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.22.(陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的解析式．(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．23.(江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…－2－1012…y…m0－3n－3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为____________．(2)求抛物线的解析式及m，n的值．(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：______________．24.(永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图②所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称？若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数解析式；若不存在，请说明理由．25.(攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．26.(衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；(3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a 和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．27.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的顶点坐标A(-1,0),B(3,0),C(3,-2),抛物线经过A,B两点,且顶点在线段CD上.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若点E(3,1),将△DCE向上平移直至CD边与AB边重合,在此过程中,线段CD与抛物线的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),线段DE与AB交于点M(x3,y3),求x1+x2+x3的取值范围.答案一、选择题1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则其函数解析式是( B )A.y=x 2-4x+5B.y=-x 2-4x+5C.y=x 2+4x+5D.y=-x 2+4x+52.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ,当x ＝1时,y ＝2;当x ＝－1时,y ＝4,则a ,b 的值是(A)A.a ＝3,b ＝－1B.a ＝3,b ＝1C.a ＝－3,b ＝1D.a ＝－3,b ＝－13.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝3x 2完全相同,顶点坐标是(－2,4),则该抛物线的解析式为(B)A.y ＝－3(x ＋2)2＋4B.y ＝3(x ＋2)2＋4C.y ＝－(2x ＋1)2＋4D.y ＝－3(2x －1)2＋44.已知抛物线的对称轴为直线x ＝3,y 的最大值为－5,且与y ＝x 2的图象开口大小相同,则这条抛12物线的解析式为(B)A.y ＝－(x ＋3)2＋512B.y ＝－(x －3)2－512C.y ＝(x ＋3)2＋512D.y ＝(x －3)2－5125.已知某抛物线的顶点坐标为M (－2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为(D)A.y ＝(x －2)2＋1B.y ＝(x ＋2)2＋114C.y ＝(x ＋2)2＋1D.y ＝－(x ＋2)2＋1146.某抛物线与x 轴交点的横坐标为－2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为(C)A.y ＝2x 2－2x －4B.y ＝－2x 2＋2x －4C.y ＝2x 2＋2x －4D.y ＝x 2＋x －27.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是(A)A.y ＝－x 2＋x ＋2B.y ＝－x 2－x ＋21212C.y ＝－x 2－x ＋11212D.y ＝x 2－x －28.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x ＝－1,则这个二次函数的解析式为(D)A.y ＝－x 2＋2x ＋3B.y ＝x 2＋2x ＋3C.y ＝－x 2－2x －3D.y ＝－x 2－2x ＋39.当k 取任意实数时,抛物线y ＝3(x －k －1)2＋k 2＋2的顶点所在的函数图象的解析式是(C)A.y ＝x 2＋2B.y ＝x 2－2x ＋1C.y ＝x 2－2x ＋3D.y ＝x 2＋2x －3二、填空题10.已知A (0,3),B (2,3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点,则该抛物线的解析式是 y ＝－x 2＋2x ＋3 .11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(－2,0)三点,则这个二次函数的解析式是 y ＝－x ＋1 . 12x 2－1212.已知抛物线与x 轴交点的横坐标分别为3,1,与y 轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为 y=2x 2-8x+6 .13.已知抛物线y=4x 2+mx-48,当x>-2时,y 随x 的增大而增大;当x<-2时,y 随x 的增大而减小.则当x=3时,y= 36 .14.二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表:x-1013y -1353下列结论:①ac<0;②当x>1时,y 随x 的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax 2+(b-1)x+c=0的一个根.其中正确的结论有 ①③④ .(填写序号)15.如果将二次函数y ＝－6(x －1)2的图象沿x 轴对折,得到的函数图象的解析式是 y ＝6(x －1)2 ;如果沿y 轴对折,得到的函数图象的解析式是 y ＝－6(x ＋1)2 .16.如图,抛物线的顶点M 在y 轴上,抛物线与直线y ＝x ＋1相交于A ,B 两点,且点A 在x 轴上,点B 的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式为 y ＝x 2－1 .三、解答题17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A (0,4),B (1,0),C (5,0),求该抛物线的解析式和顶点E 的坐标.解:由题意,设y ＝a (x －1)(x －5).将点A (0,4)代入,得a ＝,45∴y ＝,45(x －1)(x －5)＝45(x －3)2－165故顶点E 的坐标为.(3,−165)18.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表: x…－2－1012…y …0－2－204…求该二次函数的解析式.解:根据表中可知,点(－1,－2)和点(0,－2)关于对称轴对称,∴对称轴是直线x ＝－.12设二次函数的解析式为y ＝a ＋k.(x ＋12)2把点(－2,0)和点(0,－2)代入,得{a (−2＋12)2＋k ＝0,a (0＋12)2＋k ＝−2,解得a ＝1,k ＝－,94∴该二次函数的解析式为y ＝＝x 2＋x －2.(x ＋12)2－9419.已知抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与抛物线y ＝4x 2－2x ＋5的形状相同,且抛物线y ＝a (x －h )2＋k 经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.解:把点(0,0)代入y ＝a (x －h )2＋k ,得ah 2＋k ＝0.∵抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的最大值为16,∴函数图象的开口向下,即a <0,其顶点的纵坐标k ＝16.∵抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的形状与抛物线y ＝4x 2－2x ＋5相同,∴a ＝－4,把a ＝－4,k ＝16代入ah 2＋k ＝0中,得h ＝±2,∴此抛物线的解析式为y ＝－4(x －2)2＋16或y ＝－4(x ＋2)2＋16.20.已知二次函数图象的对称轴是直线x ＝－3,图象经过点(1,6),且与y 轴的交点坐标为.(0,52)(1)求这个二次函数的解析式.(2)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?解:(1)这个二次函数的解析式为y ＝.12x 2＋3x ＋52(2)∵y ＝,12x 2＋3x ＋52∴a ＝>0,开口向上,对称轴是直线x ＝－3,12∴当x >－3时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大.21.如图,抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1,0),B (－3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线交y 轴于点C ,在该抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得△MAC 的周长最小?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)该抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)存在.连接BC 交对称轴于点M ,则此时△MAC 的周长最小.在y ＝－x 2－2x ＋3中,令x ＝0,得y ＝3,∴点C 的坐标为(0,3).设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ,∴∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3.{−3k ＋b ＝0,b ＝3,解得{k ＝1,b ＝3,∵抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的对称轴为直线x ＝－1,∴当x ＝－1时,y ＝2,∴点M 的坐标为(－1,2).22.(陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的解析式．解：将点(3，12)和(－2，－3)的坐标代入抛物线的解析式，得解得故抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．解：抛物线的对称轴为直线x＝－1.令y＝0，则x＝－3或x＝1；令x＝0，则y＝－3，故点A，B的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，点C的坐标为(0，－3)．∴OA＝OC＝3.∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时，以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等．设点P(m，n)，当点P在抛物线的对称轴右侧时，m－(－1)＝3，解得m＝2，故n＝22＋2×2－3＝5，故点P(2，5)，故点E(－1，2)或(－1，8)；当点P在抛物线的对称轴左侧时，由抛物线的对称性可得点P (－4，5)，此时点E坐标同上．综上，点P的坐标为(2，5)或(－4，5)，点E的坐标为(－1，2)或(－1，8)．23.(江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…－2－1012…y…m0－3n－3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向__上______，对称轴为_直线x＝1___________．(2)求抛物线的解析式及m，n的值．解：把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝－3；x＝2，y＝－3分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.当x＝－2时，m＝4＋4－3＝5；当x＝1时，n＝1－2－3＝－4.(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？解：如图所示．该曲线是一条抛物线．(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：_A3A4－A1A2＝1_______．24.(永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．解：在等腰直角三角形ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2.∴A (－2，0)，B (2，0)，C (0，－2)．∴设二次函数解析式为y ＝ax 2－2，将点B (2，0)的坐标代入，得4a －2＝0，则a ＝.12∴抛物线所表示的二次函数解析式为y ＝x 2－2.12(2)过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图②所示．①求△CMN 面积的最小值．解：设直线l 的解析式为y ＝kx ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由可得x 2－kx －2＝0，12∴x 1＋x 2＝2k ，x 1·x 2＝－4.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4k 2＋16.∴|x 1－x 2|＝2.k 2＋4∴S △CMN ＝OC ·|x 1－x 2|＝2.12k 2＋4∴当k ＝0时，2取最小值4.k 2＋4∴△CMN 面积的最小值为4.②已知Q是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称？若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数解析式；若不存在，请说明理由．解：抛物线上存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称．设点P 的坐标为，连接OP ，OQ ，PQ ，∴OP ＝OQ ，即＝，解得m 1＝，m 2＝－，33m 3＝1(不合题意，舍去)，m 4＝－1(不合题意，舍去)．当m ＝时，点P，3则线段PQ 的中点为，∴k ＝－1，1＋32解得k ＝1－.3∴直线l 的解析式为y ＝(1－)x .3当m ＝－时，点P，3则线段PQ 的中点为，∴k ＝－1，1－32解得k ＝1＋，3∴直线l 的解析式为y ＝(1＋)x .3综上，直线l 的解析式为y ＝(1－)x 或y ＝(1＋)x .3325.(攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (2，0)，与y 轴交于点C (0，4)，点P 是第一象限内抛物线上的一点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；解：由题意可设抛物线所对应的函数解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)，将C (0，4)的坐标代入，得4＝－2a ，解得a ＝－2.∴该抛物线所对应的函数解析式为y ＝－2(x ＋1)(x －2)＝－2x 2＋2x ＋4.(2)设四边形CABP 的面积为S ，求S 的最大值．解：如图，连接OP ，设点P 的坐标为(m ，－2m 2＋2m ＋4)， m ＞0.∵A (－1，0)，B (2，0)，C (0，4)，∴OA ＝1，OC ＝4，OB ＝2.∴S ＝S △OAC ＋S △OCP ＋S △OPB ＝×1×4＋×4m ＋×2×(－2m 2＋2m ＋4)＝－2m 2＋4m ＋6＝－2(m －1)1212122＋8.当m ＝1时，S 最大，最大值为8.26.(衡阳)在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象过点(－1，0)，(2，0)．(1)求这个二次函数的解析式；解：由题意得二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －2)＝x 2－x －2.(2)求当－2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝＝，－1＋2212∴在－2≤x ≤1范围内，当x ＝－2时，函数有最大值，y 最大值＝4＋2－2＝4；当x ＝时，函数有最小值，y 最小值＝－－2＝－(如图)．12141294∴y 的最大值与最小值的差为4－＝.254(3)一次函数y ＝(2－m )x ＋2－m 的图象与二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．解：令x 2－x －2＝(2－m )x ＋2－m ，整理得x 2＋(m －3)x ＋m －4＝0.解得x 1＝－1，x 2＝4－m .∵a ＜3＜b ，∴a ＝－1，b ＝4－m .由4－m ＞3，解得m ＜1.27.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知矩形ABCD 的顶点坐标A (-1,0),B (3,0),C (3,-2),抛物线经过A ,B 两点,且顶点在线段CD 上.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若点E (3,1),将△DCE 向上平移直至CD 边与AB 边重合,在此过程中,线段CD 与抛物线的交点为P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),线段DE 与AB 交于点M (x 3,y 3),求x 1+x 2+x 3的取值范围.解:(1)由题意可知抛物线的对称轴为直线x==1,顶点为(1,-2).-1+32设抛物线的解析式为y=a (x-1)2-2,把A (-1,0)代入得4a-2=0,∴a=,12∴这条抛物线的解析式为y=(x-1)2-2.12(2)易知D (-1,-2),E (3,1),可求得直线DE 的解析式为y=x-.3454令y=0,则0=x-,解得x=,∴x 3=;34545353至CD 边与AB 边重合时,线段DE 与AB 交于A (-1,0),∴x 3=-1,∴-1≤x 3≤.53∵对称轴为直线x=1,∴x 1+x 2=2,∴x 1+x 2+x 3的取值范围是-1+2≤x 1+x 2+x 3≤2+,即1≤x 1+x 2+x 3≤.53113。
人教版数学九年级上学期课时练习- 待定系数法求二次函数解析式(人教版)
专题22.18 待定系数法求二次函数解析式（专项练习） 1．已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(25)A ，．(1)求b ；(2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式．2．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数225y x mx m =-+的图象经过点()1,2-． （1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．3．已知二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，求这个二次函数的表达式．4．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式5．已知二次函数，当x ＝－1时，函数的最小值为－3，它的图象经过点（1，5），求这个二次函数的表达式．6．已知二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，与y 轴的交点坐标为()0,3．（1）求此二次函数的解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．7．已知抛物线214y x bx c =++的对称轴为直线2x =，且经过点（0，1），求该抛物线的表达式．8．把抛物线y ＝（x ﹣1）2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q （3，0），求平移后的抛物线的解析式．9．已知抛物线经过（3，5），A （4，0），B （-2，0），且与y 轴交于点C ．（1）求二次函数解析式；（2）求△ABC 的面积．10．已知二次函数图象的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求这个二次函数的解析式．11．已知二次函数22yx bx c 的图像经过()1,0A -，()3,0B ，求抛物线的解析式12．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =++的图象经过点()()0,1,3,4A B ．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．13．已知抛物线25y ax bx =+-经过点M （﹣1，1），N （2，﹣5）．(1)求a ，b 的值；(2)若P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线上不同的两点，且2122y y =-，求m 的值．14．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过点A （0，3），B （2，3），C （-1，0）则（1）该抛物线的对称轴为_________；（2）该抛物线与x 轴的另一个交点为_______；（3）求该抛物线的表达式．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过A （1，5）、B （﹣1，9），C （0，8）．(1)求这个二次函数的解析式；(2)如果点D （x 1，y 1）和点E （x 2，y 2）在函数图象上，那么当0＜x 1＜x 2＜1时，请直接写出y 1与y 2的大小关系：y 1 y 2．16．已知二次函数23y ax bx =+-的图象经过()()1,4,1,0A B --两点．(1)求a 和b 的值；(2)在坐标系xOy 中画出该二次函数的图象．17．已知一个二次函数图象的顶点为(1，0)，与y 轴的交点为(0，1)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．18．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表：请选择合适方法，求此抛物线的函数表达式．19．已知二次函数的图象经过（－6，0），（2，0），（0，－6）三点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．20．已知抛物线的顶点是（﹣3，2），且经过点（4，﹣5），试确定抛物线的函数表达式．参考答案1．(1)2(2)2y (x 1)4=+-【分析】（1）把点(25)A ，代入函数解析式即可求；（2）利用配方法化成顶点式即可．(1)解：把点(25)A ，代入23y x bx =+-得，5423b =+-，解得，2b =．(2)解：223y x x =+-，22113y x x =++--，2214y x x =++-，2y (x 1)4=+-．【点拨】本题考查了待定系数法求解析式和配方法，解题关键是熟练掌握待定系数法和配方法，准确进行计算．2．（1）1m =-；（2）直线1x =-【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）利用对称轴公式2b x a=-求解即可． 解：（1）∵二次函数y ＝x 2－2mx ＋5m 的图象经过点(1，－2)，∵－2＝1－2m ＋5m ，解得1m =-；∵二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x －5．（2）二次函数图象的对称轴为直线2122b x a =-=-=-； 故二次函数的对称轴为：直线1x =-；【点拨】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．3．二次函数的表达式为24y x =+．【分析】将点(﹣2，8)和(﹣1，5)代入二次函数表达式，列出二元一次方程组，进行求解即可．解：二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，∴485a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：14a c =⎧⎨=⎩． ∵二次函数的表达式为24y x =+．【点拨】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式，将已知点代入表达式，再解方程，然后确定二次函数的表达式．4．245y x x =-++【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入求解即可． 解：∵抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，∵设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，∵()()21545y x x x x =-+-=-++．∵该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式．5．2241y x x =+-【分析】根据题意，先得出二次函数的顶点坐标为()1,3--，然后设该二次函数的解析式为()213y a x =+-，将点代入求解即可得． 解：依题意，可得二次函数的顶点坐标为()1,3--，设该二次函数的解析式为()213y a x =+-，∵它的图象经过点()1,5，∵代入函数解析式可得：()25113a =+-，解得：2a =．故该二次函数的解析式为：()22213241y x x x =+-=+-．【点拨】题目主要考查根据待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握顶点式的特点性质是解题关键．6．（1）223y x x =-++；（2）()1,4 ．【分析】（1）利用待定系数法，将(1,0)-，(0,3)两个点代入函数解析式求解即可确定函数解析式； （2）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．解：（1）把(1,0)-，(0,3)代入2y x bx c =-++得： 103b c c --+=⎧⎨=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）()222232113(1)4=-++=--+-+=--+y x x x x x ，所以抛物线的顶点坐标为(1,4)．【点拨】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式及二次函数的顶点式，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键．7．2114y x x =-+ 【分析】 根据抛物线的对称轴22－＝b a，即可确定b 的值，将点（0，1）代入函数解析式确定c 的值，由此即可确定函数解析式．解：∵抛物线214y x bx c =++的对称轴为直线2x =，14a =， ∵2124b⨯－＝，∵1b ＝－．∵抛物线经过点（0，1），代入函数解析式可得：∵1c ＝．∵该抛物线的解析式为2114y x x =-+． 【点拨】题目主要考查利用对称轴及点的坐标确定函数解析式，熟练掌握根据待定系数法确定函数解析式是解题关键．8．223y x x =--【分析】设平移后的抛物线的解析式为()21y x k =-+ ，将点Q （3，0），代入，即可求解． 解：设平移后的抛物线的解析式为()21y x k =-+ ，∵平移后所得抛物线经过点Q （3，0），∵()2310k -+= ，解得：4k =- ，∵平移后的抛物线的解析式为()221423y x x x =--=-- ．【点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．9．（1）二次函数解析式为228y x x =-++；（2）△ABC 的面积为24．【分析】（1）直接利用待定系数法求出函数解析式，进而得出答案；（2）先求出C 点的坐标，利用三角形的面积公式即可求出答案．解：（1）设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得：5(32)(34)a =+-，解得1a =-，∵二次函数解析式为(2)(4)y x x =-+-．即228y x x =-++； （2）令x =0，则y =8，∵C (0，8)， ∵1(42)8242ABC S =+⨯=△． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法与三角形的面积公式是解题的关键．10．y ＝5x 2﹣10x +3【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，﹣2），设抛物线的顶点式为y ＝a （x ﹣1）2﹣2，将点（2，3）代入求a 即可．解：设此二次函数的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣2．∵其图象经过点（2，3），∵a （2﹣1）2﹣2＝3，∵a ＝5，∵y ＝5（x ﹣1）2﹣2，即y ＝5x 2﹣10x +3．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．11．2246y x x =-++【分析】将（-1，0）、（3，0）两点坐标代入22yx bx c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组即可．解：把（-1，0）、（3，0）代入22y x bx c 中 得201830b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得46b c =⎧⎨=⎩， ∵二次函数的解析式为2246y x x =-++．【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．12．221y x x =-+，()1,0【分析】直接把点A 、B 的坐标代入二次函数解析式进行求解，然后求出对称轴，最后问题可求解．解：∵二次函数2y x mx n =++的图象经过点()()0,1,3,4A B ；∵1934n m n =⎧⎨++=⎩， 解得：21m n =-⎧⎨=⎩， ∵221y x x =-+∵对称轴为直线2121x -=-=⨯， ∵21210y =-+=，∵顶点的坐标为()1,0．【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 13．(1)24a b =⎧⎨=-⎩(2)2m =- 【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）判断出点P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上的对称点，利用二次函数的对称性，即可求解．(1)解：由抛物线25y ax bx =+-经过M （﹣1，1），N （2，﹣5）两点，得 514255a b a b --=⎧⎨+-=-⎩， 解这个方程组，得24a b =⎧⎨=-⎩； (2)解：∵P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上不同的两点，且2122y y =-∵212444511y =⨯-⨯-= ，2122221111y y =-=-=，∵ 12y y =∵点P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上的对称点，∵抛物线2245y x x =--的对称轴为4122x -=-=⨯，∵2m =-．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．14．（1）x =1；（2）（3，0）；（3） 2y x 2x 3=-++【分析】（1）根据,A B 坐标即可确定对称轴，根据函数值相等即可确定对称轴；（2）根据对称轴以及C 点的坐标即可确定另一个交点；（3）根据待定系数法求解析式即可．解：（1） A （0，3），B （2，3）∴该抛物线的对称轴为x=1故答案为：1x =（2）(1,0)C -，对称轴为1x =∴该抛物线与x 轴的另一个交点为（3,0）;故答案为：（3,0）（3）∵抛物线过点（0,3）、（-1,0）、（2,3）设二次函数的解析式为2()30y ax bx a =++≠由题意得，304233a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得，123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∵223y x x =++-【点拨】本题考查了根据二次函数的对称性求对称轴，根据对称轴求与x 轴的交点问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．15．(1)y =-x 2-2x +8(2)＞【分析】（1）由题意直接根据待定系数法即可求得；（2）根据题意先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．(1)解：∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A （1，5）、B （-1，9），C （0，8），∵598a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：128a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∵二次函数解析式为y =-x 2-2x +8.(2)∵y =-x 2-2x +8=-（x +1）2+7，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x =-1，∵当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小，∵0＜x 1＜x 2＜1，∵y 1＞y 2．故答案为：＞．【点拨】本题考查待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．16．(1)12a b =⎧⎨=-⎩(2)见分析 【分析】（1）利用待定系数法将()()1,4,1,0A B --两点代入抛物线求解即可得；（2）根据（1）中结论确定函数解析式，求出与x ，y 轴的交点坐标及对称轴，然后用光滑的曲线连接即可得函数图象．(1)解：∵二次函数23y ax bx =+-的图象经过()()1,4,1,0A B --两点，∵3430a b a b +-=-⎧⎨--=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=-⎩． (2)解：由（1）可得：函数解析式为：223y x x =--，当0y =时，2230x x --=，解得：11x =-，23x =，∴抛物线与x 轴的交点坐标为：()1,0-，()3,0，抛物线与y 轴的交点坐标为：()0,3-， 对称轴为：21221b x a -=-=-=⨯， 根据这些点及对称轴在直角坐标系中作图如下．【点拨】题目主要考查待定系数法确定函数解析式及作函数图象，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键．17．(1)2(1)y x =-(2)见分析【分析】（1）设抛物线解析式为2(1)y a x =-，将(0,1)代入解析式求解；（2）根据二次函数解析式作图即可．解：(1)设抛物线解析式为2(1)y a x =-，将(0,1)代入2(1)y a x =-得：1a =，∵2(1)y x =-；(2)二次函数图像如下图所示：【点拨】本题考查二次函数的图像以及用待定系数法求二次函数，掌握顶点式的形式是解题的关键．18．212524y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭【分析】根据题意利用抛物线的顶点式，并代入（0，6）即可求出抛物线的函数表达式.解：设抛物线的函数表达式：2()(0)y a x h k a =-+≠，由图表可知抛物线的顶点为(0.5,6.25)即125(,)24， 可得2125()24y a x =-+， 代入（0，6）可得1a =-， 所以抛物线的函数表达式为：212524y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. 【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式，注意掌握二次函数的顶点式为2()(0)y a x h k a =-+≠，顶点为(,)h k . 19．（1）21262y x x =+-；（2）（－2，－8） 【分析】 （1）设抛物线y =ax 2+bx +c ，把三点坐标代入二次函数解析式求出a ，b ，c 的值，即可确定出二次函数解析式；（2）经过配方配成顶点式即可得到答案．解：（1）设抛物线y =ax 2+bx +c ，把（－6，0），（2，0），（0，－6）三点代入解析式，得36604206a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得，1226a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∵抛物线的解析式为：21262y x x =+- （2）221126=2)822y x x x =+-+-（ ∵抛物线的顶点坐标为：（-2，-8）．【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式，本题运用两根式求函数关系式更简单些．20．抛物线的表达式为y =−17（x +3）2+2． 【分析】根据题意可设顶点式y =a （x -h ）2+k ，然后再把点（4，-5）代入进行计算即可解答． 解：∵抛物线的顶点是（-3，2），∵设抛物线的表达式为：y =a （x +3）2+2，把点（4，-5）代入y =a （x +3）2+2中得：a （4+3）2+2=-5，解得：a =−17， ∵抛物线的表达式为：y =−17（x +3）2+2． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．。
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待定系数法求解析式
1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
2.二次函数y= ax2+bx+c，x=－2时y=－6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。
3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。
4.二次函数y= ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。
5.已知二次函数的图象与x轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式
6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。
8.把二次函数
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3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。
9.二次函数y= ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，
其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。